matita/matita/lib/turing/universal/tuples.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/marks.ma".
  18
  19 definition STape ≝ FinProd … FSUnialpha FinBool.
  20
  21 definition only_bits ≝ λl.
  22   ∀c.memb STape c l = true → is_bit (\fst c) = true.
  23
  24 definition only_bits_or_nulls ≝ λl.
  25   ∀c.memb STape c l = true → bit_or_null (\fst c) = true.
  26
  27 definition no_grids ≝ λl.
  28   ∀c.memb STape c l = true → is_grid (\fst c) = false.
  29
  30 definition no_bars ≝ λl.
  31   ∀c.memb STape c l = true → is_bar (\fst c) = false.
  32
  33 definition no_marks ≝ λl.
  34   ∀c.memb STape c l = true → is_marked ? c = false.
  35
  36 lemma bit_not_grid: ∀d. is_bit d = true → is_grid d = false.
  37 * // normalize #H destruct
  38 qed.
  39
  40 lemma bit_or_null_not_grid: ∀d. bit_or_null d = true → is_grid d = false.
  41 * // normalize #H destruct
  42 qed.
  43
  44 lemma bit_not_bar: ∀d. is_bit d = true → is_bar d = false.
  45 * // normalize #H destruct
  46 qed.
  47
  48 lemma bit_or_null_not_bar: ∀d. bit_or_null d = true → is_bar d = false.
  49 * // normalize #H destruct
  50 qed.
  51
  52 definition mk_tuple ≝ λqin,cin,qout,cout,mv.
  53   〈bar,false〉 :: qin @ cin :: 〈comma,false〉:: qout @ cout :: 〈comma,false〉 :: [mv].
  54
  55 (* by definition, a tuple is not marked *)
  56 definition tuple_TM : nat → list STape → Prop ≝
  57  λn,t.∃qin,cin,qout,cout,mv.
  58  no_marks qin ∧ no_marks qout ∧
  59  only_bits qin ∧ only_bits qout ∧
  60  bit_or_null cin = true ∧ bit_or_null cout = true ∧ bit_or_null mv = true ∧
  61  (cout = null → mv = null) ∧
  62  |qin| = n ∧ |qout| = n ∧
  63  t = mk_tuple qin 〈cin,false〉 qout 〈cout,false〉 〈mv,false〉.
  64
  65 inductive table_TM (n:nat) : list STape → Prop ≝
  66 | ttm_nil  : table_TM n []
  67 | ttm_cons : ∀t1,T.tuple_TM n t1 → table_TM n T → table_TM n (t1@T).
  68
  69 inductive match_in_table (n:nat) (qin:list STape) (cin: STape)
  70                          (qout:list STape) (cout:STape) (mv:STape)
  71 : list STape → Prop ≝
  72 | mit_hd :
  73    ∀tb.
  74    tuple_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv) →
  75    match_in_table n qin cin qout cout mv
  76      (mk_tuple qin cin qout cout mv @tb)
  77 | mit_tl :
  78    ∀qin0,cin0,qout0,cout0,mv0,tb.
  79    tuple_TM n (mk_tuple qin0 cin0 qout0 cout0 mv0) →
  80    match_in_table n qin cin qout cout mv tb →
  81    match_in_table n qin cin qout cout mv
  82      (mk_tuple qin0 cin0 qout0 cout0 mv0@tb).
  83
  84 axiom append_l1_injective :
  85   ∀A.∀l1,l2,l3,l4:list A. |l1| = |l2| → l1@l3 = l2@l4 → l1 = l2.
  86 axiom append_l2_injective :
  87   ∀A.∀l1,l2,l3,l4:list A. |l1| = |l2| → l1@l3 = l2@l4 → l3 = l4.
  88 axiom append_l1_injective_r :
  89   ∀A.∀l1,l2,l3,l4:list A. |l3| = |l4| → l1@l3 = l2@l4 → l1 = l2.
  90 axiom append_l2_injective_r :
  91   ∀A.∀l1,l2,l3,l4:list A. |l3| = |l4| → l1@l3 = l2@l4 → l3 = l4.
  92 axiom cons_injective_l : ∀A.∀a1,a2:A.∀l1,l2.a1::l1 = a2::l2 → a1 = a2.
  93 axiom cons_injective_r : ∀A.∀a1,a2:A.∀l1,l2.a1::l1 = a2::l2 → l1 = l2.
  94 axiom tuple_len : ∀n,t.tuple_TM n t → |t| = 2*n+6.
  95 axiom append_eq_tech1 :
  96   ∀A,l1,l2,l3,l4.l1@l2 = l3@l4 → |l1| < |l3| → ∃la:list A.l1@la = l3.
  97 axiom append_eq_tech2 :
  98   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l4 = false → ∃la:list A.l3 = l1@a::la.
  99 (*axiom list_decompose_cases :
 100   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → ∃la,lb:list A.l3 = la@a::lb ∨ l4 = la@a::lb.
 101 axiom list_decompose_l :
 102   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l4 = false →
 103   ∃la,lb.l2 = la@lb ∧ l3 = l1@a::la.*)
 104 axiom list_decompose_r :
 105   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l3 = false →
 106   ∃la,lb.l1 = la@lb ∧ l4 = lb@a::l2.
 107 (*axiom list_decompose_memb :
 108   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → |l1| < |l3| → memb A a l3 = true.*)
 109
 110 lemma table_invert_r : ∀n,t,T.
 111   tuple_TM n t → table_TM n (t@T) → table_TM n T.
 112 #n #t #T #Htuple #Htable inversion Htable
 113 [ cases Htuple #qin * #cin * #qout * #cout * #mv * #_ #Ht >Ht
 114   normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 115 | #t0 #T0 #Htuple0 #Htable0 #_ #Heq
 116   lapply (append_l2_injective ?????? Heq)
 117   [ >(tuple_len … Htuple) >(tuple_len … Htuple0) % ]
 118   -Heq #Heq destruct (Heq) // ]
 119 qed.
 120
 121 lemma match_in_table_to_tuple :
 122   ∀n,T,qin,cin,qout,cout,mv.
 123   match_in_table n qin cin qout cout mv T → table_TM n T →
 124   tuple_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv).
 125 #n #T #qin #cin #qout #cout #mv #Hmatch elim Hmatch
 126 [ //
 127 | #qin0 #cin0 #qout0 #cout0 #mv0 #tb #Htuple #Hmatch #IH #Htable
 128   @IH @(table_invert_r ???? Htable) @Htuple
 129 ]
 130 qed.
 131
 132 lemma match_in_table_append :
 133   ∀n,T,qin,cin,qout,cout,mv,t.
 134   tuple_TM n t →
 135   match_in_table n qin cin qout cout mv (t@T) →
 136   t = mk_tuple qin cin qout cout mv ∨ match_in_table n qin cin qout cout mv T.
 137 #n #T #qin #cin #qout #cout #mv #t #Ht #Hmatch inversion Hmatch
 138 [ #T0 #H #H1 % >(append_l1_injective … H1) //
 139   >(tuple_len … Ht) >(tuple_len … H) %
 140 | #qin0 #cin0 #qout0 #cout0 #mv0 #T0 #H #H1 #_ #H2 %2
 141   >(append_l2_injective … H2) // >(tuple_len … Ht) >(tuple_len … H) %
 142 ]
 143 qed.
 144
 145 lemma generic_match_to_match_in_table_tech :
 146   ∀n,t,T0,T1,T2.tuple_TM n t → table_TM n (T1@〈bar,false〉::T2) →
 147    t@T0 = T1@〈bar,false〉::T2 → T1 = [] ∨ ∃T3.T1 = t@T3.
 148 #n #t #T0 #T1 #T2 #Ht cases T1
 149 [ #_ #_ % %
 150 | normalize #c #T1c #Htable #Heq %2
 151   cases Ht in Heq; #qin * #cin * #qout * #cout * #mv **********
 152   #Hqin1 #Hqout1 #Hqin2 #Hqout2 #Hcin #Hcout #Hmv #Hcoutmv #Hqinlen #Hqoutlen
 153   #Heqt >Heqt whd in ⊢ (??%%→?); #Ht lapply (cons_injective_r ????? Ht)
 154   #Ht' cases (list_decompose_r STape … (sym_eq … Ht') ?)
 155   [ #la * #lb * #HT1c #HT0 %{lb} >HT1c @(eq_f2 ??? (append ?) (c::la)) //
 156     >HT0 in Ht'; >HT1c >associative_append in ⊢ (???%→?); #Ht'
 157     <(append_l1_injective_r … Ht') // <(cons_injective_l ????? Ht) %
 158   |@daemon ]
 159 qed.
 160
 161 lemma generic_match_to_match_in_table :
 162   ∀n,T.table_TM n T →
 163   ∀qin,cin,qout,cout,mv.|qin| = n → |qout| = n →
 164   only_bits qin → only_bits qout →
 165   bit_or_null (\fst cin) = true → bit_or_null (\fst cout) = true →
 166   bit_or_null (\fst mv) = true →
 167   ∀t1,t2.
 168   T = (t1@〈bar,false〉::qin@cin::〈comma,false〉::qout@cout::〈comma,false〉::[mv])@t2 →
 169   match_in_table n qin cin qout cout mv T.
 170 #n #T #Htable #qin #cin #qout #cout #mv #Hlenqin #Hlenqout
 171 #Hqinbits #Hqoutbits #Hcin #Hcout #Hmv
 172 elim Htable
 173 [ * [ #t2 normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 174     | #c0 #t1 #t2 normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 175 | #tuple #T0 #H1 #Htable0#IH #t1 #t2 #HT cases H1 #qin0 * #cin0 * #qout0 * #cout0 * #mv0
 176   * * * * * * * * * *
 177   #Hqin0marks #Hqout0marks #Hqin0bits #Hqout0bits #Hcin0 #Hcout0 #Hmv0 #Hcout0mv0
 178   #Hlenqin0 #Hlenqout0 #Htuple
 179   lapply (generic_match_to_match_in_table_tech n ? T0 t1
 180            (qin@cin::〈comma,false〉::qout@[cout;〈comma,false〉;mv]@t2) H1) #Htmp
 181   >Htuple in H1; #H1
 182   lapply (ttm_cons … T0 H1 Htable0) <Htuple in ⊢ (%→?); >HT
 183   >associative_append normalize >associative_append normalize
 184   >associative_append #Htable cases (Htmp Htable ?)
 185   [ #Ht1 >Htuple in HT; >Ht1 normalize in ⊢ (??%%→?);
 186     >associative_append >associative_append #HT
 187     cut (qin0 = qin ∧ (〈cin0,false〉 = cin ∧ (qout0 = qout ∧
 188          (〈cout0,false〉 = cout ∧ (〈mv0,false〉 = mv ∧ T0 = t2)))))
 189     [ lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 190       lapply (append_l1_injective … HT) [ >Hlenqin @Hlenqin0 ]
 191       #Hqin % [ @Hqin ] -Hqin
 192       lapply (append_l2_injective … HT) [ >Hlenqin @Hlenqin0 ] -HT #HT
 193       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hcin % [ @Hcin ] -Hcin
 194       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 195       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT
 196       >associative_append >associative_append #HT
 197       lapply (append_l1_injective … HT) [ >Hlenqout @Hlenqout0 ]
 198       #Hqout % [ @Hqout ] -Hqout
 199       lapply (append_l2_injective … HT) [ >Hlenqout @Hlenqout0 ] -HT normalize #HT
 200       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hcout % [ @Hcout ] -Hcout
 201       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 202       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 203       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hmv % [ @Hmv ] -Hmv
 204       @(cons_injective_r ????? HT) ]
 205     -HT * #Hqin * #Hcin * #Hqout * #Hcout * #Hmv #HT0
 206     >(?:〈bar,false〉::qin0@(〈cin0,false〉::〈comma,false〉::qout0@
 207         [〈cout0,false〉;〈comma,false〉;〈mv0,false〉])@T0 = tuple@T0)
 208     [ >Htuple >Hqin >Hqout >Hcin >Hcout >Hmv % //
 209     | >Htuple normalize >associative_append normalize >associative_append
 210       normalize >associative_append % ]
 211   | * #T3 #HT3 >HT3 in HT; >associative_append; >associative_append #HT
 212     lapply (append_l2_injective … HT) // -HT #HT %2 //
 213     @(IH T3 t2) >HT >associative_append %
 214   |>HT >associative_append normalize >associative_append normalize
 215    >associative_append % ]
 216 ]
 217 qed.
 218
 219 (*
 220 lemma table_invert_l : ∀n,T0,qin,cin,qout,cout,mv.
 221   table_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv@〈bar,false〉::T0) →
 222   tuple_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv).
 223 #n #T #qin #cin #qout #cout #mv #HT inversion HT
 224 [ change with (append ???) in ⊢ (??(??%?)?→?);cases qin [ #Hfalse | #t0 #ts0 #Hfalse] normalize in Hfalse; destruct (Hfalse)
 225 | #t0 #T0 #Ht0 #HT0 #_
 226
 227
 228 lemma table_invert_r : ∀n,T0,qin,cin,qout,cout,mv.
 229   table n (mk_tuple qin cin qout cout mv@〈bar,false〉::T0) → table n T0.
 230 *)
 231
 232 lemma no_grids_in_tuple : ∀n,l.tuple_TM n l → no_grids l.
 233 #n #l * #qin * #cin * #qout * #cout * #mv * * * * * * * * * *
 234 #_ #_ #Hqin #Hqout #Hcin #Hcout #Hmv #_ #_ #_ #Hl >Hl
 235 #c #Hc cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 236 [ >(\P Hc) %
 237 | cases (memb_append … Hc) -Hc #Hc
 238 [ @bit_not_grid @(Hqin … Hc)
 239 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 240 [ change with (c == 〈cin,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) @bit_or_null_not_grid //
 241 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 242 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 243 | cases (memb_append …Hc) -Hc #Hc
 244 [ @bit_not_grid @(Hqout … Hc)
 245 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 246 [ change with (c == 〈cout,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) @bit_or_null_not_grid //
 247 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 248 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 249 | >(memb_single … Hc) @bit_or_null_not_grid @Hmv
 250 ]]]]]]
 251 qed.
 252
 253 lemma no_marks_in_tuple : ∀n,l.tuple_TM n l → no_marks l.
 254 #n #l * #qin * #cin * #qout * #cout * #mv * * * * * * * * * *
 255 #Hqin #Hqout #_ #_ #_ #_ #_ #_ #_ #_ #Hl >Hl
 256 #c #Hc cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 257 [ >(\P Hc) %
 258 | cases (memb_append … Hc) -Hc #Hc
 259 [ @(Hqin … Hc)
 260 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 261 [ change with (c == 〈cin,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 262 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 263 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 264 | cases (memb_append … Hc) -Hc #Hc
 265 [ @(Hqout … Hc)
 266 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 267 [ change with (c == 〈cout,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 268 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 269 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 270 | >(memb_single … Hc) %
 271 ]]]]]]
 272 qed.
 273
 274 lemma no_grids_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_grids l.
 275 #n #l #t elim t
 276   [normalize #c #H destruct
 277   |#t1 #t2 #Ht1 #Ht2 #IH lapply (no_grids_in_tuple … Ht1) -Ht1 #Ht1 #x #Hx
 278    cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 279    [ @(Ht1 … Hx)
 280    | @(IH … Hx) ] ]
 281 qed.
 282
 283 lemma no_marks_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_marks l.
 284 #n #l #t elim t
 285   [normalize #c #H destruct
 286   |#t1 #t2 #Ht1 #Ht2 #IH lapply (no_marks_in_tuple … Ht1) -Ht1 #Ht1 #x #Hx
 287    cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 288    [ @(Ht1 … Hx)
 289    | @(IH … Hx) ] ]
 290 qed.
 291
 292 axiom last_of_table: ∀n,l,b.¬ table_TM n (l@[〈bar,b〉]).
 293
 294 (*
 295 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
 296    ^                               ^
 297
 298 if current (* x *) = #
 299    then
 300    else if x = 0
 301       then move_right; ----
 302            adv_to_mark_r;
 303            if current (* x0 *) = 0
 304               then advance_mark ----
 305                    adv_to_mark_l;
 306                    advance_mark
 307               else STOP
 308       else x = 1 (* analogo *)
 309
 310 *)
 311
 312
 313 (*
 314    MARK NEXT TUPLE machine
 315    (partially axiomatized)
 316
 317    marks the first character after the first bar (rightwards)
 318  *)
 319
 320 definition bar_or_grid ≝ λc:STape.is_bar (\fst c) ∨ is_grid (\fst c).
 321
 322 definition mark_next_tuple ≝
 323   seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 324      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
 325        (move_right_and_mark ?) (nop ?) tc_true).
 326
 327 definition R_mark_next_tuple ≝
 328   λt1,t2.
 329     ∀ls,c,rs1,rs2.
 330     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
 331     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
 332     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
 333     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
 334       no_bars rs3 ∧
 335       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
 336       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
 337     ∨
 338     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
 339
 340 axiom tech_split :
 341   ∀A:DeqSet.∀f,l.
 342    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
 343    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
 344 (*#A #f #l elim l
 345 [ % #x normalize #Hfalse *)
 346
 347 theorem sem_mark_next_tuple :
 348   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
 349 #intape
 350 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 351          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) tc_true) ????)
 352 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
 353 | //
 354 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
 355    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
 356    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
 357    -Hloop
 358    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
 359    cases (Hleft … Hrs)
 360    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
 361    | * #_ #Hta cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
 362      [ #H1 lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
 363        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
 364        | %
 365        | -Hta #Hta cases Hright
 366          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 367            @False_ind cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 368            [ normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 369            | >Hta % ]
 370          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 371            cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 372            [  #_ #Htb whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 373              %2 %
 374              [ @H1
 375              | >Houtc >Htb >Hta % ]
 376            | >Hta % ]
 377          ]
 378        ]
 379     | * #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
 380       % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
 381      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
 382      [ #x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
 383        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 384        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 385      | whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 386      | >Hsplit >associative_append % ] -Hta #Hta
 387        cases Hright
 388        [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 389          whd in ⊢ (%→?); #Htb
 390          cases (Hta' c0 ?)
 391          [ #_ #Htb' >Htb' in Htb; #Htb
 392            generalize in match Hsplit; -Hsplit
 393            cases rs4 in Hta;
 394            [ #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 395              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 396              [ @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false)
 397                % [ % [ %
 398                [(* Hsplit *) @daemon |(*Hrs3*) @daemon ] | % ] | % ]
 399                | (* Hc0 *) @daemon ]
 400            | #r5 #rs5 >(eq_pair_fst_snd … r5)
 401              #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 402              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 403              [ @(ex_intro ?? (\fst r5)) @(ex_intro ?? (\snd r5))
 404                % [ % [ % [ (* Hc0, Hsplit *) @daemon | (*Hrs3*) @daemon ] | % ]
 405                      | % ] | (* Hc0 *) @daemon ] ] | >Hta % ]
 406              | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 407                whd in ⊢ (%→?); #Htb
 408                cases (Hta' c0 ?)
 409                [ #Hfalse @False_ind >Hfalse in Hc0;
 410                  #Hc0 destruct (Hc0)
 411                | >Hta % ]
 412 ]]]]
 413 qed.
 414
 415 definition init_current_on_match ≝
 416   (seq ? (move_l ?)
 417     (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 418       (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 419
 420 definition R_init_current_on_match ≝ λt1,t2.
 421   ∀l1,l2,c,rs. no_grids l1 → is_grid c = false →
 422   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::l2)  〈grid,false〉 rs →
 423   t2 = midtape STape (〈grid,false〉::l2) 〈c,true〉 ((reverse ? l1)@〈grid,false〉::rs).
 424
 425 lemma sem_init_current_on_match :
 426   Realize ? init_current_on_match R_init_current_on_match.
 427 #intape
 428 cases (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 429         (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 430            (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))) intape)
 431 #k * #outc * #Hloop #HR
 432 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 433 #l1 #l2 #c #rs #Hl1 #Hc #Hintape
 434 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 435 generalize in match Hl1; cases l1
 436   [#Hl1 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 437    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Hta
 438     [* >Hc #Htemp destruct (Htemp) ]
 439    * #_ #Htc lapply (Htc [ ] 〈grid,false〉 ? (refl ??) (refl …) Hl1)
 440    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); -Htc #Htc
 441    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htc -Htd
 442    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htd
 443    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htd) -Houtc #Houtc
 444    >Houtc %
 445   |#d #tl #Htl whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 446    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Htb
 447     [* >(Htl … (memb_hd …)) #Htemp destruct (Htemp)]
 448    * #Hd >append_cons #Htb lapply (Htb … (refl ??) (refl …) ?)
 449     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 450       [@Htl @memb_cons @membx | >(memb_single … membx) @Hc]]-Htb  #Htb
 451    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc
 452    >reverse_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 453    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc #Houtc
 454    >Houtc >reverse_cons >associative_append %
 455   ]
 456 qed.
 457
 458 (*
 459 definition init_current_gen ≝
 460   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 461     (seq ? (clear_mark ?)
 462        (seq ? (move_l ?)
 463          (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 464             (seq ? (move_r ?) (mark ?))))).
 465
 466 definition R_init_current_gen ≝ λt1,t2.
 467   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 →
 468   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 469   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 470   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 471         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 472
 473 lemma sem_init_current_gen : Realize ? init_current_gen R_init_current_gen.
 474 #intape
 475 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 476         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 477           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 478             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 479               (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))))) intape)
 480 #k * #outc * #Hloop #HR
 481 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 482 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hintape
 483 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta cases (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 484   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 485 * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%] -Hta #Hta
 486 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb -Hta #Htb
 487 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 488 generalize in match Hc; generalize in match Hl2; cases l2
 489   [#_ whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 490    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 491    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 492     [2: * whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp) ]
 493    * #_ #Htd >Htd in Htc; -Htd #Htd
 494    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 495    >reverse_append >reverse_cons
 496    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 497    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 498    >Houtc %
 499   |#d #tl #Htl #Hc0 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 500    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 501     [* >(Htl … (memb_hd …)) whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 502    * #Hd #Htd lapply (Htd … (refl ??) (refl ??) ?)
 503     [#x #membx @Htl @memb_cons @membx] -Htd #Htd
 504    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 505    >reverse_append >reverse_cons >reverse_cons
 506    >reverse_cons in Hc0; >reverse_cons cases (reverse ? tl)
 507      [normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0) #Hte
 508       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 509       >Houtc %
 510      |* #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 511       whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 512       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 513       >Houtc >associative_append >associative_append >associative_append %
 514      ]
 515    ]
 516 qed.
 517 *)
 518
 519 definition init_current ≝
 520   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 521     (seq ? (clear_mark ?)
 522        (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 523           (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 524
 525 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 526   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 527   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 528   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 529   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 530         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 531
 532 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 533 #intape
 534 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 535         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 536            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 537              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 538 #k * #outc * #Hloop #HR
 539 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 540 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 541 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 542 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 543 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 544 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 545 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 546 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 547 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 548 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 549 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 550 >reverse_append >reverse_cons
 551 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 552 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 553   #Htd >(Houtc … Htd) %
 554 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 555   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 556   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 557   >associative_append >associative_append %
 558 ]
 559 qed.
 560
 561 definition match_tuple_step ≝
 562   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 563    (single_finalTM ?
 564      (seq ? compare
 565       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 566         (nop ?)
 567         (seq ? mark_next_tuple
 568            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 569              (mark ?) (seq ? (move_l ?) init_current) tc_true)) tc_true)))
 570     (nop ?) tc_true.
 571
 572 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 573   ∀ls,cur,rs.t1 = midtape STape ls cur rs →
 574   \fst cur ≠ grid ∧
 575   (∀ls0,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs0,n.
 576    only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) →
 577    bit_or_null c = true → bit_or_null c1 = true →
 578    only_bits_or_nulls l3 → S n = |l1| → |l1| = |l3| →
 579    table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 580    ls = 〈grid,false〉::ls0 → cur = 〈c,true〉 →
 581    rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs0 →
 582    (* facciamo match *)
 583    (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 584    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 585          (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs0))
 586    ∨
 587    (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 588    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 589     ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
 590     (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 591     t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈c,true〉
 592           (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
 593            l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs0))
 594    ∨
 595    (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 596       non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 597       non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 598    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 599
 600 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 601   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 602
 603 include alias "basics/logic.ma".
 604
 605 (*
 606 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 607   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 608     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 609 //
 610 qed-. *)
 611
 612 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 613   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 614 #A #l #a cases l normalize /2/
 615 qed.
 616
 617 axiom tech_split2 : ∀A,l1,l2,l3,l4,x.
 618   memb A x l1 = false → memb ? x l3 = false →
 619   l1@x::l2 = l3@x::l4 → l1 = l3 ∧ l2 = l4.
 620
 621 axiom injective_append : ∀A,l.injective … (λx.append A x l).
 622
 623 lemma sem_match_tuple_step:
 624     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … start_nop)))
 625     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 626 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 627   (sem_seq … sem_compare
 628     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 629       (sem_nop …)
 630         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 631            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 632              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 633   (sem_nop ?) …)
 634 [(* is_grid: termination case *)
 635  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1
 636   cases (H c ?) [2: >Ht1 %] #Hgrid #Heq %
 637     [@injective_notb @Hgrid | <Heq @H1]
 638 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Hcur
 639  * #tapec * whd in ⊢ (%→?); #Hcompare #Hor
 640  #ls #cur #rs #Htapea >Htapea in Hcur; #Hcur cases (Hcur ? (refl ??))
 641  -Hcur #Hcur #Htapeb %
 642  [ % #Hfalse >Hfalse in Hcur; normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1)]
 643  #ls0 #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs0 #n #Hl1bitnull #Hl1marks #Hc #Hc1 #Hl3 #eqn
 644  #eqlen #Htable #Hls #Hcur #Hrs -Htapea >Hls in Htapeb; >Hcur >Hrs #Htapeb
 645  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 646  cases (Hcompare c c1 l1 l3 l2 (l4@〈grid,false〉::rs0) eqlen Hl1bitnull Hl3 Hl1marks … (refl …) Hc ?)
 647  -Hcompare
 648    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % % [%]
 649     >Htapec in Hor; -Htapec *
 650      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 651       cases (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 652      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #Htaped cases (Htaped ? (refl …)) -Htaped *
 653       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped
 654       %
 655      ]
 656    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 657     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 658       [>H2 >H3 elim la
 659         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 660         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 661         ]
 662       ] #Hnoteq
 663     cut (bit_or_null d' = true)
 664       [cases la in H3;
 665         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 666         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 667          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 668         ]
 669       ] #Hd'
 670     >Htapec in Hor; -Htapec *
 671      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 672       cases (H … (refl …)) >(bit_or_null_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 673      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H cases (H … (refl …)) -H #_
 674       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 675       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 676       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 677        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 678          [(* rs4 is empty : the case is absurd since the tape
 679             cannot end with a bar *)
 680           * #d * #b * * * #Heq1 @False_ind
 681           cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 682           >Hcut in Htable; >H3 >associative_append
 683           normalize >Heq1 <associative_append >Hcut
 684           <associative_append #Htable @(absurd … Htable)
 685           @last_of_table
 686          |(* rs4 not empty *)
 687           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 688           cut (memb STape 〈d2,b2〉 (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) = true)
 689             [@memb_append_l2
 690              cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 691              >Hcut >H3 >associative_append @memb_append_l2
 692              @memb_cons >Heq1 @memb_append_l2 @memb_cons @memb_hd] #d2intable
 693           cut (is_grid d2 = false)
 694             [@(no_grids_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hd2
 695           cut (b2 = false)
 696             [@(no_marks_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hb2
 697           >Hb2 in Heq1; #Heq1 -Hb2 -b2
 698           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 699            [(* we know current is not grid *)
 700             * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 701             cases (Htapef … (refl …)) >Hd2 #Htemp destruct (Htemp)
 702            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 703             cases (Htapef … (refl …)) #_ -Htapef #Htapef
 704             * #tapeg >Htapef -Htapef *
 705             (* move_l *)
 706             whd in ⊢ (%→?);
 707             #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 708             >Htapeg -Htapeg
 709             (* init_current *)
 710              whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 711              cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 712              * #c00 #b00 #Hoption
 713              lapply
 714               (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? l2@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 715               c' (reverse ? la) false ls0 bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0) c00 b00 ?????) -Htapeout
 716                [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 717                 >associative_append
 718                  generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls0); #l
 719                 whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 720                |>reverse_cons @Hoption
 721                |cases la in H2;
 722                  [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 723                   @bit_or_null_not_grid @Hc
 724                  |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 725                   @bit_or_null_not_grid @(Hl1bitnull 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 726                  ]
 727                |cut (only_bits_or_nulls (la@(〈c',false〉::lb)))
 728                  [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 729                    [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1bitnull]
 730                  |#Hl1' #x #Hx @bit_or_null_not_grid @Hl1'
 731                   @memb_append_l1 @daemon
 732                  ]
 733                |@daemon] #Htapeout % %2 % //
 734             @(ex_intro … d2)
 735             cut (∃rs32.rs3 = lc@〈comma,false〉::rs32)
 736                  [ (*cases (tech_split STape (λc.c == 〈bar,false〉) l4)
 737                   [
 738                   | * #l41 * * #cbar #bfalse * #l42 * * #Hbar #Hl4 #Hl41
 739                     @(ex_intro ?? l41) >Hl4 in Heq1; #Heq1
 740
 741                 cut (sublist … lc l3)
 742                   [ #x #Hx cases la in H3;
 743                     [ normalize #H3 destruct (H3) @Hx
 744                     | #p #la' normalize #Hla' destruct (Hla')
 745                       @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ] ] #Hsublist*)
 746                 @daemon]
 747                 * #rs32 #Hrs3
 748                 (* cut
 749                 (〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4= la@〈d',false〉::rs3@〈bar,false〉::〈d2,b2〉::rs3')
 750                 [@daemon] #Hcut *)
 751                 cut (l4=rs32@〈bar,false〉::〈d2,false〉::rs3')
 752                 [ >Hrs3 in Heq1; @daemon ] #Hl4
 753                 @(ex_intro … rs32) @(ex_intro … rs3') % [@Hl4]
 754                 >Htapeout @eq_f2
 755                    [(* by Hoption, H2 *) @daemon
 756                    |(*>Hrs3 *)>append_cons
 757                     > (?:l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs
 758                         = (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@[〈bar,false〉])@〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs)
 759                     [|>associative_append normalize
 760                       >associative_append normalize
 761                       >associative_append normalize
 762                       >associative_append normalize
 763                        % ]
 764                     >reverse_append >reverse_append >reverse_cons
 765                     >reverse_reverse >reverse_cons >reverse_reverse
 766                     >reverse_append >reverse_append >reverse_cons
 767                     >reverse_reverse >reverse_reverse >reverse_reverse
 768                     >(?:(la@[〈c',false〉])@((((lb@[〈grid,false〉])@l2)@la)@[〈d',false〉])@rs3
 769                        =((la@〈c',false〉::lb)@([〈grid,false〉]@l2@la@[〈d',false〉]@rs3)))
 770                     [|>associative_append >associative_append
 771                       >associative_append >associative_append >associative_append
 772                       >associative_append % ]
 773                     <H2 normalize in ⊢ (??%?); >Hrs3
 774                     >associative_append >associative_append normalize
 775                     >associative_append >associative_append
 776                     @eq_f @eq_f @eq_f
 777                     >(?:la@(〈d',false〉::lc@〈comma,false〉::rs32)@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0 =
 778                         (la@〈d',false〉::lc)@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0 )
 779                     [| >associative_append normalize >associative_append % ]
 780                     <H3 %
 781                    ]
 782                  ]
 783               ]
 784        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 785          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 786           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 787           whd in ⊢ (%→?); #Htapeout %2 %
 788           [% [//] whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 789           | >(Htapeout … (refl …)) % ]
 790          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 791           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef
 792           whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 793          ]
 794        |(* no marks in table *)
 795         #x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 796         @memb_append_l2
 797         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 798         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 799        |(* no grids in table *)
 800         #x #membx @(no_grids_in_table … Htable)
 801         @memb_append_l2
 802         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 803         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 804        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_or_null_not_grid … Hd') >(bit_or_null_not_bar … Hd') %
 805        ]
 806      ]
 807    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 808     @memb_append_l2 @memb_cons @memb_append_l1 @membx
 809    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 810     @memb_append_l1 @membx
 811    |%
 812    ]
 813  ]
 814 qed.
 815
 816 (*
 817   MATCH TUPLE
 818
 819   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 820   current configuration is found
 821 *)
 822
 823 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
 824
 825 lemma is_grid_true : ∀c.is_grid c = true → c = grid.
 826 * normalize [ #b ] #H // destruct (H)
 827 qed.
 828
 829 (* possible variante ?
 830 definition weakR_match_tuple ≝ λt1,t2.
 831   (∀ls,cur,rs,b. t1 = midtape STape ls 〈grid,b〉 rs → t2 = t1) ∧
 832   (∀c,l1,c1,l2,l3,ls0,rs0,n.
 833   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈bit c,true〉 rs
 834     (l1@〈grid,false〉::l2@〈bit c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0) →
 835   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 836   table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3) →
 837   (* facciamo match *)
 838   (∃l4,newc,mv,l5.
 839    〈c1,false〉::l3 = l4@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5 ∧
 840    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 841         (l2@l4@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5@
 842         〈grid,false〉::rs0))
 843   ∨
 844   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 845      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 846      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 847   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 848    ∀l4,newc,mv,l5.
 849    〈c1,false〉::l3 ≠ l4@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5)).
 850 *)
 851
 852 definition R_match_tuple0 ≝ λt1,t2.
 853   ∀ls,cur,rs.
 854   t1 = midtape STape ls cur rs →
 855   (is_grid (\fst cur) = true → t2 = t1) ∧
 856   (∀c,l1,c1,l2,l3,ls0,rs0,n.
 857   ls = 〈grid,false〉::ls0 →
 858   cur = 〈c,true〉 →
 859   rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0 →
 860   is_bit c = true → is_bit c1 = true →
 861   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 862   table_TM (S n) (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3) →
 863   (* facciamo match *)
 864   (∃l4,newc,mv,l5.
 865    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3 = l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5 ∧
 866    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 867         (l2@l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5@
 868         〈grid,false〉::rs0))
 869   ∨
 870   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 871      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 872      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 873   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 874    ∀l4,newc,mv,l5.
 875    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3 ≠ l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5)).
 876
 877 axiom table_bit_after_bar :
 878   ∀n,l1,c,l2.table_TM n (l1@〈bar,false〉::〈c,false〉::l2) → is_bit c = true.
 879
 880 lemma wsem_match_tuple : WRealize ? match_tuple R_match_tuple0.
 881 #intape #k #outc #Hloop
 882 lapply (sem_while … sem_match_tuple_step intape k outc Hloop) [%] -Hloop
 883 * #ta * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 884 [ #tb whd in ⊢ (%→?); #Hleft
 885   #ls #cur #rs #Htb cases (Hleft … Htb) #Hgrid #Houtc %
 886   [ #_ @Houtc
 887   | #c #l1 #c1 #l2 #l3 #ls0 #rs0 #n #Hls #Hcur #Hrs
 888     >Hcur in Hgrid; #Hgrid >(is_grid_true … Hgrid) normalize in ⊢ (%→?);
 889     #Hc destruct (Hc)
 890   ]
 891 | (* in the interesting case, we execute a true iteration, then we restart the
 892      while cycle, finally we end with a false iteration *)
 893   #tb #tc #td whd in ⊢ (%→?); #Htc
 894   #Hstar1 #IH whd in ⊢ (%→?); #Hright lapply (IH Hright) -IH whd in ⊢ (%→?); #IH
 895   #ls #cur #rs #Htb %
 896   [ (* cur can't be true because we assume at least one iteration *)
 897     #Hcur cases (Htc … Htb) * #Hfalse @False_ind @Hfalse @(is_grid_true … Hcur)
 898   | (* current and a tuple are marked *)
 899    #c #l1 #c1 #l2 #l3 #ls0 #rs0 #n #Hls #Hcur #Hrs #Hc #Hc1 #Hl1bitnull #Hl1marks
 900    #Hl1len #Htable cases (Htc … Htb) -Htc -Htb * #_ #Htc
 901    (* expose the marked tuple in table *)
 902    cut (∃la,lb,mv,lc.l3 = la@〈comma,false〉::lb@〈comma,false〉::mv::lc ∧
 903          S n = |la| ∧ only_bits_or_nulls la)
 904    [@daemon] * #la * #lb * #mv * #lc * * #Hl3 #Hlalen #Hlabitnull
 905    >Hl3 in Htable; >append_cons #Htable
 906    >(?: l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0
 907       = (l2@[〈bar,false〉])@〈c1,true〉::la@〈comma,false〉::(lb@〈comma,false〉::mv::
 908          lc)@〈grid,false〉::rs0) in Hrs;
 909    [| >associative_append normalize >Hl3
 910       >associative_append normalize % ] #Hrs
 911    cases (Htc ????????? Hl1bitnull Hl1marks ?? Hlabitnull Hl1len ? Htable Hls Hcur Hrs)
 912    [5: <Hl1len @Hlalen
 913    |4: whd in ⊢ (??%?); >Hc1 %
 914    |3: whd in ⊢ (??%?); >Hc %
 915    |-Htc *
 916      [ (* case 1: match successful *)
 917        * #Heq #Htc % %{[]} %{lb} %{mv} %{lc} destruct (Heq) %
 918        [%
 919        | cases (IH … Htc) -IH #Houtc #_ >(Houtc (refl ??))
 920          >Htc @eq_f normalize >associative_append normalize
 921          >associative_append normalize %
 922        ]
 923      | (* case 2: tuples don't match, we still have other tuples to try *)
 924        * #Hdiff * #c2 * #l5 * #l6 * #Heqlblc #Htc
 925        cases (IH ??? … Htc) -IH #_ #IH
 926        (* by induction hypothesis *)
 927        lapply (IH ? l1 c2 (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5) l6 ? rs0 n (refl ??) (refl ??) ???????)
 928        [ generalize in match Htable;
 929          >associative_append normalize
 930          >associative_append normalize >Heqlblc
 931          >associative_append normalize //
 932        | @Hl1len
 933        | @Hl1marks
 934        | @Hl1bitnull
 935        | (*???*) @daemon
 936        | @Hc
 937        | >associative_append normalize
 938          >associative_append normalize
 939          >associative_append %
 940        |-IH *
 941          [ (* the while finally matches a tuple *)
 942            * #l7 * #newc * #mv0 * #l8 * #Hl7l8 #Houtc %
 943            >Heqlblc @(ex_intro ?? (〈bar,false〉::〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5@l7))
 944            %{newc} %{mv0} %{l8} %
 945            [ normalize >Hl7l8 >associative_append normalize
 946              >associative_append %
 947            | >Houtc @eq_f >associative_append normalize
 948              >associative_append normalize >associative_append
 949              normalize >associative_append %
 950            ]
 951          | (* the while fails finding a tuple: there are no matches in the whole table *)
 952            * #Houtc #Hdiff1 %2 %
 953            [ @Houtc
 954            | #l50 #newc #mv0 #l51 >Heqlblc
 955              @daemon
 956            ]
 957          ]
 958        ]
 959      ]
 960    | (* match failed and there is no next tuple: the next while cycle will just exit *)
 961      * * #Hdiff #Hnobars generalize in match (refl ? tc);
 962      cases tc in ⊢ (???% → %);
 963      [ #_ normalize in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 964      |2,3: #x #xs #_ normalize in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 965      #ls1 #cur1 #rs1 #Htc normalize in ⊢ (??%?→?); #Hcur1
 966      cases (IH … Htc) -IH #IH #_ %2 %
 967      [ destruct (Hcur1) >IH [ >Htc % | % ]
 968      | #l4 #newc #mv0 #l5
 969        (* no_bars except the first one, where the tuple does not match ⇒
 970           no match *)
 971         @daemon
 972      ]
 973    ]
 974  ]
 975 qed.
 976
 977 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 978   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 979   is_bit c = true → is_bit c1 = true →
 980   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 981   table_TM (S n) (〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2) →
 982   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 983          (l1@〈grid,false〉::〈bar,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 984   (* facciamo match *)
 985   (∃l3,newc,mv,l4.
 986    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2 = l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4 ∧
 987    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 988         (l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4@〈grid,false〉::rs))
 989   ∨
 990   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 991      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 992      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 993   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 994    ∀l3,newc,mv,l4.
 995    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4).
 996
 997 (* we still haven't proved termination *)
 998 axiom sem_match_tuple0 : Realize ? match_tuple R_match_tuple0.
 999
1000 axiom Realize_to_Realize :
1001   ∀alpha,M,R1,R2.(∀t1,t2.R1 t1 t2 → R2 t1 t2) → Realize alpha M R1 → Realize alpha M R2.
1002
1003 lemma sem_match_tuple : Realize ? match_tuple R_match_tuple.
1004 generalize in match sem_match_tuple0; @Realize_to_Realize
1005 #t1 #t2 #HR #ls #c #l1 #c1 #l2 #rs #n #Hc #Hc1 #Hl1bitsnulls #Hl1marks #Hl1len #Htable #Ht1
1006 cases (HR … Ht1) -HR #_ #HR
1007 @(HR ??? [] … (refl ??) (refl ??) (refl ??) Hc Hc1 Hl1bitsnulls Hl1marks
1008           Hl1len  Htable)
1009 qed.