matita/matita/lib/turing/universal/marks.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/if_machine.ma".
  18 include "turing/basic_machines.ma".
  19 include "turing/universal/alphabet.ma".
  20
  21 (* ADVANCE TO MARK (right)
  22
  23    sposta la testina a destra fino a raggiungere il primo carattere marcato
  24
  25 *)
  26
  27 (* 0, a ≠ mark _ ⇒ 0, R
  28 0, a = mark _ ⇒ 1, N *)
  29
  30 definition atm_states ≝ initN 3.
  31
  32 definition atm0 : atm_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
  33 definition atm1 : atm_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
  34 definition atm2 : atm_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
  35
  36 definition atmr_step ≝
  37   λalpha:FinSet.λtest:alpha→bool.
  38   mk_TM alpha atm_states
  39   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
  40    match a with
  41    [ None ⇒ 〈atm1, None ?〉
  42    | Some a' ⇒
  43      match test a' with
  44      [ true ⇒ 〈atm1,None ?〉
  45      | false ⇒ 〈atm2,Some ? 〈a',R〉〉 ]])
  46   atm0 (λx.notb (x == atm0)).
  47
  48 definition Ratmr_step_true ≝
  49   λalpha,test,t1,t2.
  50    ∃ls,a,rs.
  51    t1 = midtape alpha ls a rs ∧ test a = false ∧
  52    t2 = mk_tape alpha (a::ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs).
  53
  54 definition Ratmr_step_false ≝
  55   λalpha,test,t1,t2.
  56     t1 = t2 ∧
  57     (current alpha t1 = None ? ∨
  58      (∃a.current ? t1 = Some ? a ∧ test a = true)).
  59
  60 lemma atmr_q0_q1 :
  61   ∀alpha,test,ls,a0,rs. test a0 = true →
  62   step alpha (atmr_step alpha test)
  63     (mk_config ?? atm0 (midtape … ls a0 rs)) =
  64   mk_config alpha (states ? (atmr_step alpha test)) atm1
  65     (midtape … ls a0 rs).
  66 #alpha #test #ls #a0 #ts #Htest whd in ⊢ (??%?);
  67 whd in match (trans … 〈?,?〉); >Htest %
  68 qed.
  69
  70 lemma atmr_q0_q2 :
  71   ∀alpha,test,ls,a0,rs. test a0 = false →
  72   step alpha (atmr_step alpha test)
  73     (mk_config ?? atm0 (midtape … ls a0 rs)) =
  74   mk_config alpha (states ? (atmr_step alpha test)) atm2
  75     (mk_tape … (a0::ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs)).
  76 #alpha #test #ls #a0 #ts #Htest whd in ⊢ (??%?);
  77 whd in match (trans … 〈?,?〉); >Htest cases ts //
  78 qed.
  79
  80 lemma sem_atmr_step :
  81   ∀alpha,test.
  82   accRealize alpha (atmr_step alpha test)
  83     atm2 (Ratmr_step_true alpha test) (Ratmr_step_false alpha test).
  84 #alpha #test *
  85 [ @(ex_intro ?? 2)
  86   @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (niltape ?))) %
  87   [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
  88 | #a #al @(ex_intro ?? 2) @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (leftof ? a al)))
  89   % [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
  90 | #a #al @(ex_intro ?? 2) @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (rightof ? a al)))
  91   % [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
  92 | #ls #c #rs @(ex_intro ?? 2)
  93   cases (true_or_false (test c)) #Htest
  94   [ @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 ?))
  95     [| %
  96       [ %
  97         [ whd in ⊢ (??%?); >atmr_q0_q1 //
  98         | whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct ]
  99       | #_ % // %2 @(ex_intro ?? c) % // ]
 100     ]
 101   | @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm2 (mk_tape ? (c::ls) (option_hd ? rs) (tail ? rs))))
 102     %
 103     [ %
 104       [ whd in ⊢ (??%?); >atmr_q0_q2 //
 105       | #_ @(ex_intro ?? ls) @(ex_intro ?? c) @(ex_intro ?? rs)
 106         % // % //
 107       ]
 108     | #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
 109     ]
 110   ]
 111 ]
 112 qed.
 113
 114 definition R_adv_to_mark_r ≝ λalpha,test,t1,t2.
 115   (current ? t1 = None ? → t1 = t2) ∧
 116   ∀ls,c,rs.
 117   (t1 = midtape alpha ls c rs  →
 118   ((test c = true ∧ t2 = t1) ∨
 119    (test c = false ∧
 120     ∀rs1,b,rs2. rs = rs1@b::rs2 →
 121      test b = true → (∀x.memb ? x rs1 = true → test x = false) →
 122      t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) b rs2))).
 123
 124 definition adv_to_mark_r ≝
 125   λalpha,test.whileTM alpha (atmr_step alpha test) atm2.
 126
 127 lemma wsem_adv_to_mark_r :
 128   ∀alpha,test.
 129   WRealize alpha (adv_to_mark_r alpha test) (R_adv_to_mark_r alpha test).
 130 #alpha #test #t #i #outc #Hloop
 131 lapply (sem_while … (sem_atmr_step alpha test) t i outc Hloop) [%]
 132 -Hloop * #t1 * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 133 [ #tapea * #Htapea *
 134   [ #H1 %
 135     [#_ @Htapea
 136     |#ls #c #rs #H2 >H2 in H1; whd in ⊢ (??%? → ?);
 137      #Hfalse destruct (Hfalse)
 138     ]
 139   | * #a * #Ha #Htest %
 140     [ >Ha #H destruct (H);
 141     | #ls #c #rs #H2 %
 142      >H2 in Ha; whd in ⊢ (??%? → ?); #Heq destruct (Heq) % //
 143      <Htapea //
 144     ]
 145   ]
 146 | #tapea #tapeb #tapec #Hleft #Hright #IH #HRfalse
 147   lapply (IH HRfalse) -IH #IH %
 148   [cases Hleft #ls * #a * #rs * * #Htapea #_ #_ >Htapea
 149    whd in ⊢((??%?)→?); #H destruct (H);
 150   |#ls #c #rs #Htapea %2
 151    cases Hleft #ls0 * #a0 * #rs0 * * #Htapea' #Htest #Htapeb
 152    >Htapea' in Htapea; #Htapea destruct (Htapea) % // *
 153     [ #b #rs2 #Hrs >Hrs in Htapeb; #Htapeb #Htestb #_
 154      cases (proj2 ?? IH … Htapeb)
 155       [ * #_ #Houtc >Houtc >Htapeb %
 156       | * #Hfalse >Hfalse in Htestb; #Htestb destruct (Htestb) ]
 157     | #r1 #rs1 #b #rs2 #Hrs >Hrs in Htapeb; #Htapeb #Htestb #Hmemb
 158      cases (proj2 ?? IH … Htapeb)
 159       [ * #Hfalse >(Hmemb …) in Hfalse;
 160         [ #Hft destruct (Hft)
 161         | @memb_hd ]
 162       | * #Htestr1 #H1 >reverse_cons >associative_append
 163        @H1 // #x #Hx @Hmemb @memb_cons //
 164       ]
 165     ]
 166 qed.
 167
 168 lemma terminate_adv_to_mark_r :
 169   ∀alpha,test.
 170   ∀t.Terminate alpha (adv_to_mark_r alpha test) t.
 171 #alpha #test #t
 172 @(terminate_while … (sem_atmr_step alpha test))
 173   [ %
 174   | cases t
 175     [ % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * * #Hfalse destruct (Hfalse)
 176     |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * * #Hfalse destruct (Hfalse)
 177     | #ls #c #rs generalize in match c; -c generalize in match ls; -ls
 178       elim rs
 179       [#ls #c % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * *
 180        #H1 destruct (H1) #Hc0 #Ht1 normalize in Ht1;
 181        % #t2 * #ls1 * #c1 * #rs1 * * >Ht1
 182        normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 183       | #r0 #rs0 #IH #ls #c % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * *
 184         #H1 destruct (H1) #Hc0 #Ht1 normalize in Ht1;
 185         >Ht1 @IH
 186       ]
 187     ]
 188   ]
 189 qed.
 190
 191 lemma sem_adv_to_mark_r :
 192   ∀alpha,test.
 193   Realize alpha (adv_to_mark_r alpha test) (R_adv_to_mark_r alpha test).
 194 /2/
 195 qed.
 196
 197 (* MARK machine
 198
 199    marks the current character
 200  *)
 201
 202 definition mark_states ≝ initN 2.
 203
 204 definition ms0 : mark_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 2 (refl …)).
 205 definition ms1 : mark_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 2 (refl …)).
 206
 207 definition mark ≝
 208   λalpha:FinSet.mk_TM (FinProd … alpha FinBool) mark_states
 209   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
 210     match a with
 211     [ None ⇒ 〈ms1,None ?〉
 212     | Some a' ⇒ match (pi1 … q) with
 213       [ O ⇒ let 〈a'',b〉 ≝ a' in 〈ms1,Some ? 〈〈a'',true〉,N〉〉
 214       | S q ⇒ 〈ms1,None ?〉 ] ])
 215   ms0 (λq.q == ms1).
 216
 217 definition R_mark ≝ λalpha,t1,t2.
 218   (∀ls,c,b,rs.
 219      t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈c,b〉 rs →
 220      t2 = midtape ? ls 〈c,true〉 rs) ∧
 221   (current ? t1 = None ? → t2 = t1).
 222
 223 lemma sem_mark :
 224   ∀alpha.Realize ? (mark alpha) (R_mark alpha).
 225 #alpha #intape @(ex_intro ?? 2) cases intape
 226 [ @ex_intro
 227   [| % [ % | % [#ls #c #b #rs #Hfalse destruct | // ]]]
 228 |#a #al @ex_intro
 229   [| % [ % | % [#ls #c #b #rs #Hfalse destruct | // ]]]
 230 |#a #al @ex_intro
 231   [| % [ % | % [#ls #c #b #rs #Hfalse destruct ] // ]]
 232 | #ls * #c #b #rs
 233   @ex_intro [| % [ % | %
 234   [#ls0 #c0 #b0 #rs0 #H1 destruct (H1) %
 235   | whd in ⊢ ((??%?)→?); #H1 destruct (H1)]]]
 236 qed.
 237
 238
 239 (* MOVE RIGHT AND MARK machine
 240
 241    marks the first character on the right
 242
 243    (could be rewritten using (mark; move_right))
 244  *)
 245
 246 definition mrm_states ≝ initN 3.
 247
 248 definition mrm0 : mrm_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
 249 definition mrm1 : mrm_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
 250 definition mrm2 : mrm_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
 251
 252 definition move_right_and_mark ≝
 253   λalpha:FinSet.mk_TM (FinProd … alpha FinBool) mrm_states
 254   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
 255     match a with
 256     [ None ⇒ 〈mrm2,None ?〉
 257     | Some a' ⇒ match pi1 … q with
 258       [ O ⇒ 〈mrm1,Some ? 〈a',R〉〉
 259       | S q ⇒ match q with
 260         [ O ⇒ let 〈a'',b〉 ≝ a' in
 261               〈mrm2,Some ? 〈〈a'',true〉,N〉〉
 262         | S _ ⇒ 〈mrm2,None ?〉 ] ] ])
 263   mrm0 (λq.q == mrm2).
 264
 265 definition R_move_right_and_mark ≝ λalpha,t1,t2.
 266   ∀ls,c,d,b,rs.
 267   t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls c (〈d,b〉::rs) →
 268   t2 = midtape ? (c::ls) 〈d,true〉 rs.
 269
 270 lemma sem_move_right_and_mark :
 271   ∀alpha.Realize ? (move_right_and_mark alpha) (R_move_right_and_mark alpha).
 272 #alpha #intape @(ex_intro ?? 3) cases intape
 273 [ @ex_intro
 274   [| % [ % | #ls #c #d #b #rs #Hfalse destruct ] ]
 275 |#a #al @ex_intro
 276   [| % [ % | #ls #c #d #b #rs #Hfalse destruct ] ]
 277 |#a #al @ex_intro
 278   [| % [ % | #ls #c #d #b #rs #Hfalse destruct ] ]
 279 | #ls #c *
 280   [ @ex_intro [| % [ % | #ls0 #c0 #d0 #b0 #rs0 #Hfalse destruct ] ]
 281   | * #d #b #rs @ex_intro
 282     [| % [ % | #ls0 #c0 #d0 #b0 #rs0 #H1 destruct (H1) % ] ] ] ]
 283 qed.
 284
 285 (* CLEAR MARK machine
 286
 287    clears the mark in the current character
 288  *)
 289
 290 definition clear_mark_states ≝ initN 3.
 291
 292 definition clear0 : clear_mark_states ≝ mk_Sig ?? 0 (leb_true_to_le 1 3 (refl …)).
 293 definition clear1 : clear_mark_states ≝ mk_Sig ?? 1 (leb_true_to_le 2 3 (refl …)).
 294 definition claer2 : clear_mark_states ≝ mk_Sig ?? 2 (leb_true_to_le 3 3 (refl …)).
 295
 296 definition clear_mark ≝
 297   λalpha:FinSet.mk_TM (FinProd … alpha FinBool) clear_mark_states
 298   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
 299     match a with
 300     [ None ⇒ 〈clear1,None ?〉
 301     | Some a' ⇒ match pi1 … q with
 302       [ O ⇒ let 〈a'',b〉 ≝ a' in 〈clear1,Some ? 〈〈a'',false〉,N〉〉
 303       | S q ⇒ 〈clear1,None ?〉 ] ])
 304   clear0 (λq.q == clear1).
 305
 306 definition R_clear_mark ≝ λalpha,t1,t2.
 307   (current ? t1 = None ? → t1 = t2) ∧
 308   ∀ls,c,b,rs.
 309   t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈c,b〉 rs →
 310   t2 = midtape ? ls 〈c,false〉 rs.
 311
 312 lemma sem_clear_mark :
 313   ∀alpha.Realize ? (clear_mark alpha) (R_clear_mark alpha).
 314 #alpha #intape @(ex_intro ?? 2) cases intape
 315 [ @ex_intro
 316   [| % [ % | % [#_ %|#ls #c #b #rs #Hfalse destruct ]]]
 317 |#a #al @ex_intro
 318   [| % [ % | % [#_ %|#ls #c #b #rs #Hfalse destruct ]]]
 319 |#a #al @ex_intro
 320   [| % [ % | % [#_ %|#ls #c #b #rs #Hfalse destruct ]]]
 321 | #ls * #c #b #rs
 322   @ex_intro [| % [ % | %
 323   [whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct| #ls0 #c0 #b0 #rs0 #H1 destruct (H1) % ]]]]
 324 qed.
 325
 326 (* ADVANCE MARK RIGHT machine
 327
 328    clears mark on current char,
 329    moves right, and marks new current char
 330
 331 *)
 332
 333 definition adv_mark_r ≝
 334   λalpha:FinSet.
 335     clear_mark alpha · move_r ? · mark alpha.
 336
 337 definition R_adv_mark_r ≝ λalpha,t1,t2.
 338   (∀ls,c.
 339     (∀d,b,rs.
 340      t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈c,true〉 (〈d,b〉::rs) →
 341      t2 = midtape ? (〈c,false〉::ls) 〈d,true〉 rs) ∧
 342     (t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) ls 〈c,true〉 [ ] →
 343      t2 = rightof ? 〈c,false〉 ls)) ∧
 344   (current ? t1 = None ? → t1 = t2).
 345
 346 lemma sem_adv_mark_r :
 347   ∀alpha.Realize ? (adv_mark_r alpha) (R_adv_mark_r alpha).
 348 #alpha
 349 @(sem_seq_app … (sem_clear_mark …)
 350          (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark alpha)) …)
 351 #intape #outtape whd in ⊢ (%→?); * #ta *
 352 whd in ⊢ (%→?); #Hs1 whd in ⊢ (%→?); * #tb * #Hs2 whd in ⊢ (%→?); #Hs3 %
 353   [#ls #c %
 354     [#d #b #rs #Hintape @(proj1 … Hs3 ?? b ?)
 355      @(proj2 … Hs2 ls 〈c,false〉 (〈d,b〉::rs))
 356      @(proj2 ?? Hs1 … Hintape)
 357     |#Hintape lapply (proj2 ?? Hs1 … Hintape) #Hta lapply (proj2 … Hs2 … Hta)
 358      whd in ⊢ ((???%)→?); #Htb <Htb @(proj2 … Hs3) >Htb //
 359     ]
 360   |#Hcur lapply(proj1 ?? Hs1 … Hcur) #Hta >Hta >Hta in Hcur; #Hcur
 361    lapply (proj1 ?? Hs2 … Hcur) #Htb >Htb >Htb in Hcur; #Hcur
 362    @sym_eq @(proj2 ?? Hs3) @Hcur
 363   ]
 364 qed.
 365
 366 (* ADVANCE TO MARK (left)
 367
 368 axiomatized
 369
 370 *)
 371 definition atml_step ≝
 372   λalpha:FinSet.λtest:alpha→bool.
 373   mk_TM alpha atm_states
 374   (λp.let 〈q,a〉 ≝ p in
 375    match a with
 376    [ None ⇒ 〈atm1, None ?〉
 377    | Some a' ⇒
 378      match test a' with
 379      [ true ⇒ 〈atm1,None ?〉
 380      | false ⇒ 〈atm2,Some ? 〈a',L〉〉 ]])
 381   atm0 (λx.notb (x == atm0)).
 382
 383 definition Ratml_step_true ≝
 384   λalpha,test,t1,t2.
 385    ∃ls,a,rs.
 386    t1 = midtape alpha ls a rs ∧ test a = false ∧
 387    t2 = mk_tape alpha (tail ? ls) (option_hd ? ls) (a :: rs).
 388
 389 definition Ratml_step_false ≝
 390   λalpha,test,t1,t2.
 391     t1 = t2 ∧
 392     (current alpha t1 = None ? ∨
 393      (∃a.current ? t1 = Some ? a ∧ test a = true)).
 394
 395 lemma atml_q0_q1 :
 396   ∀alpha,test,ls,a0,rs. test a0 = true →
 397   step alpha (atml_step alpha test)
 398     (mk_config ?? atm0 (midtape … ls a0 rs)) =
 399   mk_config alpha (states ? (atml_step alpha test)) atm1
 400     (midtape … ls a0 rs).
 401 #alpha #test #ls #a0 #ts #Htest whd in ⊢ (??%?);
 402 whd in match (trans … 〈?,?〉); >Htest %
 403 qed.
 404
 405 lemma atml_q0_q2 :
 406   ∀alpha,test,ls,a0,rs. test a0 = false →
 407   step alpha (atml_step alpha test)
 408     (mk_config ?? atm0 (midtape … ls a0 rs)) =
 409   mk_config alpha (states ? (atml_step alpha test)) atm2
 410     (mk_tape … (tail ? ls) (option_hd ? ls) (a0 :: rs)).
 411 #alpha #test #ls #a0 #rs #Htest whd in ⊢ (??%?);
 412 whd in match (trans … 〈?,?〉); >Htest cases ls //
 413 qed.
 414
 415 lemma sem_atml_step :
 416   ∀alpha,test.
 417   accRealize alpha (atml_step alpha test)
 418     atm2 (Ratml_step_true alpha test) (Ratml_step_false alpha test).
 419 #alpha #test *
 420 [ @(ex_intro ?? 2)
 421   @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (niltape ?))) %
 422   [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
 423 | #a #al @(ex_intro ?? 2) @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (leftof ? a al)))
 424   % [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
 425 | #a #al @(ex_intro ?? 2) @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 (rightof ? a al)))
 426   % [ % // whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct | #_ % // % % ]
 427 | #ls #c #rs @(ex_intro ?? 2)
 428   cases (true_or_false (test c)) #Htest
 429   [ @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm1 ?))
 430     [| %
 431       [ %
 432         [ whd in ⊢ (??%?); >atml_q0_q1 //
 433         | whd in ⊢ ((??%%)→?); #Hfalse destruct ]
 434       | #_ % // %2 @(ex_intro ?? c) % // ]
 435     ]
 436   | @(ex_intro ?? (mk_config ?? atm2 (mk_tape ? (tail ? ls) (option_hd ? ls) (c::rs))))
 437     %
 438     [ %
 439       [ whd in ⊢ (??%?); >atml_q0_q2 //
 440       | #_ @(ex_intro ?? ls) @(ex_intro ?? c) @(ex_intro ?? rs)
 441         % // % //
 442       ]
 443     | #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
 444     ]
 445   ]
 446 ]
 447 qed.
 448
 449 definition R_adv_to_mark_l ≝ λalpha,test,t1,t2.
 450   (current ? t1 = None ? → t1 = t2) ∧
 451   ∀ls,c,rs.
 452   (t1 = midtape alpha ls c rs  →
 453   ((test c = true → t2 = t1) ∧
 454    (test c = false →
 455     ∀ls1,b,ls2. ls = ls1@b::ls2 →
 456      test b = true → (∀x.memb ? x ls1 = true → test x = false) →
 457      t2 = midtape ? ls2 b (reverse ? ls1@c::rs)))).
 458
 459 definition adv_to_mark_l ≝
 460   λalpha,test.whileTM alpha (atml_step alpha test) atm2.
 461
 462 lemma wsem_adv_to_mark_l :
 463   ∀alpha,test.
 464   WRealize alpha (adv_to_mark_l alpha test) (R_adv_to_mark_l alpha test).
 465 #alpha #test #t #i #outc #Hloop
 466 lapply (sem_while … (sem_atml_step alpha test) t i outc Hloop) [%]
 467 -Hloop * #t1 * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 468 [ #tapea * #Htapea *
 469   [ #H1 %
 470     [#_ @Htapea
 471     |#ls #c #rs #H2 >H2 in H1; whd in ⊢ (??%? → ?);
 472      #Hfalse destruct (Hfalse)
 473     ]
 474   | * #a * #Ha #Htest %
 475     [>Ha #H destruct (H);
 476     |#ls #c #rs #H2 %
 477       [#Hc <Htapea //
 478       |#Hc @False_ind >H2 in Ha; whd in ⊢ ((??%?)→?);
 479        #H destruct (H) /2/
 480       ]
 481     ]
 482   ]
 483 | #tapea #tapeb #tapec #Hleft #Hright #IH #HRfalse
 484   lapply (IH HRfalse) -IH #IH %
 485   [cases Hleft #ls0 * #a0 * #rs0 * * #Htapea #_ #_ >Htapea
 486    whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 487   |#ls #c #rs #Htapea %
 488     [#Hc cases Hleft #ls0 * #a0 * #rs0 * * #Htapea' #Htest @False_ind
 489      >Htapea' in Htapea; #H destruct /2/
 490     |cases Hleft #ls0 * #a * #rs0 *
 491      * #Htapea1 >Htapea in Htapea1; #H destruct (H) #_ #Htapeb
 492      #Hc *
 493       [#b #ls2 #Hls >Hls in Htapeb; #Htapeb #Htestb #_
 494        cases (proj2 ?? IH … Htapeb) #H1 #_ >H1 // >Htapeb %
 495       |#l1 #ls1 #b #ls2 #Hls >Hls in Htapeb; #Htapeb #Htestb #Hmemb
 496        cases (proj2 ?? IH … Htapeb) #_ #H1 >reverse_cons >associative_append
 497        @(H1 … (refl …) Htestb)
 498         [@Hmemb @memb_hd
 499         |#x #memx @Hmemb @memb_cons @memx
 500         ]
 501       ]
 502     ]
 503   ]
 504 qed.
 505
 506 lemma terminate_adv_to_mark_l :
 507   ∀alpha,test.
 508   ∀t.Terminate alpha (adv_to_mark_l alpha test) t.
 509 #alpha #test #t
 510 @(terminate_while … (sem_atml_step alpha test))
 511   [ %
 512   | cases t
 513     [ % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * * #Hfalse destruct (Hfalse)
 514     |2,3: #a0 #al0 % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * * #Hfalse destruct (Hfalse)
 515     | #ls elim ls
 516       [#c #rs % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * *
 517        #H1 destruct (H1) #Hc0 #Ht1 normalize in Ht1;
 518        % #t2 * #ls1 * #c1 * #rs1 * * >Ht1
 519        normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 520       | #rs0 #r0 #IH #ls #c % #t1 * #ls0 * #c0 * #rs0 * *
 521         #H1 destruct (H1) #Hc0 #Ht1 normalize in Ht1;
 522         >Ht1 @IH
 523       ]
 524     ]
 525   ]
 526 qed.
 527
 528 lemma sem_adv_to_mark_l :
 529   ∀alpha,test.
 530   Realize alpha (adv_to_mark_l alpha test) (R_adv_to_mark_l alpha test).
 531 /2/
 532 qed.
 533
 534 (*
 535    ADVANCE BOTH MARKS machine
 536
 537    l1 does not contain marks ⇒
 538
 539
 540    input:
 541    l0 x* a l1 x0* a0 l2
 542               ^
 543
 544    output:
 545    l0 x a* l1 x0 a0* l2
 546         ^
 547 *)
 548
 549 definition adv_both_marks ≝ λalpha.
 550   adv_mark_r alpha · move_l ? ·
 551     adv_to_mark_l (FinProd alpha FinBool) (is_marked alpha) ·
 552       adv_mark_r alpha.
 553
 554 definition R_adv_both_marks ≝
 555   λalpha,t1,t2.
 556     ∀l0,x,a,l1,x0. (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 557     (∀l1',a0,l2. t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 558         (l1@〈x,true〉::l0) 〈x0,true〉 (〈a0,false〉::l2) →
 559      reverse ? (〈x0,false〉::l1) = 〈a,false〉::l1' →
 560      t2 = midtape ? (〈x,false〉::l0) 〈a,true〉 (l1'@〈a0,true〉::l2)) ∧
 561      (t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 562         (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,true〉 [ ] →
 563      t2 = rightof ? 〈x0,false〉 (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0)).
 564
 565 lemma sem_adv_both_marks :
 566   ∀alpha.Realize ? (adv_both_marks alpha) (R_adv_both_marks alpha).
 567 #alpha
 568 @(sem_seq_app … (sem_adv_mark_r …)
 569    (sem_seq ????? (sem_move_l …)
 570       (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 571         (sem_adv_mark_r alpha))) …)
 572 #intape #outtape * #tapea * #Hta * #tb * #Htb * #tc * #Htc #Hout
 573 #l0 #x #a #l1 #x0 #Hmarks %
 574   [#l1' #a0 #l2 #Hintape #Hrev @(proj1 ?? (proj1 ?? Hout … ) ? false) -Hout
 575    lapply (proj1 … (proj1 … Hta …) … Hintape) #Htapea
 576    lapply (proj2 … Htb  … Htapea) -Htb
 577    whd in match (mk_tape ????) ; #Htapeb
 578    lapply (proj2 ?? (proj2 ?? Htc … Htapeb) (refl …) … (refl …)) -Htc #Htc
 579    change with ((?::?)@?) in match (cons ???); <Hrev >reverse_cons
 580    >associative_append @Htc [%|@Hmarks]
 581   |#Hintape lapply (proj2 ?? (proj1 ?? Hta … ) … Hintape) -Hta #Hta
 582    lapply (proj1 … Htb) >Hta -Htb #Htb lapply (Htb (refl …)) -Htb #Htb
 583    lapply (proj1 ?? Htc) <Htb -Htc #Htc lapply (Htc (refl …)) -Htc #Htc
 584    @sym_eq >Htc @(proj2 ?? Hout …) <Htc %
 585   ]
 586 qed.
 587
 588 (*
 589 definition R_adv_both_marks ≝
 590   λalpha,t1,t2.
 591     ∀l0,x,a,l1,x0,a0,l2. (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 592     (t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 593         (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,true〉 (〈a0,false〉::l2) →
 594      t2 = midtape ? (〈x,false〉::l0) 〈a,true〉 (reverse ? l1@〈x0,false〉::〈a0,true〉::l2)) ∧
 595      (t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 596         (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,true〉 [] →
 597      t2 = rightof ? 〈x0,false〉 (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0)).
 598
 599 lemma sem_adv_both_marks :
 600   ∀alpha.Realize ? (adv_both_marks alpha) (R_adv_both_marks alpha).
 601 #alpha #intape
 602 cases (sem_seq ????? (sem_adv_mark_r …)
 603         (sem_seq ????? (sem_move_l …)
 604           (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 605             (sem_adv_mark_r alpha))) intape)
 606 #k * #outc * #Hloop whd in ⊢ (%→?);
 607 * #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hs1 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hs2
 608 * #tc * whd in ⊢ (%→%→?); #Hs3 #Hs4
 609 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) %
 610 [ @Hloop
 611 | -Hloop #l0 #x #a #l1 #x0 #a0 #l2 #Hl1 #Hintape
 612   @(Hs4 … false) -Hs4
 613   lapply (Hs1 … Hintape) #Hta
 614   lapply (proj2 … Hs2 … Hta) #Htb
 615   cases (Hs3 … Htb)
 616   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse)
 617   | * #_ -Hs3 #Hs3
 618     lapply (Hs3 (l1@[〈a,false〉]) 〈x,true〉 l0 ???)
 619     [ #x1 #Hx1 cases (memb_append … Hx1)
 620       [ @Hl1
 621       | #Hx1' >(memb_single … Hx1') % ]
 622     | %
 623     | >associative_append %
 624     | >reverse_append #Htc @Htc ]
 625   ]
 626 qed. *)
 627
 628 (*
 629    MATCH AND ADVANCE(f)
 630
 631    input:
 632    l0 x* a l1 x0* a0 l2
 633               ^
 634
 635    output:
 636    l0 x a* l1 x0 a0* l2   (f(x0) == true)
 637         ^
 638    l0 x* a l1 x0* a0 l2   (f(x0) == false)
 639               ^
 640 *)
 641
 642 definition match_and_adv ≝
 643   λalpha,f.ifTM ? (test_char ? f)
 644      (adv_both_marks alpha) (clear_mark ?) tc_true.
 645
 646 definition R_match_and_adv ≝
 647   λalpha,f,t1,t2.
 648     ∀l0,x,a,l1,x0,a0,l2. (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 649     t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 650         (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,true〉 (〈a0,false〉::l2) →
 651     (f 〈x0,true〉 = true ∧ t2 = midtape ? (〈x,false〉::l0) 〈a,true〉 (reverse ? l1@〈x0,false〉::〈a0,true〉::l2))
 652     ∨ (f 〈x0,true〉 = false ∧
 653     t2 = midtape ? (l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,false〉 (〈a0,false〉::l2)).
 654
 655 lemma sem_match_and_adv :
 656   ∀alpha,f.Realize ? (match_and_adv alpha f) (R_match_and_adv alpha f).
 657 #alpha #f #intape
 658 cases (sem_if ? (test_char ? f) … tc_true (sem_test_char ? f) (sem_adv_both_marks alpha) (sem_clear_mark ?) intape)
 659 #k * #outc * #Hloop #Hif @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc)
 660 % [ @Hloop ] -Hloop
 661 cases Hif
 662 [ * #ta * whd in ⊢ (%→%→?); #Hta #Houtc
 663   #l0 #x #a #l1 #x0 #a0 #l2 #Hl1 #Hintape >Hintape in Hta;
 664   * * #x1 * whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H) #Hf #Hta % %
 665   [ @Hf | >append_cons >append_cons in Hta; #Hta @(proj1 ?? (Houtc …) …Hta)
 666     [ #x #memx cases (memb_append …memx)
 667       [@Hl1 | -memx #memx >(memb_single … memx) %]
 668     |>reverse_cons >reverse_append % ] ]
 669 | * #ta * whd in ⊢ (%→%→?); #Hta #Houtc
 670   #l0 #x #a #l1 #x0 #a0 #l2 #Hl1 #Hintape >Hintape in Hta;
 671   * #Hf #Hta %2 % [ @Hf % | >(proj2 ?? Houtc … Hta) % ]
 672 ]
 673 qed.
 674
 675 (*
 676  if x = c
 677       then move_right; ----
 678            adv_to_mark_r;
 679            if current (* x0 *) = 0
 680               then advance_mark ----
 681                    adv_to_mark_l;
 682                    advance_mark
 683               else STOP
 684       else M
 685 *)
 686
 687 definition comp_step_subcase ≝ λalpha,c,elseM.
 688   ifTM ? (test_char ? (λx.x == c))
 689     (move_r … · adv_to_mark_r ? (is_marked alpha) · match_and_adv ? (λx.x == c))
 690     elseM tc_true.
 691
 692 definition R_comp_step_subcase ≝
 693   λalpha,c,RelseM,t1,t2.
 694     ∀l0,x,rs.t1 = midtape (FinProd … alpha FinBool) l0 〈x,true〉 rs →
 695     (〈x,true〉 = c ∧
 696      ∀a,l1,x0,a0,l2. (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 697      rs = 〈a,false〉::l1@〈x0,true〉::〈a0,false〉::l2 →
 698      ((x = x0 ∧
 699       t2 = midtape ? (〈x,false〉::l0) 〈a,true〉 (l1@〈x0,false〉::〈a0,true〉::l2)) ∨
 700       (x ≠ x0 ∧
 701       t2 = midtape (FinProd … alpha FinBool)
 702         (reverse ? l1@〈a,false〉::〈x,true〉::l0) 〈x0,false〉 (〈a0,false〉::l2)))) ∨
 703     (〈x,true〉 ≠ c ∧ RelseM t1 t2).
 704
 705 lemma sem_comp_step_subcase :
 706   ∀alpha,c,elseM,RelseM.
 707   Realize ? elseM RelseM →
 708   Realize ? (comp_step_subcase alpha c elseM)
 709     (R_comp_step_subcase alpha c RelseM).
 710 #alpha #c #elseM #RelseM #Helse #intape
 711 cases (sem_if ? (test_char ? (λx.x == c)) … tc_true
 712         (sem_test_char ? (λx.x == c))
 713         (sem_seq ????? (sem_move_r …)
 714           (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_r ? (is_marked alpha))
 715              (sem_match_and_adv ? (λx.x == c)))) Helse intape)
 716 #k * #outc * #Hloop #HR @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc)
 717 % [ @Hloop ] -Hloop cases HR -HR
 718 [ * #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 719   * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 720   #l0 #x #rs #Hintape cases (true_or_false (〈x,true〉==c)) #Hc
 721   [ % % [ @(\P Hc) ]
 722     #a #l1 #x0 #a0 #l2 #Hl1 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape
 723     >Hintape in Hta; * #_(* #x1 * whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H) #Hx *)
 724     #Hta lapply (proj2 … Htb … Hta) -Htb -Hta #Htb
 725     cases (Htc … Htb) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 726     -Htc * #_ #Htc lapply (Htc l1 〈x0,true〉 (〈a0,false〉::l2) (refl ??) (refl ??) Hl1)
 727     -Htc #Htc cases (Houtc ???????? Htc) -Houtc
 728     [ * #Hx0 #Houtc %
 729       % [ <(\P Hx0) in Hc; #Hx lapply (\P Hx) #Hx' destruct (Hx') %
 730         | >Houtc >reverse_reverse % ]
 731     | * #Hx0 #Houtc %2
 732       % [ <(\P Hc) in Hx0; #Hx0 lapply (\Pf Hx0) @not_to_not #Hx' >Hx' %
 733         | >Houtc % ]
 734     | #x #membx @Hl1 <(reverse_reverse …l1) @memb_reverse @membx ]
 735   | %2 % [ @(\Pf Hc) ]
 736     >Hintape in Hta; * * #x1 * whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 737     >Hc #H destruct (H) ]
 738 | * #ta * whd in ⊢ (%→?); * #Hc #Hta #Helse #ls #c0 #rs #Hintape %2
 739   >Hintape in Hta; #Hta % [ @(\Pf (Hc …)) >Hintape % | <Hta @Helse ]
 740 ]
 741 qed.
 742
 743 (*
 744 - se marcato, itero
 745 - se non è marcato
 746   + se è un bit, ho fallito il confronto della tupla corrente
 747   + se è un separatore, la tupla fa match
 748
 749
 750 ifTM ? (test_char ? is_marked)
 751   (single_finalTM … (comp_step_subcase unialpha 〈bit false,true〉
 752     (comp_step_subcase unialpha 〈bit true,true〉
 753       (clear_mark …))))
 754   (nop ?)
 755 *)
 756
 757 definition comp_step ≝
 758   ifTM ? (test_char ? (is_marked ?))
 759   (single_finalTM … (comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit false,true〉
 760     (comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit true,true〉
 761       (comp_step_subcase FSUnialpha 〈null,true〉
 762         (clear_mark …)))))
 763   (nop ?)
 764   tc_true.
 765
 766 definition R_comp_step_true ≝ λt1,t2.
 767   ∃l0,c,a,l1,c0,a0,l2.
 768     t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool)
 769           l0 〈c,true〉 (〈a,false〉::l1@〈c0,true〉::〈a0,false〉::l2) ∧
 770       (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) ∧
 771       (bit_or_null c = true → c0 = c →
 772         t2 = midtape ? (〈c,false〉::l0) 〈a,true〉 (l1@〈c0,false〉::〈a0,true〉::l2)) ∧
 773       (bit_or_null c = true → c0 ≠ c →
 774         t2 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool)
 775          (reverse ? l1@〈a,false〉::〈c,true〉::l0) 〈c0,false〉 (〈a0,false〉::l2)) ∧
 776       (bit_or_null c = false →
 777         t2 = midtape ? l0 〈c,false〉 (〈a,false〉::l1@〈c0,true〉::〈a0,false〉::l2)).
 778
 779 definition R_comp_step_false ≝
 780   λt1,t2.
 781    ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
 782    is_marked ? c = false ∧ t2 = t1.
 783
 784 (*
 785 lemma is_marked_to_exists: ∀alpha,c. is_marked alpha c = true →
 786  ∃c'. c = 〈c',true〉.
 787 #alpha * c *)
 788
 789 lemma sem_comp_step :
 790   accRealize ? comp_step (inr … (inl … (inr … start_nop)))
 791     R_comp_step_true R_comp_step_false.
 792 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (is_marked ?))
 793         (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit false,true〉 ??
 794           (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit true,true〉 ??
 795             (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈null,true〉 ??
 796               (sem_clear_mark …))))
 797         (sem_nop …) …)
 798 [#intape #outtape #midtape * * * #c #b * #Hcurrent
 799 whd in ⊢ ((??%?)→?); #Hb #Hmidtape >Hmidtape -Hmidtape
 800  cases (current_to_midtape … Hcurrent) #ls * #rs >Hb #Hintape >Hintape -Hb
 801  whd in ⊢ (%→?); #Htapea lapply (Htapea … (refl …)) -Htapea
 802  cases (true_or_false (c == bit false))
 803   [(* c = bit false *) #Hc * [2: * >(\P Hc) * #H @False_ind @H //]
 804    * #_ #a
 805
 806
 807 [ #Hstate lapply (H1 Hstate) -H1 -Hstate -H2 *
 808   #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hleft #Hright #ls #c #rs #Hintape
 809   >Hintape in Hleft; * *
 810   cases c in Hintape; #c' #b #Hintape #x * whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 811   whd in ⊢ (??%?→?); #Hb >Hb #Hta @(ex_intro ?? c') % //
 812   cases (Hright … Hta)
 813   [ * #Hc' #H1 % % [destruct (Hc') % ]
 814     #a #l1 #c0 #a0 #l2 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape #Hl1
 815     cases (H1 … Hl1 Hrs)
 816     [ * #Htmp >Htmp -Htmp #Houtc % % // @Houtc
 817     | * #Hneq #Houtc %2 %
 818       [ @sym_not_eq //
 819       | @Houtc ]
 820     ]
 821   | * #Hc #Helse1 cases (Helse1 … Hta)
 822     [ * #Hc' #H1 % % [destruct (Hc') % ]
 823       #a #l1 #c0 #a0 #l2 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape #Hl1
 824       cases (H1 … Hl1 Hrs)
 825       [ * #Htmp >Htmp -Htmp #Houtc % % // @Houtc
 826       | * #Hneq #Houtc %2 %
 827         [ @sym_not_eq //
 828         | @Houtc ]
 829       ]
 830     | * #Hc' #Helse2 cases (Helse2 … Hta)
 831       [ * #Hc'' #H1 % % [destruct (Hc'') % ]
 832         #a #l1 #c0 #a0 #l2 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape #Hl1
 833         cases (H1 … Hl1 Hrs)
 834         [ * #Htmp >Htmp -Htmp #Houtc % % // @Houtc
 835         | * #Hneq #Houtc %2 %
 836           [ @sym_not_eq //
 837           | @Houtc ]
 838         ]
 839       | * #Hc'' whd in ⊢ (%→?); #Helse3 %2 %
 840         [ generalize in match Hc''; generalize in match Hc'; generalize in match Hc;
 841           cases c'
 842           [ * [ #_ #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
 843               | #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) % ]
 844           | #_ #_ #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
 845           |*: #_ #_ #_ % ]
 846         | @(Helse3 … Hta)
 847         ]
 848       ]
 849     ]
 850   ]
 851 | #Hstate lapply (H2 Hstate) -H1 -Hstate -H2 *
 852   #ta * whd in ⊢ (%→%→?); #Hleft #Hright #ls #c #rs #Hintape
 853   >Hintape in Hleft; * #Hc #Hta % [@Hc % | >Hright //]
 854 ]
 855 qed.
 856 definition R_comp_step_true ≝
 857   λt1,t2.
 858     ∀l0,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) l0 c rs →
 859     ∃c'. c = 〈c',true〉 ∧
 860     ((bit_or_null c' = true ∧
 861      ∀a,l1,c0,a0,l2.
 862       rs = 〈a,false〉::l1@〈c0,true〉::〈a0,false〉::l2 →
 863       (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
 864       (c0 = c' ∧
 865        t2 = midtape ? (〈c',false〉::l0) 〈a,true〉 (l1@〈c0,false〉::〈a0,true〉::l2)) ∨
 866       (c0 ≠ c' ∧
 867        t2 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool)
 868         (reverse ? l1@〈a,false〉::〈c',true〉::l0) 〈c0,false〉 (〈a0,false〉::l2))) ∨
 869      (bit_or_null c' = false ∧ t2 = midtape ? l0 〈c',false〉 rs)).
 870
 871 definition R_comp_step_false ≝
 872   λt1,t2.
 873    ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
 874    is_marked ? c = false ∧ t2 = t1.
 875
 876 lemma sem_comp_step :
 877   accRealize ? comp_step (inr … (inl … (inr … start_nop)))
 878     R_comp_step_true R_comp_step_false.
 879 #intape
 880 cases (acc_sem_if … (sem_test_char ? (is_marked ?))
 881         (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit false,true〉 ??
 882           (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈bit true,true〉 ??
 883             (sem_comp_step_subcase FSUnialpha 〈null,true〉 ??
 884               (sem_clear_mark …))))
 885         (sem_nop …) intape)
 886 #k * #outc * * #Hloop #H1 #H2
 887 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) %
 888 [ % [@Hloop ] ] -Hloop
 889 [ #Hstate lapply (H1 Hstate) -H1 -Hstate -H2 *
 890   #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hleft #Hright #ls #c #rs #Hintape
 891   >Hintape in Hleft; * *
 892   cases c in Hintape; #c' #b #Hintape #x * whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H)
 893   whd in ⊢ (??%?→?); #Hb >Hb #Hta @(ex_intro ?? c') % //
 894   cases (Hright … Hta)
 895   [ * #Hc' #H1 % % [destruct (Hc') % ]
 896     #a #l1 #c0 #a0 #l2 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape #Hl1
 897     cases (H1 … Hl1 Hrs)
 898     [ * #Htmp >Htmp -Htmp #Houtc % % // @Houtc
 899     | * #Hneq #Houtc %2 %
 900       [ @sym_not_eq //
 901       | @Houtc ]
 902     ]
 903   | * #Hc #Helse1 cases (Helse1 … Hta)
 904     [ * #Hc' #H1 % % [destruct (Hc') % ]
 905       #a #l1 #c0 #a0 #l2 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape #Hl1
 906       cases (H1 … Hl1 Hrs)
 907       [ * #Htmp >Htmp -Htmp #Houtc % % // @Houtc
 908       | * #Hneq #Houtc %2 %
 909         [ @sym_not_eq //
 910         | @Houtc ]
 911       ]
 912     | * #Hc' #Helse2 cases (Helse2 … Hta)
 913       [ * #Hc'' #H1 % % [destruct (Hc'') % ]
 914         #a #l1 #c0 #a0 #l2 #Hrs >Hrs in Hintape; #Hintape #Hl1
 915         cases (H1 … Hl1 Hrs)
 916         [ * #Htmp >Htmp -Htmp #Houtc % % // @Houtc
 917         | * #Hneq #Houtc %2 %
 918           [ @sym_not_eq //
 919           | @Houtc ]
 920         ]
 921       | * #Hc'' whd in ⊢ (%→?); #Helse3 %2 %
 922         [ generalize in match Hc''; generalize in match Hc'; generalize in match Hc;
 923           cases c'
 924           [ * [ #_ #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
 925               | #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) % ]
 926           | #_ #_ #Hfalse @False_ind @(absurd ?? Hfalse) %
 927           |*: #_ #_ #_ % ]
 928         | @(Helse3 … Hta)
 929         ]
 930       ]
 931     ]
 932   ]
 933 | #Hstate lapply (H2 Hstate) -H1 -Hstate -H2 *
 934   #ta * whd in ⊢ (%→%→?); #Hleft #Hright #ls #c #rs #Hintape
 935   >Hintape in Hleft; * #Hc #Hta % [@Hc % | >Hright //]
 936 ]
 937 qed.
 938
 939 definition compare ≝
 940   whileTM ? comp_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
 941
 942 (*
 943 definition R_compare :=
 944   λt1,t2.
 945   (t
 946
 947   ∀ls,c,b,rs.t1 = midtape ? ls 〈c,b〉 rs →
 948   (b = true → rs = ....) →
 949   (b = false ∧ ....) ∨
 950   (b = true ∧
 951
 952    rs = cs@l1@〈c0,true〉::cs0@l2
 953    (
 954
 955
 956   ls 〈c,b〉 cs l1 〈c0,b0〉 cs0 l2
 957
 958
 959 ACCETTAZIONE:
 960   ls (hd (Ls@〈grid,false〉))* (tail (Ls@〈grid,false〉)) l1 (hd (Ls@〈comma,false〉))* (tail (Ls@〈comma,false〉)) l2
 961      ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
 962
 963   ls Ls 〈grid,false〉 l1 Ls 〈comma,true〉 l2
 964         ^^^^^^^^^^^^
 965
 966 RIFIUTO: c ≠ d
 967
 968   ls (hd (Ls@〈c,false〉))* (tail (Ls@〈c,false〉)) l1 (hd (Ls@〈d,false〉))* (tail (Ls@〈d,false〉)) l2
 969      ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
 970
 971
 972   ls Ls 〈c,true〉 l1 Ls 〈d,false〉 l2
 973                        ^^^^^^^^
 974
 975   ).
 976
 977   |bs| = |b0s| →
 978   (∃la,d.〈b,true〉::bs = la@[〈grid,d〉] ∧ ∀x.memb ? x la → is_bit (\fst x) = true) →
 979   (∃lb,d0.〈b0,true〉::b0s = lb@[〈comma,d0〉] ∧ ∀x.memb ? x lb → is_bit (\fst x) = true) →
 980   t1 = midtape ? l0 〈b,true〉 (bs@l1@〈b0,true〉::b0s@l2 →
 981
 982   mk_tape left (option current) right
 983
 984   (b = grid ∧ b0 = comma ∧ bs = [] ∧ b0s = [] ∧
 985    t2 = midtape ? l0 〈grid,false〉 (l1@〈comma,true〉::l2)) ∨
 986   (b = bit x ∧ b = c ∧ bs = b0s
 987   *)
 988 definition R_compare :=
 989   λt1,t2.
 990   ∀ls,c,rs.t1 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls c rs →
 991   (∀c'.bit_or_null c' = false → c = 〈c',true〉 → t2 = midtape ? ls 〈c',false〉 rs) ∧
 992   (∀c'. c = 〈c',false〉 → t2 = t1) ∧
 993   ∀b,b0,bs,b0s,l1,l2.
 994   |bs| = |b0s| →
 995   (∀c.memb (FinProd … FSUnialpha FinBool) c bs = true → bit_or_null (\fst c) = true) →
 996   (∀c.memb (FinProd … FSUnialpha FinBool) c b0s = true → bit_or_null (\fst c) = true) →
 997   (∀c.memb ? c bs = true → is_marked ? c = false) →
 998   (∀c.memb ? c b0s = true → is_marked ? c = false) →
 999   (∀c.memb ? c l1 = true → is_marked ? c = false) →
1000   c = 〈b,true〉 → bit_or_null b = true →
1001   rs = bs@〈grid,false〉::l1@〈b0,true〉::b0s@〈comma,false〉::l2 →
1002   (〈b,true〉::bs = 〈b0,true〉::b0s ∧
1003    t2 = midtape ? (reverse ? bs@〈b,false〉::ls)
1004           〈grid,false〉 (l1@〈b0,false〉::b0s@〈comma,true〉::l2)) ∨
1005   (∃la,c',d',lb,lc.c' ≠ d' ∧
1006     〈b,false〉::bs = la@〈c',false〉::lb ∧
1007     〈b0,false〉::b0s = la@〈d',false〉::lc ∧
1008     t2 = midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) (reverse ? la@
1009                     reverse ? l1@
1010                     〈grid,false〉::
1011                     reverse ? lb@
1012                     〈c',true〉::
1013                     reverse ? la@ls)
1014                     〈d',false〉 (lc@〈comma,false〉::l2)).
1015
1016 lemma wsem_compare : WRealize ? compare R_compare.
1017 #t #i #outc #Hloop
1018 lapply (sem_while ?????? sem_comp_step t i outc Hloop) [%]
1019 -Hloop * #t1 * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
1020 [ #tapea whd in ⊢ (%→?); #Rfalse #ls #c #rs #Htapea %
1021   [ %
1022     [ #c' #Hc' #Hc lapply (Rfalse … Htapea) -Rfalse * >Hc
1023       whd in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
1024     | #c' #Hc lapply (Rfalse … Htapea) -Rfalse * #_
1025       #Htrue @Htrue ]
1026   | #b #b0 #bs #b0s #l1 #l2 #Hlen #Hbs1 #Hb0s1 #Hbs2 #Hb0s2 #Hl1 #Hc
1027     cases (Rfalse … Htapea) -Rfalse >Hc whd in ⊢ (??%?→?);#Hfalse destruct (Hfalse)
1028   ]
1029 | #tapea #tapeb #tapec #Hleft #Hright #IH #Htapec lapply (IH Htapec) -Htapec -IH #IH
1030   whd in Hleft; #ls #c #rs #Htapea cases (Hleft … Htapea) -Hleft
1031   #c' * #Hc >Hc cases (true_or_false (bit_or_null c')) #Hc'
1032   [2: *
1033     [ * >Hc' #H @False_ind destruct (H)
1034     | * #_ #Htapeb cases (IH … Htapeb) * #_ #H #_ %
1035       [%
1036         [#c1 #Hc1 #Heqc destruct (Heqc) <Htapeb @(H c1) %
1037         |#c1 #Hfalse destruct (Hfalse)
1038         ]
1039       |#b #b0 #bs #b0s #l1 #l2 #_ #_ #_ #_ #_ #_
1040        #Heq destruct (Heq) >Hc' #Hfalse @False_ind destruct (Hfalse)
1041       ]
1042     ]
1043  |#Hleft %
1044     [ %
1045       [ #c'' #Hc'' #Heq destruct (Heq) >Hc'' in Hc'; #H destruct (H)
1046       | #c0 #Hfalse destruct (Hfalse)
1047       ]
1048     |#b #b0 #bs #b0s #l1 #l2 #Hlen #Hbs1 #Hb0s1 #Hbs2 #Hb0s2 #Hl1
1049      #Heq destruct (Heq) #_ #Hrs cases Hleft -Hleft
1050       [2: * >Hc' #Hfalse @False_ind destruct ] * #_
1051        @(list_cases2 … Hlen)
1052        [ #Hbs #Hb0s generalize in match Hrs; >Hbs in ⊢ (%→?); >Hb0s in ⊢ (%→?);
1053        -Hrs #Hrs normalize in Hrs; #Hleft cases (Hleft ????? Hrs ?) -Hleft
1054          [ * #Heqb #Htapeb cases (IH … Htapeb) -IH * #IH #_ #_
1055           % %
1056             [ >Heqb >Hbs >Hb0s %
1057             | >Hbs >Hb0s @IH %
1058             ]
1059          |* #Hneqb #Htapeb %2
1060           @(ex_intro … [ ]) @(ex_intro … b)
1061           @(ex_intro … b0) @(ex_intro … [ ])
1062           @(ex_intro … [ ]) %
1063             [ % [ % [@sym_not_eq //| >Hbs %] | >Hb0s %]
1064             | cases (IH … Htapeb) -IH * #_ #IH #_ >(IH ? (refl ??))
1065               @Htapeb
1066             ]
1067          | @Hl1 ]
1068       | * #b' #bitb' * #b0' #bitb0' #bs' #b0s' #Hbs #Hb0s
1069         generalize in match Hrs; >Hbs in ⊢ (%→?); >Hb0s in ⊢ (%→?);
1070         cut (bit_or_null b' = true ∧ bit_or_null b0' = true ∧
1071              bitb' = false ∧ bitb0' = false)
1072         [ % [ % [ % [ >Hbs in Hbs1; #Hbs1 @(Hbs1 〈b',bitb'〉) @memb_hd
1073             | >Hb0s in Hb0s1; #Hb0s1 @(Hb0s1 〈b0',bitb0'〉) @memb_hd ]
1074             | >Hbs in Hbs2; #Hbs2 @(Hbs2 〈b',bitb'〉) @memb_hd ]
1075             | >Hb0s in Hb0s2; #Hb0s2 @(Hb0s2 〈b0',bitb0'〉) @memb_hd ]
1076         | * * * #Ha #Hb #Hc #Hd >Hc >Hd
1077           #Hrs #Hleft
1078           cases (Hleft b' (bs'@〈grid,false〉::l1) b0 b0'
1079                          (b0s'@〈comma,false〉::l2) ??) -Hleft
1080           [ 3: >Hrs normalize @eq_f >associative_append %
1081           | * #Hb0 #Htapeb cases (IH …Htapeb) -IH * #_ #_ #IH
1082             cases (IH b' b0' bs' b0s' (l1@[〈b0,false〉]) l2 ??????? Ha ?) -IH
1083             [ * #Heq #Houtc % %
1084               [ >Hb0 @eq_f >Hbs in Heq; >Hb0s in ⊢ (%→?); #Heq
1085                 destruct (Heq) >Hb0s >Hc >Hd %
1086               | >Houtc >Hbs >Hb0s >Hc >Hd >reverse_cons >associative_append
1087                 >associative_append %
1088               ]
1089             | * #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #H4 %2
1090               @(ex_intro … (〈b,false〉::la)) @(ex_intro … c') @(ex_intro … d')
1091               @(ex_intro … lb) @(ex_intro … lc)
1092               % [ % [ % // >Hbs >Hc >H2 % | >Hb0s >Hd >H3 >Hb0 % ]
1093                 | >H4 >Hbs >Hb0s >Hc >Hd >Hb0 >reverse_append
1094                   >reverse_cons >reverse_cons
1095                   >associative_append >associative_append
1096                   >associative_append >associative_append %
1097                 ]
1098             | generalize in match Hlen; >Hbs >Hb0s
1099               normalize #Hlen destruct (Hlen) @e0
1100             | #c0 #Hc0 @Hbs1 >Hbs @memb_cons //
1101             | #c0 #Hc0 @Hb0s1 >Hb0s @memb_cons //
1102             | #c0 #Hc0 @Hbs2 >Hbs @memb_cons //
1103             | #c0 #Hc0 @Hb0s2 >Hb0s @memb_cons //
1104             | #c0 #Hc0 cases (memb_append … Hc0)
1105               [ @Hl1 | #Hc0' >(memb_single … Hc0') % ]
1106             | %
1107             | >associative_append >associative_append % ]
1108          | * #Hneq #Htapeb %2
1109             @(ex_intro … []) @(ex_intro … b) @(ex_intro … b0)
1110             @(ex_intro … bs) @(ex_intro … b0s) %
1111            [ % // % // @sym_not_eq //
1112            | >Hbs >Hb0s >Hc >Hd >reverse_cons >associative_append
1113              >reverse_append in Htapeb; >reverse_cons
1114              >associative_append >associative_append
1115              #Htapeb <Htapeb
1116              cases (IH … Htapeb) -Htapeb -IH * #_ #IH #_ @(IH ? (refl ??))
1117            ]
1118          | #c1 #Hc1 cases (memb_append … Hc1) #Hyp
1119            [ @Hbs2 >Hbs @memb_cons @Hyp
1120            | cases (orb_true_l … Hyp)
1121              [ #Hyp2 >(\P Hyp2) %
1122              | @Hl1
1123              ]
1124            ]
1125          ]
1126 ]]]]]
1127 qed.
1128
1129 axiom sem_compare : Realize ? compare R_compare.