matita/matita/lib/turing/universal/tuples.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/marks.ma".
  18
  19 definition STape ≝ FinProd … FSUnialpha FinBool.
  20
  21 definition only_bits ≝ λl.
  22   ∀c.memb STape c l = true → is_bit (\fst c) = true.
  23
  24 definition no_grids ≝ λl.
  25   ∀c.memb STape c l = true → is_grid (\fst c) = false.
  26
  27 definition no_bars ≝ λl.
  28   ∀c.memb STape c l = true → is_bar (\fst c) = false.
  29
  30 definition no_marks ≝ λl.
  31   ∀c.memb STape c l = true → is_marked ? c = false.
  32
  33 definition tuple_TM : nat → list STape → Prop ≝
  34  λn,t.∃qin,qout,mv,b1,b2.
  35  only_bits qin ∧ only_bits qout ∧ only_bits mv ∧
  36  |qin| = n ∧ |qout| = n (* ∧ |mv| = ? *) ∧
  37  t = qin@〈comma,b1〉::qout@〈comma,b2〉::mv.
  38
  39 inductive table_TM : nat → list STape → Prop ≝
  40 | ttm_nil  : ∀n.table_TM n []
  41 | ttm_cons : ∀n,t1,T,b.tuple_TM n t1 → table_TM n T → table_TM n (t1@〈bar,b〉::T).
  42
  43 (*
  44 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
  45    ^                               ^
  46
  47 if current (* x *) = #
  48    then
  49    else if x = 0
  50       then move_right; ----
  51            adv_to_mark_r;
  52            if current (* x0 *) = 0
  53               then advance_mark ----
  54                    adv_to_mark_l;
  55                    advance_mark
  56               else STOP
  57       else x = 1 (* analogo *)
  58
  59 *)
  60
  61
  62 (*
  63    MARK NEXT TUPLE machine
  64    (partially axiomatized)
  65
  66    marks the first character after the first bar (rightwards)
  67  *)
  68
  69 definition bar_or_grid ≝ λc:STape.is_bar (\fst c) ∨ is_grid (\fst c).
  70
  71 definition mark_next_tuple ≝
  72   seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
  73      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
  74        (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1).
  75
  76 definition R_mark_next_tuple ≝
  77   λt1,t2.
  78     ∀ls,c,rs1,rs2.
  79     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
  80     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
  81     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
  82     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
  83       no_bars rs3 ∧
  84       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
  85       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
  86     ∨
  87     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
  88
  89 axiom tech_split :
  90   ∀A:DeqSet.∀f,l.
  91    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
  92    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
  93 (*#A #f #l elim l
  94 [ % #x normalize #Hfalse *)
  95
  96 theorem sem_mark_next_tuple :
  97   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
  98 #intape
  99 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 100          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1) ????)
 101 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
 102 | //
 103 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
 104    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
 105    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
 106    -Hloop
 107    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
 108    cases (Hleft … Hrs)
 109    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
 110    | * #_ #Hta cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
 111      [ #H1 lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
 112        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
 113        | %
 114        | -Hta #Hta cases Hright
 115          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 116            @False_ind cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 117            [ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 118            | >Hta % ]
 119          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 120            cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 121            [  #_ #Htb whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 122              %2 %
 123              [ @H1
 124              | >Houtc >Htb >Hta % ]
 125            | >Hta % ]
 126          ]
 127        ]
 128     | * #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
 129       % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
 130      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
 131      [ #x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
 132        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 133        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 134      | whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 135      | >Hsplit >associative_append % ] -Hta #Hta
 136        cases Hright
 137        [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 138          whd in ⊢ (%→?); #Htb
 139          cases (Hta' c0 ?)
 140          [ #_ #Htb' >Htb' in Htb; #Htb
 141            generalize in match Hsplit; -Hsplit
 142            cases rs4 in Hta;
 143            [ #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 144              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 145              [ @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false)
 146                % [ % [ %
 147                [(* Hsplit *) @daemon |(*Hrs3*) @daemon ] | % ] | % ]
 148                | (* Hc0 *) @daemon ]
 149            | #r5 #rs5 >(eq_pair_fst_snd … r5)
 150              #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 151              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 152              [ @(ex_intro ?? (\fst r5)) @(ex_intro ?? (\snd r5))
 153                % [ % [ % [ (* Hc0, Hsplit *) @daemon | (*Hrs3*) @daemon ] | % ]
 154                      | % ] | (* Hc0 *) @daemon ] ] | >Hta % ]
 155              | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 156                whd in ⊢ (%→?); #Htb
 157                cases (Hta' c0 ?)
 158                [ #Hfalse @False_ind >Hfalse in Hc0;
 159                  #Hc0 destruct (Hc0)
 160                | >Hta % ]
 161 ]]]]
 162 qed.
 163
 164 definition init_current ≝
 165   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 166     (seq ? (clear_mark ?)
 167        (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 168           (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 169
 170 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 171   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 172   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 173   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 174   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 175         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 176
 177 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 178 #intape
 179 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 180         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 181            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 182              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 183 #k * #outc * #Hloop #HR
 184 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 185 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 186 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 187 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 188 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 189 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 190 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 191 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 192 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 193 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 194 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 195 >reverse_append >reverse_cons
 196 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 197 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 198   #Htd >(Houtc … Htd) %
 199 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 200   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 201   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 202   >associative_append >associative_append %
 203 ]
 204 qed.
 205
 206 definition match_tuple_step ≝
 207   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 208    (single_finalTM ?
 209      (seq ? compare
 210       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 211         (nop ?)
 212         (seq ? mark_next_tuple
 213            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 214              (mark ?) (seq ? (move_l ?) init_current) tc_true)) tc_true)))
 215     (nop ?) tc_true.
 216
 217 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 218   ∀ls,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs,n.
 219   is_bit c = true → only_bits l1 → no_grids l2 → is_bit c1 = true →
 220   only_bits l3 → n = |l2| → |l2| = |l3| →
 221   table_TM (S n) (〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 222   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 223          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs) →
 224   (* facciamo match *)
 225   (〈c,true〉::l2 = 〈c1,true〉::l3 ∧
 226   t2 = midtape ? (reverse ? l2@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 227         (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs))
 228   ∨
 229   (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 230   (〈c,true〉::l2 ≠ 〈c1,true〉::l3 ∧
 231    ∃c2,l5,l6,l7.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6@〈comma,false〉::l7 ∧
 232    (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 233    t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 234          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::
 235           l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈comma,false〉::l7))
 236   ∨
 237   (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 238      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 239      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 240   (〈c,true〉::l2 ≠ 〈c1,true〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉).
 241
 242 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 243   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.