matita/matita/lib/turing/universal/match_machines.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 include "turing/universal/tuples.ma".
  14 include "turing/universal/marks.ma".
  15
  16 (*
  17 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
  18    ^                               ^
  19
  20 if current (* x *) = #
  21    then
  22    else if x = 0
  23       then move_right; ----
  24            adv_to_mark_r;
  25            if current (* x0 *) = 0
  26               then advance_mark ----
  27                    adv_to_mark_l;
  28                    advance_mark
  29               else STOP
  30       else x = 1 (* analogo *)
  31
  32 *)
  33
  34
  35 (*
  36    MARK NEXT TUPLE machine
  37    (partially axiomatized)
  38
  39    marks the first character after the first bar (rightwards)
  40  *)
  41
  42 definition mark_next_tuple ≝
  43   adv_to_mark_r ? bar_or_grid ·
  44      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
  45        (move_right_and_mark ?) (nop ?) tc_true).
  46
  47 definition R_mark_next_tuple ≝
  48   λt1,t2.
  49     ∀ls,c,rs1,rs2.
  50     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
  51     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
  52     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
  53     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
  54       no_bars rs3 ∧
  55       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
  56       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
  57     ∨
  58     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
  59
  60 axiom daemon :∀P:Prop.P.
  61
  62 axiom tech_split :
  63   ∀A:DeqSet.∀f,l.
  64    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
  65    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
  66 (*#A #f #l elim l
  67 [ % #x normalize #Hfalse *)
  68
  69 theorem sem_mark_next_tuple :
  70   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
  71 #intape
  72 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
  73          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) tc_true) ????)
  74 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
  75 | //
  76 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
  77    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
  78    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
  79    -Hloop
  80    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
  81    cases (Hleft … Hrs)
  82    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
  83    | * #_ #Hta cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
  84      [ #H1 lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
  85        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
  86        | %
  87        | -Hta #Hta cases Hright
  88          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
  89            @False_ind cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
  90            [ normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
  91            | >Hta % ]
  92          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
  93            cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
  94            [  #_ #Htb whd in ⊢ (%→?); #Houtc
  95              %2 %
  96              [ @H1
  97              | >Houtc >Htb >Hta % ]
  98            | >Hta % ]
  99          ]
 100        ]
 101     | * #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
 102       % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
 103      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
 104      [ #x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
 105        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 106        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 107      | whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 108      | >Hsplit >associative_append % ] -Hta #Hta
 109        cases Hright
 110        [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 111          whd in ⊢ (%→?); #Htb
 112          cases (Hta' c0 ?)
 113          [ #_ #Htb' >Htb' in Htb; #Htb
 114            generalize in match Hsplit; -Hsplit
 115            cases rs4 in Hta;
 116            [ #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 117              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 118              [ @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false)
 119                % [ % [ %
 120                [(* Hsplit *) @daemon |(*Hrs3*) @daemon ] | % ] | % ]
 121                | (* Hc0 *) @daemon ]
 122            | #r5 #rs5 >(eq_pair_fst_snd … r5)
 123              #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 124              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 125              [ @(ex_intro ?? (\fst r5)) @(ex_intro ?? (\snd r5))
 126                % [ % [ % [ (* Hc0, Hsplit *) @daemon | (*Hrs3*) @daemon ] | % ]
 127                      | % ] | (* Hc0 *) @daemon ] ] | >Hta % ]
 128              | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 129                whd in ⊢ (%→?); #Htb
 130                cases (Hta' c0 ?)
 131                [ #Hfalse @False_ind >Hfalse in Hc0;
 132                  #Hc0 destruct (Hc0)
 133                | >Hta % ]
 134 ]]]]
 135 qed.
 136
 137 definition init_current_on_match ≝
 138   move_l ? · adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)) · move_r ? · mark ?.
 139
 140 definition R_init_current_on_match ≝ λt1,t2.
 141   ∀l1,l2,c,rs. no_grids l1 → is_grid c = false →
 142   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::l2)  〈grid,false〉 rs →
 143   t2 = midtape STape (〈grid,false〉::l2) 〈c,true〉 ((reverse ? l1)@〈grid,false〉::rs).
 144
 145 lemma sem_init_current_on_match :
 146   Realize ? init_current_on_match R_init_current_on_match.
 147 #intape
 148 cases (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 149         (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 150            (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))) intape)
 151 #k * #outc * #Hloop #HR
 152 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 153 #l1 #l2 #c #rs #Hl1 #Hc #Hintape
 154 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 155 generalize in match Hl1; cases l1
 156   [#Hl1 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 157    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Hta
 158     [* >Hc #Htemp destruct (Htemp) ]
 159    * #_ #Htc lapply (Htc [ ] 〈grid,false〉 ? (refl ??) (refl …) Hl1)
 160    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); -Htc #Htc
 161    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htc -Htd
 162    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htd
 163    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htd) -Houtc #Houtc
 164    >Houtc %
 165   |#d #tl #Htl whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 166    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Htb
 167     [* >(Htl … (memb_hd …)) #Htemp destruct (Htemp)]
 168    * #Hd >append_cons #Htb lapply (Htb … (refl ??) (refl …) ?)
 169     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 170       [@Htl @memb_cons @membx | >(memb_single … membx) @Hc]]-Htb  #Htb
 171    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc
 172    >reverse_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 173    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc #Houtc
 174    >Houtc >reverse_cons >associative_append %
 175   ]
 176 qed.
 177
 178 (*
 179 definition init_current_gen ≝
 180   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 181     (seq ? (clear_mark ?)
 182        (seq ? (move_l ?)
 183          (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 184             (seq ? (move_r ?) (mark ?))))).
 185
 186 definition R_init_current_gen ≝ λt1,t2.
 187   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 →
 188   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 189   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 190   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 191         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 192
 193 lemma sem_init_current_gen : Realize ? init_current_gen R_init_current_gen.
 194 #intape
 195 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 196         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 197           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 198             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 199               (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))))) intape)
 200 #k * #outc * #Hloop #HR
 201 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 202 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hintape
 203 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta cases (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 204   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 205 * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%] -Hta #Hta
 206 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb -Hta #Htb
 207 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 208 generalize in match Hc; generalize in match Hl2; cases l2
 209   [#_ whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 210    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 211    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 212     [2: * whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp) ]
 213    * #_ #Htd >Htd in Htc; -Htd #Htd
 214    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 215    >reverse_append >reverse_cons
 216    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 217    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 218    >Houtc %
 219   |#d #tl #Htl #Hc0 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 220    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 221     [* >(Htl … (memb_hd …)) whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 222    * #Hd #Htd lapply (Htd … (refl ??) (refl ??) ?)
 223     [#x #membx @Htl @memb_cons @membx] -Htd #Htd
 224    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 225    >reverse_append >reverse_cons >reverse_cons
 226    >reverse_cons in Hc0; >reverse_cons cases (reverse ? tl)
 227      [normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0) #Hte
 228       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 229       >Houtc %
 230      |* #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 231       whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 232       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 233       >Houtc >associative_append >associative_append >associative_append %
 234      ]
 235    ]
 236 qed.
 237 *)
 238
 239 definition init_current ≝
 240   adv_to_mark_l ? (is_marked ?) ·clear_mark ? ·
 241     adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)) · move_r ? · mark ?.
 242
 243 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 244   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 245   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 246   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 247   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 248         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 249
 250 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 251 #intape
 252 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 253         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 254            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 255              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 256 #k * #outc * #Hloop #HR
 257 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 258 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 259 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 260 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 261 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 262 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 263 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 264 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 265 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 266 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 267 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 268 >reverse_append >reverse_cons
 269 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 270 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 271   #Htd >(Houtc … Htd) %
 272 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 273   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 274   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 275   >associative_append >associative_append %
 276 ]
 277 qed.
 278
 279 definition match_tuple_step ≝
 280   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 281    (single_finalTM ?
 282      (compare ·
 283       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 284         (nop ?)
 285         (mark_next_tuple ·
 286            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 287              (mark ?) (move_l ? · init_current) tc_true)) tc_true)))
 288     (nop ?) tc_true.
 289
 290 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 291   ∀ls,cur,rs.t1 = midtape STape ls cur rs →
 292   \fst cur ≠ grid ∧
 293   (∀ls0,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs0,n.
 294    only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) →
 295    bit_or_null c = true → bit_or_null c1 = true →
 296    only_bits_or_nulls l3 → S n = |l1| → |l1| = |l3| →
 297    table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 298    ls = 〈grid,false〉::ls0 → cur = 〈c,true〉 →
 299    rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs0 →
 300    (* facciamo match *)
 301    (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 302    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 303          (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs0))
 304    ∨
 305    (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 306    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 307     ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
 308     (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 309     t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈c,true〉
 310           (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
 311            l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs0))
 312    ∨
 313    (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 314       non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 315       non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 316    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 317
 318 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 319   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 320
 321 include alias "basics/logic.ma".
 322
 323 (*
 324 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 325   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 326     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 327 //
 328 qed-. *)
 329
 330 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 331   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 332 #A #l #a cases l normalize /2/
 333 qed.
 334
 335 axiom tech_split2 : ∀A,l1,l2,l3,l4,x.
 336   memb A x l1 = false → memb ? x l3 = false →
 337   l1@x::l2 = l3@x::l4 → l1 = l3 ∧ l2 = l4.
 338
 339 axiom injective_append : ∀A,l.injective … (λx.append A x l).
 340
 341 lemma sem_match_tuple_step:
 342     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … start_nop)))
 343     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 344 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 345   (sem_seq … sem_compare
 346     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 347       (sem_nop …)
 348         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 349            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 350              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 351   (sem_nop ?) …)
 352 [(* is_grid: termination case *)
 353  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1
 354   cases (H c ?) [2: >Ht1 %] #Hgrid #Heq %
 355     [@injective_notb @Hgrid | <Heq @H1]
 356 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Hcur
 357  * #tapec * whd in ⊢ (%→?); #Hcompare #Hor
 358  #ls #cur #rs #Htapea >Htapea in Hcur; #Hcur cases (Hcur ? (refl ??))
 359  -Hcur #Hcur #Htapeb %
 360  [ % #Hfalse >Hfalse in Hcur; normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1)]
 361  #ls0 #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs0 #n #Hl1bitnull #Hl1marks #Hc #Hc1 #Hl3 #eqn
 362  #eqlen #Htable #Hls #Hcur #Hrs -Htapea >Hls in Htapeb; >Hcur >Hrs #Htapeb
 363  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 364  cases (Hcompare c c1 l1 l3 l2 (l4@〈grid,false〉::rs0) eqlen Hl1bitnull Hl3 Hl1marks … (refl …) Hc ?)
 365  -Hcompare
 366    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % % [%]
 367     >Htapec in Hor; -Htapec *
 368      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 369       cases (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 370      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #Htaped cases (Htaped ? (refl …)) -Htaped *
 371       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped
 372       %
 373      ]
 374    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 375     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 376       [>H2 >H3 elim la
 377         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 378         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 379         ]
 380       ] #Hnoteq
 381     cut (bit_or_null d' = true)
 382       [cases la in H3;
 383         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 384         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 385          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 386         ]
 387       ] #Hd'
 388     >Htapec in Hor; -Htapec *
 389      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 390       cases (H … (refl …)) >(bit_or_null_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 391      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H cases (H … (refl …)) -H #_
 392       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 393       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 394       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 395        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 396          [(* rs4 is empty : the case is absurd since the tape
 397             cannot end with a bar *)
 398           * #d * #b * * * #Heq1 @False_ind
 399           cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 400           >Hcut in Htable; >H3 >associative_append
 401           normalize >Heq1 <associative_append >Hcut
 402           <associative_append #Htable @(absurd … Htable)
 403           @last_of_table
 404          |(* rs4 not empty *)
 405           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 406           cut (memb STape 〈d2,b2〉 (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) = true)
 407             [@memb_append_l2
 408              cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 409              >Hcut >H3 >associative_append @memb_append_l2
 410              @memb_cons >Heq1 @memb_append_l2 @memb_cons @memb_hd] #d2intable
 411           cut (is_grid d2 = false)
 412             [@(no_grids_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hd2
 413           cut (b2 = false)
 414             [@(no_marks_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hb2
 415           >Hb2 in Heq1; #Heq1 -Hb2 -b2
 416           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 417            [(* we know current is not grid *)
 418             * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 419             cases (Htapef … (refl …)) >Hd2 #Htemp destruct (Htemp)
 420            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 421             cases (Htapef … (refl …)) #_ -Htapef #Htapef
 422             * #tapeg >Htapef -Htapef *
 423             (* move_l *)
 424             whd in ⊢ (%→?);
 425             #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 426             >Htapeg -Htapeg
 427             (* init_current *)
 428              whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 429              cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 430              * #c00 #b00 #Hoption
 431              lapply
 432               (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? l2@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 433               c' (reverse ? la) false ls0 bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0) c00 b00 ?????) -Htapeout
 434                [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 435                 >associative_append
 436                  generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls0); #l
 437                 whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 438                |>reverse_cons @Hoption
 439                |cases la in H2;
 440                  [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 441                   @bit_or_null_not_grid @Hc
 442                  |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 443                   @bit_or_null_not_grid @(Hl1bitnull 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 444                  ]
 445                |cut (only_bits_or_nulls (la@(〈c',false〉::lb)))
 446                  [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 447                    [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1bitnull]
 448                  |#Hl1' #x #Hx @bit_or_null_not_grid @Hl1'
 449                   @memb_append_l1 @daemon
 450                  ]
 451                |@daemon] #Htapeout % %2 % //
 452             @(ex_intro … d2)
 453             cut (∃rs32.rs3 = lc@〈comma,false〉::rs32)
 454                  [ (*cases (tech_split STape (λc.c == 〈bar,false〉) l4)
 455                   [
 456                   | * #l41 * * #cbar #bfalse * #l42 * * #Hbar #Hl4 #Hl41
 457                     @(ex_intro ?? l41) >Hl4 in Heq1; #Heq1
 458
 459                 cut (sublist … lc l3)
 460                   [ #x #Hx cases la in H3;
 461                     [ normalize #H3 destruct (H3) @Hx
 462                     | #p #la' normalize #Hla' destruct (Hla')
 463                       @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ] ] #Hsublist*)
 464                 @daemon]
 465                 * #rs32 #Hrs3
 466                 (* cut
 467                 (〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4= la@〈d',false〉::rs3@〈bar,false〉::〈d2,b2〉::rs3')
 468                 [@daemon] #Hcut *)
 469                 cut (l4=rs32@〈bar,false〉::〈d2,false〉::rs3')
 470                 [ >Hrs3 in Heq1; @daemon ] #Hl4
 471                 @(ex_intro … rs32) @(ex_intro … rs3') % [@Hl4]
 472                 >Htapeout @eq_f2
 473                    [(* by Hoption, H2 *) @daemon
 474                    |(*>Hrs3 *)>append_cons
 475                     > (?:l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs
 476                         = (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@[〈bar,false〉])@〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs)
 477                     [|>associative_append normalize
 478                       >associative_append normalize
 479                       >associative_append normalize
 480                       >associative_append normalize
 481                        % ]
 482                     >reverse_append >reverse_append >reverse_cons
 483                     >reverse_reverse >reverse_cons >reverse_reverse
 484                     >reverse_append >reverse_append >reverse_cons
 485                     >reverse_reverse >reverse_reverse >reverse_reverse
 486                     >(?:(la@[〈c',false〉])@((((lb@[〈grid,false〉])@l2)@la)@[〈d',false〉])@rs3
 487                        =((la@〈c',false〉::lb)@([〈grid,false〉]@l2@la@[〈d',false〉]@rs3)))
 488                     [|>associative_append >associative_append
 489                       >associative_append >associative_append >associative_append
 490                       >associative_append % ]
 491                     <H2 normalize in ⊢ (??%?); >Hrs3
 492                     >associative_append >associative_append normalize
 493                     >associative_append >associative_append
 494                     @eq_f @eq_f @eq_f
 495                     >(?:la@(〈d',false〉::lc@〈comma,false〉::rs32)@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0 =
 496                         (la@〈d',false〉::lc)@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0 )
 497                     [| >associative_append normalize >associative_append % ]
 498                     <H3 %
 499                    ]
 500                  ]
 501               ]
 502        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 503          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 504           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 505           whd in ⊢ (%→?); #Htapeout %2 %
 506           [% [//] whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 507           | >(Htapeout … (refl …)) % ]
 508          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 509           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef
 510           whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 511          ]
 512        |(* no marks in table *)
 513         #x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 514         @memb_append_l2
 515         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 516         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 517        |(* no grids in table *)
 518         #x #membx @(no_grids_in_table … Htable)
 519         @memb_append_l2
 520         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 521         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 522        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_or_null_not_grid … Hd') >(bit_or_null_not_bar … Hd') %
 523        ]
 524      ]
 525    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 526     @memb_append_l2 @memb_cons @memb_append_l1 @membx
 527    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 528     @memb_append_l1 @membx
 529    |%
 530    ]
 531  ]
 532 qed.
 533
 534 (*
 535   MATCH TUPLE
 536
 537   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 538   current configuration is found
 539 *)
 540
 541 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
 542
 543 lemma is_grid_true : ∀c.is_grid c = true → c = grid.
 544 * normalize [ #b ] #H // destruct (H)
 545 qed.
 546
 547 (* possible variante ?
 548 definition weakR_match_tuple ≝ λt1,t2.
 549   (∀ls,cur,rs,b. t1 = midtape STape ls 〈grid,b〉 rs → t2 = t1) ∧
 550   (∀c,l1,c1,l2,l3,ls0,rs0,n.
 551   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈bit c,true〉 rs
 552     (l1@〈grid,false〉::l2@〈bit c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0) →
 553   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 554   table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3) →
 555   (* facciamo match *)
 556   (∃l4,newc,mv,l5.
 557    〈c1,false〉::l3 = l4@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5 ∧
 558    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 559         (l2@l4@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5@
 560         〈grid,false〉::rs0))
 561   ∨
 562   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 563      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 564      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 565   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 566    ∀l4,newc,mv,l5.
 567    〈c1,false〉::l3 ≠ l4@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5)).
 568 *)
 569
 570 definition R_match_tuple0 ≝ λt1,t2.
 571   ∀ls,cur,rs.
 572   t1 = midtape STape ls cur rs →
 573   (is_grid (\fst cur) = true → t2 = t1) ∧
 574   (∀c,l1,c1,l2,l3,ls0,rs0,n.
 575   ls = 〈grid,false〉::ls0 →
 576   cur = 〈c,true〉 →
 577   rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0 →
 578   is_bit c = true → is_bit c1 = true →
 579   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 580   table_TM (S n) (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3) →
 581   (* facciamo match *)
 582   (∃l4,newc,mv,l5.
 583    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3 = l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5 ∧
 584    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 585         (l2@l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5@
 586         〈grid,false〉::rs0))
 587   ∨
 588   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 589      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 590      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 591   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 592    ∀l4,newc,mv,l5.
 593    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3 ≠ l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5)).
 594
 595 axiom table_bit_after_bar :
 596   ∀n,l1,c,l2.table_TM n (l1@〈bar,false〉::〈c,false〉::l2) → is_bit c = true.
 597
 598 lemma wsem_match_tuple : WRealize ? match_tuple R_match_tuple0.
 599 #intape #k #outc #Hloop
 600 lapply (sem_while … sem_match_tuple_step intape k outc Hloop) [%] -Hloop
 601 * #ta * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 602 [ #tb whd in ⊢ (%→?); #Hleft
 603   #ls #cur #rs #Htb cases (Hleft … Htb) #Hgrid #Houtc %
 604   [ #_ @Houtc
 605   | #c #l1 #c1 #l2 #l3 #ls0 #rs0 #n #Hls #Hcur #Hrs
 606     >Hcur in Hgrid; #Hgrid >(is_grid_true … Hgrid) normalize in ⊢ (%→?);
 607     #Hc destruct (Hc)
 608   ]
 609 | (* in the interesting case, we execute a true iteration, then we restart the
 610      while cycle, finally we end with a false iteration *)
 611   #tb #tc #td whd in ⊢ (%→?); #Htc
 612   #Hstar1 #IH whd in ⊢ (%→?); #Hright lapply (IH Hright) -IH whd in ⊢ (%→?); #IH
 613   #ls #cur #rs #Htb %
 614   [ (* cur can't be true because we assume at least one iteration *)
 615     #Hcur cases (Htc … Htb) * #Hfalse @False_ind @Hfalse @(is_grid_true … Hcur)
 616   | (* current and a tuple are marked *)
 617    #c #l1 #c1 #l2 #l3 #ls0 #rs0 #n #Hls #Hcur #Hrs #Hc #Hc1 #Hl1bitnull #Hl1marks
 618    #Hl1len #Htable cases (Htc … Htb) -Htc -Htb * #_ #Htc
 619    (* expose the marked tuple in table *)
 620    cut (∃la,lb,mv,lc.l3 = la@〈comma,false〉::lb@〈comma,false〉::mv::lc ∧
 621          S n = |la| ∧ only_bits_or_nulls la)
 622    [@daemon] * #la * #lb * #mv * #lc * * #Hl3 #Hlalen #Hlabitnull
 623    >Hl3 in Htable; >append_cons #Htable
 624    >(?: l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0
 625       = (l2@[〈bar,false〉])@〈c1,true〉::la@〈comma,false〉::(lb@〈comma,false〉::mv::
 626          lc)@〈grid,false〉::rs0) in Hrs;
 627    [| >associative_append normalize >Hl3
 628       >associative_append normalize % ] #Hrs
 629    cases (Htc ????????? Hl1bitnull Hl1marks ?? Hlabitnull Hl1len ? Htable Hls Hcur Hrs)
 630    [5: <Hl1len @Hlalen
 631    |4: whd in ⊢ (??%?); >Hc1 %
 632    |3: whd in ⊢ (??%?); >Hc %
 633    |-Htc *
 634      [ (* case 1: match successful *)
 635        * #Heq #Htc % %{[]} %{lb} %{mv} %{lc} destruct (Heq) %
 636        [%
 637        | cases (IH … Htc) -IH #Houtc #_ >(Houtc (refl ??))
 638          >Htc @eq_f normalize >associative_append normalize
 639          >associative_append normalize %
 640        ]
 641      | (* case 2: tuples don't match, we still have other tuples to try *)
 642        * #Hdiff * #c2 * #l5 * #l6 * #Heqlblc #Htc
 643        cases (IH ??? … Htc) -IH #_ #IH
 644        (* by induction hypothesis *)
 645        lapply (IH ? l1 c2 (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5) l6 ? rs0 n (refl ??) (refl ??) ???????)
 646        [ generalize in match Htable;
 647          >associative_append normalize
 648          >associative_append normalize >Heqlblc
 649          >associative_append normalize //
 650        | @Hl1len
 651        | @Hl1marks
 652        | @Hl1bitnull
 653        | (*???*) @daemon
 654        | @Hc
 655        | >associative_append normalize
 656          >associative_append normalize
 657          >associative_append %
 658        |-IH *
 659          [ (* the while finally matches a tuple *)
 660            * #l7 * #newc * #mv0 * #l8 * #Hl7l8 #Houtc %
 661            >Heqlblc @(ex_intro ?? (〈bar,false〉::〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5@l7))
 662            %{newc} %{mv0} %{l8} %
 663            [ normalize >Hl7l8 >associative_append normalize
 664              >associative_append %
 665            | >Houtc @eq_f >associative_append normalize
 666              >associative_append normalize >associative_append
 667              normalize >associative_append %
 668            ]
 669          | (* the while fails finding a tuple: there are no matches in the whole table *)
 670            * #Houtc #Hdiff1 %2 %
 671            [ @Houtc
 672            | #l50 #newc #mv0 #l51 >Heqlblc
 673              @daemon
 674            ]
 675          ]
 676        ]
 677      ]
 678    | (* match failed and there is no next tuple: the next while cycle will just exit *)
 679      * * #Hdiff #Hnobars generalize in match (refl ? tc);
 680      cases tc in ⊢ (???% → %);
 681      [ #_ normalize in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 682      |2,3: #x #xs #_ normalize in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 683      #ls1 #cur1 #rs1 #Htc normalize in ⊢ (??%?→?); #Hcur1
 684      cases (IH … Htc) -IH #IH #_ %2 %
 685      [ destruct (Hcur1) >IH [ >Htc % | % ]
 686      | #l4 #newc #mv0 #l5
 687        (* no_bars except the first one, where the tuple does not match ⇒
 688           no match *)
 689         @daemon
 690      ]
 691    ]
 692  ]
 693 qed.
 694
 695 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 696   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 697   is_bit c = true → is_bit c1 = true →
 698   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 699   table_TM (S n) (〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2) →
 700   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 701          (l1@〈grid,false〉::〈bar,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 702   (* facciamo match *)
 703   (∃l3,newc,mv,l4.
 704    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2 = l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4 ∧
 705    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 706         (l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4@〈grid,false〉::rs))
 707   ∨
 708   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 709      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 710      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 711   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 712    ∀l3,newc,mv,l4.
 713    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4).
 714
 715 (* we still haven't proved termination *)
 716 axiom sem_match_tuple0 : Realize ? match_tuple R_match_tuple0.
 717
 718 lemma sem_match_tuple : Realize ? match_tuple R_match_tuple.
 719 generalize in match sem_match_tuple0; @Realize_to_Realize
 720 #t1 #t2 #HR #ls #c #l1 #c1 #l2 #rs #n #Hc #Hc1 #Hl1bitsnulls #Hl1marks #Hl1len #Htable #Ht1
 721 cases (HR … Ht1) -HR #_ #HR
 722 @(HR ??? [] … (refl ??) (refl ??) (refl ??) Hc Hc1 Hl1bitsnulls Hl1marks
 723           Hl1len  Htable)
 724 qed.