matita/matita/lib/turing/universal/tuples.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/marks.ma".
  18
  19 definition STape ≝ FinProd … FSUnialpha FinBool.
  20
  21 definition only_bits_or_nulls ≝ λl.
  22   ∀c.memb STape c l = true → bit_or_null (\fst c) = true.
  23
  24 definition no_grids ≝ λl.
  25   ∀c.memb STape c l = true → is_grid (\fst c) = false.
  26
  27 definition no_bars ≝ λl.
  28   ∀c.memb STape c l = true → is_bar (\fst c) = false.
  29
  30 definition no_marks ≝ λl.
  31   ∀c.memb STape c l = true → is_marked ? c = false.
  32
  33 lemma bit_not_grid: ∀d. is_bit d = true → is_grid d = false.
  34 * // normalize #H destruct
  35 qed.
  36
  37 lemma bit_or_null_not_grid: ∀d. bit_or_null d = true → is_grid d = false.
  38 * // normalize #H destruct
  39 qed.
  40
  41 lemma bit_not_bar: ∀d. is_bit d = true → is_bar d = false.
  42 * // normalize #H destruct
  43 qed.
  44
  45 lemma bit_or_null_not_bar: ∀d. bit_or_null d = true → is_bar d = false.
  46 * // normalize #H destruct
  47 qed.
  48
  49 (* by definition, a tuple is not marked *)
  50 definition tuple_TM : nat → list STape → Prop ≝
  51  λn,t.∃qin,qout,mv.
  52  no_marks t ∧
  53  only_bits_or_nulls qin ∧ only_bits_or_nulls qout ∧ bit_or_null mv = true ∧
  54  |qin| = n ∧ |qout| = n (* ∧ |mv| = ? *) ∧
  55  t = qin@〈comma,false〉::qout@〈comma,false〉::[〈mv,false〉].
  56
  57 inductive table_TM : nat → list STape → Prop ≝
  58 | ttm_nil  : ∀n.table_TM n []
  59 | ttm_cons : ∀n,t1,T.tuple_TM n t1 → table_TM n T → table_TM n (t1@〈bar,false〉::T).
  60
  61 lemma no_grids_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_grids l.
  62 #n #l #t elim t
  63   [normalize #n #x #H destruct
  64   |#m #t1 #t2 * #qin * #qout * #mv * * * * * *
  65    #Hmarks #Hqin #Hqout #Hmv  #_ #_ #Heq #Ht2 #Hind
  66    whd >Heq #x #membx
  67    cases (memb_append … membx) -membx #membx
  68     [cases (memb_append … membx) -membx #membx
  69       [@bit_or_null_not_grid @Hqin //
  70       |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
  71         [>(\P membx) //
  72         |cases (memb_append … membx) -membx #membx
  73           [@bit_or_null_not_grid @Hqout //
  74           |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
  75             [>(\P membx) //
  76             |@bit_or_null_not_grid >(memb_single … membx) @Hmv
  77             ]
  78           ]
  79         ]
  80       ]
  81     |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
  82       [>(\P membx) //
  83       |@Hind //
  84       ]
  85     ]
  86   ]
  87 qed.
  88
  89 lemma no_marks_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_marks l.
  90 #n #l #t elim t
  91   [normalize #n #x #H destruct
  92   |#m #t1 #t2 * #qin * #qout * #mv * * * * * *
  93    #Hmarks #_ #_ #_ #_ #_ #_ #Ht2 #Hind
  94    #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
  95     [@Hmarks //
  96     |cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
  97       [>(\P Hx) //
  98       |@Hind //
  99       ]
 100     ]
 101   ]
 102 qed.
 103
 104 axiom last_of_table: ∀n,l,b.¬ table_TM n (l@[〈bar,b〉]).
 105
 106 (*
 107 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
 108    ^                               ^
 109
 110 if current (* x *) = #
 111    then
 112    else if x = 0
 113       then move_right; ----
 114            adv_to_mark_r;
 115            if current (* x0 *) = 0
 116               then advance_mark ----
 117                    adv_to_mark_l;
 118                    advance_mark
 119               else STOP
 120       else x = 1 (* analogo *)
 121
 122 *)
 123
 124
 125 (*
 126    MARK NEXT TUPLE machine
 127    (partially axiomatized)
 128
 129    marks the first character after the first bar (rightwards)
 130  *)
 131
 132 definition bar_or_grid ≝ λc:STape.is_bar (\fst c) ∨ is_grid (\fst c).
 133
 134 definition mark_next_tuple ≝
 135   seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 136      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
 137        (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1).
 138
 139 definition R_mark_next_tuple ≝
 140   λt1,t2.
 141     ∀ls,c,rs1,rs2.
 142     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
 143     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
 144     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
 145     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
 146       no_bars rs3 ∧
 147       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
 148       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
 149     ∨
 150     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
 151
 152 axiom tech_split :
 153   ∀A:DeqSet.∀f,l.
 154    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
 155    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
 156 (*#A #f #l elim l
 157 [ % #x normalize #Hfalse *)
 158
 159 theorem sem_mark_next_tuple :
 160   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
 161 #intape
 162 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 163          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1) ????)
 164 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
 165 | //
 166 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
 167    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
 168    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
 169    -Hloop
 170    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
 171    cases (Hleft … Hrs)
 172    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
 173    | * #_ #Hta cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
 174      [ #H1 lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
 175        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
 176        | %
 177        | -Hta #Hta cases Hright
 178          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 179            @False_ind cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 180            [ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 181            | >Hta % ]
 182          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 183            cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 184            [  #_ #Htb whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 185              %2 %
 186              [ @H1
 187              | >Houtc >Htb >Hta % ]
 188            | >Hta % ]
 189          ]
 190        ]
 191     | * #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
 192       % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
 193      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
 194      [ #x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
 195        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 196        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 197      | whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 198      | >Hsplit >associative_append % ] -Hta #Hta
 199        cases Hright
 200        [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 201          whd in ⊢ (%→?); #Htb
 202          cases (Hta' c0 ?)
 203          [ #_ #Htb' >Htb' in Htb; #Htb
 204            generalize in match Hsplit; -Hsplit
 205            cases rs4 in Hta;
 206            [ #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 207              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 208              [ @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false)
 209                % [ % [ %
 210                [(* Hsplit *) @daemon |(*Hrs3*) @daemon ] | % ] | % ]
 211                | (* Hc0 *) @daemon ]
 212            | #r5 #rs5 >(eq_pair_fst_snd … r5)
 213              #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 214              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 215              [ @(ex_intro ?? (\fst r5)) @(ex_intro ?? (\snd r5))
 216                % [ % [ % [ (* Hc0, Hsplit *) @daemon | (*Hrs3*) @daemon ] | % ]
 217                      | % ] | (* Hc0 *) @daemon ] ] | >Hta % ]
 218              | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 219                whd in ⊢ (%→?); #Htb
 220                cases (Hta' c0 ?)
 221                [ #Hfalse @False_ind >Hfalse in Hc0;
 222                  #Hc0 destruct (Hc0)
 223                | >Hta % ]
 224 ]]]]
 225 qed.
 226
 227 definition init_current_on_match ≝
 228   (seq ? (move_l ?)
 229     (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 230       (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 231
 232 definition R_init_current_on_match ≝ λt1,t2.
 233   ∀l1,l2,c,rs. no_grids l1 → is_grid c = false →
 234   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::l2)  〈grid,false〉 rs →
 235   t2 = midtape STape (〈grid,false〉::l2) 〈c,true〉 ((reverse ? l1)@〈grid,false〉::rs).
 236
 237 lemma sem_init_current_on_match :
 238   Realize ? init_current_on_match R_init_current_on_match.
 239 #intape
 240 cases (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 241         (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 242            (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))) intape)
 243 #k * #outc * #Hloop #HR
 244 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 245 #l1 #l2 #c #rs #Hl1 #Hc #Hintape
 246 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 247 generalize in match Hl1; cases l1
 248   [#Hl1 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 249    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Hta
 250     [* >Hc #Htemp destruct (Htemp) ]
 251    * #_ #Htc lapply (Htc [ ] 〈grid,false〉 ? (refl ??) (refl …) Hl1)
 252    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); -Htc #Htc
 253    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htc -Htd
 254    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htd
 255    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htd) -Houtc #Houtc
 256    >Houtc %
 257   |#d #tl #Htl whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 258    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Htb
 259     [* >(Htl … (memb_hd …)) #Htemp destruct (Htemp)]
 260    * #Hd >append_cons #Htb lapply (Htb … (refl ??) (refl …) ?)
 261     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 262       [@Htl @memb_cons @membx | >(memb_single … membx) @Hc]]-Htb  #Htb
 263    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc
 264    >reverse_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 265    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc #Houtc
 266    >Houtc >reverse_cons >associative_append %
 267   ]
 268 qed.
 269
 270 (*
 271 definition init_current_gen ≝
 272   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 273     (seq ? (clear_mark ?)
 274        (seq ? (move_l ?)
 275          (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 276             (seq ? (move_r ?) (mark ?))))).
 277
 278 definition R_init_current_gen ≝ λt1,t2.
 279   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 →
 280   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 281   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 282   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 283         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 284
 285 lemma sem_init_current_gen : Realize ? init_current_gen R_init_current_gen.
 286 #intape
 287 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 288         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 289           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 290             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 291               (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))))) intape)
 292 #k * #outc * #Hloop #HR
 293 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 294 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hintape
 295 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta cases (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 296   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 297 * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%] -Hta #Hta
 298 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb -Hta #Htb
 299 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 300 generalize in match Hc; generalize in match Hl2; cases l2
 301   [#_ whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 302    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 303    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 304     [2: * whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp) ]
 305    * #_ #Htd >Htd in Htc; -Htd #Htd
 306    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 307    >reverse_append >reverse_cons
 308    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 309    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 310    >Houtc %
 311   |#d #tl #Htl #Hc0 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 312    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 313     [* >(Htl … (memb_hd …)) whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 314    * #Hd #Htd lapply (Htd … (refl ??) (refl ??) ?)
 315     [#x #membx @Htl @memb_cons @membx] -Htd #Htd
 316    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 317    >reverse_append >reverse_cons >reverse_cons
 318    >reverse_cons in Hc0; >reverse_cons cases (reverse ? tl)
 319      [normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0) #Hte
 320       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 321       >Houtc %
 322      |* #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 323       whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 324       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 325       >Houtc >associative_append >associative_append >associative_append %
 326      ]
 327    ]
 328 qed.
 329 *)
 330 definition init_current ≝
 331   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 332     (seq ? (clear_mark ?)
 333        (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 334           (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 335
 336 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 337   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 338   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 339   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 340   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 341         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 342
 343 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 344 #intape
 345 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 346         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 347            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 348              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 349 #k * #outc * #Hloop #HR
 350 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 351 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 352 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 353 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 354 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 355 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 356 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 357 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 358 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 359 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 360 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 361 >reverse_append >reverse_cons
 362 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 363 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 364   #Htd >(Houtc … Htd) %
 365 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 366   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 367   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 368   >associative_append >associative_append %
 369 ]
 370 qed.
 371
 372 definition match_tuple_step ≝
 373   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 374    (single_finalTM ?
 375      (seq ? compare
 376       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 377         (nop ?)
 378         (seq ? mark_next_tuple
 379            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 380              (mark ?) (seq ? (move_l ?) init_current) tc_true)) tc_true)))
 381     (nop ?) tc_true.
 382
 383 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 384   ∀ls,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs,n.
 385   bit_or_null c = true → only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) → bit_or_null c1 = true →
 386   only_bits_or_nulls l3 → n = |l1| → |l1| = |l3| →
 387   table_TM (S n) (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 388   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 389          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs) →
 390   (* facciamo match *)
 391   (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 392   t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 393         (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs))
 394   ∨
 395   (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 396   ((〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 397    ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
 398    (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 399    t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 400          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
 401           l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs))
 402   ∨
 403   (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 404      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 405      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 406   (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 407
 408 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 409   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 410
 411 include alias "basics/logic.ma".
 412
 413 (*
 414 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 415   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 416     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 417 //
 418 qed-. *)
 419
 420 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 421   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 422 #A #l #a cases l normalize /2/
 423 qed.
 424
 425 axiom tech_split2 : ∀A,l1,l2,l3,l4,x.
 426   memb A x l1 = false → memb ? x l3 = false →
 427   l1@x::l2 = l3@x::l4 → l1 = l3 ∧ l2 = l4.
 428
 429 axiom injective_append : ∀A,l.injective … (λx.append A x l).
 430
 431 lemma sem_match_tuple_step:
 432     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0)))
 433     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 434 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 435   (sem_seq … sem_compare
 436     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 437       (sem_nop …)
 438         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 439            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 440              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 441   (sem_nop ?) …)
 442 [(* is_grid: termination case *)
 443  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1
 444   cases (H c ?) [2: >Ht1 %] #Hgrid #Heq %
 445     [@injective_notb @Hgrid | <Heq @H1]
 446 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Htapea
 447  * #tapec * #Hcompare #Hor
 448  #ls #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs #n #Hc #Hl1bars #Hl1marks #Hc1 #Hl3 #eqn
 449  #eqlen #Htable #Htapea1 cases (Htapea 〈c,true〉 ?) >Htapea1 [2:%]
 450  #notgridc -Htapea -Htapea1 -tapea #Htapeb
 451  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 452  cases (Hcompare c c1 l1 l3 (l2@[〈bar,false〉]) (l4@〈grid,false〉::rs) eqlen Hl1bars Hl3 Hl1marks … (refl …) Hc ?)
 453  -Hcompare
 454    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % [%]
 455     >Htapec in Hor; -Htapec *
 456      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 457       cases (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 458      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #Htaped cases (Htaped ? (refl …)) -Htaped *
 459       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped >associative_append
 460       %
 461      ]
 462    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 463     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 464       [>H2 >H3 elim la
 465         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 466         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 467         ]
 468       ] #Hnoteq %2
 469     cut (bit_or_null d' = true)
 470       [cases la in H3;
 471         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 472         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 473          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 474         ]
 475       ] #Hd'
 476     >Htapec in Hor; -Htapec *
 477      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 478       cases (H … (refl …)) >(bit_or_null_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 479      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H cases (H … (refl …)) -H #_
 480       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 481       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 482       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 483        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 484          [(* rs4 is empty : the case is absurd since the tape
 485             cannot end with a bar *)
 486           * #d * #b * * * #Heq1 @False_ind
 487           cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 488           >Hcut in Htable; >H3 >associative_append
 489           normalize >Heq1 >Hcut <associative_append >Hcut
 490           <associative_append #Htable @(absurd … Htable)
 491           @last_of_table
 492          |(* rs4 not empty *)
 493           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 494           cut (memb STape 〈d2,b2〉 (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) = true)
 495             [@memb_append_l2 @memb_cons
 496              cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 497              >Hcut >H3 >associative_append @memb_append_l2
 498              @memb_cons >Heq1 @memb_append_l2 @memb_cons @memb_hd] #d2intable
 499           cut (is_grid d2 = false)
 500             [@(no_grids_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hd2
 501           cut (b2 = false)
 502             [@(no_marks_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hb2
 503           >Hb2 in Heq1; #Heq1 -Hb2 -b2
 504           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 505            [(* we know current is not grid *)
 506             * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 507             cases (Htapef … (refl …)) >Hd2 #Htemp destruct (Htemp)
 508            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 509             cases (Htapef … (refl …)) #_ -Htapef #Htapef
 510             * #tapeg >Htapef -Htapef *
 511             (* move_l *)
 512             whd in ⊢ (%→?);
 513             #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 514             >Htapeg -Htapeg
 515             (* init_current *)
 516              whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 517             %1 cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 518             * #c00 #b00 #Hoption
 519             lapply
 520              (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? (l2@[〈bar,false〉])@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 521              c' (reverse ? la) false ls bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs) c00 b00 ?????) -Htapeout
 522               [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 523                >associative_append
 524                generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls); #l
 525                whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 526               |>reverse_cons @Hoption
 527               |cases la in H2;
 528                 [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 529                  @injective_notb @notgridc
 530                 |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 531                  @bit_or_null_not_grid @(Hl1bars 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 532                 ]
 533               |cut (only_bits_or_nulls (la@(〈c',false〉::lb)))
 534                 [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 535                   [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1bars]
 536                 |#Hl1' #x #Hx @bit_or_null_not_grid @Hl1'
 537                  @memb_append_l1 @daemon
 538                 ]
 539               |@daemon
 540               |>reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse
 541                >reverse_append >reverse_reverse
 542                >reverse_cons >reverse_append >reverse_reverse
 543                >reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse
 544                >reverse_reverse
 545                #Htapeout % [@Hnoteq]
 546                @(ex_intro … d2)
 547                cut (∃rs32.rs3 = lc@〈comma,false〉::rs32)
 548                [ (*cases (tech_split STape (λc.c == 〈bar,false〉) l4)
 549                  [
 550                  | * #l41 * * #cbar #bfalse * #l42 * * #Hbar #Hl4 #Hl41
 551                    @(ex_intro ?? l41) >Hl4 in Heq1; #Heq1
 552
 553                cut (sublist … lc l3)
 554                  [ #x #Hx cases la in H3;
 555                    [ normalize #H3 destruct (H3) @Hx
 556                    | #p #la' normalize #Hla' destruct (Hla')
 557                      @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ] ] #Hsublist*)
 558                @daemon]
 559                * #rs32 #Hrs3
 560                (* cut
 561                (〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4= la@〈d',false〉::rs3@〈bar,false〉::〈d2,b2〉::rs3')
 562                [@daemon] #Hcut *)
 563                cut (l4=rs32@〈bar,false〉::〈d2,false〉::rs3')
 564                [ >Hrs3 in Heq1; @daemon ] #Hl4
 565                @(ex_intro … rs32) @(ex_intro … rs3') %
 566                  [@Hl4
 567                  |>Htapeout @eq_f2
 568                    [@daemon
 569                    |(*>Hrs3 *)>append_cons
 570                     > (?:l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs
 571                         = (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@[〈bar,false〉])@〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs)
 572                     [|>associative_append normalize
 573                       >associative_append normalize
 574                       >associative_append normalize
 575                       >associative_append normalize
 576                        % ]
 577                     @eq_f2 [|%]
 578                     @(injective_append … (〈d2,false〉::rs3'))
 579                     >(?:(la@[〈c',false〉])@((((lb@[〈grid,false〉])@l2@[〈bar,false〉])@la)@[〈d',false〉])@rs3
 580                        =((la@〈c',false〉::lb)@([〈grid,false〉]@l2@[〈bar,false〉]@la@[〈d',false〉]@rs3)))
 581                     [|>associative_append >associative_append
 582                       >associative_append >associative_append >associative_append
 583                       >associative_append >associative_append % ]
 584                     <H2 normalize (* <Hrs3 *)
 585                     >associative_append >associative_append >associative_append
 586                     @eq_f normalize @eq_f >associative_append
 587                     >associative_append @eq_f normalize @eq_f
 588                     >(append_cons ? 〈d',false〉) >associative_append
 589                     <Heq1 >Hl4 <associative_append <append_cons
 590                     <H3
 591                     >associative_append normalize
 592                     >associative_append normalize %
 593                    ]
 594                  ]
 595               ]
 596            ]
 597          ]
 598        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 599          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 600           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 601           whd in ⊢ (%→?); #Htapeout %2
 602           >(Htapeout … (refl …)) %
 603            [ %
 604              [ @Hnoteq
 605              | whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 606              ]
 607            | %
 608            ]
 609          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 610           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef
 611           whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 612          ]
 613        |(* no marks in table *)
 614         #x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 615         @memb_append_l2 @memb_cons
 616         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 617         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 618        |(* no grids in table *)
 619         #x #membx @(no_grids_in_table … Htable)
 620         @memb_append_l2 @memb_cons
 621         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 622         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 623        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_or_null_not_grid … Hd') >(bit_or_null_not_bar … Hd') %
 624        ]
 625      ]
 626    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 627     @memb_append_l2 @memb_cons @memb_cons @memb_append_l1 @membx
 628    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 629     cases (memb_append … membx) -membx #membx
 630      [@memb_append_l1 @membx | @memb_append_l2 >(memb_single … membx) @memb_hd]
 631    |>associative_append %
 632    ]
 633  ]
 634 qed.
 635
 636
 637 (*
 638   MATCH TUPLE
 639
 640   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 641   current configuration is found
 642 *)
 643
 644 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0))).
 645
 646 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 647   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 648   is_bit c = true → only_bits_or_nulls l1 → is_bit c1 = true → n = |l1| →
 649   table_TM (S n) (〈c1,false〉::l2) →
 650   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 651          (l1@〈grid,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 652   (* facciamo match *)
 653   (∃l3,newc,mv,l4.
 654    〈c1,false〉::l2 = l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4 ∧
 655    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 656         (l3@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4@〈grid,false〉::rs))
 657   ∨
 658   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 659      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 660      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 661   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 662    ∀l3,newc,mv,l4.
 663    〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4).