matita/matita/lib/turing/universal/tuples.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/marks.ma".
  18
  19 definition STape ≝ FinProd … FSUnialpha FinBool.
  20
  21 definition only_bits ≝ λl.
  22   ∀c.memb STape c l = true → is_bit (\fst c) = true.
  23
  24 definition no_grids ≝ λl.
  25   ∀c.memb STape c l = true → is_grid (\fst c) = false.
  26
  27 definition no_bars ≝ λl.
  28   ∀c.memb STape c l = true → is_bar (\fst c) = false.
  29
  30 definition no_marks ≝ λl.
  31   ∀c.memb STape c l = true → is_marked ? c = false.
  32
  33 lemma bit_not_grid: ∀d. is_bit d = true → is_grid d = false.
  34 * // normalize #H destruct
  35 qed.
  36
  37 lemma bit_not_bar: ∀d. is_bit d = true → is_bar d = false.
  38 * // normalize #H destruct
  39 qed.
  40
  41 (* by definition, a tuple is not marked *)
  42 definition tuple_TM : nat → list STape → Prop ≝
  43  λn,t.∃qin,qout,mv.
  44  no_marks t ∧
  45  only_bits qin ∧ only_bits qout ∧ only_bits mv ∧
  46  |qin| = n ∧ |qout| = n (* ∧ |mv| = ? *) ∧
  47  t = qin@〈comma,false〉::qout@〈comma,false〉::mv.
  48
  49 inductive table_TM : nat → list STape → Prop ≝
  50 | ttm_nil  : ∀n.table_TM n []
  51 | ttm_cons : ∀n,t1,T.tuple_TM n t1 → table_TM n T → table_TM n (t1@〈bar,false〉::T).
  52
  53 lemma no_grids_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_grids l.
  54 #n #l #t elim t
  55   [normalize #n #x #H destruct
  56   |#m #t1 #t2 * #qin * #qout * #mv * * * * * *
  57    #Hmarks #Hqin #Hqout #Hmv  #_ #_ #Heq #Ht2 #Hind
  58    whd >Heq #x #membx
  59    cases (memb_append … membx) -membx #membx
  60     [cases (memb_append … membx) -membx #membx
  61       [@bit_not_grid @Hqin //
  62       |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
  63         [>(\P membx) //
  64         |cases (memb_append … membx) -membx #membx
  65           [@bit_not_grid @Hqout //
  66           |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
  67             [>(\P membx) //
  68             |@bit_not_grid @Hmv //
  69             ]
  70           ]
  71         ]
  72       ]
  73     |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
  74       [>(\P membx) //
  75       |@Hind //
  76       ]
  77     ]
  78   ]
  79 qed.
  80
  81 lemma no_marks_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_marks l.
  82 #n #l #t elim t
  83   [normalize #n #x #H destruct
  84   |#m #t1 #t2 * #qin * #qout * #mv * * * * * *
  85    #Hmarks #_ #_ #_ #_ #_ #_ #Ht2 #Hind
  86    #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
  87     [@Hmarks //
  88     |cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
  89       [>(\P Hx) //
  90       |@Hind //
  91       ]
  92     ]
  93   ]
  94 qed.
  95
  96
  97 (*
  98 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
  99    ^                               ^
 100
 101 if current (* x *) = #
 102    then
 103    else if x = 0
 104       then move_right; ----
 105            adv_to_mark_r;
 106            if current (* x0 *) = 0
 107               then advance_mark ----
 108                    adv_to_mark_l;
 109                    advance_mark
 110               else STOP
 111       else x = 1 (* analogo *)
 112
 113 *)
 114
 115
 116 (*
 117    MARK NEXT TUPLE machine
 118    (partially axiomatized)
 119
 120    marks the first character after the first bar (rightwards)
 121  *)
 122
 123 definition bar_or_grid ≝ λc:STape.is_bar (\fst c) ∨ is_grid (\fst c).
 124
 125 definition mark_next_tuple ≝
 126   seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 127      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
 128        (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1).
 129
 130 definition R_mark_next_tuple ≝
 131   λt1,t2.
 132     ∀ls,c,rs1,rs2.
 133     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
 134     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
 135     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
 136     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
 137       no_bars rs3 ∧
 138       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
 139       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
 140     ∨
 141     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
 142
 143 axiom tech_split :
 144   ∀A:DeqSet.∀f,l.
 145    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
 146    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
 147 (*#A #f #l elim l
 148 [ % #x normalize #Hfalse *)
 149
 150 theorem sem_mark_next_tuple :
 151   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
 152 #intape
 153 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 154          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1) ????)
 155 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
 156 | //
 157 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
 158    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
 159    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
 160    -Hloop
 161    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
 162    cases (Hleft … Hrs)
 163    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
 164    | * #_ #Hta cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
 165      [ #H1 lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
 166        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
 167        | %
 168        | -Hta #Hta cases Hright
 169          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 170            @False_ind cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 171            [ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 172            | >Hta % ]
 173          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 174            cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 175            [  #_ #Htb whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 176              %2 %
 177              [ @H1
 178              | >Houtc >Htb >Hta % ]
 179            | >Hta % ]
 180          ]
 181        ]
 182     | * #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
 183       % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
 184      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
 185      [ #x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
 186        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 187        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 188      | whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 189      | >Hsplit >associative_append % ] -Hta #Hta
 190        cases Hright
 191        [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 192          whd in ⊢ (%→?); #Htb
 193          cases (Hta' c0 ?)
 194          [ #_ #Htb' >Htb' in Htb; #Htb
 195            generalize in match Hsplit; -Hsplit
 196            cases rs4 in Hta;
 197            [ #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 198              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 199              [ @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false)
 200                % [ % [ %
 201                [(* Hsplit *) @daemon |(*Hrs3*) @daemon ] | % ] | % ]
 202                | (* Hc0 *) @daemon ]
 203            | #r5 #rs5 >(eq_pair_fst_snd … r5)
 204              #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 205              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 206              [ @(ex_intro ?? (\fst r5)) @(ex_intro ?? (\snd r5))
 207                % [ % [ % [ (* Hc0, Hsplit *) @daemon | (*Hrs3*) @daemon ] | % ]
 208                      | % ] | (* Hc0 *) @daemon ] ] | >Hta % ]
 209              | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 210                whd in ⊢ (%→?); #Htb
 211                cases (Hta' c0 ?)
 212                [ #Hfalse @False_ind >Hfalse in Hc0;
 213                  #Hc0 destruct (Hc0)
 214                | >Hta % ]
 215 ]]]]
 216 qed.
 217
 218 definition init_current ≝
 219   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 220     (seq ? (clear_mark ?)
 221        (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 222           (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 223
 224 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 225   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 226   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 227   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 228   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 229         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 230
 231 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 232 #intape
 233 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 234         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 235            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 236              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 237 #k * #outc * #Hloop #HR
 238 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 239 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 240 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 241 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 242 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 243 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 244 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 245 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 246 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 247 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 248 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 249 >reverse_append >reverse_cons
 250 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 251 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 252   #Htd >(Houtc … Htd) %
 253 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 254   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 255   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 256   >associative_append >associative_append %
 257 ]
 258 qed.
 259
 260 definition match_tuple_step ≝
 261   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 262    (single_finalTM ?
 263      (seq ? compare
 264       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 265         (nop ?)
 266         (seq ? mark_next_tuple
 267            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 268              (mark ?) (seq ? (move_l ?) init_current) tc_true)) tc_true)))
 269     (nop ?) tc_true.
 270
 271 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 272   ∀ls,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs,n.
 273   is_bit c = true → only_bits l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) → is_bit c1 = true →
 274   only_bits l3 → n = |l1| → |l1| = |l3| →
 275   table_TM (S n) (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 276   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 277          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs) →
 278   (* facciamo match *)
 279   (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 280   t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 281         (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs))
 282   ∨
 283   (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 284   ((〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 285    ∃c2,l5,l6,l7.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6@〈comma,false〉::l7 ∧
 286    (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 287    t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 288          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::
 289           l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈comma,false〉::l7))
 290   ∨
 291   (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 292      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 293      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 294   (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 295
 296 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 297   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 298
 299 include alias "basics/logic.ma".
 300
 301 (*
 302 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 303   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 304     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 305 //
 306 qed-. *)
 307
 308 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 309   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 310 #A #l #a cases l normalize /2/
 311 qed.
 312
 313 axiom sem_match_tuple_step:
 314     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0)))
 315     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 316 (* @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 317   (sem_seq … sem_compare
 318     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 319       (sem_nop …)
 320         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 321            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 322              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 323   (sem_nop ?) …)
 324 [(* is_grid: termination case *)
 325  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1
 326   cases (H c ?) [2: >Ht1 %] #Hgrid #Heq %
 327     [@injective_notb @Hgrid | <Heq @H1]
 328 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Htapea
 329  * #tapec * #Hcompare #Hor
 330  #ls #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs #n #Hc #Hl1bars #Hl1marks #Hc1 #Hl3 #eqn
 331  #eqlen #Htable #Htapea1 cases (Htapea 〈c,true〉 ?) >Htapea1 [2:%]
 332  #notgridc -Htapea -Htapea1 -tapea #Htapeb
 333  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 334  cases (Hcompare c c1 l1 l3 (l2@[〈bar,false〉]) (l4@〈grid,false〉::rs) eqlen Hl1bars Hl3 Hl1marks … (refl …) Hc ?)
 335  -Hcompare
 336    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % [%]
 337     >Htapec in Hor; -Htapec *
 338      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 339       cases (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 340      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #Htaped cases (Htaped ? (refl …)) -Htaped *
 341       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped >associative_append
 342       %
 343      ]
 344    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 345     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 346       [>H2 >H3 elim la
 347         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 348         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 349         ]
 350       ] #Hnoteq %2
 351     cut (is_bit d' = true)
 352       [cases la in H3;
 353         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 354         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 355          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 356         ]
 357       ] #Hd'
 358     >Htapec in Hor; -Htapec *
 359      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 360       cases (H … (refl …)) >(bit_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 361      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H cases (H … (refl …)) -H #_
 362       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 363       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 364       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 365        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 366          [(* rs4 is empty *)
 367           * #d * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 368           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 369           #Htapee *
 370            [* #tapef * whd in ⊢ (%→?); >Htapee -Htapee #Htapef
 371             cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 372             whd in ⊢ (%→?); #H lapply (H … ???? (refl …)) #Htapeout
 373             %2 %
 374              [% [@Hnoteq |@daemon]
 375              |>Htapeout %
 376              ]
 377            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); >Htapee -Htapee #Htapef
 378             cases (Htapef … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 379            ]
 380          |(* rs4 not empty *)
 381           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 382           cut (is_grid d2 = false) [@daemon (* no grids in table *)] #Hd2
 383           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 384            [* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 385             cases (Htapef … (refl …)) >Hd2 #Htemp destruct (Htemp)
 386            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 387             cases (Htapef … (refl …)) #_ -Htapef #Htapef
 388             * #tapeg >Htapef -Htapef * whd in ⊢ (%→?);
 389             #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 390             >Htapeg -Htapeg whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 391             %1 cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 392             * #c00 #b00 #Hoption
 393             lapply
 394              (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? (l2@[〈bar,false〉])@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 395              c' (reverse ? la) false ls bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs) c00 b00 ?????) -Htapeout
 396               [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 397                >associative_append
 398                generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls); #l
 399                whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 400               |>reverse_cons @Hoption
 401               |cases la in H2;
 402                 [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 403                  @injective_notb @notgridc
 404                 |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 405                  @bit_not_grid @(Hl1bars 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 406                 ]
 407               |cut (only_bits (la@(〈c',false〉::lb)))
 408                 [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 409                   [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1bars]
 410                 |#Hl1' #x #Hx @bit_not_grid @Hl1'
 411                  @memb_append_l1 @daemon
 412                 ]
 413               |@daemon
 414               |@daemon
 415               ]
 416            ]
 417          ]
 418        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 419          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 420           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 421           whd in ⊢ (%→?); #Htapeout %2
 422           >(Htapeout … (refl …)) %
 423            [ %
 424              [ @Hnoteq
 425              | whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 426              ]
 427            | %
 428            ]
 429          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 430           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef
 431           whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 432          ]
 433        |@daemon (* no marks in table *)
 434        |(* no grids in table *)
 435         #x #Hx cases (memb_append … Hx)
 436          [-Hx #Hx @bit_not_grid @Hl3 cases la in H3; normalize
 437            [#H3 destruct (H3) @Hx | #y #tl #H3 destruct (H3)
 438             @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ]
 439          |-Hx #Hx @(no_grids_in_table … Htable)
 440           @memb_append_l2 @memb_cons @memb_cons @memb_append_l2 @Hx
 441          ]
 442        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_not_grid … Hd') >(bit_not_bar … Hd') %
 443        ]
 444      ]
 445    |(* no marks in l3 *)
 446     @daemon
 447    |(* no marks in l2@[〈bar,false〉] *) @daemon
 448    |>associative_append %
 449    ]
 450  ]
 451 qed.
 452
 453   *)
 454
 455 (*
 456   MATCH TUPLE
 457
 458   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 459   current configuration is found
 460 *)
 461
 462 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0))).
 463
 464 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 465   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 466   is_bit c = true → only_bits l1 → is_bit c1 = true → n = |l1| →
 467   table_TM (S n) (〈c1,true〉::l2) →
 468   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 469          (l1@〈grid,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 470   (* facciamo match *)
 471   (∃l3,newc,mv,l4.
 472    〈c1,false〉::l2 = l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4 ∧
 473    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 474         (l3@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4@〈grid,false〉::rs))
 475   ∨
 476   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 477      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 478      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 479   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 480    ∀l3,newc,mv,l4.
 481    〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4).