matita/matita/lib/turing/universal/match_machines.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 include "turing/universal/tuples.ma".
  14 include "turing/universal/marks.ma".
  15
  16 (*
  17 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
  18    ^                               ^
  19
  20 if current (* x *) = #
  21    then
  22    else if x = 0
  23       then move_right; ----
  24            adv_to_mark_r;
  25            if current (* x0 *) = 0
  26               then advance_mark ----
  27                    adv_to_mark_l;
  28                    advance_mark
  29               else STOP
  30       else x = 1 (* analogo *)
  31
  32 *)
  33
  34
  35 (*
  36    MARK NEXT TUPLE machine
  37    (partially axiomatized)
  38
  39    marks the first character after the first bar (rightwards)
  40  *)
  41
  42 definition mark_next_tuple ≝
  43   seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
  44      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
  45        (move_right_and_mark ?) (nop ?) tc_true).
  46
  47 definition R_mark_next_tuple ≝
  48   λt1,t2.
  49     ∀ls,c,rs1,rs2.
  50     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
  51     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
  52     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
  53     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
  54       no_bars rs3 ∧
  55       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
  56       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
  57     ∨
  58     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
  59
  60 axiom daemon :∀P:Prop.P.
  61
  62 axiom tech_split :
  63   ∀A:DeqSet.∀f,l.
  64    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
  65    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
  66 (*#A #f #l elim l
  67 [ % #x normalize #Hfalse *)
  68
  69 theorem sem_mark_next_tuple :
  70   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
  71 #intape
  72 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
  73          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) tc_true) ????)
  74 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
  75 | //
  76 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
  77    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
  78    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
  79    -Hloop
  80    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
  81    cases (Hleft … Hrs)
  82    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
  83    | * #_ #Hta cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
  84      [ #H1 lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
  85        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
  86        | %
  87        | -Hta #Hta cases Hright
  88          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
  89            @False_ind cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
  90            [ normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
  91            | >Hta % ]
  92          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
  93            cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
  94            [  #_ #Htb whd in ⊢ (%→?); #Houtc
  95              %2 %
  96              [ @H1
  97              | >Houtc >Htb >Hta % ]
  98            | >Hta % ]
  99          ]
 100        ]
 101     | * #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
 102       % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
 103      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
 104      [ #x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
 105        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 106        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 107      | whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 108      | >Hsplit >associative_append % ] -Hta #Hta
 109        cases Hright
 110        [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 111          whd in ⊢ (%→?); #Htb
 112          cases (Hta' c0 ?)
 113          [ #_ #Htb' >Htb' in Htb; #Htb
 114            generalize in match Hsplit; -Hsplit
 115            cases rs4 in Hta;
 116            [ #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 117              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 118              [ @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false)
 119                % [ % [ %
 120                [(* Hsplit *) @daemon |(*Hrs3*) @daemon ] | % ] | % ]
 121                | (* Hc0 *) @daemon ]
 122            | #r5 #rs5 >(eq_pair_fst_snd … r5)
 123              #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 124              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 125              [ @(ex_intro ?? (\fst r5)) @(ex_intro ?? (\snd r5))
 126                % [ % [ % [ (* Hc0, Hsplit *) @daemon | (*Hrs3*) @daemon ] | % ]
 127                      | % ] | (* Hc0 *) @daemon ] ] | >Hta % ]
 128              | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 129                whd in ⊢ (%→?); #Htb
 130                cases (Hta' c0 ?)
 131                [ #Hfalse @False_ind >Hfalse in Hc0;
 132                  #Hc0 destruct (Hc0)
 133                | >Hta % ]
 134 ]]]]
 135 qed.
 136
 137 definition init_current_on_match ≝
 138   (seq ? (move_l ?)
 139     (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 140       (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 141
 142 definition R_init_current_on_match ≝ λt1,t2.
 143   ∀l1,l2,c,rs. no_grids l1 → is_grid c = false →
 144   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::l2)  〈grid,false〉 rs →
 145   t2 = midtape STape (〈grid,false〉::l2) 〈c,true〉 ((reverse ? l1)@〈grid,false〉::rs).
 146
 147 lemma sem_init_current_on_match :
 148   Realize ? init_current_on_match R_init_current_on_match.
 149 #intape
 150 cases (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 151         (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 152            (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))) intape)
 153 #k * #outc * #Hloop #HR
 154 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 155 #l1 #l2 #c #rs #Hl1 #Hc #Hintape
 156 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 157 generalize in match Hl1; cases l1
 158   [#Hl1 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 159    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Hta
 160     [* >Hc #Htemp destruct (Htemp) ]
 161    * #_ #Htc lapply (Htc [ ] 〈grid,false〉 ? (refl ??) (refl …) Hl1)
 162    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); -Htc #Htc
 163    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htc -Htd
 164    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htd
 165    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htd) -Houtc #Houtc
 166    >Houtc %
 167   |#d #tl #Htl whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 168    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Htb
 169     [* >(Htl … (memb_hd …)) #Htemp destruct (Htemp)]
 170    * #Hd >append_cons #Htb lapply (Htb … (refl ??) (refl …) ?)
 171     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 172       [@Htl @memb_cons @membx | >(memb_single … membx) @Hc]]-Htb  #Htb
 173    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc
 174    >reverse_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 175    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc #Houtc
 176    >Houtc >reverse_cons >associative_append %
 177   ]
 178 qed.
 179
 180 (*
 181 definition init_current_gen ≝
 182   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 183     (seq ? (clear_mark ?)
 184        (seq ? (move_l ?)
 185          (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 186             (seq ? (move_r ?) (mark ?))))).
 187
 188 definition R_init_current_gen ≝ λt1,t2.
 189   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 →
 190   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 191   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 192   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 193         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 194
 195 lemma sem_init_current_gen : Realize ? init_current_gen R_init_current_gen.
 196 #intape
 197 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 198         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 199           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 200             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 201               (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))))) intape)
 202 #k * #outc * #Hloop #HR
 203 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 204 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hintape
 205 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta cases (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 206   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 207 * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%] -Hta #Hta
 208 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb -Hta #Htb
 209 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 210 generalize in match Hc; generalize in match Hl2; cases l2
 211   [#_ whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 212    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 213    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 214     [2: * whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp) ]
 215    * #_ #Htd >Htd in Htc; -Htd #Htd
 216    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 217    >reverse_append >reverse_cons
 218    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 219    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 220    >Houtc %
 221   |#d #tl #Htl #Hc0 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 222    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 223     [* >(Htl … (memb_hd …)) whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 224    * #Hd #Htd lapply (Htd … (refl ??) (refl ??) ?)
 225     [#x #membx @Htl @memb_cons @membx] -Htd #Htd
 226    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 227    >reverse_append >reverse_cons >reverse_cons
 228    >reverse_cons in Hc0; >reverse_cons cases (reverse ? tl)
 229      [normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0) #Hte
 230       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 231       >Houtc %
 232      |* #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 233       whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 234       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 235       >Houtc >associative_append >associative_append >associative_append %
 236      ]
 237    ]
 238 qed.
 239 *)
 240
 241 definition init_current ≝
 242   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 243     (seq ? (clear_mark ?)
 244        (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 245           (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 246
 247 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 248   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 249   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 250   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 251   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 252         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 253
 254 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 255 #intape
 256 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 257         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 258            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 259              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 260 #k * #outc * #Hloop #HR
 261 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 262 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 263 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 264 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 265 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 266 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 267 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 268 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 269 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 270 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 271 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 272 >reverse_append >reverse_cons
 273 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 274 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 275   #Htd >(Houtc … Htd) %
 276 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 277   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 278   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 279   >associative_append >associative_append %
 280 ]
 281 qed.
 282
 283 definition match_tuple_step ≝
 284   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 285    (single_finalTM ?
 286      (seq ? compare
 287       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 288         (nop ?)
 289         (seq ? mark_next_tuple
 290            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 291              (mark ?) (seq ? (move_l ?) init_current) tc_true)) tc_true)))
 292     (nop ?) tc_true.
 293
 294 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 295   ∀ls,cur,rs.t1 = midtape STape ls cur rs →
 296   \fst cur ≠ grid ∧
 297   (∀ls0,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs0,n.
 298    only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) →
 299    bit_or_null c = true → bit_or_null c1 = true →
 300    only_bits_or_nulls l3 → S n = |l1| → |l1| = |l3| →
 301    table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 302    ls = 〈grid,false〉::ls0 → cur = 〈c,true〉 →
 303    rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs0 →
 304    (* facciamo match *)
 305    (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 306    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 307          (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs0))
 308    ∨
 309    (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 310    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 311     ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
 312     (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 313     t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈c,true〉
 314           (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
 315            l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs0))
 316    ∨
 317    (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 318       non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 319       non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 320    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 321
 322 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 323   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 324
 325 include alias "basics/logic.ma".
 326
 327 (*
 328 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 329   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 330     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 331 //
 332 qed-. *)
 333
 334 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 335   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 336 #A #l #a cases l normalize /2/
 337 qed.
 338
 339 axiom tech_split2 : ∀A,l1,l2,l3,l4,x.
 340   memb A x l1 = false → memb ? x l3 = false →
 341   l1@x::l2 = l3@x::l4 → l1 = l3 ∧ l2 = l4.
 342
 343 axiom injective_append : ∀A,l.injective … (λx.append A x l).
 344
 345 lemma sem_match_tuple_step:
 346     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … start_nop)))
 347     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 348 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 349   (sem_seq … sem_compare
 350     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 351       (sem_nop …)
 352         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 353            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 354              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 355   (sem_nop ?) …)
 356 [(* is_grid: termination case *)
 357  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1
 358   cases (H c ?) [2: >Ht1 %] #Hgrid #Heq %
 359     [@injective_notb @Hgrid | <Heq @H1]
 360 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Hcur
 361  * #tapec * whd in ⊢ (%→?); #Hcompare #Hor
 362  #ls #cur #rs #Htapea >Htapea in Hcur; #Hcur cases (Hcur ? (refl ??))
 363  -Hcur #Hcur #Htapeb %
 364  [ % #Hfalse >Hfalse in Hcur; normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1)]
 365  #ls0 #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs0 #n #Hl1bitnull #Hl1marks #Hc #Hc1 #Hl3 #eqn
 366  #eqlen #Htable #Hls #Hcur #Hrs -Htapea >Hls in Htapeb; >Hcur >Hrs #Htapeb
 367  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 368  cases (Hcompare c c1 l1 l3 l2 (l4@〈grid,false〉::rs0) eqlen Hl1bitnull Hl3 Hl1marks … (refl …) Hc ?)
 369  -Hcompare
 370    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % % [%]
 371     >Htapec in Hor; -Htapec *
 372      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 373       cases (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 374      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #Htaped cases (Htaped ? (refl …)) -Htaped *
 375       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped
 376       %
 377      ]
 378    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 379     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 380       [>H2 >H3 elim la
 381         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 382         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 383         ]
 384       ] #Hnoteq
 385     cut (bit_or_null d' = true)
 386       [cases la in H3;
 387         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 388         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 389          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 390         ]
 391       ] #Hd'
 392     >Htapec in Hor; -Htapec *
 393      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 394       cases (H … (refl …)) >(bit_or_null_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 395      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H cases (H … (refl …)) -H #_
 396       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 397       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 398       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 399        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 400          [(* rs4 is empty : the case is absurd since the tape
 401             cannot end with a bar *)
 402           * #d * #b * * * #Heq1 @False_ind
 403           cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 404           >Hcut in Htable; >H3 >associative_append
 405           normalize >Heq1 <associative_append >Hcut
 406           <associative_append #Htable @(absurd … Htable)
 407           @last_of_table
 408          |(* rs4 not empty *)
 409           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 410           cut (memb STape 〈d2,b2〉 (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) = true)
 411             [@memb_append_l2
 412              cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 413              >Hcut >H3 >associative_append @memb_append_l2
 414              @memb_cons >Heq1 @memb_append_l2 @memb_cons @memb_hd] #d2intable
 415           cut (is_grid d2 = false)
 416             [@(no_grids_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hd2
 417           cut (b2 = false)
 418             [@(no_marks_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hb2
 419           >Hb2 in Heq1; #Heq1 -Hb2 -b2
 420           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 421            [(* we know current is not grid *)
 422             * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 423             cases (Htapef … (refl …)) >Hd2 #Htemp destruct (Htemp)
 424            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 425             cases (Htapef … (refl …)) #_ -Htapef #Htapef
 426             * #tapeg >Htapef -Htapef *
 427             (* move_l *)
 428             whd in ⊢ (%→?);
 429             #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 430             >Htapeg -Htapeg
 431             (* init_current *)
 432              whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 433              cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 434              * #c00 #b00 #Hoption
 435              lapply
 436               (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? l2@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 437               c' (reverse ? la) false ls0 bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0) c00 b00 ?????) -Htapeout
 438                [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 439                 >associative_append
 440                  generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls0); #l
 441                 whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 442                |>reverse_cons @Hoption
 443                |cases la in H2;
 444                  [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 445                   @bit_or_null_not_grid @Hc
 446                  |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 447                   @bit_or_null_not_grid @(Hl1bitnull 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 448                  ]
 449                |cut (only_bits_or_nulls (la@(〈c',false〉::lb)))
 450                  [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 451                    [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1bitnull]
 452                  |#Hl1' #x #Hx @bit_or_null_not_grid @Hl1'
 453                   @memb_append_l1 @daemon
 454                  ]
 455                |@daemon] #Htapeout % %2 % //
 456             @(ex_intro … d2)
 457             cut (∃rs32.rs3 = lc@〈comma,false〉::rs32)
 458                  [ (*cases (tech_split STape (λc.c == 〈bar,false〉) l4)
 459                   [
 460                   | * #l41 * * #cbar #bfalse * #l42 * * #Hbar #Hl4 #Hl41
 461                     @(ex_intro ?? l41) >Hl4 in Heq1; #Heq1
 462
 463                 cut (sublist … lc l3)
 464                   [ #x #Hx cases la in H3;
 465                     [ normalize #H3 destruct (H3) @Hx
 466                     | #p #la' normalize #Hla' destruct (Hla')
 467                       @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ] ] #Hsublist*)
 468                 @daemon]
 469                 * #rs32 #Hrs3
 470                 (* cut
 471                 (〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4= la@〈d',false〉::rs3@〈bar,false〉::〈d2,b2〉::rs3')
 472                 [@daemon] #Hcut *)
 473                 cut (l4=rs32@〈bar,false〉::〈d2,false〉::rs3')
 474                 [ >Hrs3 in Heq1; @daemon ] #Hl4
 475                 @(ex_intro … rs32) @(ex_intro … rs3') % [@Hl4]
 476                 >Htapeout @eq_f2
 477                    [(* by Hoption, H2 *) @daemon
 478                    |(*>Hrs3 *)>append_cons
 479                     > (?:l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs
 480                         = (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@[〈bar,false〉])@〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs)
 481                     [|>associative_append normalize
 482                       >associative_append normalize
 483                       >associative_append normalize
 484                       >associative_append normalize
 485                        % ]
 486                     >reverse_append >reverse_append >reverse_cons
 487                     >reverse_reverse >reverse_cons >reverse_reverse
 488                     >reverse_append >reverse_append >reverse_cons
 489                     >reverse_reverse >reverse_reverse >reverse_reverse
 490                     >(?:(la@[〈c',false〉])@((((lb@[〈grid,false〉])@l2)@la)@[〈d',false〉])@rs3
 491                        =((la@〈c',false〉::lb)@([〈grid,false〉]@l2@la@[〈d',false〉]@rs3)))
 492                     [|>associative_append >associative_append
 493                       >associative_append >associative_append >associative_append
 494                       >associative_append % ]
 495                     <H2 normalize in ⊢ (??%?); >Hrs3
 496                     >associative_append >associative_append normalize
 497                     >associative_append >associative_append
 498                     @eq_f @eq_f @eq_f
 499                     >(?:la@(〈d',false〉::lc@〈comma,false〉::rs32)@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0 =
 500                         (la@〈d',false〉::lc)@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0 )
 501                     [| >associative_append normalize >associative_append % ]
 502                     <H3 %
 503                    ]
 504                  ]
 505               ]
 506        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 507          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 508           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 509           whd in ⊢ (%→?); #Htapeout %2 %
 510           [% [//] whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 511           | >(Htapeout … (refl …)) % ]
 512          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 513           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef
 514           whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 515          ]
 516        |(* no marks in table *)
 517         #x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 518         @memb_append_l2
 519         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 520         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 521        |(* no grids in table *)
 522         #x #membx @(no_grids_in_table … Htable)
 523         @memb_append_l2
 524         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 525         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 526        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_or_null_not_grid … Hd') >(bit_or_null_not_bar … Hd') %
 527        ]
 528      ]
 529    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 530     @memb_append_l2 @memb_cons @memb_append_l1 @membx
 531    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 532     @memb_append_l1 @membx
 533    |%
 534    ]
 535  ]
 536 qed.
 537
 538 (*
 539   MATCH TUPLE
 540
 541   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 542   current configuration is found
 543 *)
 544
 545 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
 546
 547 lemma is_grid_true : ∀c.is_grid c = true → c = grid.
 548 * normalize [ #b ] #H // destruct (H)
 549 qed.
 550
 551 (* possible variante ?
 552 definition weakR_match_tuple ≝ λt1,t2.
 553   (∀ls,cur,rs,b. t1 = midtape STape ls 〈grid,b〉 rs → t2 = t1) ∧
 554   (∀c,l1,c1,l2,l3,ls0,rs0,n.
 555   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈bit c,true〉 rs
 556     (l1@〈grid,false〉::l2@〈bit c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0) →
 557   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 558   table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3) →
 559   (* facciamo match *)
 560   (∃l4,newc,mv,l5.
 561    〈c1,false〉::l3 = l4@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5 ∧
 562    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 563         (l2@l4@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5@
 564         〈grid,false〉::rs0))
 565   ∨
 566   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 567      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 568      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 569   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 570    ∀l4,newc,mv,l5.
 571    〈c1,false〉::l3 ≠ l4@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5)).
 572 *)
 573
 574 definition R_match_tuple0 ≝ λt1,t2.
 575   ∀ls,cur,rs.
 576   t1 = midtape STape ls cur rs →
 577   (is_grid (\fst cur) = true → t2 = t1) ∧
 578   (∀c,l1,c1,l2,l3,ls0,rs0,n.
 579   ls = 〈grid,false〉::ls0 →
 580   cur = 〈c,true〉 →
 581   rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0 →
 582   is_bit c = true → is_bit c1 = true →
 583   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 584   table_TM (S n) (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3) →
 585   (* facciamo match *)
 586   (∃l4,newc,mv,l5.
 587    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3 = l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5 ∧
 588    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 589         (l2@l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5@
 590         〈grid,false〉::rs0))
 591   ∨
 592   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 593      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 594      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 595   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 596    ∀l4,newc,mv,l5.
 597    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3 ≠ l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5)).
 598
 599 axiom table_bit_after_bar :
 600   ∀n,l1,c,l2.table_TM n (l1@〈bar,false〉::〈c,false〉::l2) → is_bit c = true.
 601
 602 lemma wsem_match_tuple : WRealize ? match_tuple R_match_tuple0.
 603 #intape #k #outc #Hloop
 604 lapply (sem_while … sem_match_tuple_step intape k outc Hloop) [%] -Hloop
 605 * #ta * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 606 [ #tb whd in ⊢ (%→?); #Hleft
 607   #ls #cur #rs #Htb cases (Hleft … Htb) #Hgrid #Houtc %
 608   [ #_ @Houtc
 609   | #c #l1 #c1 #l2 #l3 #ls0 #rs0 #n #Hls #Hcur #Hrs
 610     >Hcur in Hgrid; #Hgrid >(is_grid_true … Hgrid) normalize in ⊢ (%→?);
 611     #Hc destruct (Hc)
 612   ]
 613 | (* in the interesting case, we execute a true iteration, then we restart the
 614      while cycle, finally we end with a false iteration *)
 615   #tb #tc #td whd in ⊢ (%→?); #Htc
 616   #Hstar1 #IH whd in ⊢ (%→?); #Hright lapply (IH Hright) -IH whd in ⊢ (%→?); #IH
 617   #ls #cur #rs #Htb %
 618   [ (* cur can't be true because we assume at least one iteration *)
 619     #Hcur cases (Htc … Htb) * #Hfalse @False_ind @Hfalse @(is_grid_true … Hcur)
 620   | (* current and a tuple are marked *)
 621    #c #l1 #c1 #l2 #l3 #ls0 #rs0 #n #Hls #Hcur #Hrs #Hc #Hc1 #Hl1bitnull #Hl1marks
 622    #Hl1len #Htable cases (Htc … Htb) -Htc -Htb * #_ #Htc
 623    (* expose the marked tuple in table *)
 624    cut (∃la,lb,mv,lc.l3 = la@〈comma,false〉::lb@〈comma,false〉::mv::lc ∧
 625          S n = |la| ∧ only_bits_or_nulls la)
 626    [@daemon] * #la * #lb * #mv * #lc * * #Hl3 #Hlalen #Hlabitnull
 627    >Hl3 in Htable; >append_cons #Htable
 628    >(?: l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0
 629       = (l2@[〈bar,false〉])@〈c1,true〉::la@〈comma,false〉::(lb@〈comma,false〉::mv::
 630          lc)@〈grid,false〉::rs0) in Hrs;
 631    [| >associative_append normalize >Hl3
 632       >associative_append normalize % ] #Hrs
 633    cases (Htc ????????? Hl1bitnull Hl1marks ?? Hlabitnull Hl1len ? Htable Hls Hcur Hrs)
 634    [5: <Hl1len @Hlalen
 635    |4: whd in ⊢ (??%?); >Hc1 %
 636    |3: whd in ⊢ (??%?); >Hc %
 637    |-Htc *
 638      [ (* case 1: match successful *)
 639        * #Heq #Htc % %{[]} %{lb} %{mv} %{lc} destruct (Heq) %
 640        [%
 641        | cases (IH … Htc) -IH #Houtc #_ >(Houtc (refl ??))
 642          >Htc @eq_f normalize >associative_append normalize
 643          >associative_append normalize %
 644        ]
 645      | (* case 2: tuples don't match, we still have other tuples to try *)
 646        * #Hdiff * #c2 * #l5 * #l6 * #Heqlblc #Htc
 647        cases (IH ??? … Htc) -IH #_ #IH
 648        (* by induction hypothesis *)
 649        lapply (IH ? l1 c2 (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5) l6 ? rs0 n (refl ??) (refl ??) ???????)
 650        [ generalize in match Htable;
 651          >associative_append normalize
 652          >associative_append normalize >Heqlblc
 653          >associative_append normalize //
 654        | @Hl1len
 655        | @Hl1marks
 656        | @Hl1bitnull
 657        | (*???*) @daemon
 658        | @Hc
 659        | >associative_append normalize
 660          >associative_append normalize
 661          >associative_append %
 662        |-IH *
 663          [ (* the while finally matches a tuple *)
 664            * #l7 * #newc * #mv0 * #l8 * #Hl7l8 #Houtc %
 665            >Heqlblc @(ex_intro ?? (〈bar,false〉::〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5@l7))
 666            %{newc} %{mv0} %{l8} %
 667            [ normalize >Hl7l8 >associative_append normalize
 668              >associative_append %
 669            | >Houtc @eq_f >associative_append normalize
 670              >associative_append normalize >associative_append
 671              normalize >associative_append %
 672            ]
 673          | (* the while fails finding a tuple: there are no matches in the whole table *)
 674            * #Houtc #Hdiff1 %2 %
 675            [ @Houtc
 676            | #l50 #newc #mv0 #l51 >Heqlblc
 677              @daemon
 678            ]
 679          ]
 680        ]
 681      ]
 682    | (* match failed and there is no next tuple: the next while cycle will just exit *)
 683      * * #Hdiff #Hnobars generalize in match (refl ? tc);
 684      cases tc in ⊢ (???% → %);
 685      [ #_ normalize in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 686      |2,3: #x #xs #_ normalize in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 687      #ls1 #cur1 #rs1 #Htc normalize in ⊢ (??%?→?); #Hcur1
 688      cases (IH … Htc) -IH #IH #_ %2 %
 689      [ destruct (Hcur1) >IH [ >Htc % | % ]
 690      | #l4 #newc #mv0 #l5
 691        (* no_bars except the first one, where the tuple does not match ⇒
 692           no match *)
 693         @daemon
 694      ]
 695    ]
 696  ]
 697 qed.
 698
 699 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 700   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 701   is_bit c = true → is_bit c1 = true →
 702   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 703   table_TM (S n) (〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2) →
 704   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 705          (l1@〈grid,false〉::〈bar,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 706   (* facciamo match *)
 707   (∃l3,newc,mv,l4.
 708    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2 = l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4 ∧
 709    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 710         (l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4@〈grid,false〉::rs))
 711   ∨
 712   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 713      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 714      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 715   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 716    ∀l3,newc,mv,l4.
 717    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4).
 718
 719 (* we still haven't proved termination *)
 720 axiom sem_match_tuple0 : Realize ? match_tuple R_match_tuple0.
 721
 722 lemma sem_match_tuple : Realize ? match_tuple R_match_tuple.
 723 generalize in match sem_match_tuple0; @Realize_to_Realize
 724 #t1 #t2 #HR #ls #c #l1 #c1 #l2 #rs #n #Hc #Hc1 #Hl1bitsnulls #Hl1marks #Hl1len #Htable #Ht1
 725 cases (HR … Ht1) -HR #_ #HR
 726 @(HR ??? [] … (refl ??) (refl ??) (refl ??) Hc Hc1 Hl1bitsnulls Hl1marks
 727           Hl1len  Htable)
 728 qed.