matita/matita/lib/turing/universal/tuples.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/marks.ma".
  18
  19 definition STape ≝ FinProd … FSUnialpha FinBool.
  20
  21 definition only_bits ≝ λl.
  22   ∀c.memb STape c l = true → is_bit (\fst c) = true.
  23
  24 definition only_bits_or_nulls ≝ λl.
  25   ∀c.memb STape c l = true → bit_or_null (\fst c) = true.
  26
  27 definition no_grids ≝ λl.
  28   ∀c.memb STape c l = true → is_grid (\fst c) = false.
  29
  30 definition no_bars ≝ λl.
  31   ∀c.memb STape c l = true → is_bar (\fst c) = false.
  32
  33 definition no_marks ≝ λl.
  34   ∀c.memb STape c l = true → is_marked ? c = false.
  35
  36 lemma bit_not_grid: ∀d. is_bit d = true → is_grid d = false.
  37 * // normalize #H destruct
  38 qed.
  39
  40 lemma bit_or_null_not_grid: ∀d. bit_or_null d = true → is_grid d = false.
  41 * // normalize #H destruct
  42 qed.
  43
  44 lemma bit_not_bar: ∀d. is_bit d = true → is_bar d = false.
  45 * // normalize #H destruct
  46 qed.
  47
  48 lemma bit_or_null_not_bar: ∀d. bit_or_null d = true → is_bar d = false.
  49 * // normalize #H destruct
  50 qed.
  51
  52 definition mk_tuple ≝ λqin,cin,qout,cout,mv.
  53   qin @ cin :: 〈comma,false〉:: qout @ cout :: 〈comma,false〉 :: [mv].
  54
  55 (* by definition, a tuple is not marked *)
  56 definition tuple_TM : nat → list STape → Prop ≝
  57  λn,t.∃qin,cin,qout,cout,mv.
  58  no_marks qin ∧ no_marks qout ∧
  59  only_bits qin ∧ only_bits qout ∧
  60  bit_or_null cin = true ∧ bit_or_null cout = true ∧ bit_or_null mv = true ∧
  61  (cout = null → mv = null) ∧
  62  |qin| = n ∧ |qout| = n ∧
  63  t = mk_tuple qin 〈cin,false〉 qout 〈cout,false〉 〈mv,false〉.
  64
  65 inductive table_TM (n:nat) : list STape → Prop ≝
  66 | ttm_nil  : table_TM n []
  67 | ttm_cons : ∀t1,T.tuple_TM n t1 → table_TM n T → table_TM n (t1@〈bar,false〉::T).
  68
  69 inductive match_in_table (n:nat) (qin:list STape) (cin: STape)
  70                          (qout:list STape) (cout:STape) (mv:STape)
  71 : list STape → Prop ≝
  72 | mit_hd :
  73    ∀tb.
  74    tuple_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv) →
  75    match_in_table n qin cin qout cout mv
  76      (mk_tuple qin cin qout cout mv @〈bar,false〉::tb)
  77 | mit_tl :
  78    ∀qin0,cin0,qout0,cout0,mv0,tb.
  79    tuple_TM n (mk_tuple qin0 cin0 qout0 cout0 mv0) →
  80    match_in_table n qin cin qout cout mv tb →
  81    match_in_table n qin cin qout cout mv
  82      (mk_tuple qin0 cin0 qout0 cout0 mv0@〈bar,false〉::tb).
  83
  84 axiom append_l1_injective :
  85   ∀A.∀l1,l2,l3,l4:list A. |l1| = |l2| → l1@l3 = l2@l4 → l1 = l2.
  86 axiom append_l2_injective :
  87   ∀A.∀l1,l2,l3,l4:list A. |l1| = |l2| → l1@l3 = l2@l4 → l3 = l4.
  88 axiom cons_injective_l : ∀A.∀a1,a2:A.∀l1,l2.a1::l1 = a2::l2 → a1 = a2.
  89 axiom cons_injective_r : ∀A.∀a1,a2:A.∀l1,l2.a1::l1 = a2::l2 → l1 = l2.
  90 axiom tuple_len : ∀n,t.tuple_TM n t → |t| = 2*n+5.
  91 axiom append_eq_tech1 :
  92   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → |l1| < |l3| → ∃la:list A.l1@a::la = l3.
  93 axiom append_eq_tech2 :
  94   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l4 = false → ∃la:list A.l3 = l1@a::la.
  95 (*axiom list_decompose_cases :
  96   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → ∃la,lb:list A.l3 = la@a::lb ∨ l4 = la@a::lb.
  97 axiom list_decompose_l :
  98   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l4 = false →
  99   ∃la,lb.l2 = la@lb ∧ l3 = l1@a::la.
 100 axiom list_decompose_r :
 101   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l3 = false →
 102   ∃la,lb.l1 = la@lb ∧ l4 = lb@a::l2.
 103 axiom list_decompose_memb :
 104   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → |l1| < |l3| → memb A a l3 = true.*)
 105
 106 lemma table_invert_r : ∀n,t,T.
 107   tuple_TM n t → table_TM n (t@〈bar,false〉::T) → table_TM n T.
 108 #n #t #T #Htuple #Htable inversion Htable
 109 [ cases t normalize [ #Hfalse | #p #t0 #Hfalse ] destruct (Hfalse)
 110 | #t0 #T0 #Htuple0 #Htable0 #_ #Heq lapply (append_l2_injective ?????? Heq)
 111   [ >(tuple_len … Htuple) >(tuple_len … Htuple0) % ]
 112   -Heq #Heq destruct (Heq) // ]
 113 qed.
 114
 115 lemma match_in_table_to_tuple :
 116   ∀n,T,qin,cin,qout,cout,mv.
 117   match_in_table n qin cin qout cout mv T → table_TM n T →
 118   tuple_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv).
 119 #n #T #qin #cin #qout #cout #mv #Hmatch elim Hmatch
 120 [ //
 121 | #qin0 #cin0 #qout0 #cout0 #mv0 #tb #Htuple #Hmatch #IH #Htable
 122   @IH @(table_invert_r ???? Htable) @Htuple
 123 ]
 124 qed.
 125
 126 lemma generic_match_to_match_in_table :
 127   ∀n,T.table_TM n T →
 128   ∀qin,cin,qout,cout,mv.|qin| = n → |qout| = n →
 129   only_bits qin → only_bits qout →
 130   bit_or_null (\fst cin) = true → bit_or_null (\fst cout) = true →
 131   bit_or_null (\fst mv) = true →
 132   ∀t1,t2.
 133   T = (t1@qin@cin::〈comma,false〉::qout@cout::〈comma,false〉::[mv])@t2 →
 134   match_in_table n qin cin qout cout mv T.
 135 #n #T #Htable #qin #cin #qout #cout #mv #Hlenqin #Hlenqout
 136 #Hqinbits #Hqoutbits #Hcin #Hcout #Hmv
 137 elim Htable
 138 [ #t1 #t2 <associative_append cases (t1@qin) normalize in ⊢ (%→?);
 139   [ #Hfalse destruct (Hfalse) | #c0 #t0 #Hfalse whd in Hfalse:(???%); destruct (Hfalse) ]
 140 | #tuple #T0 #H1 #Htable0#IH #t1 #t2 #HT cases H1 #qin0 * #cin0 * #qout0 * #cout0 * #mv0
 141   * * * * * * * * * *
 142   #Hqin0marks #Hqout0marks #Hqin0bits #Hqout0bits #Hcin0 #Hcout0 #Hmv0 #Hcout0mv0
 143   #Hlenqin0 #Hlenqout0 #Htuple >Htuple in H1; #H1
 144   lapply (ttm_cons … T0 H1 Htable0) #Htable
 145   cases t1 in HT;
 146   [ >Htuple normalize in ⊢ (??%%→?);
 147     >associative_append >associative_append #HT
 148     cut (qin0 = qin ∧ (〈cin0,false〉 = cin ∧ (qout0 = qout ∧
 149          (〈cout0,false〉 = cout ∧ (〈mv0,false〉 = mv ∧ 〈bar,false〉::T0 = t2)))))
 150     [ lapply (append_l1_injective … HT) [ >Hlenqin @Hlenqin0 ]
 151       #Hqin % [ @Hqin ] -Hqin
 152       lapply (append_l2_injective … HT) [ >Hlenqin @Hlenqin0 ] -HT #HT
 153       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hcin % [ @Hcin ] -Hcin
 154       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 155       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT
 156       >associative_append >associative_append #HT
 157       lapply (append_l1_injective … HT) [ >Hlenqout @Hlenqout0 ]
 158       #Hqout % [ @Hqout ] -Hqout
 159       lapply (append_l2_injective … HT) [ >Hlenqout @Hlenqout0 ] -HT normalize #HT
 160       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hcout % [ @Hcout ] -Hcout
 161       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 162       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 163       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hmv % [ @Hmv ] -Hmv
 164       @(cons_injective_r ????? HT) ]
 165     -HT * #Hqin * #Hcin * #Hqout * #Hcout * #Hmv #HT0
 166     >(?:qin0@(〈cin0,false〉::〈comma,false〉::qout0@[〈cout0,false〉;〈comma,false〉;〈mv0,false〉])@〈bar,false〉::T0
 167         = mk_tuple qin cin qout cout mv@〈bar,false〉::T0)
 168     [|>Hqin >Hqout >Hcin >Hcout >Hmv normalize >associative_append >associative_append
 169        normalize >associative_append % ]
 170     % %{qin0} %{cin0} %{qout0} %{cout0} %{mv0} % // % [|@Hlenqout0] % // %
 171         [ | @Hcout0mv0 ] % // % // % // % // % // % // %
 172   | #c0 #cs0 #HT cut (∃cs1.c0::cs0 = tuple@〈bar,false〉::cs1)
 173     [ cases (append_eq_tech1 ?????? HT ?)
 174       [ -HT #ta #Hta cases (append_eq_tech2 … Hta ?)
 175         [ -Hta #tb #Htb %{tb} @Htb
 176         | @daemon ]
 177       | @le_S_S >length_append >(plus_n_O (|tuple|)) >commutative_plus @le_plus
 178         [ @le_O_n
 179         | >Htuple normalize >length_append >length_append @le_plus [ >Hlenqin >Hlenqin0 % ]
 180           @le_S_S @le_S_S >length_append >length_append @le_plus [ >Hlenqout >Hlenqout0 % ] %] ]
 181     ]
 182     * #cs1 #Hcs1 >Hcs1 in HT; >associative_append >associative_append #HT
 183     lapply (append_l2_injective … HT) // -HT #HT
 184     lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT
 185     <associative_append #HT >Htuple %2 // @(IH … HT)
 186   ]
 187 ]
 188 qed.
 189
 190 (*
 191 lemma table_invert_l : ∀n,T0,qin,cin,qout,cout,mv.
 192   table_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv@〈bar,false〉::T0) →
 193   tuple_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv).
 194 #n #T #qin #cin #qout #cout #mv #HT inversion HT
 195 [ change with (append ???) in ⊢ (??(??%?)?→?);cases qin [ #Hfalse | #t0 #ts0 #Hfalse] normalize in Hfalse; destruct (Hfalse)
 196 | #t0 #T0 #Ht0 #HT0 #_
 197
 198
 199 lemma table_invert_r : ∀n,T0,qin,cin,qout,cout,mv.
 200   table n (mk_tuple qin cin qout cout mv@〈bar,false〉::T0) → table n T0.
 201 *)
 202
 203 lemma no_grids_in_tuple : ∀n,l.tuple_TM n l → no_grids l.
 204 #n #l * #qin * #cin * #qout * #cout * #mv * * * * * * * * * *
 205 #_ #_ #Hqin #Hqout #Hcin #Hcout #Hmv #_ #_ #_ #Hl >Hl
 206 #c #Hc normalize in Hc; cases (memb_append … Hc) -Hc #Hc
 207 [ @bit_not_grid @(Hqin … Hc)
 208 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 209 [ change with (c == 〈cin,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) @bit_or_null_not_grid //
 210 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 211 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 212 | cases (memb_append …Hc) -Hc #Hc
 213 [ @bit_not_grid @(Hqout … Hc)
 214 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 215 [ change with (c == 〈cout,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) @bit_or_null_not_grid //
 216 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 217 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 218 | >(memb_single … Hc) @bit_or_null_not_grid @Hmv
 219 ]]]]]]
 220 qed.
 221
 222 lemma no_marks_in_tuple : ∀n,l.tuple_TM n l → no_marks l.
 223 #n #l * #qin * #cin * #qout * #cout * #mv * * * * * * * * * *
 224 #Hqin #Hqout #_ #_ #_ #_ #_ #_ #_ #_ #Hl >Hl
 225 #c #Hc normalize in Hc; cases (memb_append … Hc) -Hc #Hc
 226 [ @(Hqin … Hc)
 227 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 228 [ change with (c == 〈cin,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 229 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 230 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 231 | cases (memb_append … Hc) -Hc #Hc
 232 [ @(Hqout … Hc)
 233 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 234 [ change with (c == 〈cout,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 235 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 236
 237 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 238 | >(memb_single … Hc) %
 239 ]]]]]]
 240 qed.
 241
 242 lemma no_grids_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_grids l.
 243 #n #l #t elim t
 244   [normalize #c #H destruct
 245   |#t1 #t2 #Ht1 #Ht2 #IH lapply (no_grids_in_tuple … Ht1) -Ht1 #Ht1 #x #Hx
 246    cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 247    [ @(Ht1 … Hx)
 248    | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 249      [ >(\P Hx) %
 250      | @(IH … Hx) ] ] ]
 251 qed.
 252
 253 lemma no_marks_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_marks l.
 254 #n #l #t elim t
 255   [normalize #c #H destruct
 256   |#t1 #t2 #Ht1 #Ht2 #IH lapply (no_marks_in_tuple … Ht1) -Ht1 #Ht1 #x #Hx
 257    cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 258    [ @(Ht1 … Hx)
 259    | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 260      [ >(\P Hx) %
 261      | @(IH … Hx) ] ] ]
 262 qed.
 263
 264 axiom last_of_table: ∀n,l,b.¬ table_TM n (l@[〈bar,b〉]).
 265
 266 (*
 267 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
 268    ^                               ^
 269
 270 if current (* x *) = #
 271    then
 272    else if x = 0
 273       then move_right; ----
 274            adv_to_mark_r;
 275            if current (* x0 *) = 0
 276               then advance_mark ----
 277                    adv_to_mark_l;
 278                    advance_mark
 279               else STOP
 280       else x = 1 (* analogo *)
 281
 282 *)
 283
 284
 285 (*
 286    MARK NEXT TUPLE machine
 287    (partially axiomatized)
 288
 289    marks the first character after the first bar (rightwards)
 290  *)
 291
 292 definition bar_or_grid ≝ λc:STape.is_bar (\fst c) ∨ is_grid (\fst c).
 293
 294 definition mark_next_tuple ≝
 295   seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 296      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
 297        (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1).
 298
 299 definition R_mark_next_tuple ≝
 300   λt1,t2.
 301     ∀ls,c,rs1,rs2.
 302     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
 303     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
 304     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
 305     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
 306       no_bars rs3 ∧
 307       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
 308       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
 309     ∨
 310     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
 311
 312 axiom tech_split :
 313   ∀A:DeqSet.∀f,l.
 314    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
 315    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
 316 (*#A #f #l elim l
 317 [ % #x normalize #Hfalse *)
 318
 319 theorem sem_mark_next_tuple :
 320   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
 321 #intape
 322 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 323          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1) ????)
 324 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
 325 | //
 326 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
 327    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
 328    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
 329    -Hloop
 330    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
 331    cases (Hleft … Hrs)
 332    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
 333    | * #_ #Hta cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
 334      [ #H1 lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
 335        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
 336        | %
 337        | -Hta #Hta cases Hright
 338          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 339            @False_ind cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 340            [ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 341            | >Hta % ]
 342          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 343            cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 344            [  #_ #Htb whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 345              %2 %
 346              [ @H1
 347              | >Houtc >Htb >Hta % ]
 348            | >Hta % ]
 349          ]
 350        ]
 351     | * #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
 352       % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
 353      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
 354      [ #x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
 355        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 356        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 357      | whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 358      | >Hsplit >associative_append % ] -Hta #Hta
 359        cases Hright
 360        [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 361          whd in ⊢ (%→?); #Htb
 362          cases (Hta' c0 ?)
 363          [ #_ #Htb' >Htb' in Htb; #Htb
 364            generalize in match Hsplit; -Hsplit
 365            cases rs4 in Hta;
 366            [ #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 367              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 368              [ @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false)
 369                % [ % [ %
 370                [(* Hsplit *) @daemon |(*Hrs3*) @daemon ] | % ] | % ]
 371                | (* Hc0 *) @daemon ]
 372            | #r5 #rs5 >(eq_pair_fst_snd … r5)
 373              #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 374              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 375              [ @(ex_intro ?? (\fst r5)) @(ex_intro ?? (\snd r5))
 376                % [ % [ % [ (* Hc0, Hsplit *) @daemon | (*Hrs3*) @daemon ] | % ]
 377                      | % ] | (* Hc0 *) @daemon ] ] | >Hta % ]
 378              | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 379                whd in ⊢ (%→?); #Htb
 380                cases (Hta' c0 ?)
 381                [ #Hfalse @False_ind >Hfalse in Hc0;
 382                  #Hc0 destruct (Hc0)
 383                | >Hta % ]
 384 ]]]]
 385 qed.
 386
 387 definition init_current_on_match ≝
 388   (seq ? (move_l ?)
 389     (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 390       (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 391
 392 definition R_init_current_on_match ≝ λt1,t2.
 393   ∀l1,l2,c,rs. no_grids l1 → is_grid c = false →
 394   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::l2)  〈grid,false〉 rs →
 395   t2 = midtape STape (〈grid,false〉::l2) 〈c,true〉 ((reverse ? l1)@〈grid,false〉::rs).
 396
 397 lemma sem_init_current_on_match :
 398   Realize ? init_current_on_match R_init_current_on_match.
 399 #intape
 400 cases (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 401         (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 402            (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))) intape)
 403 #k * #outc * #Hloop #HR
 404 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 405 #l1 #l2 #c #rs #Hl1 #Hc #Hintape
 406 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 407 generalize in match Hl1; cases l1
 408   [#Hl1 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 409    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Hta
 410     [* >Hc #Htemp destruct (Htemp) ]
 411    * #_ #Htc lapply (Htc [ ] 〈grid,false〉 ? (refl ??) (refl …) Hl1)
 412    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); -Htc #Htc
 413    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htc -Htd
 414    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htd
 415    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htd) -Houtc #Houtc
 416    >Houtc %
 417   |#d #tl #Htl whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 418    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Htb
 419     [* >(Htl … (memb_hd …)) #Htemp destruct (Htemp)]
 420    * #Hd >append_cons #Htb lapply (Htb … (refl ??) (refl …) ?)
 421     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 422       [@Htl @memb_cons @membx | >(memb_single … membx) @Hc]]-Htb  #Htb
 423    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc
 424    >reverse_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 425    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc #Houtc
 426    >Houtc >reverse_cons >associative_append %
 427   ]
 428 qed.
 429
 430 (*
 431 definition init_current_gen ≝
 432   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 433     (seq ? (clear_mark ?)
 434        (seq ? (move_l ?)
 435          (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 436             (seq ? (move_r ?) (mark ?))))).
 437
 438 definition R_init_current_gen ≝ λt1,t2.
 439   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 →
 440   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 441   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 442   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 443         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 444
 445 lemma sem_init_current_gen : Realize ? init_current_gen R_init_current_gen.
 446 #intape
 447 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 448         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 449           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 450             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 451               (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))))) intape)
 452 #k * #outc * #Hloop #HR
 453 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 454 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hintape
 455 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta cases (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 456   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 457 * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%] -Hta #Hta
 458 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb -Hta #Htb
 459 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 460 generalize in match Hc; generalize in match Hl2; cases l2
 461   [#_ whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 462    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 463    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 464     [2: * whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp) ]
 465    * #_ #Htd >Htd in Htc; -Htd #Htd
 466    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 467    >reverse_append >reverse_cons
 468    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 469    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 470    >Houtc %
 471   |#d #tl #Htl #Hc0 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 472    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 473     [* >(Htl … (memb_hd …)) whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 474    * #Hd #Htd lapply (Htd … (refl ??) (refl ??) ?)
 475     [#x #membx @Htl @memb_cons @membx] -Htd #Htd
 476    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 477    >reverse_append >reverse_cons >reverse_cons
 478    >reverse_cons in Hc0; >reverse_cons cases (reverse ? tl)
 479      [normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0) #Hte
 480       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 481       >Houtc %
 482      |* #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 483       whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 484       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 485       >Houtc >associative_append >associative_append >associative_append %
 486      ]
 487    ]
 488 qed.
 489 *)
 490 definition init_current ≝
 491   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 492     (seq ? (clear_mark ?)
 493        (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 494           (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 495
 496 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 497   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 498   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 499   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 500   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 501         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 502
 503 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 504 #intape
 505 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 506         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 507            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 508              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 509 #k * #outc * #Hloop #HR
 510 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 511 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 512 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 513 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 514 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 515 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 516 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 517 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 518 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 519 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 520 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 521 >reverse_append >reverse_cons
 522 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 523 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 524   #Htd >(Houtc … Htd) %
 525 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 526   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 527   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 528   >associative_append >associative_append %
 529 ]
 530 qed.
 531
 532 definition match_tuple_step ≝
 533   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 534    (single_finalTM ?
 535      (seq ? compare
 536       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 537         (nop ?)
 538         (seq ? mark_next_tuple
 539            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 540              (mark ?) (seq ? (move_l ?) init_current) tc_true)) tc_true)))
 541     (nop ?) tc_true.
 542
 543 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 544   ∀ls,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs,n.
 545   bit_or_null c = true → only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) → bit_or_null c1 = true →
 546   only_bits_or_nulls l3 → n = |l1| → |l1| = |l3| →
 547   table_TM (S n) (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 548   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 549          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs) →
 550   (* facciamo match *)
 551   (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 552   t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 553         (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs))
 554   ∨
 555   (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 556   ((〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 557    ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
 558    (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 559    t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 560          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
 561           l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs))
 562   ∨
 563   (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 564      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 565      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 566   (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 567
 568 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 569   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 570
 571 include alias "basics/logic.ma".
 572
 573 (*
 574 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 575   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 576     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 577 //
 578 qed-. *)
 579
 580 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 581   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 582 #A #l #a cases l normalize /2/
 583 qed.
 584
 585 axiom tech_split2 : ∀A,l1,l2,l3,l4,x.
 586   memb A x l1 = false → memb ? x l3 = false →
 587   l1@x::l2 = l3@x::l4 → l1 = l3 ∧ l2 = l4.
 588
 589 axiom injective_append : ∀A,l.injective … (λx.append A x l).
 590
 591 lemma sem_match_tuple_step:
 592     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0)))
 593     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 594 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 595   (sem_seq … sem_compare
 596     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 597       (sem_nop …)
 598         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 599            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 600              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 601   (sem_nop ?) …)
 602 [(* is_grid: termination case *)
 603  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1
 604   cases (H c ?) [2: >Ht1 %] #Hgrid #Heq %
 605     [@injective_notb @Hgrid | <Heq @H1]
 606 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Htapea
 607  * #tapec * #Hcompare #Hor
 608  #ls #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs #n #Hc #Hl1bars #Hl1marks #Hc1 #Hl3 #eqn
 609  #eqlen #Htable #Htapea1 cases (Htapea 〈c,true〉 ?) >Htapea1 [2:%]
 610  #notgridc -Htapea -Htapea1 -tapea #Htapeb
 611  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 612  cases (Hcompare c c1 l1 l3 (l2@[〈bar,false〉]) (l4@〈grid,false〉::rs) eqlen Hl1bars Hl3 Hl1marks … (refl …) Hc ?)
 613  -Hcompare
 614    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % [%]
 615     >Htapec in Hor; -Htapec *
 616      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 617       cases (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 618      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #Htaped cases (Htaped ? (refl …)) -Htaped *
 619       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped >associative_append
 620       %
 621      ]
 622    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 623     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 624       [>H2 >H3 elim la
 625         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 626         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 627         ]
 628       ] #Hnoteq %2
 629     cut (bit_or_null d' = true)
 630       [cases la in H3;
 631         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 632         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 633          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 634         ]
 635       ] #Hd'
 636     >Htapec in Hor; -Htapec *
 637      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 638       cases (H … (refl …)) >(bit_or_null_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 639      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H cases (H … (refl …)) -H #_
 640       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 641       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 642       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 643        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 644          [(* rs4 is empty : the case is absurd since the tape
 645             cannot end with a bar *)
 646           * #d * #b * * * #Heq1 @False_ind
 647           cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 648           >Hcut in Htable; >H3 >associative_append
 649           normalize >Heq1 >Hcut <associative_append >Hcut
 650           <associative_append #Htable @(absurd … Htable)
 651           @last_of_table
 652          |(* rs4 not empty *)
 653           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 654           cut (memb STape 〈d2,b2〉 (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) = true)
 655             [@memb_append_l2 @memb_cons
 656              cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 657              >Hcut >H3 >associative_append @memb_append_l2
 658              @memb_cons >Heq1 @memb_append_l2 @memb_cons @memb_hd] #d2intable
 659           cut (is_grid d2 = false)
 660             [@(no_grids_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hd2
 661           cut (b2 = false)
 662             [@(no_marks_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hb2
 663           >Hb2 in Heq1; #Heq1 -Hb2 -b2
 664           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 665            [(* we know current is not grid *)
 666             * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 667             cases (Htapef … (refl …)) >Hd2 #Htemp destruct (Htemp)
 668            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 669             cases (Htapef … (refl …)) #_ -Htapef #Htapef
 670             * #tapeg >Htapef -Htapef *
 671             (* move_l *)
 672             whd in ⊢ (%→?);
 673             #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 674             >Htapeg -Htapeg
 675             (* init_current *)
 676              whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 677             %1 cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 678             * #c00 #b00 #Hoption
 679             lapply
 680              (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? (l2@[〈bar,false〉])@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 681              c' (reverse ? la) false ls bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs) c00 b00 ?????) -Htapeout
 682               [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 683                >associative_append
 684                generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls); #l
 685                whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 686               |>reverse_cons @Hoption
 687               |cases la in H2;
 688                 [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 689                  @injective_notb @notgridc
 690                 |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 691                  @bit_or_null_not_grid @(Hl1bars 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 692                 ]
 693               |cut (only_bits_or_nulls (la@(〈c',false〉::lb)))
 694                 [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 695                   [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1bars]
 696                 |#Hl1' #x #Hx @bit_or_null_not_grid @Hl1'
 697                  @memb_append_l1 @daemon
 698                 ]
 699               |@daemon
 700               |>reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse
 701                >reverse_append >reverse_reverse
 702                >reverse_cons >reverse_append >reverse_reverse
 703                >reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse
 704                >reverse_reverse
 705                #Htapeout % [@Hnoteq]
 706                @(ex_intro … d2)
 707                cut (∃rs32.rs3 = lc@〈comma,false〉::rs32)
 708                [ (*cases (tech_split STape (λc.c == 〈bar,false〉) l4)
 709                  [
 710                  | * #l41 * * #cbar #bfalse * #l42 * * #Hbar #Hl4 #Hl41
 711                    @(ex_intro ?? l41) >Hl4 in Heq1; #Heq1
 712
 713                cut (sublist … lc l3)
 714                  [ #x #Hx cases la in H3;
 715                    [ normalize #H3 destruct (H3) @Hx
 716                    | #p #la' normalize #Hla' destruct (Hla')
 717                      @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ] ] #Hsublist*)
 718                @daemon]
 719                * #rs32 #Hrs3
 720                (* cut
 721                (〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4= la@〈d',false〉::rs3@〈bar,false〉::〈d2,b2〉::rs3')
 722                [@daemon] #Hcut *)
 723                cut (l4=rs32@〈bar,false〉::〈d2,false〉::rs3')
 724                [ >Hrs3 in Heq1; @daemon ] #Hl4
 725                @(ex_intro … rs32) @(ex_intro … rs3') %
 726                  [@Hl4
 727                  |>Htapeout @eq_f2
 728                    [@daemon
 729                    |(*>Hrs3 *)>append_cons
 730                     > (?:l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs
 731                         = (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@[〈bar,false〉])@〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs)
 732                     [|>associative_append normalize
 733                       >associative_append normalize
 734                       >associative_append normalize
 735                       >associative_append normalize
 736                        % ]
 737                     @eq_f2 [|%]
 738                     @(injective_append … (〈d2,false〉::rs3'))
 739                     >(?:(la@[〈c',false〉])@((((lb@[〈grid,false〉])@l2@[〈bar,false〉])@la)@[〈d',false〉])@rs3
 740                        =((la@〈c',false〉::lb)@([〈grid,false〉]@l2@[〈bar,false〉]@la@[〈d',false〉]@rs3)))
 741                     [|>associative_append >associative_append
 742                       >associative_append >associative_append >associative_append
 743                       >associative_append >associative_append % ]
 744                     <H2 normalize (* <Hrs3 *)
 745                     >associative_append >associative_append >associative_append
 746                     @eq_f normalize @eq_f >associative_append
 747                     >associative_append @eq_f normalize @eq_f
 748                     >(append_cons ? 〈d',false〉) >associative_append
 749                     <Heq1 >Hl4 <associative_append <append_cons
 750                     <H3
 751                     >associative_append normalize
 752                     >associative_append normalize %
 753                    ]
 754                  ]
 755               ]
 756            ]
 757          ]
 758        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 759          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 760           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 761           whd in ⊢ (%→?); #Htapeout %2
 762           >(Htapeout … (refl …)) %
 763            [ %
 764              [ @Hnoteq
 765              | whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 766              ]
 767            | %
 768            ]
 769          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 770           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef
 771           whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 772          ]
 773        |(* no marks in table *)
 774         #x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 775         @memb_append_l2 @memb_cons
 776         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 777         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 778        |(* no grids in table *)
 779         #x #membx @(no_grids_in_table … Htable)
 780         @memb_append_l2 @memb_cons
 781         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 782         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 783        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_or_null_not_grid … Hd') >(bit_or_null_not_bar … Hd') %
 784        ]
 785      ]
 786    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 787     @memb_append_l2 @memb_cons @memb_cons @memb_append_l1 @membx
 788    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 789     cases (memb_append … membx) -membx #membx
 790      [@memb_append_l1 @membx | @memb_append_l2 >(memb_single … membx) @memb_hd]
 791    |>associative_append %
 792    ]
 793  ]
 794 qed.
 795
 796
 797 (*
 798   MATCH TUPLE
 799
 800   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 801   current configuration is found
 802 *)
 803
 804 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0))).
 805
 806 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 807   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 808   is_bit c = true → only_bits_or_nulls l1 → is_bit c1 = true → n = |l1| →
 809   table_TM (S n) (〈c1,false〉::l2) →
 810   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 811          (l1@〈grid,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 812   (* facciamo match *)
 813   (∃l3,newc,mv,l4.
 814    〈c1,false〉::l2 = l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4 ∧
 815    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 816         (l3@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4@〈grid,false〉::rs))
 817   ∨
 818   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 819      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 820      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 821   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 822    ∀l3,newc,mv,l4.
 823    〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4).