matita/matita/lib/turing/universal/match_machines.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 include "turing/universal/tuples.ma".
  14 include "turing/universal/marks.ma".
  15
  16 (*
  17 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
  18    ^                               ^
  19
  20 if current (* x *) = #
  21    then
  22    else if x = 0
  23       then move_right; ----
  24            adv_to_mark_r;
  25            if current (* x0 *) = 0
  26               then advance_mark ----
  27                    adv_to_mark_l;
  28                    advance_mark
  29               else STOP
  30       else x = 1 (* analogo *)
  31
  32 *)
  33
  34
  35 (*
  36    MARK NEXT TUPLE machine
  37    (partially axiomatized)
  38
  39    marks the first character after the first bar (rightwards)
  40  *)
  41
  42 definition mark_next_tuple ≝
  43   adv_to_mark_r ? bar_or_grid ·
  44      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
  45        (move_right_and_mark ?) (nop ?) tc_true).
  46
  47 definition R_mark_next_tuple ≝
  48   λt1,t2.
  49     ∀ls,c,rs1,rs2.
  50     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
  51     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
  52     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
  53     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
  54       no_bars rs3 ∧
  55       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
  56       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
  57     ∨
  58     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
  59
  60 axiom daemon :∀P:Prop.P.
  61
  62 axiom tech_split :
  63   ∀A:DeqSet.∀f,l.
  64    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
  65    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
  66 (*#A #f #l elim l
  67 [ % #x normalize #Hfalse *)
  68
  69 theorem sem_mark_next_tuple :
  70   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
  71 #intape
  72 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
  73          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) tc_true) ????)
  74 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
  75 | //
  76 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
  77    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
  78    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
  79    -Hloop
  80    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
  81    cases (proj2 ?? Hleft … Hrs)
  82    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
  83    | * * #_ #Hta #_ cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
  84      [ #H1 %2 % [@H1]
  85       lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
  86        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
  87        | %
  88        | -Hta #Hta cases Hright
  89          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); * * #c1 * >Hta
  90           whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct
  91          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htb >Htb >Hta
  92            whd in ⊢ (%→?); #H @H
  93          ]
  94        ]
  95     |* #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
  96      % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
  97      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
  98       [#x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
  99        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 100        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 101       |whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 102       |>Hsplit >associative_append %
 103       ]-Hta #Hta
 104      cases Hright -Hright
 105       [* whd in ⊢ (%→?); #tb * * * #c1 * >Hta -Hta
 106        whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) #Hc1 #Htb
 107        whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 108        cut (c1=〈bar,false〉)
 109         [lapply Hc1 lapply Hsplit cases c1 #c1l #c1r #Hsplit
 110          cases c1l normalize
 111           [#b #H destruct |2,3,5:#H destruct]
 112            #_ @eq_f @(Hrs1 … 〈c1l,c1r〉) >Hsplit @memb_append_l2 @memb_hd]
 113        #Hcut lapply Hsplit -Hsplit
 114        cases rs4 in Htb;
 115         [#Htb lapply(Houtc … Htb) -Houtc #Houtc #Hsplit
 116          @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false) %
 117           [% [ % [<Hcut @Hsplit |@Hrs3 ] | % ]
 118           |>Houtc >Hcut %
 119           ]
 120         |* #r5l #r5r #rs5 #Htb
 121          lapply(Houtc … Htb) -Houtc #Houtc #Hsplit
 122          @(ex_intro ?? r5l) @(ex_intro ?? r5r) %
 123           [%[%[<Hcut @Hsplit| @Hrs3] | % ]
 124           |>Houtc >Hcut %
 125           ]
 126         ]
 127       |* whd in ⊢ (%→?); #tb * *
 128        #H @False_ind >Hta in H; #H lapply(H c0 (refl …))
 129        >Hc0 #H destruct
 130       ]
 131     ]
 132   ]
 133 ]
 134 qed.
 135
 136 definition init_current_on_match ≝
 137   move_l ? · adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)) · move_r ? · mark ?.
 138
 139 definition R_init_current_on_match ≝ λt1,t2.
 140   ∀l1,l2,c,rs. no_grids l1 → is_grid c = false →
 141   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::l2)  〈grid,false〉 rs →
 142   t2 = midtape STape (〈grid,false〉::l2) 〈c,true〉 ((reverse ? l1)@〈grid,false〉::rs).
 143
 144 lemma sem_init_current_on_match :
 145   Realize ? init_current_on_match R_init_current_on_match.
 146 #intape
 147 cases (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 148         (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 149            (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))) intape)
 150 #k * #outc * #Hloop #HR
 151 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 152 #l1 #l2 #c #rs #Hl1 #Hc #Hintape
 153 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 154 generalize in match Hl1; cases l1
 155   [#Hl1 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 156    * #tb * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htb cases (Htb … Hta) -Htb -Hta #_
 157    (* [* >Hc #Htemp destruct (Htemp) ] *)
 158    #Htb cases (Htb … Hc) -Htb #Htb #_
 159    lapply (Htb [ ] 〈grid,false〉 ? (refl ??) (refl …) Hl1)
 160    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); -Htb #Htb
 161    * #tc * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc
 162    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 163    whd in ⊢ (%→?); * #Houtc #_ lapply (Houtc … Htc) -Houtc #Houtc
 164    >Houtc %
 165   |#d #tl #Htl whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 166    * #tb * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htb cases (Htb … Hta) -Htb
 167    #_ (* [* >(Htl … (memb_hd …)) #Htemp destruct (Htemp)]  *)
 168    #Htb cases (Htb ?) -Htb [2: @Htl @memb_hd]
 169    >append_cons #Htb #_ lapply (Htb … (refl ??) (refl …) ?)
 170     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 171       [@Htl @memb_cons @membx | >(memb_single … membx) @Hc]]-Htb  #Htb
 172    * #tc * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc
 173    >reverse_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 174    whd in ⊢ (%→?); * #Houtc #_ lapply (Houtc … Htc) -Houtc #Houtc
 175    >Houtc >reverse_cons >associative_append %
 176   ]
 177 qed.
 178
 179 (*
 180 definition init_current_gen ≝
 181   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 182     (seq ? (clear_mark ?)
 183        (seq ? (move_l ?)
 184          (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 185             (seq ? (move_r ?) (mark ?))))).
 186
 187 definition R_init_current_gen ≝ λt1,t2.
 188   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 →
 189   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 190   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 191   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 192         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 193
 194 lemma sem_init_current_gen : Realize ? init_current_gen R_init_current_gen.
 195 #intape
 196 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 197         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 198           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 199             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 200               (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))))) intape)
 201 #k * #outc * #Hloop #HR
 202 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 203 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hintape
 204 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta cases (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 205   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 206 * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%] -Hta #Hta
 207 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb -Hta #Htb
 208 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 209 generalize in match Hc; generalize in match Hl2; cases l2
 210   [#_ whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 211    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 212    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 213     [2: * whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp) ]
 214    * #_ #Htd >Htd in Htc; -Htd #Htd
 215    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 216    >reverse_append >reverse_cons
 217    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 218    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 219    >Houtc %
 220   |#d #tl #Htl #Hc0 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 221    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 222     [* >(Htl … (memb_hd …)) whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 223    * #Hd #Htd lapply (Htd … (refl ??) (refl ??) ?)
 224     [#x #membx @Htl @memb_cons @membx] -Htd #Htd
 225    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 226    >reverse_append >reverse_cons >reverse_cons
 227    >reverse_cons in Hc0; >reverse_cons cases (reverse ? tl)
 228      [normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0) #Hte
 229       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 230       >Houtc %
 231      |* #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 232       whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 233       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 234       >Houtc >associative_append >associative_append >associative_append %
 235      ]
 236    ]
 237 qed.
 238 *)
 239
 240 definition init_current ≝
 241   adv_to_mark_l ? (is_marked ?) ·clear_mark ? ·
 242     adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)) · move_r ? · mark ?.
 243
 244 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 245   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 246   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 247   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 248   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 249         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 250
 251 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 252 #intape
 253 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 254         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 255            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 256              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 257 #k * #outc * #Hloop #HR
 258 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 259 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Hta
 260 * #tb * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htb
 261 * #tc * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htc
 262 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); * #_ #Htd * #Houtc #_
 263 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 264 cases (Hta … Hintape) #_ -Hta #Hta cases (Hta (refl …)) -Hta
 265 #Hta #_ lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 266 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) #_ #Htc
 267 cases (Htc Hc) -Htc #Htc #_ lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 268 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 269 >reverse_append >reverse_cons
 270 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 271 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 272   #Htd >(Houtc … Htd) %
 273 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 274   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 275   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 276   >associative_append >associative_append %
 277 ]
 278 qed.
 279
 280 definition match_tuple_step ≝
 281   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 282    (single_finalTM ?
 283      (compare ·
 284       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 285         (nop ?)
 286         (mark_next_tuple ·
 287            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 288              (mark ?) (move_l ? · init_current) tc_true)) tc_true)))
 289     (nop ?) tc_true.
 290
 291 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 292   ∀ls,cur,rs.t1 = midtape STape ls cur rs →
 293   \fst cur ≠ grid ∧
 294   (∀ls0,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs0,n.
 295    only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) →
 296    bit_or_null c = true → bit_or_null c1 = true →
 297    only_bits_or_nulls l3 → S n = |l1| → |l1| = |l3| →
 298    table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 299    ls = 〈grid,false〉::ls0 → cur = 〈c,true〉 →
 300    rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs0 →
 301    (* facciamo match *)
 302    (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 303    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 304          (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs0))
 305    ∨
 306    (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 307    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 308     ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
 309     (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 310     t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈c,true〉
 311           (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
 312            l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs0))
 313    ∨
 314    (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 315       non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 316       non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 317    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 318
 319 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 320   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 321
 322 include alias "basics/logic.ma".
 323
 324 (*
 325 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 326   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 327     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 328 //
 329 qed-. *)
 330
 331 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 332   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 333 #A #l #a cases l normalize /2/
 334 qed.
 335
 336 axiom tech_split2 : ∀A,l1,l2,l3,l4,x.
 337   memb A x l1 = false → memb ? x l3 = false →
 338   l1@x::l2 = l3@x::l4 → l1 = l3 ∧ l2 = l4.
 339
 340 axiom injective_append : ∀A,l.injective … (λx.append A x l).
 341
 342 lemma sem_match_tuple_step:
 343     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … start_nop)))
 344     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 345 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 346   (sem_seq … sem_compare
 347     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 348       (sem_nop …)
 349         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 350            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 351              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 352   (sem_nop ?) …)
 353 [(* is_grid: termination case *)
 354  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); * #Hc #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1 %
 355   [lapply(Hc c ?) [>Ht1 %] #Hgrid @injective_notb @Hgrid |>H1 @H]
 356 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Hcur
 357  * #tapec * whd in ⊢ (%→?); #Hcompare #Hor
 358  #ls #cur #rs #Htapea >Htapea in Hcur; * * #c *
 359  normalize in ⊢ (%→?); #Hdes destruct (Hdes) #Hcur #Htapeb %
 360  [ % #Hfalse >Hfalse in Hcur; normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1)]
 361  #ls0 #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs0 #n #Hl1bitnull #Hl1marks #Hc #Hc1 #Hl3 #eqn
 362  #eqlen #Htable #Hls #Hcur #Hrs -Htapea >Hls in Htapeb; >Hcur >Hrs #Htapeb
 363  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 364  cases (Hcompare c c1 l1 l3 l2 (l4@〈grid,false〉::rs0) eqlen Hl1bitnull Hl3 Hl1marks … (refl …) Hc ?)
 365  -Hcompare
 366    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % % [%]
 367     >Htapec in Hor; -Htapec *
 368      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); * #H #_ @False_ind
 369       lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 370      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); * #_
 371       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped
 372       %
 373      ]
 374    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 375     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 376       [>H2 >H3 elim la
 377         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 378         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 379         ]
 380       ] #Hnoteq
 381     cut (bit_or_null d' = true)
 382       [cases la in H3;
 383         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 384         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 385          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 386         ]
 387       ] #Hd'
 388     >Htapec in Hor; -Htapec *
 389      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); * * #c0 * normalize in ⊢ (%→?);
 390       #Hdes destruct (Hdes) >(bit_or_null_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 391      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); * #_ (* * #_ #H cases (H … (refl …)) -H #_ *)
 392       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 393       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 394       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 395        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 396          [(* rs4 is empty : the case is absurd since the tape
 397             cannot end with a bar *)
 398           * #d * #b * * * #Heq1 @False_ind
 399           cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 400           >Hcut in Htable; >H3 >associative_append
 401           normalize >Heq1 <associative_append >Hcut
 402           <associative_append #Htable @(absurd … Htable)
 403           @last_of_table
 404          |(* rs4 not empty *)
 405           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 406           cut (memb STape 〈d2,b2〉 (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) = true)
 407             [@memb_append_l2
 408              cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 409              >Hcut >H3 >associative_append @memb_append_l2
 410              @memb_cons >Heq1 @memb_append_l2 @memb_cons @memb_hd] #d2intable
 411           cut (is_grid d2 = false)
 412             [@(no_grids_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hd2
 413           cut (b2 = false)
 414             [@(no_marks_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hb2
 415           >Hb2 in Heq1; #Heq1 -Hb2 -b2
 416           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 417            [(* we know current is not grid *)
 418             * #tapef * whd in ⊢ (%→?); * * #c0 *
 419             normalize in ⊢ (%→?); #Hdes destruct (Hdes) >Hd2
 420             #Htemp destruct (Htemp)
 421            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htapef
 422             * #tapeg >Htapef -Htapef *
 423             (* move_l *)
 424             whd in ⊢ (%→?); * #_ #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 425             >Htapeg -Htapeg
 426             (* init_current *)
 427              whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 428              cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 429              * #c00 #b00 #Hoption
 430              lapply
 431               (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? l2@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 432               c' (reverse ? la) false ls0 bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0) c00 b00 ?????) -Htapeout
 433                [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 434                 >associative_append
 435                  generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls0); #l
 436                 whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 437                |>reverse_cons @Hoption
 438                |cases la in H2;
 439                  [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 440                   @bit_or_null_not_grid @Hc
 441                  |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 442                   @bit_or_null_not_grid @(Hl1bitnull 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 443                  ]
 444                |cut (only_bits_or_nulls (la@(〈c',false〉::lb)))
 445                  [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 446                    [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1bitnull]
 447                  |#Hl1' #x #Hx @bit_or_null_not_grid @Hl1'
 448                   @memb_append_l1 @daemon
 449                  ]
 450                |@daemon] #Htapeout % %2 % //
 451             @(ex_intro … d2)
 452             cut (∃rs32.rs3 = lc@〈comma,false〉::rs32)
 453                  [ (*cases (tech_split STape (λc.c == 〈bar,false〉) l4)
 454                   [
 455                   | * #l41 * * #cbar #bfalse * #l42 * * #Hbar #Hl4 #Hl41
 456                     @(ex_intro ?? l41) >Hl4 in Heq1; #Heq1
 457
 458                 cut (sublist … lc l3)
 459                   [ #x #Hx cases la in H3;
 460                     [ normalize #H3 destruct (H3) @Hx
 461                     | #p #la' normalize #Hla' destruct (Hla')
 462                       @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ] ] #Hsublist*)
 463                 @daemon]
 464                 * #rs32 #Hrs3
 465                 (* cut
 466                 (〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4= la@〈d',false〉::rs3@〈bar,false〉::〈d2,b2〉::rs3')
 467                 [@daemon] #Hcut *)
 468                 cut (l4=rs32@〈bar,false〉::〈d2,false〉::rs3')
 469                 [ >Hrs3 in Heq1; @daemon ] #Hl4
 470                 @(ex_intro … rs32) @(ex_intro … rs3') % [@Hl4]
 471                 >Htapeout @eq_f2
 472                    [(* by Hoption, H2 *) @daemon
 473                    |(*>Hrs3 *)>append_cons
 474                     > (?:l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs
 475                         = (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@[〈bar,false〉])@〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs)
 476                     [|>associative_append normalize
 477                       >associative_append normalize
 478                       >associative_append normalize
 479                       >associative_append normalize
 480                        % ]
 481                     >reverse_append >reverse_append >reverse_cons
 482                     >reverse_reverse >reverse_cons >reverse_reverse
 483                     >reverse_append >reverse_append >reverse_cons
 484                     >reverse_reverse >reverse_reverse >reverse_reverse
 485                     >(?:(la@[〈c',false〉])@((((lb@[〈grid,false〉])@l2)@la)@[〈d',false〉])@rs3
 486                        =((la@〈c',false〉::lb)@([〈grid,false〉]@l2@la@[〈d',false〉]@rs3)))
 487                     [|>associative_append >associative_append
 488                       >associative_append >associative_append >associative_append
 489                       >associative_append % ]
 490                     <H2 normalize in ⊢ (??%?); >Hrs3
 491                     >associative_append >associative_append normalize
 492                     >associative_append >associative_append
 493                     @eq_f @eq_f @eq_f
 494                     >(?:la@(〈d',false〉::lc@〈comma,false〉::rs32)@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0 =
 495                         (la@〈d',false〉::lc)@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0 )
 496                     [| >associative_append normalize >associative_append % ]
 497                     <H3 %
 498                    ]
 499                  ]
 500               ]
 501        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 502          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); * #_
 503           #Htapef >Htapef -Htapef
 504           whd in ⊢ (%→?); * #Htapeout #_ %2 %
 505           [% [//] whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 506           | >(Htapeout … (refl …)) % ]
 507          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?);
 508           * #Hc0 lapply(Hc0 … (refl … )) normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 509          ]
 510        |(* no marks in table *)
 511         #x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 512         @memb_append_l2
 513         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 514         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 515        |(* no grids in table *)
 516         #x #membx @(no_grids_in_table … Htable)
 517         @memb_append_l2
 518         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 519         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 520        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_or_null_not_grid … Hd') >(bit_or_null_not_bar … Hd') %
 521        ]
 522      ]
 523    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 524     @memb_append_l2 @memb_cons @memb_append_l1 @membx
 525    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 526     @memb_append_l1 @membx
 527    |%
 528    ]
 529  ]
 530 qed.
 531
 532 (*
 533   MATCH TUPLE
 534
 535   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 536   current configuration is found
 537 *)
 538
 539 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
 540
 541 lemma is_grid_true : ∀c.is_grid c = true → c = grid.
 542 * normalize [ #b ] #H // destruct (H)
 543 qed.
 544
 545 (* possible variante ?
 546 definition weakR_match_tuple ≝ λt1,t2.
 547   (∀ls,cur,rs,b. t1 = midtape STape ls 〈grid,b〉 rs → t2 = t1) ∧
 548   (∀c,l1,c1,l2,l3,ls0,rs0,n.
 549   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈bit c,true〉 rs
 550     (l1@〈grid,false〉::l2@〈bit c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0) →
 551   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 552   table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3) →
 553   (* facciamo match *)
 554   (∃l4,newc,mv,l5.
 555    〈c1,false〉::l3 = l4@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5 ∧
 556    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 557         (l2@l4@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5@
 558         〈grid,false〉::rs0))
 559   ∨
 560   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 561      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 562      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 563   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 564    ∀l4,newc,mv,l5.
 565    〈c1,false〉::l3 ≠ l4@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5)).
 566 *)
 567
 568 definition R_match_tuple0 ≝ λt1,t2.
 569   ∀ls,cur,rs.
 570   t1 = midtape STape ls cur rs →
 571   (is_grid (\fst cur) = true → t2 = t1) ∧
 572   (∀c,l1,c1,l2,l3,ls0,rs0,n.
 573   ls = 〈grid,false〉::ls0 →
 574   cur = 〈c,true〉 →
 575   rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0 →
 576   is_bit c = true → is_bit c1 = true →
 577   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 578   table_TM (S n) (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3) →
 579   (* facciamo match *)
 580   (∃l4,newc,mv,l5.
 581    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3 = l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5 ∧
 582    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 583         (l2@l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5@
 584         〈grid,false〉::rs0))
 585   ∨
 586   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 587      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 588      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 589   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 590    ∀l4,newc,mv,l5.
 591    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3 ≠ l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5)).
 592
 593 axiom table_bit_after_bar :
 594   ∀n,l1,c,l2.table_TM n (l1@〈bar,false〉::〈c,false〉::l2) → is_bit c = true.
 595
 596 lemma wsem_match_tuple : WRealize ? match_tuple R_match_tuple0.
 597 #intape #k #outc #Hloop
 598 lapply (sem_while … sem_match_tuple_step intape k outc Hloop) [%] -Hloop
 599 * #ta * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 600 [ #tb whd in ⊢ (%→?); #Hleft
 601   #ls #cur #rs #Htb cases (Hleft … Htb) #Hgrid #Houtc %
 602   [ #_ @Houtc
 603   | #c #l1 #c1 #l2 #l3 #ls0 #rs0 #n #Hls #Hcur #Hrs
 604     >Hcur in Hgrid; #Hgrid >(is_grid_true … Hgrid) normalize in ⊢ (%→?);
 605     #Hc destruct (Hc)
 606   ]
 607 | (* in the interesting case, we execute a true iteration, then we restart the
 608      while cycle, finally we end with a false iteration *)
 609   #tb #tc #td whd in ⊢ (%→?); #Htc
 610   #Hstar1 #IH whd in ⊢ (%→?); #Hright lapply (IH Hright) -IH whd in ⊢ (%→?); #IH
 611   #ls #cur #rs #Htb %
 612   [ (* cur can't be true because we assume at least one iteration *)
 613     #Hcur cases (Htc … Htb) * #Hfalse @False_ind @Hfalse @(is_grid_true … Hcur)
 614   | (* current and a tuple are marked *)
 615    #c #l1 #c1 #l2 #l3 #ls0 #rs0 #n #Hls #Hcur #Hrs #Hc #Hc1 #Hl1bitnull #Hl1marks
 616    #Hl1len #Htable cases (Htc … Htb) -Htc -Htb * #_ #Htc
 617    (* expose the marked tuple in table *)
 618    cut (∃la,lb,mv,lc.l3 = la@〈comma,false〉::lb@〈comma,false〉::mv::lc ∧
 619          S n = |la| ∧ only_bits_or_nulls la)
 620    [@daemon] * #la * #lb * #mv * #lc * * #Hl3 #Hlalen #Hlabitnull
 621    >Hl3 in Htable; >append_cons #Htable
 622    >(?: l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0
 623       = (l2@[〈bar,false〉])@〈c1,true〉::la@〈comma,false〉::(lb@〈comma,false〉::mv::
 624          lc)@〈grid,false〉::rs0) in Hrs;
 625    [| >associative_append normalize >Hl3
 626       >associative_append normalize % ] #Hrs
 627    cases (Htc ????????? Hl1bitnull Hl1marks ?? Hlabitnull Hl1len ? Htable Hls Hcur Hrs)
 628    [5: <Hl1len @Hlalen
 629    |4: whd in ⊢ (??%?); >Hc1 %
 630    |3: whd in ⊢ (??%?); >Hc %
 631    |-Htc *
 632      [ (* case 1: match successful *)
 633        * #Heq #Htc % %{[]} %{lb} %{mv} %{lc} destruct (Heq) %
 634        [%
 635        | cases (IH … Htc) -IH #Houtc #_ >(Houtc (refl ??))
 636          >Htc @eq_f normalize >associative_append normalize
 637          >associative_append normalize %
 638        ]
 639      | (* case 2: tuples don't match, we still have other tuples to try *)
 640        * #Hdiff * #c2 * #l5 * #l6 * #Heqlblc #Htc
 641        cases (IH ??? … Htc) -IH #_ #IH
 642        (* by induction hypothesis *)
 643        lapply (IH ? l1 c2 (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5) l6 ? rs0 n (refl ??) (refl ??) ???????)
 644        [ generalize in match Htable;
 645          >associative_append normalize
 646          >associative_append normalize >Heqlblc
 647          >associative_append normalize //
 648        | @Hl1len
 649        | @Hl1marks
 650        | @Hl1bitnull
 651        | (*???*) @daemon
 652        | @Hc
 653        | >associative_append normalize
 654          >associative_append normalize
 655          >associative_append %
 656        |-IH *
 657          [ (* the while finally matches a tuple *)
 658            * #l7 * #newc * #mv0 * #l8 * #Hl7l8 #Houtc %
 659            >Heqlblc @(ex_intro ?? (〈bar,false〉::〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5@l7))
 660            %{newc} %{mv0} %{l8} %
 661            [ normalize >Hl7l8 >associative_append normalize
 662              >associative_append %
 663            | >Houtc @eq_f >associative_append normalize
 664              >associative_append normalize >associative_append
 665              normalize >associative_append %
 666            ]
 667          | (* the while fails finding a tuple: there are no matches in the whole table *)
 668            * #Houtc #Hdiff1 %2 %
 669            [ @Houtc
 670            | #l50 #newc #mv0 #l51 >Heqlblc
 671              @daemon
 672            ]
 673          ]
 674        ]
 675      ]
 676    | (* match failed and there is no next tuple: the next while cycle will just exit *)
 677      * * #Hdiff #Hnobars generalize in match (refl ? tc);
 678      cases tc in ⊢ (???% → %);
 679      [ #_ normalize in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 680      |2,3: #x #xs #_ normalize in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 681      #ls1 #cur1 #rs1 #Htc normalize in ⊢ (??%?→?); #Hcur1
 682      cases (IH … Htc) -IH #IH #_ %2 %
 683      [ destruct (Hcur1) >IH [ >Htc % | % ]
 684      | #l4 #newc #mv0 #l5
 685        (* no_bars except the first one, where the tuple does not match ⇒
 686           no match *)
 687         @daemon
 688      ]
 689    ]
 690  ]
 691 qed.
 692
 693 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 694   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 695   is_bit c = true → is_bit c1 = true →
 696   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 697   table_TM (S n) (〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2) →
 698   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 699          (l1@〈grid,false〉::〈bar,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 700   (* facciamo match *)
 701   (∃l3,newc,mv,l4.
 702    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2 = l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4 ∧
 703    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 704         (l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4@〈grid,false〉::rs))
 705   ∨
 706   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 707      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 708      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 709   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 710    ∀l3,newc,mv,l4.
 711    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4).
 712
 713 (* we still haven't proved termination *)
 714 axiom sem_match_tuple0 : Realize ? match_tuple R_match_tuple0.
 715
 716 lemma sem_match_tuple : Realize ? match_tuple R_match_tuple.
 717 generalize in match sem_match_tuple0; @Realize_to_Realize
 718 #t1 #t2 #HR #ls #c #l1 #c1 #l2 #rs #n #Hc #Hc1 #Hl1bitsnulls #Hl1marks #Hl1len #Htable #Ht1
 719 cases (HR … Ht1) -HR #_ #HR
 720 @(HR ??? [] … (refl ??) (refl ??) (refl ??) Hc Hc1 Hl1bitsnulls Hl1marks
 721           Hl1len  Htable)
 722 qed.