matita/matita/lib/turing/universal/match_machines.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 include "turing/universal/tuples.ma".
  14 include "turing/universal/marks.ma".
  15
  16 (*
  17 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
  18    ^                               ^
  19
  20 if current (* x *) = #
  21    then
  22    else if x = 0
  23       then move_right; ----
  24            adv_to_mark_r;
  25            if current (* x0 *) = 0
  26               then advance_mark ----
  27                    adv_to_mark_l;
  28                    advance_mark
  29               else STOP
  30       else x = 1 (* analogo *)
  31
  32 *)
  33
  34
  35 (*
  36    MARK NEXT TUPLE machine
  37    (partially axiomatized)
  38
  39    marks the first character after the first bar (rightwards)
  40  *)
  41
  42 definition mark_next_tuple ≝
  43   adv_to_mark_r ? bar_or_grid ·
  44      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
  45        (move_right_and_mark ?) (nop ?) tc_true).
  46
  47 definition R_mark_next_tuple ≝
  48   λt1,t2.
  49     ∀ls,c,rs1,rs2.
  50     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
  51     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
  52     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
  53     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
  54       no_bars rs3 ∧
  55       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
  56       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
  57     ∨
  58     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
  59
  60 axiom daemon :∀P:Prop.P.
  61
  62 axiom tech_split :
  63   ∀A:DeqSet.∀f,l.
  64    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
  65    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
  66 (*#A #f #l elim l
  67 [ % #x normalize #Hfalse *)
  68
  69 theorem sem_mark_next_tuple :
  70   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
  71 #intape
  72 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
  73          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) tc_true) ????)
  74 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
  75 | //
  76 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
  77    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
  78    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
  79    -Hloop
  80    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
  81    cases (proj2 ?? Hleft … Hrs)
  82    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
  83    | * * #_ #Hta #_ cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
  84      [ #H1 %2 % [@H1]
  85       lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
  86        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
  87        | %
  88        | -Hta #Hta cases Hright
  89          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); * * #c1 * >Hta
  90           whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct
  91          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htb >Htb >Hta
  92            whd in ⊢ (%→?); #H @H
  93          ]
  94        ]
  95     |* #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
  96      % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
  97      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
  98       [#x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
  99        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 100        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 101       |whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 102       |>Hsplit >associative_append %
 103       ]-Hta #Hta
 104      cases Hright -Hright
 105       [* whd in ⊢ (%→?); #tb * * * #c1 * >Hta -Hta
 106        whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) #Hc1 #Htb
 107        whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 108        cut (c1=〈bar,false〉)
 109         [lapply Hc1 lapply Hsplit cases c1 #c1l #c1r #Hsplit
 110          cases c1l normalize
 111           [#b #H destruct |2,3,5:#H destruct]
 112            #_ @eq_f @(Hrs1 … 〈c1l,c1r〉) >Hsplit @memb_append_l2 @memb_hd]
 113        #Hcut lapply Hsplit -Hsplit
 114        cases rs4 in Htb;
 115         [#Htb lapply(Houtc … Htb) -Houtc #Houtc #Hsplit
 116          @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false) %
 117           [% [ % [<Hcut @Hsplit |@Hrs3 ] | % ]
 118           |>Houtc >Hcut %
 119           ]
 120         |* #r5l #r5r #rs5 #Htb
 121          lapply(Houtc … Htb) -Houtc #Houtc #Hsplit
 122          @(ex_intro ?? r5l) @(ex_intro ?? r5r) %
 123           [%[%[<Hcut @Hsplit| @Hrs3] | % ]
 124           |>Houtc >Hcut %
 125           ]
 126         ]
 127       |* whd in ⊢ (%→?); #tb * *
 128        #H @False_ind >Hta in H; #H lapply(H c0 (refl …))
 129        >Hc0 #H destruct
 130       ]
 131     ]
 132   ]
 133 ]
 134 qed.
 135
 136 definition init_current_on_match ≝
 137   move_l ? · adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)) · move_r ? · mark ?.
 138
 139 definition R_init_current_on_match ≝ λt1,t2.
 140   ∀l1,l2,c,rs. no_grids l1 → is_grid c = false →
 141   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::l2)  〈grid,false〉 rs →
 142   t2 = midtape STape (〈grid,false〉::l2) 〈c,true〉 ((reverse ? l1)@〈grid,false〉::rs).
 143
 144 lemma sem_init_current_on_match :
 145   Realize ? init_current_on_match R_init_current_on_match.
 146 #intape
 147 cases (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 148         (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 149            (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))) intape)
 150 #k * #outc * #Hloop #HR
 151 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 152 #l1 #l2 #c #rs #Hl1 #Hc #Hintape
 153 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 154 generalize in match Hl1; cases l1
 155   [#Hl1 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 156    * #tb * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htb cases (Htb … Hta) -Htb -Hta #_
 157    (* [* >Hc #Htemp destruct (Htemp) ] *)
 158    #Htb cases (Htb … Hc) -Htb #Htb #_
 159    lapply (Htb [ ] 〈grid,false〉 ? (refl ??) (refl …) Hl1)
 160    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); -Htb #Htb
 161    * #tc * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc
 162    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 163    whd in ⊢ (%→?); * #Houtc #_ lapply (Houtc … Htc) -Houtc #Houtc
 164    >Houtc %
 165   |#d #tl #Htl whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 166    * #tb * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htb cases (Htb … Hta) -Htb
 167    #_ (* [* >(Htl … (memb_hd …)) #Htemp destruct (Htemp)]  *)
 168    #Htb cases (Htb ?) -Htb [2: @Htl @memb_hd]
 169    >append_cons #Htb #_ lapply (Htb … (refl ??) (refl …) ?)
 170     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 171       [@Htl @memb_cons @membx | >(memb_single … membx) @Hc]]-Htb  #Htb
 172    * #tc * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc
 173    >reverse_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 174    whd in ⊢ (%→?); * #Houtc #_ lapply (Houtc … Htc) -Houtc #Houtc
 175    >Houtc >reverse_cons >associative_append %
 176   ]
 177 qed.
 178
 179 (*
 180 definition init_current_gen ≝
 181   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 182     (seq ? (clear_mark ?)
 183        (seq ? (move_l ?)
 184          (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 185             (seq ? (move_r ?) (mark ?))))).
 186
 187 definition R_init_current_gen ≝ λt1,t2.
 188   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 →
 189   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 190   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 191   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 192         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 193
 194 lemma sem_init_current_gen : Realize ? init_current_gen R_init_current_gen.
 195 #intape
 196 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 197         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 198           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 199             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 200               (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))))) intape)
 201 #k * #outc * #Hloop #HR
 202 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 203 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hintape
 204 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta cases (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 205   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 206 * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%] -Hta #Hta
 207 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb -Hta #Htb
 208 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 209 generalize in match Hc; generalize in match Hl2; cases l2
 210   [#_ whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 211    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 212    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 213     [2: * whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp) ]
 214    * #_ #Htd >Htd in Htc; -Htd #Htd
 215    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 216    >reverse_append >reverse_cons
 217    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 218    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 219    >Houtc %
 220   |#d #tl #Htl #Hc0 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 221    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 222     [* >(Htl … (memb_hd …)) whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 223    * #Hd #Htd lapply (Htd … (refl ??) (refl ??) ?)
 224     [#x #membx @Htl @memb_cons @membx] -Htd #Htd
 225    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 226    >reverse_append >reverse_cons >reverse_cons
 227    >reverse_cons in Hc0; >reverse_cons cases (reverse ? tl)
 228      [normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0) #Hte
 229       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 230       >Houtc %
 231      |* #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 232       whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 233       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 234       >Houtc >associative_append >associative_append >associative_append %
 235      ]
 236    ]
 237 qed.
 238 *)
 239
 240 definition init_current ≝
 241   adv_to_mark_l ? (is_marked ?) ·clear_mark ? ·
 242     adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)) · move_r ? · mark ?.
 243
 244 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 245   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 246   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 247   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 248   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 249         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 250
 251 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 252 #intape
 253 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 254         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 255            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 256              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 257 #k * #outc * #Hloop #HR
 258 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 259 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Hta
 260 * #tb * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htb
 261 * #tc * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htc
 262 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); * #_ #Htd * #Houtc #_
 263 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 264 cases (Hta … Hintape) #_ -Hta #Hta cases (Hta (refl …)) -Hta
 265 #Hta #_ lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 266 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) #_ #Htc
 267 cases (Htc Hc) -Htc #Htc #_ lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 268 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 269 >reverse_append >reverse_cons
 270 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 271 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 272   #Htd >(Houtc … Htd) %
 273 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 274   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 275   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 276   >associative_append >associative_append %
 277 ]
 278 qed.
 279
 280 definition match_tuple_step ≝
 281   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 282    (single_finalTM ?
 283      (compare ·
 284       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 285         (nop ?)
 286         (mark_next_tuple ·
 287            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 288              (mark ?) (move_l ? · init_current) tc_true)) tc_true)))
 289     (nop ?) tc_true.
 290
 291 (* universal version
 292 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 293   ∀ls,cur,rs.t1 = midtape STape ls cur rs →
 294   \fst cur ≠ grid ∧
 295   (∀ls0,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs0,n.
 296    only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) →
 297    bit_or_null c = true → bit_or_null c1 = true →
 298    only_bits_or_nulls l3 → S n = |l1| → |l1| = |l3| →
 299    table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 300    ls = 〈grid,false〉::ls0 → cur = 〈c,true〉 →
 301    rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs0 →
 302    (* facciamo match *)
 303    (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 304    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 305          (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs0))
 306    ∨
 307    (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 308    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 309     ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
 310     (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 311     t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈c,true〉
 312           (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
 313            l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs0))
 314    ∨
 315    (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 316       non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 317       non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 318    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 319 *)
 320
 321 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 322   ∃ls,cur,rs.t1 = midtape STape ls cur rs \wedge
 323   \fst cur ≠ grid ∧
 324   (∀ls0,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs0,n.
 325    only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) →
 326    bit_or_null c = true → bit_or_null c1 = true →
 327    only_bits_or_nulls l3 → S n = |l1| → |l1| = |l3| →
 328    table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 329    ls = 〈grid,false〉::ls0 → cur = 〈c,true〉 →
 330    rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs0 →
 331    (* facciamo match *)
 332    (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 333    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 334          (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs0))
 335    ∨
 336    (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 337    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 338     ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
 339     (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 340     t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈c,true〉
 341           (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
 342            l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs0))
 343    ∨
 344    (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 345       non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 346       non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 347    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 348
 349 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 350   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 351
 352 include alias "basics/logic.ma".
 353
 354 (*
 355 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 356   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 357     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 358 //
 359 qed-. *)
 360
 361 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 362   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 363 #A #l #a cases l normalize /2/
 364 qed.
 365
 366 axiom tech_split2 : ∀A,l1,l2,l3,l4,x.
 367   memb A x l1 = false → memb ? x l3 = false →
 368   l1@x::l2 = l3@x::l4 → l1 = l3 ∧ l2 = l4.
 369
 370 axiom injective_append : ∀A,l.injective … (λx.append A x l).
 371
 372 lemma sem_match_tuple_step:
 373     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … start_nop)))
 374     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 375 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 376   (sem_seq … sem_compare
 377     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 378       (sem_nop …)
 379         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 380            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 381              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 382   (sem_nop ?) …)
 383 [(* is_grid: termination case *)
 384  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); * #Hc #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1 %
 385   [lapply(Hc c ?) [>Ht1 %] #Hgrid @injective_notb @Hgrid |>H1 @H]
 386 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Hcur
 387  * #tapec * whd in ⊢ (%→?); #Hcompare #Hor
 388  cases Hcur * #c * -Hcur #Hcur #Hgrid #Htapeb cases (current_to_midtape … Hcur)
 389  #ls * #rs #Htapea @(ex_intro … ls) @(ex_intro … c) @(ex_intro … rs) %
 390   [%[@Htapea | cases (true_or_false (\fst c == grid))
 391     [#eqc @False_ind >(\P eqc) in Hgrid; normalize #H destruct |#eqc @(\Pf eqc)]]]
 392  #ls0 #cur #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs0 #n #Hl1bitnull #Hl1marks #Hc #Hc1 #Hl3 #eqn
 393  #eqlen #Htable #Hls -Hcur #Hcur #Hrs >Htapea in Htapeb; >Hls >Hcur >Hrs #Htapeb
 394  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 395  cases (Hcompare cur c1 l1 l3 l2 (l4@〈grid,false〉::rs0) eqlen Hl1bitnull Hl3 Hl1marks … (refl …) Hc ?)
 396  -Hcompare
 397    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % % [%]
 398     >Htapec in Hor; -Htapec *
 399      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); * #H #_ @False_ind
 400       lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 401      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); * #_
 402       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped
 403       %
 404      ]
 405    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 406     cut (〈cur,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 407       [>H2 >H3 elim la
 408         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct (H) %
 409         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 410         ]
 411       ] #Hnoteq
 412     cut (bit_or_null d' = true)
 413       [cases la in H3;
 414         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 415         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 416          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 417         ]
 418       ] #Hd'
 419     >Htapec in Hor; -Htapec *
 420      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); * * #c0 * normalize in ⊢ (%→?);
 421       #Hdes destruct (Hdes) >(bit_or_null_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 422      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); * #_ (* * #_ #H cases (H … (refl …)) -H #_ *)
 423       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 424       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 425       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 426        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 427          [(* rs4 is empty : the case is absurd since the tape
 428             cannot end with a bar *)
 429           * #d * #b * * * #Heq1 @False_ind
 430           cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 431           >Hcut in Htable; >H3 >associative_append
 432           normalize >Heq1 <associative_append >Hcut
 433           <associative_append #Htable @(absurd … Htable)
 434           @last_of_table
 435          |(* rs4 not empty *)
 436           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 437           cut (memb STape 〈d2,b2〉 (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) = true)
 438             [@memb_append_l2
 439              cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 440              >Hcut >H3 >associative_append @memb_append_l2
 441              @memb_cons >Heq1 @memb_append_l2 @memb_cons @memb_hd] #d2intable
 442           cut (is_grid d2 = false)
 443             [@(no_grids_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hd2
 444           cut (b2 = false)
 445             [@(no_marks_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hb2
 446           >Hb2 in Heq1; #Heq1 -Hb2 -b2
 447           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 448            [(* we know current is not grid *)
 449             * #tapef * whd in ⊢ (%→?); * * #c0 *
 450             normalize in ⊢ (%→?); #Hdes destruct (Hdes) >Hd2
 451             #Htemp destruct (Htemp)
 452            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htapef
 453             * #tapeg >Htapef -Htapef *
 454             (* move_l *)
 455             whd in ⊢ (%→?); * #_ #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 456             >Htapeg -Htapeg
 457             (* init_current *)
 458              whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 459              cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 460              * #c00 #b00 #Hoption
 461              lapply
 462               (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? l2@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 463               c' (reverse ? la) false ls0 bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0) c00 b00 ?????) -Htapeout
 464                [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 465                 >associative_append
 466                  generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls0); #l
 467                 whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 468                |>reverse_cons @Hoption
 469                |cases la in H2;
 470                  [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 471                   @bit_or_null_not_grid @Hc
 472                  |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 473                   @bit_or_null_not_grid @(Hl1bitnull 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 474                  ]
 475                |cut (only_bits_or_nulls (la@(〈c',false〉::lb)))
 476                  [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 477                    [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1bitnull]
 478                  |#Hl1' #x #Hx @bit_or_null_not_grid @Hl1'
 479                   @memb_append_l1 @daemon
 480                  ]
 481                |@daemon] #Htapeout % %2 % //
 482             @(ex_intro … d2)
 483             cut (∃rs32.rs3 = lc@〈comma,false〉::rs32)
 484                  [ (*cases (tech_split STape (λc.c == 〈bar,false〉) l4)
 485                   [
 486                   | * #l41 * * #cbar #bfalse * #l42 * * #Hbar #Hl4 #Hl41
 487                     @(ex_intro ?? l41) >Hl4 in Heq1; #Heq1
 488
 489                 cut (sublist … lc l3)
 490                   [ #x #Hx cases la in H3;
 491                     [ normalize #H3 destruct (H3) @Hx
 492                     | #p #la' normalize #Hla' destruct (Hla')
 493                       @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ] ] #Hsublist*)
 494                 @daemon]
 495                 * #rs32 #Hrs3
 496                 (* cut
 497                 (〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4= la@〈d',false〉::rs3@〈bar,false〉::〈d2,b2〉::rs3')
 498                 [@daemon] #Hcut *)
 499                 cut (l4=rs32@〈bar,false〉::〈d2,false〉::rs3')
 500                 [ >Hrs3 in Heq1; @daemon ] #Hl4
 501                 @(ex_intro … rs32) @(ex_intro … rs3') % [@Hl4]
 502                 >Htapeout @eq_f2
 503                    [(* by Hoption, H2 *) @daemon
 504                    |(*>Hrs3 *)>append_cons
 505                     > (?:l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs
 506                         = (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@[〈bar,false〉])@〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs)
 507                     [|>associative_append normalize
 508                       >associative_append normalize
 509                       >associative_append normalize
 510                       >associative_append normalize
 511                        % ]
 512                     >reverse_append >reverse_append >reverse_cons
 513                     >reverse_reverse >reverse_cons >reverse_reverse
 514                     >reverse_append >reverse_append >reverse_cons
 515                     >reverse_reverse >reverse_reverse >reverse_reverse
 516                     >(?:(la@[〈c',false〉])@((((lb@[〈grid,false〉])@l2)@la)@[〈d',false〉])@rs3
 517                        =((la@〈c',false〉::lb)@([〈grid,false〉]@l2@la@[〈d',false〉]@rs3)))
 518                     [|>associative_append >associative_append
 519                       >associative_append >associative_append >associative_append
 520                       >associative_append % ]
 521                     <H2 normalize in ⊢ (??%?); >Hrs3
 522                     >associative_append >associative_append normalize
 523                     >associative_append >associative_append
 524                     @eq_f @eq_f @eq_f
 525                     >(?:la@(〈d',false〉::lc@〈comma,false〉::rs32)@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0 =
 526                         (la@〈d',false〉::lc)@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0 )
 527                     [| >associative_append normalize >associative_append % ]
 528                     <H3 %
 529                    ]
 530                  ]
 531               ]
 532        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 533          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); * #_
 534           #Htapef >Htapef -Htapef
 535           whd in ⊢ (%→?); * #Htapeout #_ %2 %
 536           [% [//] whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 537           | >(Htapeout … (refl …)) % ]
 538          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?);
 539           * #Hc0 lapply(Hc0 … (refl … )) normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 540          ]
 541        |(* no marks in table *)
 542         #x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 543         @memb_append_l2
 544         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 545         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 546        |(* no grids in table *)
 547         #x #membx @(no_grids_in_table … Htable)
 548         @memb_append_l2
 549         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 550         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 551        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_or_null_not_grid … Hd') >(bit_or_null_not_bar … Hd') %
 552        ]
 553      ]
 554    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 555     @memb_append_l2 @memb_cons @memb_append_l1 @membx
 556    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 557     @memb_append_l1 @membx
 558    |%
 559    ]
 560  ]
 561 qed.
 562
 563 (*
 564   MATCH TUPLE
 565
 566   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 567   current configuration is found
 568 *)
 569
 570 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
 571
 572 lemma is_grid_true : ∀c.is_grid c = true → c = grid.
 573 * normalize [ #b ] #H // destruct (H)
 574 qed.
 575
 576 (* possible variante ?
 577 definition weakR_match_tuple ≝ λt1,t2.
 578   (∀ls,cur,rs,b. t1 = midtape STape ls 〈grid,b〉 rs → t2 = t1) ∧
 579   (∀c,l1,c1,l2,l3,ls0,rs0,n.
 580   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈bit c,true〉 rs
 581     (l1@〈grid,false〉::l2@〈bit c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0) →
 582   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 583   table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3) →
 584   (* facciamo match *)
 585   (∃l4,newc,mv,l5.
 586    〈c1,false〉::l3 = l4@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5 ∧
 587    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 588         (l2@l4@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5@
 589         〈grid,false〉::rs0))
 590   ∨
 591   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 592      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 593      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 594   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 595    ∀l4,newc,mv,l5.
 596    〈c1,false〉::l3 ≠ l4@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5)).
 597 *)
 598
 599 definition R_match_tuple0 ≝ λt1,t2.
 600   ∀ls,cur,rs.
 601   t1 = midtape STape ls cur rs →
 602   (is_grid (\fst cur) = true → t2 = t1) ∧
 603   (∀c,l1,c1,l2,l3,ls0,rs0,n.
 604   ls = 〈grid,false〉::ls0 →
 605   cur = 〈c,true〉 →
 606   rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0 →
 607   is_bit c = true → is_bit c1 = true →
 608   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 609   table_TM (S n) (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3) →
 610   (* facciamo match *)
 611   (∃l4,newc,mv,l5.
 612    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3 = l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5 ∧
 613    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 614         (l2@l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5@
 615         〈grid,false〉::rs0))
 616   ∨
 617   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 618      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 619      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 620   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 621    ∀l4,newc,mv,l5.
 622    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3 ≠ l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5)).
 623
 624 axiom table_bit_after_bar :
 625   ∀n,l1,c,l2.table_TM n (l1@〈bar,false〉::〈c,false〉::l2) → is_bit c = true.
 626
 627 lemma wsem_match_tuple : WRealize ? match_tuple R_match_tuple0.
 628 #intape #k #outc #Hloop
 629 lapply (sem_while … sem_match_tuple_step intape k outc Hloop) [%] -Hloop
 630 * #ta * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 631 [ #tb whd in ⊢ (%→?); #Hleft
 632   #ls #cur #rs #Htb cases (Hleft … Htb) #Hgrid #Houtc %
 633   [ #_ @Houtc
 634   | #c #l1 #c1 #l2 #l3 #ls0 #rs0 #n #Hls #Hcur #Hrs
 635     >Hcur in Hgrid; #Hgrid >(is_grid_true … Hgrid) normalize in ⊢ (%→?);
 636     #Hc destruct (Hc)
 637   ]
 638 | (* in the interesting case, we execute a true iteration, then we restart the
 639      while cycle, finally we end with a false iteration *)
 640   #tb #tc #td whd in ⊢ (%→?); #Htc
 641   #Hstar1 #IH whd in ⊢ (%→?); #Hright lapply (IH Hright) -IH whd in ⊢ (%→?); #IH
 642   #ls #cur #rs #Htb %
 643   [ (* cur can't be true because we assume at least one iteration *)
 644     #Hcur cases Htc #ls' * #c' * #rs' * * >Htb #Hdes destruct (Hdes)
 645     #Hfalse @False_ind @(absurd … (is_grid_true … Hcur) Hfalse)
 646   | (* current and a tuple are marked *)
 647    #c #l1 #c1 #l2 #l3 #ls0 #rs0 #n #Hls #Hcur #Hrs #Hc #Hc1 #Hl1bitnull #Hl1marks
 648    #Hl1len #Htable
 649    cases Htc #ls' * #c' * #rs' * * >Htb #Hdes destruct (Hdes)
 650    -Htb * #_ #Htc
 651    (* expose the marked tuple in table *)
 652    cut (∃la,lb,mv,lc.l3 = la@〈comma,false〉::lb@〈comma,false〉::mv::lc ∧
 653          S n = |la| ∧ only_bits_or_nulls la)
 654    [@daemon] * #la * #lb * #mv * #lc * * #Hl3 #Hlalen #Hlabitnull
 655    >Hl3 in Htable; >append_cons #Htable
 656    >(?: l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0
 657       = (l2@[〈bar,false〉])@〈c1,true〉::la@〈comma,false〉::(lb@〈comma,false〉::mv::
 658          lc)@〈grid,false〉::rs0) in Hrs;
 659    [| >associative_append normalize >Hl3
 660       >associative_append normalize % ] #Hrs
 661    cases (Htc ????????? Hl1bitnull Hl1marks ?? Hlabitnull Hl1len ? Htable Hls Hcur Hrs)
 662    [5: <Hl1len @Hlalen
 663    |4: whd in ⊢ (??%?); >Hc1 %
 664    |3: whd in ⊢ (??%?); >Hc %
 665    |-Htc *
 666      [ (* case 1: match successful *)
 667        * #Heq #Htc % %{[]} %{lb} %{mv} %{lc} destruct (Heq) %
 668        [%
 669        | cases (IH … Htc) -IH #Houtc #_ >(Houtc (refl ??))
 670          >Htc @eq_f normalize >associative_append normalize
 671          >associative_append normalize %
 672        ]
 673      | (* case 2: tuples don't match, we still have other tuples to try *)
 674        * #Hdiff * #c2 * #l5 * #l6 * #Heqlblc #Htc
 675        cases (IH ??? … Htc) -IH #_ #IH
 676        (* by induction hypothesis *)
 677        lapply (IH ? l1 c2 (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5) l6 ? rs0 n (refl ??) (refl ??) ???????)
 678        [ generalize in match Htable;
 679          >associative_append normalize
 680          >associative_append normalize >Heqlblc
 681          >associative_append normalize //
 682        | @Hl1len
 683        | @Hl1marks
 684        | @Hl1bitnull
 685        | (*???*) @daemon
 686        | @Hc
 687        | >associative_append normalize
 688          >associative_append normalize
 689          >associative_append %
 690        |-IH *
 691          [ (* the while finally matches a tuple *)
 692            * #l7 * #newc * #mv0 * #l8 * #Hl7l8 #Houtc %
 693            >Heqlblc @(ex_intro ?? (〈bar,false〉::〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5@l7))
 694            %{newc} %{mv0} %{l8} %
 695            [ normalize >Hl7l8 >associative_append normalize
 696              >associative_append %
 697            | >Houtc @eq_f >associative_append normalize
 698              >associative_append normalize >associative_append
 699              normalize >associative_append %
 700            ]
 701          | (* the while fails finding a tuple: there are no matches in the whole table *)
 702            * #Houtc #Hdiff1 %2 %
 703            [ @Houtc
 704            | #l50 #newc #mv0 #l51 >Heqlblc
 705              @daemon
 706            ]
 707          ]
 708        ]
 709      ]
 710    | (* match failed and there is no next tuple: the next while cycle will just exit *)
 711      * * #Hdiff #Hnobars generalize in match (refl ? tc);
 712      cases tc in ⊢ (???% → %);
 713      [ #_ normalize in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 714      |2,3: #x #xs #_ normalize in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 715      #ls1 #cur1 #rs1 #Htc normalize in ⊢ (??%?→?); #Hcur1
 716      cases (IH … Htc) -IH #IH #_ %2 %
 717      [ destruct (Hcur1) >IH [ >Htc % | % ]
 718      | #l4 #newc #mv0 #l5
 719        (* no_bars except the first one, where the tuple does not match ⇒
 720           no match *)
 721         @daemon
 722      ]
 723    ]
 724  ]
 725 qed.
 726
 727 (* termination *)
 728 lemma WF_mts_niltape:
 729   WF ? (inv ? R_match_tuple_step_true) (niltape (FinProd FSUnialpha FinBool)).
 730 @wf #t1 whd in ⊢ (%→?); * #ls * #c * #rs * * #H destruct
 731 qed.
 732
 733 lemma WF_mts_rightof:
 734   ∀a,ls. WF ? (inv ? R_match_tuple_step_true) (rightof (FinProd FSUnialpha FinBool) a ls).
 735 #a #ls @wf #t1 whd in ⊢ (%→?); * #ls * #c * #rs * * #H destruct
 736 qed.
 737
 738 lemma WF_mts_leftof:
 739   ∀a,ls. WF ? (inv ? R_match_tuple_step_true) (leftof (FinProd FSUnialpha FinBool) a ls).
 740 #a #ls @wf #t1 whd in ⊢ (%→?); * #ls * #c * #rs * * #H destruct
 741 qed.
 742
 743 lemma WF_cst_midtape_grid:
 744   ∀ls,b,rs. WF ? (inv ? R_match_tuple_step_true)
 745     (midtape (FinProd … FSUnialpha FinBool) ls 〈grid,b〉 rs).
 746 #ls #b #rs @wf #t1 whd in ⊢ (%→?); * #ls' * #c' * #rs' * * #H destruct
 747 * #Hfalse @False_ind @Hfalse %
 748 qed.
 749
 750 definition Pre_match_tuple ≝ λt.
 751   ∃ls,cur,rs. t = midtape STape ls cur rs ∧
 752   (is_grid (\fst cur) = true ∨
 753   (∃ls0,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs0,n.
 754    only_bits_or_nulls l1 ∧ no_marks l1 ∧
 755    bit_or_null c = true ∧ bit_or_null c1 = true ∧
 756    only_bits_or_nulls l3 ∧ S n = |l1| ∧|l1| = |l3| ∧
 757    table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) ∧
 758    ls = 〈grid,false〉::ls0 ∧ cur = 〈c,true〉 ∧
 759    rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs0)).
 760
 761 lemma acc_Realize_to_acc_GRealize: ∀sig,M.∀q:states sig M.∀P,R1,R2.
 762   M ⊨ [q:R1,R2] → accGRealize sig M q P R1 R2.
 763 #alpha #M #q #Pre #R1 #R2 #HR #t #HPre
 764 cases (HR t) -HR #k * #outc * * #Hloop #HRtrue #HRfalse
 765 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) %
 766   [ % [@Hloop] @HRtrue | @HRfalse]
 767 qed.
 768
 769
 770 lemma terminate_match_tuple:
 771   ∀t. Pre_match_tuple t → Terminate ? match_tuple t.
 772 #t #HPre
 773 @(terminate_while_guarded ???
 774    Pre_match_tuple …
 775    (acc_Realize_to_acc_GRealize ??? Pre_match_tuple … sem_match_tuple_step)
 776    … HPre) [%]
 777   [-HPre -t #t1 #t2 #HPre cases HPre #ls * * #curl #curr * #rs * #Ht1 *
 778     [(* absurd case *)
 779      #Hgrid * #ls1 * #cur1 * #rs1 * * >Ht1 #Hdes destruct (Hdes)
 780      #Habs @False_ind @(absurd ?? Habs) @(is_grid_true … Hgrid)
 781     |* #ls0 * #c * #l1 * #l2 * #c1 * #l3 * #l4 * #rs0 * #n
 782      * * * * * * * * * *
 783      #Hl1 #Hmarksl1 #Hc #Hc1 #Hl3 #lenl1 #eqlen #Htable #Hls #Hcur #Hrs
 784      * #ls1 * #cur1 * #rs1 * * >Ht1 #Hdes destruct (Hdes) #Hdes #H
 785      lapply (H … Hl1 Hmarksl1 Hc Hc1 Hl3 lenl1 eqlen Htable Hls Hcur Hrs)
 786      -H *
 787       [* [ * #Hdes #Ht2 >Ht2
 788           @ex_intro [2:@ex_intro [2: @ex_intro [2: % [%]|]|]|]
 789           %1 %
 790          |* #test * #c2 * #l5 * #l6 * #Hl4 #Ht2
 791           cut (∃l7,l8. l6 = l7@〈comma,false 〉::l8 ∧ |l7| = |l1|) [@daemon]
 792           * #l7 * #l8 * #Hl6 #eqlen1
 793           @ex_intro [2:@ex_intro [2: @ex_intro [2: % [@Ht2]|]|]|] %2
 794           @(ex_intro … ls0) @(ex_intro … c) @(ex_intro … l1)
 795           @(ex_intro … (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l5@[〈bar,false〉]))
 796           @(ex_intro … c2) @(ex_intro … l7) @(ex_intro … l8)
 797           @(ex_intro … rs0) @(ex_intro … n)
 798           % [2: >Hl6 >associative_append >associative_append @eq_f @eq_f @eq_f
 799            @eq_f >associative_append @eq_f @eq_f >associative_append % ]
 800           % [2: %] % [2: %] % [2:@daemon] % [2: @sym_eq @eqlen1]
 801           % [2: @lenl1] % [2: #x #memx @daemon]
 802           % [2: @daemon] % [2: @Hc] % [2: @Hmarksl1] @Hl1
 803          ]
 804      |* * #_ #_ #H cases (current_to_midtape … H) #ls * #rs #Ht1
 805       >Ht1  @ex_intro [2:@ex_intro [2: @ex_intro [2: % [%]|]|]|] %1 %
 806      ]
 807    ]
 808   |cases HPre -HPre #ls * * #curl #curr * #rs * #Ht *
 809   [#Hgrid >Ht >(is_grid_true … Hgrid) @WF_cst_midtape_grid
 810   |* #ls0 * #c * #l1 * #l2 * #c1 * #l3 * #l4
 811    cut (∃len. |l4| = len) [/2/] * #lenl4
 812    lapply l4 lapply l3 lapply c1 lapply l2 lapply l1 lapply c lapply ls0 lapply Ht
 813    lapply curr lapply curl lapply ls lapply rs lapply t -l4 -l3 -l2 -l1 -c1 -curr -curl -ls -t
 814    -c -ls0 -rs
 815    (* by induction on the length of l4 *)
 816    @(nat_elim1 lenl4)
 817    #len #Hind #t #rs #ls #cl #cr #Ht #ls0 #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #Hlen
 818    * #rs0 * #n * * * * * * * * * *
 819    #Hl1 #Hmarksl1 #Hc #Hc1 #Hl3 #lenl1 #eqlen #Htable #Hls #Hcur #Hrs
 820    % #t1 >Ht whd in ⊢ (%→?); * #ls1 * #cur *  #rs1 * * #Hdes destruct (Hdes)
 821    #Hgrid #H lapply (H … Hl1 Hmarksl1 Hc Hc1 Hl3 lenl1 eqlen Htable Hls Hcur Hrs)
 822    -H *
 823     [* [ * #Hdes destruct (Hdes) #Ht1 >Ht1 @WF_cst_midtape_grid
 824        | * #_ * #c2 * #l5 * #l6 * #Hl4 #Ht1
 825         cut (∃l7,l8. l6 = l7@〈comma,false 〉::l8 ∧ |l7| = |l1|) [@daemon]
 826         * #l7 * #l8 * #Hl6 #eqlen1
 827         @(Hind … Ht1 ls0 c l1 (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l5@[〈bar,false〉]) c2 l7 l8 … (refl …))
 828          [<Hlen >Hl4 >Hl6 >length_append normalize in match (length … (cons …));
 829           >length_append normalize in match (length … (cons …)); <plus_n_Sm
 830           @le_S_S @daemon
 831          |@(ex_intro … rs0) @(ex_intro … n) %
 832           [2: >Hl6 >associative_append >associative_append @eq_f @eq_f @eq_f
 833            @eq_f >associative_append @eq_f @eq_f >associative_append % ]
 834           % [2: %] % [2: %] % [2:@daemon] % [2: @sym_eq @eqlen1]
 835           % [2: @lenl1] % [2: #x #memx @daemon]
 836           % [2: @daemon] % [2: @Hc] % [2: @Hmarksl1] @Hl1
 837          ]
 838        ]
 839      |* * #_ #_ #H cases (current_to_midtape … H) #ls * #rs #Ht1
 840       >Ht1 //
 841      ]
 842    ]
 843 qed.
 844
 845 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 846   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 847   is_bit c = true → is_bit c1 = true →
 848   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 849   table_TM (S n) (〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2) →
 850   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 851          (l1@〈grid,false〉::〈bar,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 852   (* facciamo match *)
 853   (∃l3,newc,mv,l4.
 854    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2 = l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4 ∧
 855    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 856         (l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4@〈grid,false〉::rs))
 857   ∨
 858   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 859      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 860      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 861   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 862    ∀l3,newc,mv,l4.
 863    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4).
 864
 865 lemma sem_match_tuple0 : GRealize ? match_tuple Pre_match_tuple R_match_tuple0.
 866 @WRealize_to_GRealize [@terminate_match_tuple | @wsem_match_tuple]
 867 qed.
 868
 869 lemma sem_match_tuple : GRealize ? match_tuple Pre_match_tuple R_match_tuple.
 870 generalize in match sem_match_tuple0; @GRealize_to_GRealize
 871 #t1 #t2 #HR #ls #c #l1 #c1 #l2 #rs #n #Hc #Hc1 #Hl1bitsnulls #Hl1marks #Hl1len #Htable #Ht1
 872 cases (HR … Ht1) -HR #_ #HR
 873 @(HR ??? [] … (refl ??) (refl ??) (refl ??) Hc Hc1 Hl1bitsnulls Hl1marks
 874           Hl1len  Htable)
 875 qed.