matita/matita/lib/turing/universal/match_machines.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 include "turing/universal/tuples.ma".
  14 include "turing/universal/marks.ma".
  15
  16 (*
  17 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
  18    ^                               ^
  19
  20 if current (* x *) = #
  21    then
  22    else if x = 0
  23       then move_right; ----
  24            adv_to_mark_r;
  25            if current (* x0 *) = 0
  26               then advance_mark ----
  27                    adv_to_mark_l;
  28                    advance_mark
  29               else STOP
  30       else x = 1 (* analogo *)
  31
  32 *)
  33
  34
  35 (*
  36    MARK NEXT TUPLE machine
  37    (partially axiomatized)
  38
  39    marks the first character after the first bar (rightwards)
  40  *)
  41
  42 definition mark_next_tuple ≝
  43   adv_to_mark_r ? bar_or_grid ·
  44      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
  45        (move_right_and_mark ?) (nop ?) tc_true).
  46
  47 definition R_mark_next_tuple ≝
  48   λt1,t2.
  49     ∀ls,c,rs1,rs2.
  50     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
  51     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
  52     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
  53     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
  54       no_bars rs3 ∧
  55       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
  56       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
  57     ∨
  58     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
  59
  60 axiom daemon :∀P:Prop.P.
  61
  62 axiom tech_split :
  63   ∀A:DeqSet.∀f,l.
  64    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
  65    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
  66 (*#A #f #l elim l
  67 [ % #x normalize #Hfalse *)
  68
  69 theorem sem_mark_next_tuple :
  70   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
  71 #intape
  72 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
  73          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) tc_true) ????)
  74 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
  75 | //
  76 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
  77    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
  78    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
  79    -Hloop
  80    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
  81    cases (proj2 ?? Hleft … Hrs)
  82    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
  83    | * * #_ #Hta #_ cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
  84      [ #H1 %2 % [@H1]
  85       lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
  86        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
  87        | %
  88        | -Hta #Hta cases Hright
  89          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); * * #c1 * >Hta
  90           whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct
  91          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htb >Htb >Hta
  92            whd in ⊢ (%→?); #H @H
  93          ]
  94        ]
  95     |* #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
  96      % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
  97      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
  98       [#x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
  99        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 100        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 101       |whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 102       |>Hsplit >associative_append %
 103       ]-Hta #Hta
 104      cases Hright -Hright
 105       [* whd in ⊢ (%→?); #tb * * * #c1 * >Hta -Hta
 106        whd in ⊢ (??%?→?); #H destruct (H) #Hc1 #Htb
 107        whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 108        cut (c1=〈bar,false〉)
 109         [lapply Hc1 lapply Hsplit cases c1 #c1l #c1r #Hsplit
 110          cases c1l normalize
 111           [#b #H destruct |2,3,5:#H destruct]
 112            #_ @eq_f @(Hrs1 … 〈c1l,c1r〉) >Hsplit @memb_append_l2 @memb_hd]
 113        #Hcut lapply Hsplit -Hsplit
 114        cases rs4 in Htb;
 115         [#Htb lapply(Houtc … Htb) -Houtc #Houtc #Hsplit
 116          @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false) %
 117           [% [ % [<Hcut @Hsplit |@Hrs3 ] | % ]
 118           |>Houtc >Hcut %
 119           ]
 120         |* #r5l #r5r #rs5 #Htb
 121          lapply(Houtc … Htb) -Houtc #Houtc #Hsplit
 122          @(ex_intro ?? r5l) @(ex_intro ?? r5r) %
 123           [%[%[<Hcut @Hsplit| @Hrs3] | % ]
 124           |>Houtc >Hcut %
 125           ]
 126         ]
 127       |* whd in ⊢ (%→?); #tb * *
 128        #H @False_ind >Hta in H; #H lapply(H c0 (refl …))
 129        >Hc0 #H destruct
 130       ]
 131     ]
 132   ]
 133 ]
 134 qed.
 135
 136 definition init_current_on_match ≝
 137   move_l ? · adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)) · move_r ? · mark ?.
 138
 139 definition R_init_current_on_match ≝ λt1,t2.
 140   ∀l1,l2,c,rs. no_grids l1 → is_grid c = false →
 141   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::l2)  〈grid,false〉 rs →
 142   t2 = midtape STape (〈grid,false〉::l2) 〈c,true〉 ((reverse ? l1)@〈grid,false〉::rs).
 143
 144 lemma sem_init_current_on_match :
 145   Realize ? init_current_on_match R_init_current_on_match.
 146 #intape
 147 cases (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 148         (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 149            (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))) intape)
 150 #k * #outc * #Hloop #HR
 151 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 152 #l1 #l2 #c #rs #Hl1 #Hc #Hintape
 153 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 154 generalize in match Hl1; cases l1
 155   [#Hl1 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 156    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Hta
 157     [* >Hc #Htemp destruct (Htemp) ]
 158    * #_ #Htc lapply (Htc [ ] 〈grid,false〉 ? (refl ??) (refl …) Hl1)
 159    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); -Htc #Htc
 160    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htc -Htd
 161    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htd
 162    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htd) -Houtc #Houtc
 163    >Houtc %
 164   |#d #tl #Htl whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 165    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Htb
 166     [* >(Htl … (memb_hd …)) #Htemp destruct (Htemp)]
 167    * #Hd >append_cons #Htb lapply (Htb … (refl ??) (refl …) ?)
 168     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 169       [@Htl @memb_cons @membx | >(memb_single … membx) @Hc]]-Htb  #Htb
 170    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc
 171    >reverse_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 172    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc #Houtc
 173    >Houtc >reverse_cons >associative_append %
 174   ]
 175 qed.
 176
 177 (*
 178 definition init_current_gen ≝
 179   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 180     (seq ? (clear_mark ?)
 181        (seq ? (move_l ?)
 182          (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 183             (seq ? (move_r ?) (mark ?))))).
 184
 185 definition R_init_current_gen ≝ λt1,t2.
 186   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 →
 187   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 188   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 189   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 190         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 191
 192 lemma sem_init_current_gen : Realize ? init_current_gen R_init_current_gen.
 193 #intape
 194 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 195         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 196           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 197             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 198               (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))))) intape)
 199 #k * #outc * #Hloop #HR
 200 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 201 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hintape
 202 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta cases (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 203   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 204 * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%] -Hta #Hta
 205 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb -Hta #Htb
 206 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 207 generalize in match Hc; generalize in match Hl2; cases l2
 208   [#_ whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 209    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 210    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 211     [2: * whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp) ]
 212    * #_ #Htd >Htd in Htc; -Htd #Htd
 213    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 214    >reverse_append >reverse_cons
 215    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 216    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 217    >Houtc %
 218   |#d #tl #Htl #Hc0 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 219    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 220     [* >(Htl … (memb_hd …)) whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 221    * #Hd #Htd lapply (Htd … (refl ??) (refl ??) ?)
 222     [#x #membx @Htl @memb_cons @membx] -Htd #Htd
 223    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 224    >reverse_append >reverse_cons >reverse_cons
 225    >reverse_cons in Hc0; >reverse_cons cases (reverse ? tl)
 226      [normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0) #Hte
 227       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 228       >Houtc %
 229      |* #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 230       whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 231       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 232       >Houtc >associative_append >associative_append >associative_append %
 233      ]
 234    ]
 235 qed.
 236 *)
 237
 238 definition init_current ≝
 239   adv_to_mark_l ? (is_marked ?) ·clear_mark ? ·
 240     adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)) · move_r ? · mark ?.
 241
 242 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 243   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 244   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 245   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 246   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 247         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 248
 249 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 250 #intape
 251 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 252         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 253            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 254              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 255 #k * #outc * #Hloop #HR
 256 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 257 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 258 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 259 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 260 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 261 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 262 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 263 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 264 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 265 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 266 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 267 >reverse_append >reverse_cons
 268 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 269 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 270   #Htd >(Houtc … Htd) %
 271 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 272   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 273   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 274   >associative_append >associative_append %
 275 ]
 276 qed.
 277
 278 definition match_tuple_step ≝
 279   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 280    (single_finalTM ?
 281      (compare ·
 282       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 283         (nop ?)
 284         (mark_next_tuple ·
 285            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 286              (mark ?) (move_l ? · init_current) tc_true)) tc_true)))
 287     (nop ?) tc_true.
 288
 289 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 290   ∀ls,cur,rs.t1 = midtape STape ls cur rs →
 291   \fst cur ≠ grid ∧
 292   (∀ls0,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs0,n.
 293    only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) →
 294    bit_or_null c = true → bit_or_null c1 = true →
 295    only_bits_or_nulls l3 → S n = |l1| → |l1| = |l3| →
 296    table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 297    ls = 〈grid,false〉::ls0 → cur = 〈c,true〉 →
 298    rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs0 →
 299    (* facciamo match *)
 300    (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 301    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 302          (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs0))
 303    ∨
 304    (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 305    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 306     ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
 307     (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 308     t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈c,true〉
 309           (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
 310            l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs0))
 311    ∨
 312    (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 313       non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 314       non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 315    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 316
 317 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 318   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 319
 320 include alias "basics/logic.ma".
 321
 322 (*
 323 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 324   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 325     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 326 //
 327 qed-. *)
 328
 329 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 330   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 331 #A #l #a cases l normalize /2/
 332 qed.
 333
 334 axiom tech_split2 : ∀A,l1,l2,l3,l4,x.
 335   memb A x l1 = false → memb ? x l3 = false →
 336   l1@x::l2 = l3@x::l4 → l1 = l3 ∧ l2 = l4.
 337
 338 axiom injective_append : ∀A,l.injective … (λx.append A x l).
 339
 340 lemma sem_match_tuple_step:
 341     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … start_nop)))
 342     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 343 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 344   (sem_seq … sem_compare
 345     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 346       (sem_nop …)
 347         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 348            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 349              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 350   (sem_nop ?) …)
 351 [(* is_grid: termination case *)
 352  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1
 353   cases (H c ?) [2: >Ht1 %] #Hgrid #Heq %
 354     [@injective_notb @Hgrid | <Heq @H1]
 355 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Hcur
 356  * #tapec * whd in ⊢ (%→?); #Hcompare #Hor
 357  #ls #cur #rs #Htapea >Htapea in Hcur; #Hcur cases (Hcur ? (refl ??))
 358  -Hcur #Hcur #Htapeb %
 359  [ % #Hfalse >Hfalse in Hcur; normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1)]
 360  #ls0 #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs0 #n #Hl1bitnull #Hl1marks #Hc #Hc1 #Hl3 #eqn
 361  #eqlen #Htable #Hls #Hcur #Hrs -Htapea >Hls in Htapeb; >Hcur >Hrs #Htapeb
 362  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 363  cases (Hcompare c c1 l1 l3 l2 (l4@〈grid,false〉::rs0) eqlen Hl1bitnull Hl3 Hl1marks … (refl …) Hc ?)
 364  -Hcompare
 365    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % % [%]
 366     >Htapec in Hor; -Htapec *
 367      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 368       cases (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 369      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #Htaped cases (Htaped ? (refl …)) -Htaped *
 370       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped
 371       %
 372      ]
 373    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 374     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 375       [>H2 >H3 elim la
 376         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 377         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 378         ]
 379       ] #Hnoteq
 380     cut (bit_or_null d' = true)
 381       [cases la in H3;
 382         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 383         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 384          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 385         ]
 386       ] #Hd'
 387     >Htapec in Hor; -Htapec *
 388      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 389       cases (H … (refl …)) >(bit_or_null_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 390      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H cases (H … (refl …)) -H #_
 391       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 392       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 393       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 394        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 395          [(* rs4 is empty : the case is absurd since the tape
 396             cannot end with a bar *)
 397           * #d * #b * * * #Heq1 @False_ind
 398           cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 399           >Hcut in Htable; >H3 >associative_append
 400           normalize >Heq1 <associative_append >Hcut
 401           <associative_append #Htable @(absurd … Htable)
 402           @last_of_table
 403          |(* rs4 not empty *)
 404           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 405           cut (memb STape 〈d2,b2〉 (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) = true)
 406             [@memb_append_l2
 407              cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 408              >Hcut >H3 >associative_append @memb_append_l2
 409              @memb_cons >Heq1 @memb_append_l2 @memb_cons @memb_hd] #d2intable
 410           cut (is_grid d2 = false)
 411             [@(no_grids_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hd2
 412           cut (b2 = false)
 413             [@(no_marks_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hb2
 414           >Hb2 in Heq1; #Heq1 -Hb2 -b2
 415           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 416            [(* we know current is not grid *)
 417             * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 418             cases (Htapef … (refl …)) >Hd2 #Htemp destruct (Htemp)
 419            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 420             cases (Htapef … (refl …)) #_ -Htapef #Htapef
 421             * #tapeg >Htapef -Htapef *
 422             (* move_l *)
 423             whd in ⊢ (%→?);
 424             #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 425             >Htapeg -Htapeg
 426             (* init_current *)
 427              whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 428              cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 429              * #c00 #b00 #Hoption
 430              lapply
 431               (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? l2@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 432               c' (reverse ? la) false ls0 bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0) c00 b00 ?????) -Htapeout
 433                [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 434                 >associative_append
 435                  generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls0); #l
 436                 whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 437                |>reverse_cons @Hoption
 438                |cases la in H2;
 439                  [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 440                   @bit_or_null_not_grid @Hc
 441                  |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 442                   @bit_or_null_not_grid @(Hl1bitnull 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 443                  ]
 444                |cut (only_bits_or_nulls (la@(〈c',false〉::lb)))
 445                  [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 446                    [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1bitnull]
 447                  |#Hl1' #x #Hx @bit_or_null_not_grid @Hl1'
 448                   @memb_append_l1 @daemon
 449                  ]
 450                |@daemon] #Htapeout % %2 % //
 451             @(ex_intro … d2)
 452             cut (∃rs32.rs3 = lc@〈comma,false〉::rs32)
 453                  [ (*cases (tech_split STape (λc.c == 〈bar,false〉) l4)
 454                   [
 455                   | * #l41 * * #cbar #bfalse * #l42 * * #Hbar #Hl4 #Hl41
 456                     @(ex_intro ?? l41) >Hl4 in Heq1; #Heq1
 457
 458                 cut (sublist … lc l3)
 459                   [ #x #Hx cases la in H3;
 460                     [ normalize #H3 destruct (H3) @Hx
 461                     | #p #la' normalize #Hla' destruct (Hla')
 462                       @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ] ] #Hsublist*)
 463                 @daemon]
 464                 * #rs32 #Hrs3
 465                 (* cut
 466                 (〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4= la@〈d',false〉::rs3@〈bar,false〉::〈d2,b2〉::rs3')
 467                 [@daemon] #Hcut *)
 468                 cut (l4=rs32@〈bar,false〉::〈d2,false〉::rs3')
 469                 [ >Hrs3 in Heq1; @daemon ] #Hl4
 470                 @(ex_intro … rs32) @(ex_intro … rs3') % [@Hl4]
 471                 >Htapeout @eq_f2
 472                    [(* by Hoption, H2 *) @daemon
 473                    |(*>Hrs3 *)>append_cons
 474                     > (?:l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs
 475                         = (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@[〈bar,false〉])@〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs)
 476                     [|>associative_append normalize
 477                       >associative_append normalize
 478                       >associative_append normalize
 479                       >associative_append normalize
 480                        % ]
 481                     >reverse_append >reverse_append >reverse_cons
 482                     >reverse_reverse >reverse_cons >reverse_reverse
 483                     >reverse_append >reverse_append >reverse_cons
 484                     >reverse_reverse >reverse_reverse >reverse_reverse
 485                     >(?:(la@[〈c',false〉])@((((lb@[〈grid,false〉])@l2)@la)@[〈d',false〉])@rs3
 486                        =((la@〈c',false〉::lb)@([〈grid,false〉]@l2@la@[〈d',false〉]@rs3)))
 487                     [|>associative_append >associative_append
 488                       >associative_append >associative_append >associative_append
 489                       >associative_append % ]
 490                     <H2 normalize in ⊢ (??%?); >Hrs3
 491                     >associative_append >associative_append normalize
 492                     >associative_append >associative_append
 493                     @eq_f @eq_f @eq_f
 494                     >(?:la@(〈d',false〉::lc@〈comma,false〉::rs32)@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0 =
 495                         (la@〈d',false〉::lc)@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0 )
 496                     [| >associative_append normalize >associative_append % ]
 497                     <H3 %
 498                    ]
 499                  ]
 500               ]
 501        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 502          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 503           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 504           whd in ⊢ (%→?); #Htapeout %2 %
 505           [% [//] whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 506           | >(Htapeout … (refl …)) % ]
 507          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 508           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef
 509           whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 510          ]
 511        |(* no marks in table *)
 512         #x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 513         @memb_append_l2
 514         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 515         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 516        |(* no grids in table *)
 517         #x #membx @(no_grids_in_table … Htable)
 518         @memb_append_l2
 519         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 520         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 521        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_or_null_not_grid … Hd') >(bit_or_null_not_bar … Hd') %
 522        ]
 523      ]
 524    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 525     @memb_append_l2 @memb_cons @memb_append_l1 @membx
 526    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 527     @memb_append_l1 @membx
 528    |%
 529    ]
 530  ]
 531 qed.
 532
 533 (*
 534   MATCH TUPLE
 535
 536   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 537   current configuration is found
 538 *)
 539
 540 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
 541
 542 lemma is_grid_true : ∀c.is_grid c = true → c = grid.
 543 * normalize [ #b ] #H // destruct (H)
 544 qed.
 545
 546 (* possible variante ?
 547 definition weakR_match_tuple ≝ λt1,t2.
 548   (∀ls,cur,rs,b. t1 = midtape STape ls 〈grid,b〉 rs → t2 = t1) ∧
 549   (∀c,l1,c1,l2,l3,ls0,rs0,n.
 550   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈bit c,true〉 rs
 551     (l1@〈grid,false〉::l2@〈bit c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0) →
 552   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 553   table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3) →
 554   (* facciamo match *)
 555   (∃l4,newc,mv,l5.
 556    〈c1,false〉::l3 = l4@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5 ∧
 557    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 558         (l2@l4@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5@
 559         〈grid,false〉::rs0))
 560   ∨
 561   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 562      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 563      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 564   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 565    ∀l4,newc,mv,l5.
 566    〈c1,false〉::l3 ≠ l4@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5)).
 567 *)
 568
 569 definition R_match_tuple0 ≝ λt1,t2.
 570   ∀ls,cur,rs.
 571   t1 = midtape STape ls cur rs →
 572   (is_grid (\fst cur) = true → t2 = t1) ∧
 573   (∀c,l1,c1,l2,l3,ls0,rs0,n.
 574   ls = 〈grid,false〉::ls0 →
 575   cur = 〈c,true〉 →
 576   rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0 →
 577   is_bit c = true → is_bit c1 = true →
 578   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 579   table_TM (S n) (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3) →
 580   (* facciamo match *)
 581   (∃l4,newc,mv,l5.
 582    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3 = l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5 ∧
 583    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 584         (l2@l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5@
 585         〈grid,false〉::rs0))
 586   ∨
 587   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 588      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 589      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 590   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 591    ∀l4,newc,mv,l5.
 592    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3 ≠ l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5)).
 593
 594 axiom table_bit_after_bar :
 595   ∀n,l1,c,l2.table_TM n (l1@〈bar,false〉::〈c,false〉::l2) → is_bit c = true.
 596
 597 lemma wsem_match_tuple : WRealize ? match_tuple R_match_tuple0.
 598 #intape #k #outc #Hloop
 599 lapply (sem_while … sem_match_tuple_step intape k outc Hloop) [%] -Hloop
 600 * #ta * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 601 [ #tb whd in ⊢ (%→?); #Hleft
 602   #ls #cur #rs #Htb cases (Hleft … Htb) #Hgrid #Houtc %
 603   [ #_ @Houtc
 604   | #c #l1 #c1 #l2 #l3 #ls0 #rs0 #n #Hls #Hcur #Hrs
 605     >Hcur in Hgrid; #Hgrid >(is_grid_true … Hgrid) normalize in ⊢ (%→?);
 606     #Hc destruct (Hc)
 607   ]
 608 | (* in the interesting case, we execute a true iteration, then we restart the
 609      while cycle, finally we end with a false iteration *)
 610   #tb #tc #td whd in ⊢ (%→?); #Htc
 611   #Hstar1 #IH whd in ⊢ (%→?); #Hright lapply (IH Hright) -IH whd in ⊢ (%→?); #IH
 612   #ls #cur #rs #Htb %
 613   [ (* cur can't be true because we assume at least one iteration *)
 614     #Hcur cases (Htc … Htb) * #Hfalse @False_ind @Hfalse @(is_grid_true … Hcur)
 615   | (* current and a tuple are marked *)
 616    #c #l1 #c1 #l2 #l3 #ls0 #rs0 #n #Hls #Hcur #Hrs #Hc #Hc1 #Hl1bitnull #Hl1marks
 617    #Hl1len #Htable cases (Htc … Htb) -Htc -Htb * #_ #Htc
 618    (* expose the marked tuple in table *)
 619    cut (∃la,lb,mv,lc.l3 = la@〈comma,false〉::lb@〈comma,false〉::mv::lc ∧
 620          S n = |la| ∧ only_bits_or_nulls la)
 621    [@daemon] * #la * #lb * #mv * #lc * * #Hl3 #Hlalen #Hlabitnull
 622    >Hl3 in Htable; >append_cons #Htable
 623    >(?: l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0
 624       = (l2@[〈bar,false〉])@〈c1,true〉::la@〈comma,false〉::(lb@〈comma,false〉::mv::
 625          lc)@〈grid,false〉::rs0) in Hrs;
 626    [| >associative_append normalize >Hl3
 627       >associative_append normalize % ] #Hrs
 628    cases (Htc ????????? Hl1bitnull Hl1marks ?? Hlabitnull Hl1len ? Htable Hls Hcur Hrs)
 629    [5: <Hl1len @Hlalen
 630    |4: whd in ⊢ (??%?); >Hc1 %
 631    |3: whd in ⊢ (??%?); >Hc %
 632    |-Htc *
 633      [ (* case 1: match successful *)
 634        * #Heq #Htc % %{[]} %{lb} %{mv} %{lc} destruct (Heq) %
 635        [%
 636        | cases (IH … Htc) -IH #Houtc #_ >(Houtc (refl ??))
 637          >Htc @eq_f normalize >associative_append normalize
 638          >associative_append normalize %
 639        ]
 640      | (* case 2: tuples don't match, we still have other tuples to try *)
 641        * #Hdiff * #c2 * #l5 * #l6 * #Heqlblc #Htc
 642        cases (IH ??? … Htc) -IH #_ #IH
 643        (* by induction hypothesis *)
 644        lapply (IH ? l1 c2 (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5) l6 ? rs0 n (refl ??) (refl ??) ???????)
 645        [ generalize in match Htable;
 646          >associative_append normalize
 647          >associative_append normalize >Heqlblc
 648          >associative_append normalize //
 649        | @Hl1len
 650        | @Hl1marks
 651        | @Hl1bitnull
 652        | (*???*) @daemon
 653        | @Hc
 654        | >associative_append normalize
 655          >associative_append normalize
 656          >associative_append %
 657        |-IH *
 658          [ (* the while finally matches a tuple *)
 659            * #l7 * #newc * #mv0 * #l8 * #Hl7l8 #Houtc %
 660            >Heqlblc @(ex_intro ?? (〈bar,false〉::〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5@l7))
 661            %{newc} %{mv0} %{l8} %
 662            [ normalize >Hl7l8 >associative_append normalize
 663              >associative_append %
 664            | >Houtc @eq_f >associative_append normalize
 665              >associative_append normalize >associative_append
 666              normalize >associative_append %
 667            ]
 668          | (* the while fails finding a tuple: there are no matches in the whole table *)
 669            * #Houtc #Hdiff1 %2 %
 670            [ @Houtc
 671            | #l50 #newc #mv0 #l51 >Heqlblc
 672              @daemon
 673            ]
 674          ]
 675        ]
 676      ]
 677    | (* match failed and there is no next tuple: the next while cycle will just exit *)
 678      * * #Hdiff #Hnobars generalize in match (refl ? tc);
 679      cases tc in ⊢ (???% → %);
 680      [ #_ normalize in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 681      |2,3: #x #xs #_ normalize in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 682      #ls1 #cur1 #rs1 #Htc normalize in ⊢ (??%?→?); #Hcur1
 683      cases (IH … Htc) -IH #IH #_ %2 %
 684      [ destruct (Hcur1) >IH [ >Htc % | % ]
 685      | #l4 #newc #mv0 #l5
 686        (* no_bars except the first one, where the tuple does not match ⇒
 687           no match *)
 688         @daemon
 689      ]
 690    ]
 691  ]
 692 qed.
 693
 694 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 695   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 696   is_bit c = true → is_bit c1 = true →
 697   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 698   table_TM (S n) (〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2) →
 699   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 700          (l1@〈grid,false〉::〈bar,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 701   (* facciamo match *)
 702   (∃l3,newc,mv,l4.
 703    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2 = l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4 ∧
 704    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 705         (l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4@〈grid,false〉::rs))
 706   ∨
 707   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 708      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 709      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 710   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 711    ∀l3,newc,mv,l4.
 712    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4).
 713
 714 (* we still haven't proved termination *)
 715 axiom sem_match_tuple0 : Realize ? match_tuple R_match_tuple0.
 716
 717 lemma sem_match_tuple : Realize ? match_tuple R_match_tuple.
 718 generalize in match sem_match_tuple0; @Realize_to_Realize
 719 #t1 #t2 #HR #ls #c #l1 #c1 #l2 #rs #n #Hc #Hc1 #Hl1bitsnulls #Hl1marks #Hl1len #Htable #Ht1
 720 cases (HR … Ht1) -HR #_ #HR
 721 @(HR ??? [] … (refl ??) (refl ??) (refl ??) Hc Hc1 Hl1bitsnulls Hl1marks
 722           Hl1len  Htable)
 723 qed.