]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/lib/turing/universal/tuples.ma
match termination completed, still a small case ignored in wsem_match
[helm.git] / matita / matita / lib / turing / universal / tuples.ma
1 (*
2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic   
3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science 
4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.           
5     ||I||                                                            
6     ||T||  
7     ||A||  
8     \   /  This file is distributed under the terms of the       
9      \ /   GNU General Public License Version 2   
10       V_____________________________________________________________*)
11
12
13 (****************************** table of tuples *******************************)
14 include "turing/universal/normalTM.ma".
15
16 (* a well formed table is a list of tuples *) 
17  
18 inductive table_TM (n:nat) : list STape → Prop ≝ 
19 | ttm_nil  : table_TM n [] 
20 | ttm_cons : ∀t1,T.tuple_TM n t1 → table_TM n T → table_TM n (t1@T).
21
22 lemma wftable: ∀n,h,l.table_TM (S n) (flatten ? (tuples_list n h l)).
23 #n #h #l elim l // -l #a #tl #Hind 
24 whd in match (flatten … (tuples_list …));
25 @ttm_cons //
26 qed.
27
28 (*********************** general properties of tables *************************)
29 lemma no_grids_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_grids l.
30 #n #l #t elim t   
31   [normalize #c #H destruct
32   |#t1 #t2 #Ht1 #Ht2 #IH lapply (no_grids_in_tuple … Ht1) -Ht1 #Ht1 #x #Hx
33    cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
34    [ @(Ht1 … Hx)
35    | @(IH … Hx) ] ]
36 qed.
37
38 lemma no_marks_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_marks l.
39 #n #l #t elim t   
40   [normalize #c #H destruct
41   |#t1 #t2 #Ht1 #Ht2 #IH lapply (no_marks_in_tuple … Ht1) -Ht1 #Ht1 #x #Hx
42    cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
43    [ @(Ht1 … Hx)
44    | @(IH … Hx) ] ] 
45 qed.      
46
47 axiom last_of_table: ∀n,l,b.¬ table_TM n (l@[〈bar,b〉]).
48
49 (************************** matching in a table *******************************)
50 inductive match_in_table (n:nat) (qin:list STape) (cin: STape) 
51                          (qout:list STape) (cout:STape) (mv:STape) 
52 : list STape → Prop ≝ 
53 | mit_hd : 
54    ∀tb.
55    tuple_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv) → 
56    match_in_table n qin cin qout cout mv 
57      (mk_tuple qin cin qout cout mv @tb)
58 | mit_tl :
59    ∀qin0,cin0,qout0,cout0,mv0,tb.
60    tuple_TM n (mk_tuple qin0 cin0 qout0 cout0 mv0) → 
61    match_in_table n qin cin qout cout mv tb → 
62    match_in_table n qin cin qout cout mv  
63      (mk_tuple qin0 cin0 qout0 cout0 mv0@tb).
64
65 lemma tuple_to_match:  ∀n,h,l,qin,cin,qout,cout,mv,p.
66   p = mk_tuple qin cin qout cout mv 
67   → mem ? p (tuples_list n h l) →
68   match_in_table (S n) qin cin qout cout mv (flatten ? (tuples_list n h l)).
69 #n #h #l #qin #cin #qout #cout #mv #p
70 #Hp elim l 
71   [whd in ⊢ (%→?); @False_ind
72   |#p1 #tl #Hind *
73     [#H whd in match (tuples_list ???);
74      <H >Hp @mit_hd //
75     |#H whd in match (tuples_list ???); 
76      cases (is_tuple n h p1) #qin1 * #cin1 * #qout1 * #cout1 * #mv1
77      * #_ #Htuplep1 >Htuplep1 @mit_tl // @Hind //
78     ]
79   ]
80 qed.
81
82 axiom match_decomp: ∀n,l,qin,cin,qout,cout,mv.
83   match_in_table (S n) qin cin qout cout mv l →
84   ∃l1,l2. l = l1@(mk_tuple qin cin qout cout mv)@l2 ∧
85     (∃q.|l1| = (tuple_length (S n))*q) ∧ 
86       tuple_TM (S n) (mk_tuple qin cin qout cout mv).
87
88 lemma match_to_tuples_list: ∀n,h,l,qin,cin,qout,cout,mv.
89   match_in_table (S n) qin cin qout cout mv (flatten ? (tuples_list n h l)) → 
90     ∃p. p = mk_tuple qin cin qout cout mv ∧ mem ? p (tuples_list n h l).
91 #n #h #l #qin #cin #qout #cout #mv #Hmatch 
92 @(ex_intro … (mk_tuple qin cin qout cout mv)) % //
93 cases (match_decomp … Hmatch) #l1 * #l2 * * #Hflat #Hlen #Htuple
94 @(flatten_to_mem … Hflat … Hlen)  
95   [// 
96   |#x #memx @length_of_tuple 
97    cases (mem_map ????? memx) #t * #memt #Ht <Ht // 
98   |@(length_of_tuple … Htuple) 
99   ]
100 qed.
101
102 lemma match_to_tuple: ∀n,h,l,qin,cin,qout,cout,mv.
103   match_in_table (S n) qin cin qout cout mv (flatten ? (tuples_list n h l)) → 
104     ∃p. tuple_encoding n h p = mk_tuple qin cin qout cout mv ∧ mem ? p l.
105 #n #h #l #qin #cin #qout #cout #mv #Hmatch 
106 cases (match_to_tuples_list … Hmatch)
107 #p * #eqp #memb 
108 cases(mem_map … (λp.tuple_encoding n h p) … memb)
109 #p1 * #Hmem #H @(ex_intro … p1) % /2/
110 qed.
111
112 lemma match_to_trans: 
113   ∀n.∀trans: trans_source n → trans_target n.
114   ∀h,qin,cin,qout,cout,mv.
115   match_in_table (S n) qin cin qout cout mv (flatten ? (tuples_list n h (graph_enum ?? trans))) → 
116   ∃s,t. tuple_encoding n h 〈s,t〉 = mk_tuple qin cin qout cout mv 
117     ∧ trans s = t.
118 #n #trans #h #qin #cin #qout #cout #mv #Hmatch
119 cases (match_to_tuple … Hmatch) -Hmatch * #s #t * #Heq #Hmem
120 @(ex_intro … s) @(ex_intro … t) % // @graph_enum_correct 
121 @mem_to_memb @Hmem 
122 qed.
123
124 lemma trans_to_match:
125   ∀n.∀h.∀trans: trans_source n → trans_target n.
126   ∀s,t,qin,cin,qout,cout,mv. trans s = t →
127   tuple_encoding n h 〈s,t〉 = mk_tuple qin cin qout cout mv →
128   match_in_table (S n) qin cin qout cout mv (flatten ? (tuples_list n h (graph_enum ?? trans))).
129 #n #h #trans #inp #outp #qin #cin #qout #cout #mv #Htrans #Htuple 
130 @(tuple_to_match … (refl…)) <Htuple @mem_map_forward 
131 @(memb_to_mem (FinProd (trans_source n) (trans_target n)))
132 @graph_enum_complete //
133 qed.
134
135 (*
136 axiom append_eq_tech1 :
137   ∀A,l1,l2,l3,l4.l1@l2 = l3@l4 → |l1| < |l3| → ∃la:list A.l1@la = l3.
138 axiom append_eq_tech2 :
139   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l4 = false → ∃la:list A.l3 = l1@a::la.
140 axiom list_decompose_cases : 
141   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → ∃la,lb:list A.l3 = la@a::lb ∨ l4 = la@a::lb.
142 axiom list_decompose_l :
143   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l4 = false → 
144   ∃la,lb.l2 = la@lb ∧ l3 = l1@a::la.*)
145   
146 lemma list_decompose_r :
147   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l3 = false → 
148   ∃la,lb.l1 = la@lb ∧ l4 = lb@a::l2.
149 #A #l1 #l2 #l3 generalize in match l1; generalize in match l2; elim l3
150   [normalize #l1 #l2 #l4 #a #H #_ @(ex_intro … []) @(ex_intro … l2) /2/
151   |#b #tl #Hind #l1 #l2 #l4 #a cases l2 
152     [normalize #Heq destruct >(\b (refl … b)) normalize #Hfalse destruct
153     |#c #tl2 whd in ⊢ ((??%%)→?); #Heq destruct #Hmema 
154      cases (Hind l1 tl2 l4 a ??)
155       [#l5 * #l6 * #eql #eql4 
156        @(ex_intro … (b::l5)) @(ex_intro … l6) % /2/
157       |@e0
158       |cases (true_or_false (memb ? a tl)) [2://]
159        #H @False_ind @(absurd ?? not_eq_true_false)
160        <Hmema @sym_eq @memb_cons //
161       ]
162     ]
163   ]
164 qed. 
165          
166 (*axiom list_decompose_memb :
167   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → |l1| < |l3| → memb A a l3 = true.*)
168
169 lemma table_invert_r : ∀n,t,T.
170   tuple_TM n t → table_TM n (t@T) → table_TM n T.
171 #n #t #T #Htuple #Htable inversion Htable
172 [ cases Htuple #qin * #cin * #qout * #cout * #mv * #_ #Ht >Ht
173   normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
174 | #t0 #T0 #Htuple0 #Htable0 #_ #Heq 
175   lapply (append_l2_injective ?????? Heq)
176   [ >(length_of_tuple … Htuple) >(length_of_tuple … Htuple0) % ]
177   -Heq #Heq destruct (Heq) // ]
178 qed.
179
180 lemma match_in_table_to_tuple :
181   ∀n,T,qin,cin,qout,cout,mv.
182   match_in_table n qin cin qout cout mv T → table_TM n T → 
183   tuple_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv).
184 #n #T #qin #cin #qout #cout #mv #Hmatch elim Hmatch
185 [ //
186 | #qin0 #cin0 #qout0 #cout0 #mv0 #tb #Htuple #Hmatch #IH #Htable
187   @IH @(table_invert_r ???? Htable) @Htuple
188 ]
189 qed.
190
191 lemma match_in_table_append :
192   ∀n,T,qin,cin,qout,cout,mv,t.
193   tuple_TM n t → 
194   match_in_table n qin cin qout cout mv (t@T) → 
195   t = mk_tuple qin cin qout cout mv ∨ match_in_table n qin cin qout cout mv T.
196 #n #T #qin #cin #qout #cout #mv #t #Ht #Hmatch inversion Hmatch
197 [ #T0 #H #H1 % >(append_l1_injective … H1) //
198   >(length_of_tuple … Ht) >(length_of_tuple … H) %
199 | #qin0 #cin0 #qout0 #cout0 #mv0 #T0 #H #H1 #_ #H2 %2
200   >(append_l2_injective … H2) // >(length_of_tuple … Ht) >(length_of_tuple … H) %
201 ]
202 qed.
203
204 lemma generic_match_to_match_in_table_tech : 
205   ∀n,t,T0,T1,T2.tuple_TM n t → table_TM n (T1@〈bar,false〉::T2) → 
206    t@T0 = T1@〈bar,false〉::T2 → T1 = [] ∨ ∃T3.T1 = t@T3.
207 #n #t #T0 #T1 #T2 #Ht cases T1
208 [ #_ #_ % %
209 | normalize #c #T1c #Htable #Heq %2
210   cases Ht in Heq; #qin * #cin * #qout * #cout * #mv **********
211   #Hqin1 #Hqout1 #Hqin2 #Hqout2 #Hcin #Hcout #Hmv #Hcoutmv #Hqinlen #Hqoutlen
212   #Heqt >Heqt whd in ⊢ (??%%→?); #Ht lapply (cons_injective_r ????? Ht)
213   #Ht' cases (list_decompose_r STape … (sym_eq … Ht') ?)
214   [ #la * #lb * #HT1c #HT0 %{lb} >HT1c @(eq_f2 ??? (append ?) (c::la)) //
215     >HT0 in Ht'; >HT1c >associative_append in ⊢ (???%→?); #Ht'
216     <(append_l1_injective_r … Ht') // <(cons_injective_l ????? Ht) %
217   |@(noteq_to_eqnot ? true) @(not_to_not … not_eq_true_false) #Hbar @sym_eq 
218    cases (memb_append … Hbar) -Hbar #Hbar
219     [@(Hqin2 … Hbar) 
220     |cases (orb_true_l … Hbar) -Hbar
221       [#Hbar lapply (\P Hbar) -Hbar #Hbar destruct (Hbar) @Hcin
222       |whd in ⊢ ((??%?)→?); #Hbar cases (memb_append … Hbar) -Hbar #Hbar
223         [@(Hqout2 … Hbar)
224         |cases (orb_true_l … Hbar) -Hbar
225           [#Hbar lapply (\P Hbar) -Hbar #Hbar destruct (Hbar) @Hcout
226           |#Hbar cases (orb_true_l … Hbar) -Hbar 
227             [whd in ⊢ ((??%?)→?); #Hbar @Hbar
228             |#Hbar lapply (memb_single … Hbar) -Hbar #Hbar destruct (Hbar) @Hmv
229             ]
230           ]
231         ]
232       ]
233     ]
234   ]
235 qed.
236     
237 lemma generic_match_to_match_in_table :
238   ∀n,T.table_TM n T → 
239   ∀qin,cin,qout,cout,mv.|qin| = n → |qout| = n → 
240   only_bits qin → only_bits qout → 
241   bit_or_null (\fst cin) = true → bit_or_null (\fst cout) = true → 
242   bit_or_null (\fst mv) = true →  
243   ∀t1,t2.
244   T = (t1@〈bar,false〉::qin@cin::〈comma,false〉::qout@cout::〈comma,false〉::[mv])@t2 → 
245   match_in_table n qin cin qout cout mv T.
246 #n #T #Htable #qin #cin #qout #cout #mv #Hlenqin #Hlenqout
247 #Hqinbits #Hqoutbits #Hcin #Hcout #Hmv
248 elim Htable
249 [ * [ #t2 normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
250     | #c0 #t1 #t2 normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
251 | #tuple #T0 #H1 #Htable0#IH #t1 #t2 #HT cases H1 #qin0 * #cin0 * #qout0 * #cout0 * #mv0
252   * * * * * * * * * *
253   #Hqin0marks #Hqout0marks #Hqin0bits #Hqout0bits #Hcin0 #Hcout0 #Hmv0 #Hcout0mv0
254   #Hlenqin0 #Hlenqout0 #Htuple 
255   lapply (generic_match_to_match_in_table_tech n ? T0 t1 
256            (qin@cin::〈comma,false〉::qout@[cout;〈comma,false〉;mv]@t2) H1) #Htmp
257   >Htuple in H1; #H1 
258   lapply (ttm_cons … T0 H1 Htable0) <Htuple in ⊢ (%→?); >HT
259   >associative_append normalize >associative_append normalize
260   >associative_append #Htable cases (Htmp Htable ?)
261   [ #Ht1 >Htuple in HT; >Ht1 normalize in ⊢ (??%%→?);
262     >associative_append >associative_append #HT
263     cut (qin0 = qin ∧ (〈cin0,false〉 = cin ∧ (qout0 = qout ∧ 
264          (〈cout0,false〉 = cout ∧ (〈mv0,false〉 = mv ∧ T0 = t2)))))
265     [ lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT 
266       lapply (append_l1_injective … HT) [ >Hlenqin @Hlenqin0 ]
267       #Hqin % [ @Hqin ] -Hqin
268       lapply (append_l2_injective … HT) [ >Hlenqin @Hlenqin0 ] -HT #HT
269       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hcin % [ @Hcin ] -Hcin
270       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT 
271       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT
272       >associative_append >associative_append #HT
273       lapply (append_l1_injective … HT) [ >Hlenqout @Hlenqout0 ]
274       #Hqout % [ @Hqout ] -Hqout
275       lapply (append_l2_injective … HT) [ >Hlenqout @Hlenqout0 ] -HT normalize #HT
276       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hcout % [ @Hcout ] -Hcout
277       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT 
278       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
279       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hmv % [ @Hmv ] -Hmv
280       @(cons_injective_r ????? HT) ]
281     -HT * #Hqin * #Hcin * #Hqout * #Hcout * #Hmv #HT0
282     >(?:〈bar,false〉::qin0@(〈cin0,false〉::〈comma,false〉::qout0@
283         [〈cout0,false〉;〈comma,false〉;〈mv0,false〉])@T0 = tuple@T0)
284     [ >Htuple >Hqin >Hqout >Hcin >Hcout >Hmv % //
285     | >Htuple normalize >associative_append normalize >associative_append
286       normalize >associative_append % ]
287   | * #T3 #HT3 >HT3 in HT; >associative_append; >associative_append #HT
288     lapply (append_l2_injective … HT) // -HT #HT %2 //
289     @(IH T3 t2) >HT >associative_append %
290   |>HT >associative_append normalize >associative_append normalize
291    >associative_append % ]
292 ]
293 qed.