matita/matita/lib/turing/universal/tuples.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/marks.ma".
  18
  19 definition STape ≝ FinProd … FSUnialpha FinBool.
  20
  21 definition only_bits ≝ λl.
  22   ∀c.memb STape c l = true → is_bit (\fst c) = true.
  23
  24 definition only_bits_or_nulls ≝ λl.
  25   ∀c.memb STape c l = true → bit_or_null (\fst c) = true.
  26
  27 definition no_grids ≝ λl.
  28   ∀c.memb STape c l = true → is_grid (\fst c) = false.
  29
  30 definition no_bars ≝ λl.
  31   ∀c.memb STape c l = true → is_bar (\fst c) = false.
  32
  33 definition no_marks ≝ λl.
  34   ∀c.memb STape c l = true → is_marked ? c = false.
  35
  36 lemma bit_not_grid: ∀d. is_bit d = true → is_grid d = false.
  37 * // normalize #H destruct
  38 qed.
  39
  40 lemma bit_or_null_not_grid: ∀d. bit_or_null d = true → is_grid d = false.
  41 * // normalize #H destruct
  42 qed.
  43
  44 lemma bit_not_bar: ∀d. is_bit d = true → is_bar d = false.
  45 * // normalize #H destruct
  46 qed.
  47
  48 lemma bit_or_null_not_bar: ∀d. bit_or_null d = true → is_bar d = false.
  49 * // normalize #H destruct
  50 qed.
  51
  52 definition mk_tuple ≝ λqin,cin,qout,cout,mv.
  53   qin @ cin :: 〈comma,false〉:: qout @ cout :: 〈comma,false〉 :: [mv].
  54
  55 (* by definition, a tuple is not marked *)
  56 definition tuple_TM : nat → list STape → Prop ≝
  57  λn,t.∃qin,cin,qout,cout,mv.
  58  no_marks qin ∧ no_marks qout ∧
  59  only_bits qin ∧ only_bits qout ∧
  60  bit_or_null cin = true ∧ bit_or_null cout = true ∧ bit_or_null mv = true ∧
  61  (cout = null → mv = null) ∧
  62  |qin| = n ∧ |qout| = n ∧
  63  t = mk_tuple qin 〈cin,false〉 qout 〈cout,false〉 〈mv,false〉.
  64
  65 inductive table_TM (n:nat) : list STape → Prop ≝
  66 | ttm_nil  : table_TM n []
  67 | ttm_cons : ∀t1,T.tuple_TM n t1 → table_TM n T → table_TM n (t1@〈bar,false〉::T).
  68
  69 inductive match_in_table (qin:list STape) (cin: STape)
  70                          (qout:list STape) (cout:STape) (mv:STape)
  71 : list STape → Prop ≝
  72 | mit_hd :
  73    ∀tb.
  74    match_in_table qin cin qout cout mv
  75      (mk_tuple qin cin qout cout mv @〈bar,false〉::tb)
  76 | mit_tl :
  77    ∀qin0,cin0,qout0,cout0,mv0,tb.
  78    match_in_table qin cin qout cout mv tb →
  79    match_in_table qin cin qout cout mv
  80      (mk_tuple qin0 cin0 qout0 cout0 mv0@〈bar,false〉::tb).
  81
  82 axiom append_l1_injective :
  83   ∀A.∀l1,l2,l3,l4:list A. |l1| = |l2| → l1@l3 = l2@l4 → l1 = l2.
  84 axiom append_l2_injective :
  85   ∀A.∀l1,l2,l3,l4:list A. |l1| = |l2| → l1@l3 = l2@l4 → l3 = l4.
  86
  87
  88 lemma generic_match_to_match_in_table :
  89   ∀n,T.table_TM n T →
  90   ∀qin,cin,qout,cout,mv.|qin| = n → |qout| = n →
  91   ∀t1,t2.
  92   T = t1@qin@cin::〈comma,false〉::qout@cout::〈comma,false〉::mv::t2 →
  93   match_in_table qin cin qout cout mv T.
  94 #n #T #Htable #qin #cin #qout #cout #mv #Hlenqin #Hlenqout
  95 elim Htable
  96 [ #t1 #t2 <associative_append cases (t1@qin) normalize
  97   [ #Hfalse destruct (Hfalse) | #c0 #t0 #Hfalse destruct (Hfalse) ]
  98 | #tuple #T0 * #qin0 * #cin0 * #qout0 * #cout0 * #mv0
  99   * * * * * * * * * *
 100   #Hqin0marks #Hqout0marks #Hqinbits #Hqoutbits #Hcin0 #Hcout0 #Hmv0 #Hcout0mv0
 101   #Hlenqin0 #Hlenqout0 #Htuple #Htable0 #IH #t1 #t2 #HT
 102   cases t1 in HT;
 103   [ >Htuple normalize in ⊢ (??%%→?);
 104     >associative_append #HT
 105     cut (qin0 = qin ∧ (〈cin0,false〉 = cin ∧ (qout0 = qout ∧
 106          (〈cout0,false〉 = cout ∧ (〈mv0,false〉 = mv ∧ 〈bar,false〉::T0 = t2)))))
 107     [ lapply (append_l1_injective … HT) [ >Hlenqin @Hlenqin0 ]
 108     #Hqin % [ @Hqin ] -Hqin
 109     lapply (append_l2_injective … HT) [ >Hlenqin @Hlenqin0 ] -HT #HT
 110     destruct (HT)
 111
 112
 113 lemma no_grids_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_grids l.
 114 #n #l #t elim t
 115   [normalize #n #x #H destruct
 116   |#m #t1 #t2 * #qin * #qout * #mv * * * * * *
 117    #Hmarks #Hqin #Hqout #Hmv  #_ #_ #Heq #Ht2 #Hind
 118    whd >Heq #x #membx
 119    cases (memb_append … membx) -membx #membx
 120     [cases (memb_append … membx) -membx #membx
 121       [@bit_or_null_not_grid @Hqin //
 122       |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
 123         [>(\P membx) //
 124         |cases (memb_append … membx) -membx #membx
 125           [@bit_or_null_not_grid @Hqout //
 126           |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
 127             [>(\P membx) //
 128             |@bit_or_null_not_grid >(memb_single … membx) @Hmv
 129             ]
 130           ]
 131         ]
 132       ]
 133     |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
 134       [>(\P membx) //
 135       |@Hind //
 136       ]
 137     ]
 138   ]
 139 qed.
 140
 141 lemma no_marks_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_marks l.
 142 #n #l #t elim t
 143   [normalize #n #x #H destruct
 144   |#m #t1 #t2 * #qin * #qout * #mv * * * * * *
 145    #Hmarks #_ #_ #_ #_ #_ #_ #Ht2 #Hind
 146    #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 147     [@Hmarks //
 148     |cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 149       [>(\P Hx) //
 150       |@Hind //
 151       ]
 152     ]
 153   ]
 154 qed.
 155
 156 axiom last_of_table: ∀n,l,b.¬ table_TM n (l@[〈bar,b〉]).
 157
 158 (*
 159 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
 160    ^                               ^
 161
 162 if current (* x *) = #
 163    then
 164    else if x = 0
 165       then move_right; ----
 166            adv_to_mark_r;
 167            if current (* x0 *) = 0
 168               then advance_mark ----
 169                    adv_to_mark_l;
 170                    advance_mark
 171               else STOP
 172       else x = 1 (* analogo *)
 173
 174 *)
 175
 176
 177 (*
 178    MARK NEXT TUPLE machine
 179    (partially axiomatized)
 180
 181    marks the first character after the first bar (rightwards)
 182  *)
 183
 184 definition bar_or_grid ≝ λc:STape.is_bar (\fst c) ∨ is_grid (\fst c).
 185
 186 definition mark_next_tuple ≝
 187   seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 188      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
 189        (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1).
 190
 191 definition R_mark_next_tuple ≝
 192   λt1,t2.
 193     ∀ls,c,rs1,rs2.
 194     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
 195     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
 196     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
 197     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
 198       no_bars rs3 ∧
 199       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
 200       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
 201     ∨
 202     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
 203
 204 axiom tech_split :
 205   ∀A:DeqSet.∀f,l.
 206    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
 207    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
 208 (*#A #f #l elim l
 209 [ % #x normalize #Hfalse *)
 210
 211 theorem sem_mark_next_tuple :
 212   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
 213 #intape
 214 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 215          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1) ????)
 216 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
 217 | //
 218 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
 219    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
 220    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
 221    -Hloop
 222    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
 223    cases (Hleft … Hrs)
 224    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
 225    | * #_ #Hta cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
 226      [ #H1 lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
 227        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
 228        | %
 229        | -Hta #Hta cases Hright
 230          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 231            @False_ind cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 232            [ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 233            | >Hta % ]
 234          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 235            cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 236            [  #_ #Htb whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 237              %2 %
 238              [ @H1
 239              | >Houtc >Htb >Hta % ]
 240            | >Hta % ]
 241          ]
 242        ]
 243     | * #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
 244       % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
 245      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
 246      [ #x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
 247        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 248        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 249      | whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 250      | >Hsplit >associative_append % ] -Hta #Hta
 251        cases Hright
 252        [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 253          whd in ⊢ (%→?); #Htb
 254          cases (Hta' c0 ?)
 255          [ #_ #Htb' >Htb' in Htb; #Htb
 256            generalize in match Hsplit; -Hsplit
 257            cases rs4 in Hta;
 258            [ #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 259              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 260              [ @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false)
 261                % [ % [ %
 262                [(* Hsplit *) @daemon |(*Hrs3*) @daemon ] | % ] | % ]
 263                | (* Hc0 *) @daemon ]
 264            | #r5 #rs5 >(eq_pair_fst_snd … r5)
 265              #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 266              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 267              [ @(ex_intro ?? (\fst r5)) @(ex_intro ?? (\snd r5))
 268                % [ % [ % [ (* Hc0, Hsplit *) @daemon | (*Hrs3*) @daemon ] | % ]
 269                      | % ] | (* Hc0 *) @daemon ] ] | >Hta % ]
 270              | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 271                whd in ⊢ (%→?); #Htb
 272                cases (Hta' c0 ?)
 273                [ #Hfalse @False_ind >Hfalse in Hc0;
 274                  #Hc0 destruct (Hc0)
 275                | >Hta % ]
 276 ]]]]
 277 qed.
 278
 279 definition init_current_on_match ≝
 280   (seq ? (move_l ?)
 281     (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 282       (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 283
 284 definition R_init_current_on_match ≝ λt1,t2.
 285   ∀l1,l2,c,rs. no_grids l1 → is_grid c = false →
 286   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::l2)  〈grid,false〉 rs →
 287   t2 = midtape STape (〈grid,false〉::l2) 〈c,true〉 ((reverse ? l1)@〈grid,false〉::rs).
 288
 289 lemma sem_init_current_on_match :
 290   Realize ? init_current_on_match R_init_current_on_match.
 291 #intape
 292 cases (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 293         (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 294            (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))) intape)
 295 #k * #outc * #Hloop #HR
 296 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 297 #l1 #l2 #c #rs #Hl1 #Hc #Hintape
 298 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 299 generalize in match Hl1; cases l1
 300   [#Hl1 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 301    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Hta
 302     [* >Hc #Htemp destruct (Htemp) ]
 303    * #_ #Htc lapply (Htc [ ] 〈grid,false〉 ? (refl ??) (refl …) Hl1)
 304    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); -Htc #Htc
 305    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htc -Htd
 306    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htd
 307    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htd) -Houtc #Houtc
 308    >Houtc %
 309   |#d #tl #Htl whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 310    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Htb
 311     [* >(Htl … (memb_hd …)) #Htemp destruct (Htemp)]
 312    * #Hd >append_cons #Htb lapply (Htb … (refl ??) (refl …) ?)
 313     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 314       [@Htl @memb_cons @membx | >(memb_single … membx) @Hc]]-Htb  #Htb
 315    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc
 316    >reverse_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 317    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc #Houtc
 318    >Houtc >reverse_cons >associative_append %
 319   ]
 320 qed.
 321
 322 (*
 323 definition init_current_gen ≝
 324   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 325     (seq ? (clear_mark ?)
 326        (seq ? (move_l ?)
 327          (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 328             (seq ? (move_r ?) (mark ?))))).
 329
 330 definition R_init_current_gen ≝ λt1,t2.
 331   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 →
 332   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 333   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 334   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 335         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 336
 337 lemma sem_init_current_gen : Realize ? init_current_gen R_init_current_gen.
 338 #intape
 339 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 340         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 341           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 342             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 343               (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))))) intape)
 344 #k * #outc * #Hloop #HR
 345 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 346 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hintape
 347 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta cases (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 348   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 349 * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%] -Hta #Hta
 350 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb -Hta #Htb
 351 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 352 generalize in match Hc; generalize in match Hl2; cases l2
 353   [#_ whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 354    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 355    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 356     [2: * whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp) ]
 357    * #_ #Htd >Htd in Htc; -Htd #Htd
 358    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 359    >reverse_append >reverse_cons
 360    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 361    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 362    >Houtc %
 363   |#d #tl #Htl #Hc0 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 364    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 365     [* >(Htl … (memb_hd …)) whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 366    * #Hd #Htd lapply (Htd … (refl ??) (refl ??) ?)
 367     [#x #membx @Htl @memb_cons @membx] -Htd #Htd
 368    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 369    >reverse_append >reverse_cons >reverse_cons
 370    >reverse_cons in Hc0; >reverse_cons cases (reverse ? tl)
 371      [normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0) #Hte
 372       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 373       >Houtc %
 374      |* #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 375       whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 376       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 377       >Houtc >associative_append >associative_append >associative_append %
 378      ]
 379    ]
 380 qed.
 381 *)
 382 definition init_current ≝
 383   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 384     (seq ? (clear_mark ?)
 385        (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 386           (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 387
 388 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 389   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 390   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 391   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 392   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 393         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 394
 395 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 396 #intape
 397 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 398         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 399            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 400              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 401 #k * #outc * #Hloop #HR
 402 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 403 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 404 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 405 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 406 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 407 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 408 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 409 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 410 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 411 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 412 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 413 >reverse_append >reverse_cons
 414 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 415 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 416   #Htd >(Houtc … Htd) %
 417 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 418   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 419   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 420   >associative_append >associative_append %
 421 ]
 422 qed.
 423
 424 definition match_tuple_step ≝
 425   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 426    (single_finalTM ?
 427      (seq ? compare
 428       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 429         (nop ?)
 430         (seq ? mark_next_tuple
 431            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 432              (mark ?) (seq ? (move_l ?) init_current) tc_true)) tc_true)))
 433     (nop ?) tc_true.
 434
 435 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 436   ∀ls,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs,n.
 437   bit_or_null c = true → only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) → bit_or_null c1 = true →
 438   only_bits_or_nulls l3 → n = |l1| → |l1| = |l3| →
 439   table_TM (S n) (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 440   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 441          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs) →
 442   (* facciamo match *)
 443   (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 444   t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 445         (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs))
 446   ∨
 447   (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 448   ((〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 449    ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
 450    (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 451    t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 452          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
 453           l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs))
 454   ∨
 455   (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 456      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 457      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 458   (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 459
 460 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 461   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 462
 463 include alias "basics/logic.ma".
 464
 465 (*
 466 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 467   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 468     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 469 //
 470 qed-. *)
 471
 472 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 473   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 474 #A #l #a cases l normalize /2/
 475 qed.
 476
 477 axiom tech_split2 : ∀A,l1,l2,l3,l4,x.
 478   memb A x l1 = false → memb ? x l3 = false →
 479   l1@x::l2 = l3@x::l4 → l1 = l3 ∧ l2 = l4.
 480
 481 axiom injective_append : ∀A,l.injective … (λx.append A x l).
 482
 483 lemma sem_match_tuple_step:
 484     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0)))
 485     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 486 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 487   (sem_seq … sem_compare
 488     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 489       (sem_nop …)
 490         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 491            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 492              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 493   (sem_nop ?) …)
 494 [(* is_grid: termination case *)
 495  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1
 496   cases (H c ?) [2: >Ht1 %] #Hgrid #Heq %
 497     [@injective_notb @Hgrid | <Heq @H1]
 498 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Htapea
 499  * #tapec * #Hcompare #Hor
 500  #ls #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs #n #Hc #Hl1bars #Hl1marks #Hc1 #Hl3 #eqn
 501  #eqlen #Htable #Htapea1 cases (Htapea 〈c,true〉 ?) >Htapea1 [2:%]
 502  #notgridc -Htapea -Htapea1 -tapea #Htapeb
 503  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 504  cases (Hcompare c c1 l1 l3 (l2@[〈bar,false〉]) (l4@〈grid,false〉::rs) eqlen Hl1bars Hl3 Hl1marks … (refl …) Hc ?)
 505  -Hcompare
 506    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % [%]
 507     >Htapec in Hor; -Htapec *
 508      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 509       cases (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 510      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #Htaped cases (Htaped ? (refl …)) -Htaped *
 511       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped >associative_append
 512       %
 513      ]
 514    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 515     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 516       [>H2 >H3 elim la
 517         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 518         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 519         ]
 520       ] #Hnoteq %2
 521     cut (bit_or_null d' = true)
 522       [cases la in H3;
 523         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 524         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 525          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 526         ]
 527       ] #Hd'
 528     >Htapec in Hor; -Htapec *
 529      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 530       cases (H … (refl …)) >(bit_or_null_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 531      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H cases (H … (refl …)) -H #_
 532       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 533       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 534       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 535        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 536          [(* rs4 is empty : the case is absurd since the tape
 537             cannot end with a bar *)
 538           * #d * #b * * * #Heq1 @False_ind
 539           cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 540           >Hcut in Htable; >H3 >associative_append
 541           normalize >Heq1 >Hcut <associative_append >Hcut
 542           <associative_append #Htable @(absurd … Htable)
 543           @last_of_table
 544          |(* rs4 not empty *)
 545           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 546           cut (memb STape 〈d2,b2〉 (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) = true)
 547             [@memb_append_l2 @memb_cons
 548              cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 549              >Hcut >H3 >associative_append @memb_append_l2
 550              @memb_cons >Heq1 @memb_append_l2 @memb_cons @memb_hd] #d2intable
 551           cut (is_grid d2 = false)
 552             [@(no_grids_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hd2
 553           cut (b2 = false)
 554             [@(no_marks_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hb2
 555           >Hb2 in Heq1; #Heq1 -Hb2 -b2
 556           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 557            [(* we know current is not grid *)
 558             * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 559             cases (Htapef … (refl …)) >Hd2 #Htemp destruct (Htemp)
 560            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 561             cases (Htapef … (refl …)) #_ -Htapef #Htapef
 562             * #tapeg >Htapef -Htapef *
 563             (* move_l *)
 564             whd in ⊢ (%→?);
 565             #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 566             >Htapeg -Htapeg
 567             (* init_current *)
 568              whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 569             %1 cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 570             * #c00 #b00 #Hoption
 571             lapply
 572              (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? (l2@[〈bar,false〉])@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 573              c' (reverse ? la) false ls bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs) c00 b00 ?????) -Htapeout
 574               [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 575                >associative_append
 576                generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls); #l
 577                whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 578               |>reverse_cons @Hoption
 579               |cases la in H2;
 580                 [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 581                  @injective_notb @notgridc
 582                 |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 583                  @bit_or_null_not_grid @(Hl1bars 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 584                 ]
 585               |cut (only_bits_or_nulls (la@(〈c',false〉::lb)))
 586                 [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 587                   [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1bars]
 588                 |#Hl1' #x #Hx @bit_or_null_not_grid @Hl1'
 589                  @memb_append_l1 @daemon
 590                 ]
 591               |@daemon
 592               |>reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse
 593                >reverse_append >reverse_reverse
 594                >reverse_cons >reverse_append >reverse_reverse
 595                >reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse
 596                >reverse_reverse
 597                #Htapeout % [@Hnoteq]
 598                @(ex_intro … d2)
 599                cut (∃rs32.rs3 = lc@〈comma,false〉::rs32)
 600                [ (*cases (tech_split STape (λc.c == 〈bar,false〉) l4)
 601                  [
 602                  | * #l41 * * #cbar #bfalse * #l42 * * #Hbar #Hl4 #Hl41
 603                    @(ex_intro ?? l41) >Hl4 in Heq1; #Heq1
 604
 605                cut (sublist … lc l3)
 606                  [ #x #Hx cases la in H3;
 607                    [ normalize #H3 destruct (H3) @Hx
 608                    | #p #la' normalize #Hla' destruct (Hla')
 609                      @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ] ] #Hsublist*)
 610                @daemon]
 611                * #rs32 #Hrs3
 612                (* cut
 613                (〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4= la@〈d',false〉::rs3@〈bar,false〉::〈d2,b2〉::rs3')
 614                [@daemon] #Hcut *)
 615                cut (l4=rs32@〈bar,false〉::〈d2,false〉::rs3')
 616                [ >Hrs3 in Heq1; @daemon ] #Hl4
 617                @(ex_intro … rs32) @(ex_intro … rs3') %
 618                  [@Hl4
 619                  |>Htapeout @eq_f2
 620                    [@daemon
 621                    |(*>Hrs3 *)>append_cons
 622                     > (?:l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs
 623                         = (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@[〈bar,false〉])@〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs)
 624                     [|>associative_append normalize
 625                       >associative_append normalize
 626                       >associative_append normalize
 627                       >associative_append normalize
 628                        % ]
 629                     @eq_f2 [|%]
 630                     @(injective_append … (〈d2,false〉::rs3'))
 631                     >(?:(la@[〈c',false〉])@((((lb@[〈grid,false〉])@l2@[〈bar,false〉])@la)@[〈d',false〉])@rs3
 632                        =((la@〈c',false〉::lb)@([〈grid,false〉]@l2@[〈bar,false〉]@la@[〈d',false〉]@rs3)))
 633                     [|>associative_append >associative_append
 634                       >associative_append >associative_append >associative_append
 635                       >associative_append >associative_append % ]
 636                     <H2 normalize (* <Hrs3 *)
 637                     >associative_append >associative_append >associative_append
 638                     @eq_f normalize @eq_f >associative_append
 639                     >associative_append @eq_f normalize @eq_f
 640                     >(append_cons ? 〈d',false〉) >associative_append
 641                     <Heq1 >Hl4 <associative_append <append_cons
 642                     <H3
 643                     >associative_append normalize
 644                     >associative_append normalize %
 645                    ]
 646                  ]
 647               ]
 648            ]
 649          ]
 650        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 651          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 652           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 653           whd in ⊢ (%→?); #Htapeout %2
 654           >(Htapeout … (refl …)) %
 655            [ %
 656              [ @Hnoteq
 657              | whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 658              ]
 659            | %
 660            ]
 661          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 662           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef
 663           whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 664          ]
 665        |(* no marks in table *)
 666         #x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 667         @memb_append_l2 @memb_cons
 668         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 669         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 670        |(* no grids in table *)
 671         #x #membx @(no_grids_in_table … Htable)
 672         @memb_append_l2 @memb_cons
 673         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 674         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 675        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_or_null_not_grid … Hd') >(bit_or_null_not_bar … Hd') %
 676        ]
 677      ]
 678    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 679     @memb_append_l2 @memb_cons @memb_cons @memb_append_l1 @membx
 680    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 681     cases (memb_append … membx) -membx #membx
 682      [@memb_append_l1 @membx | @memb_append_l2 >(memb_single … membx) @memb_hd]
 683    |>associative_append %
 684    ]
 685  ]
 686 qed.
 687
 688
 689 (*
 690   MATCH TUPLE
 691
 692   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 693   current configuration is found
 694 *)
 695
 696 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0))).
 697
 698 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 699   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 700   is_bit c = true → only_bits_or_nulls l1 → is_bit c1 = true → n = |l1| →
 701   table_TM (S n) (〈c1,false〉::l2) →
 702   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 703          (l1@〈grid,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 704   (* facciamo match *)
 705   (∃l3,newc,mv,l4.
 706    〈c1,false〉::l2 = l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4 ∧
 707    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 708         (l3@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4@〈grid,false〉::rs))
 709   ∨
 710   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 711      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 712      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 713   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 714    ∀l3,newc,mv,l4.
 715    〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4).