matita/matita/lib/turing/universal/tuples.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/marks.ma".
  18
  19 definition STape ≝ FinProd … FSUnialpha FinBool.
  20
  21 definition only_bits ≝ λl.
  22   ∀c.memb STape c l = true → is_bit (\fst c) = true.
  23
  24 definition only_bits_or_nulls ≝ λl.
  25   ∀c.memb STape c l = true → bit_or_null (\fst c) = true.
  26
  27 definition no_grids ≝ λl.
  28   ∀c.memb STape c l = true → is_grid (\fst c) = false.
  29
  30 definition no_bars ≝ λl.
  31   ∀c.memb STape c l = true → is_bar (\fst c) = false.
  32
  33 definition no_marks ≝ λl.
  34   ∀c.memb STape c l = true → is_marked ? c = false.
  35
  36 lemma bit_not_grid: ∀d. is_bit d = true → is_grid d = false.
  37 * // normalize #H destruct
  38 qed.
  39
  40 lemma bit_or_null_not_grid: ∀d. bit_or_null d = true → is_grid d = false.
  41 * // normalize #H destruct
  42 qed.
  43
  44 lemma bit_not_bar: ∀d. is_bit d = true → is_bar d = false.
  45 * // normalize #H destruct
  46 qed.
  47
  48 lemma bit_or_null_not_bar: ∀d. bit_or_null d = true → is_bar d = false.
  49 * // normalize #H destruct
  50 qed.
  51
  52 definition mk_tuple ≝ λqin,cin,qout,cout,mv.
  53   qin @ cin :: 〈comma,false〉:: qout @ cout :: 〈comma,false〉 :: [mv].
  54
  55 axiom num_of_state : ∀state:FinSet. state → list (unialpha × bool).
  56
  57 definition tuple_of_pair ≝ λstates: FinSet.
  58   λhalt:states →bool.
  59   λp: (states × (option FinBool)) × (states × (option (FinBool × move))).
  60   let 〈inp,outp〉 ≝ p in
  61   let 〈q,a〉 ≝ inp in
  62   let cin ≝ match a with [ None ⇒ null | Some b ⇒ bit b ] in
  63   let 〈qn,action〉 ≝ outp in
  64   let 〈cout,mv〉 ≝
  65     match action with
  66     [ None ⇒ 〈null,null〉
  67     | Some act ⇒ let 〈na,m〉 ≝ act in
  68       match m with
  69       [ R ⇒ 〈bit na,bit true〉
  70       | L ⇒ 〈bit na,bit false〉
  71       | N ⇒ 〈bit na,null〉]
  72     ] in
  73   let qin ≝ num_of_state states q in
  74   let qout ≝ num_of_state states qn in
  75   mk_tuple qin 〈cin,false〉 qout 〈cout,false〉 〈mv,false〉.
  76
  77
  78
  79
  80
  81 (* by definition, a tuple is not marked *)
  82 definition tuple_TM : nat → list STape → Prop ≝
  83  λn,t.∃qin,cin,qout,cout,mv.
  84  no_marks qin ∧ no_marks qout ∧
  85  only_bits qin ∧ only_bits qout ∧
  86  bit_or_null cin = true ∧ bit_or_null cout = true ∧ bit_or_null mv = true ∧
  87  (cout = null → mv = null) ∧
  88  |qin| = n ∧ |qout| = n ∧
  89  t = mk_tuple qin 〈cin,false〉 qout 〈cout,false〉 〈mv,false〉.
  90
  91 inductive table_TM (n:nat) : list STape → Prop ≝
  92 | ttm_nil  : table_TM n []
  93 | ttm_cons : ∀t1,T.tuple_TM n t1 → table_TM n T → table_TM n (t1@〈bar,false〉::T).
  94
  95 inductive match_in_table (n:nat) (qin:list STape) (cin: STape)
  96                          (qout:list STape) (cout:STape) (mv:STape)
  97 : list STape → Prop ≝
  98 | mit_hd :
  99    ∀tb.
 100    tuple_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv) →
 101    match_in_table n qin cin qout cout mv
 102      (mk_tuple qin cin qout cout mv @〈bar,false〉::tb)
 103 | mit_tl :
 104    ∀qin0,cin0,qout0,cout0,mv0,tb.
 105    tuple_TM n (mk_tuple qin0 cin0 qout0 cout0 mv0) →
 106    match_in_table n qin cin qout cout mv tb →
 107    match_in_table n qin cin qout cout mv
 108      (mk_tuple qin0 cin0 qout0 cout0 mv0@〈bar,false〉::tb).
 109
 110 axiom append_l1_injective :
 111   ∀A.∀l1,l2,l3,l4:list A. |l1| = |l2| → l1@l3 = l2@l4 → l1 = l2.
 112 axiom append_l2_injective :
 113   ∀A.∀l1,l2,l3,l4:list A. |l1| = |l2| → l1@l3 = l2@l4 → l3 = l4.
 114 axiom cons_injective_l : ∀A.∀a1,a2:A.∀l1,l2.a1::l1 = a2::l2 → a1 = a2.
 115 axiom cons_injective_r : ∀A.∀a1,a2:A.∀l1,l2.a1::l1 = a2::l2 → l1 = l2.
 116 axiom tuple_len : ∀n,t.tuple_TM n t → |t| = 2*n+5.
 117 axiom append_eq_tech1 :
 118   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → |l1| < |l3| → ∃la:list A.l1@a::la = l3.
 119 axiom append_eq_tech2 :
 120   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l4 = false → ∃la:list A.l3 = l1@a::la.
 121 (*axiom list_decompose_cases :
 122   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → ∃la,lb:list A.l3 = la@a::lb ∨ l4 = la@a::lb.
 123 axiom list_decompose_l :
 124   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l4 = false →
 125   ∃la,lb.l2 = la@lb ∧ l3 = l1@a::la.
 126 axiom list_decompose_r :
 127   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l3 = false →
 128   ∃la,lb.l1 = la@lb ∧ l4 = lb@a::l2.
 129 axiom list_decompose_memb :
 130   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → |l1| < |l3| → memb A a l3 = true.*)
 131
 132 lemma table_invert_r : ∀n,t,T.
 133   tuple_TM n t → table_TM n (t@〈bar,false〉::T) → table_TM n T.
 134 #n #t #T #Htuple #Htable inversion Htable
 135 [ cases t normalize [ #Hfalse | #p #t0 #Hfalse ] destruct (Hfalse)
 136 | #t0 #T0 #Htuple0 #Htable0 #_ #Heq lapply (append_l2_injective ?????? Heq)
 137   [ >(tuple_len … Htuple) >(tuple_len … Htuple0) % ]
 138   -Heq #Heq destruct (Heq) // ]
 139 qed.
 140
 141 lemma match_in_table_to_tuple :
 142   ∀n,T,qin,cin,qout,cout,mv.
 143   match_in_table n qin cin qout cout mv T → table_TM n T →
 144   tuple_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv).
 145 #n #T #qin #cin #qout #cout #mv #Hmatch elim Hmatch
 146 [ //
 147 | #qin0 #cin0 #qout0 #cout0 #mv0 #tb #Htuple #Hmatch #IH #Htable
 148   @IH @(table_invert_r ???? Htable) @Htuple
 149 ]
 150 qed.
 151
 152 lemma generic_match_to_match_in_table :
 153   ∀n,T.table_TM n T →
 154   ∀qin,cin,qout,cout,mv.|qin| = n → |qout| = n →
 155   only_bits qin → only_bits qout →
 156   bit_or_null (\fst cin) = true → bit_or_null (\fst cout) = true →
 157   bit_or_null (\fst mv) = true →
 158   ∀t1,t2.
 159   T = (t1@qin@cin::〈comma,false〉::qout@cout::〈comma,false〉::[mv])@t2 →
 160   match_in_table n qin cin qout cout mv T.
 161 #n #T #Htable #qin #cin #qout #cout #mv #Hlenqin #Hlenqout
 162 #Hqinbits #Hqoutbits #Hcin #Hcout #Hmv
 163 elim Htable
 164 [ #t1 #t2 <associative_append cases (t1@qin) normalize in ⊢ (%→?);
 165   [ #Hfalse destruct (Hfalse) | #c0 #t0 #Hfalse whd in Hfalse:(???%); destruct (Hfalse) ]
 166 | #tuple #T0 #H1 #Htable0#IH #t1 #t2 #HT cases H1 #qin0 * #cin0 * #qout0 * #cout0 * #mv0
 167   * * * * * * * * * *
 168   #Hqin0marks #Hqout0marks #Hqin0bits #Hqout0bits #Hcin0 #Hcout0 #Hmv0 #Hcout0mv0
 169   #Hlenqin0 #Hlenqout0 #Htuple >Htuple in H1; #H1
 170   lapply (ttm_cons … T0 H1 Htable0) #Htable
 171   cases t1 in HT;
 172   [ >Htuple normalize in ⊢ (??%%→?);
 173     >associative_append >associative_append #HT
 174     cut (qin0 = qin ∧ (〈cin0,false〉 = cin ∧ (qout0 = qout ∧
 175          (〈cout0,false〉 = cout ∧ (〈mv0,false〉 = mv ∧ 〈bar,false〉::T0 = t2)))))
 176     [ lapply (append_l1_injective … HT) [ >Hlenqin @Hlenqin0 ]
 177       #Hqin % [ @Hqin ] -Hqin
 178       lapply (append_l2_injective … HT) [ >Hlenqin @Hlenqin0 ] -HT #HT
 179       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hcin % [ @Hcin ] -Hcin
 180       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 181       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT
 182       >associative_append >associative_append #HT
 183       lapply (append_l1_injective … HT) [ >Hlenqout @Hlenqout0 ]
 184       #Hqout % [ @Hqout ] -Hqout
 185       lapply (append_l2_injective … HT) [ >Hlenqout @Hlenqout0 ] -HT normalize #HT
 186       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hcout % [ @Hcout ] -Hcout
 187       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 188       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 189       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hmv % [ @Hmv ] -Hmv
 190       @(cons_injective_r ????? HT) ]
 191     -HT * #Hqin * #Hcin * #Hqout * #Hcout * #Hmv #HT0
 192     >(?:qin0@(〈cin0,false〉::〈comma,false〉::qout0@[〈cout0,false〉;〈comma,false〉;〈mv0,false〉])@〈bar,false〉::T0
 193         = mk_tuple qin cin qout cout mv@〈bar,false〉::T0)
 194     [|>Hqin >Hqout >Hcin >Hcout >Hmv normalize >associative_append >associative_append
 195        normalize >associative_append % ]
 196     % %{qin0} %{cin0} %{qout0} %{cout0} %{mv0} % // % [|@Hlenqout0] % // %
 197         [ | @Hcout0mv0 ] % // % // % // % // % // % // %
 198   | #c0 #cs0 #HT cut (∃cs1.c0::cs0 = tuple@〈bar,false〉::cs1)
 199     [ cases (append_eq_tech1 ?????? HT ?)
 200       [ -HT #ta #Hta cases (append_eq_tech2 … Hta ?)
 201         [ -Hta #tb #Htb %{tb} @Htb
 202         | @daemon ]
 203       | @le_S_S >length_append >(plus_n_O (|tuple|)) >commutative_plus @le_plus
 204         [ @le_O_n
 205         | >Htuple normalize >length_append >length_append @le_plus [ >Hlenqin >Hlenqin0 % ]
 206           @le_S_S @le_S_S >length_append >length_append @le_plus [ >Hlenqout >Hlenqout0 % ] %] ]
 207     ]
 208     * #cs1 #Hcs1 >Hcs1 in HT; >associative_append >associative_append #HT
 209     lapply (append_l2_injective … HT) // -HT #HT
 210     lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT
 211     <associative_append #HT >Htuple %2 // @(IH … HT)
 212   ]
 213 ]
 214 qed.
 215
 216 (*
 217 lemma table_invert_l : ∀n,T0,qin,cin,qout,cout,mv.
 218   table_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv@〈bar,false〉::T0) →
 219   tuple_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv).
 220 #n #T #qin #cin #qout #cout #mv #HT inversion HT
 221 [ change with (append ???) in ⊢ (??(??%?)?→?);cases qin [ #Hfalse | #t0 #ts0 #Hfalse] normalize in Hfalse; destruct (Hfalse)
 222 | #t0 #T0 #Ht0 #HT0 #_
 223
 224
 225 lemma table_invert_r : ∀n,T0,qin,cin,qout,cout,mv.
 226   table n (mk_tuple qin cin qout cout mv@〈bar,false〉::T0) → table n T0.
 227 *)
 228
 229 lemma no_grids_in_tuple : ∀n,l.tuple_TM n l → no_grids l.
 230 #n #l * #qin * #cin * #qout * #cout * #mv * * * * * * * * * *
 231 #_ #_ #Hqin #Hqout #Hcin #Hcout #Hmv #_ #_ #_ #Hl >Hl
 232 #c #Hc normalize in Hc; cases (memb_append … Hc) -Hc #Hc
 233 [ @bit_not_grid @(Hqin … Hc)
 234 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 235 [ change with (c == 〈cin,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) @bit_or_null_not_grid //
 236 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 237 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 238 | cases (memb_append …Hc) -Hc #Hc
 239 [ @bit_not_grid @(Hqout … Hc)
 240 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 241 [ change with (c == 〈cout,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) @bit_or_null_not_grid //
 242 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 243 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 244 | >(memb_single … Hc) @bit_or_null_not_grid @Hmv
 245 ]]]]]]
 246 qed.
 247
 248 lemma no_marks_in_tuple : ∀n,l.tuple_TM n l → no_marks l.
 249 #n #l * #qin * #cin * #qout * #cout * #mv * * * * * * * * * *
 250 #Hqin #Hqout #_ #_ #_ #_ #_ #_ #_ #_ #Hl >Hl
 251 #c #Hc normalize in Hc; cases (memb_append … Hc) -Hc #Hc
 252 [ @(Hqin … Hc)
 253 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 254 [ change with (c == 〈cin,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 255 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 256 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 257 | cases (memb_append … Hc) -Hc #Hc
 258 [ @(Hqout … Hc)
 259 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 260 [ change with (c == 〈cout,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 261 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 262
 263 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 264 | >(memb_single … Hc) %
 265 ]]]]]]
 266 qed.
 267
 268 lemma no_grids_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_grids l.
 269 #n #l #t elim t
 270   [normalize #c #H destruct
 271   |#t1 #t2 #Ht1 #Ht2 #IH lapply (no_grids_in_tuple … Ht1) -Ht1 #Ht1 #x #Hx
 272    cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 273    [ @(Ht1 … Hx)
 274    | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 275      [ >(\P Hx) %
 276      | @(IH … Hx) ] ] ]
 277 qed.
 278
 279 lemma no_marks_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_marks l.
 280 #n #l #t elim t
 281   [normalize #c #H destruct
 282   |#t1 #t2 #Ht1 #Ht2 #IH lapply (no_marks_in_tuple … Ht1) -Ht1 #Ht1 #x #Hx
 283    cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 284    [ @(Ht1 … Hx)
 285    | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 286      [ >(\P Hx) %
 287      | @(IH … Hx) ] ] ]
 288 qed.
 289
 290 axiom last_of_table: ∀n,l,b.¬ table_TM n (l@[〈bar,b〉]).
 291
 292 (*
 293 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
 294    ^                               ^
 295
 296 if current (* x *) = #
 297    then
 298    else if x = 0
 299       then move_right; ----
 300            adv_to_mark_r;
 301            if current (* x0 *) = 0
 302               then advance_mark ----
 303                    adv_to_mark_l;
 304                    advance_mark
 305               else STOP
 306       else x = 1 (* analogo *)
 307
 308 *)
 309
 310
 311 (*
 312    MARK NEXT TUPLE machine
 313    (partially axiomatized)
 314
 315    marks the first character after the first bar (rightwards)
 316  *)
 317
 318 definition bar_or_grid ≝ λc:STape.is_bar (\fst c) ∨ is_grid (\fst c).
 319
 320 definition mark_next_tuple ≝
 321   seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 322      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
 323        (move_right_and_mark ?) (nop ?) tc_true).
 324
 325 definition R_mark_next_tuple ≝
 326   λt1,t2.
 327     ∀ls,c,rs1,rs2.
 328     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
 329     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
 330     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
 331     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
 332       no_bars rs3 ∧
 333       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
 334       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
 335     ∨
 336     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
 337
 338 axiom tech_split :
 339   ∀A:DeqSet.∀f,l.
 340    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
 341    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
 342 (*#A #f #l elim l
 343 [ % #x normalize #Hfalse *)
 344
 345 theorem sem_mark_next_tuple :
 346   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
 347 #intape
 348 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 349          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) tc_true) ????)
 350 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
 351 | //
 352 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
 353    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
 354    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
 355    -Hloop
 356    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
 357    cases (Hleft … Hrs)
 358    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
 359    | * #_ #Hta cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
 360      [ #H1 lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
 361        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
 362        | %
 363        | -Hta #Hta cases Hright
 364          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 365            @False_ind cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 366            [ normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 367            | >Hta % ]
 368          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 369            cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 370            [  #_ #Htb whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 371              %2 %
 372              [ @H1
 373              | >Houtc >Htb >Hta % ]
 374            | >Hta % ]
 375          ]
 376        ]
 377     | * #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
 378       % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
 379      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
 380      [ #x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
 381        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 382        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 383      | whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 384      | >Hsplit >associative_append % ] -Hta #Hta
 385        cases Hright
 386        [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 387          whd in ⊢ (%→?); #Htb
 388          cases (Hta' c0 ?)
 389          [ #_ #Htb' >Htb' in Htb; #Htb
 390            generalize in match Hsplit; -Hsplit
 391            cases rs4 in Hta;
 392            [ #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 393              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 394              [ @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false)
 395                % [ % [ %
 396                [(* Hsplit *) @daemon |(*Hrs3*) @daemon ] | % ] | % ]
 397                | (* Hc0 *) @daemon ]
 398            | #r5 #rs5 >(eq_pair_fst_snd … r5)
 399              #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 400              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 401              [ @(ex_intro ?? (\fst r5)) @(ex_intro ?? (\snd r5))
 402                % [ % [ % [ (* Hc0, Hsplit *) @daemon | (*Hrs3*) @daemon ] | % ]
 403                      | % ] | (* Hc0 *) @daemon ] ] | >Hta % ]
 404              | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 405                whd in ⊢ (%→?); #Htb
 406                cases (Hta' c0 ?)
 407                [ #Hfalse @False_ind >Hfalse in Hc0;
 408                  #Hc0 destruct (Hc0)
 409                | >Hta % ]
 410 ]]]]
 411 qed.
 412
 413 definition init_current_on_match ≝
 414   (seq ? (move_l ?)
 415     (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 416       (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 417
 418 definition R_init_current_on_match ≝ λt1,t2.
 419   ∀l1,l2,c,rs. no_grids l1 → is_grid c = false →
 420   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::l2)  〈grid,false〉 rs →
 421   t2 = midtape STape (〈grid,false〉::l2) 〈c,true〉 ((reverse ? l1)@〈grid,false〉::rs).
 422
 423 lemma sem_init_current_on_match :
 424   Realize ? init_current_on_match R_init_current_on_match.
 425 #intape
 426 cases (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 427         (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 428            (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))) intape)
 429 #k * #outc * #Hloop #HR
 430 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 431 #l1 #l2 #c #rs #Hl1 #Hc #Hintape
 432 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 433 generalize in match Hl1; cases l1
 434   [#Hl1 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 435    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Hta
 436     [* >Hc #Htemp destruct (Htemp) ]
 437    * #_ #Htc lapply (Htc [ ] 〈grid,false〉 ? (refl ??) (refl …) Hl1)
 438    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); -Htc #Htc
 439    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htc -Htd
 440    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htd
 441    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htd) -Houtc #Houtc
 442    >Houtc %
 443   |#d #tl #Htl whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 444    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Htb
 445     [* >(Htl … (memb_hd …)) #Htemp destruct (Htemp)]
 446    * #Hd >append_cons #Htb lapply (Htb … (refl ??) (refl …) ?)
 447     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 448       [@Htl @memb_cons @membx | >(memb_single … membx) @Hc]]-Htb  #Htb
 449    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc
 450    >reverse_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 451    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc #Houtc
 452    >Houtc >reverse_cons >associative_append %
 453   ]
 454 qed.
 455
 456 (*
 457 definition init_current_gen ≝
 458   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 459     (seq ? (clear_mark ?)
 460        (seq ? (move_l ?)
 461          (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 462             (seq ? (move_r ?) (mark ?))))).
 463
 464 definition R_init_current_gen ≝ λt1,t2.
 465   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 →
 466   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 467   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 468   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 469         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 470
 471 lemma sem_init_current_gen : Realize ? init_current_gen R_init_current_gen.
 472 #intape
 473 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 474         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 475           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 476             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 477               (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))))) intape)
 478 #k * #outc * #Hloop #HR
 479 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 480 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hintape
 481 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta cases (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 482   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 483 * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%] -Hta #Hta
 484 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb -Hta #Htb
 485 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 486 generalize in match Hc; generalize in match Hl2; cases l2
 487   [#_ whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 488    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 489    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 490     [2: * whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp) ]
 491    * #_ #Htd >Htd in Htc; -Htd #Htd
 492    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 493    >reverse_append >reverse_cons
 494    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 495    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 496    >Houtc %
 497   |#d #tl #Htl #Hc0 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 498    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 499     [* >(Htl … (memb_hd …)) whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 500    * #Hd #Htd lapply (Htd … (refl ??) (refl ??) ?)
 501     [#x #membx @Htl @memb_cons @membx] -Htd #Htd
 502    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 503    >reverse_append >reverse_cons >reverse_cons
 504    >reverse_cons in Hc0; >reverse_cons cases (reverse ? tl)
 505      [normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0) #Hte
 506       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 507       >Houtc %
 508      |* #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 509       whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 510       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 511       >Houtc >associative_append >associative_append >associative_append %
 512      ]
 513    ]
 514 qed.
 515 *)
 516
 517 definition init_current ≝
 518   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 519     (seq ? (clear_mark ?)
 520        (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 521           (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 522
 523 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 524   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 525   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 526   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 527   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 528         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 529
 530 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 531 #intape
 532 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 533         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 534            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 535              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 536 #k * #outc * #Hloop #HR
 537 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 538 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 539 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 540 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 541 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 542 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 543 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 544 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 545 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 546 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 547 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 548 >reverse_append >reverse_cons
 549 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 550 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 551   #Htd >(Houtc … Htd) %
 552 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 553   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 554   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 555   >associative_append >associative_append %
 556 ]
 557 qed.
 558
 559 definition match_tuple_step ≝
 560   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 561    (single_finalTM ?
 562      (seq ? compare
 563       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 564         (nop ?)
 565         (seq ? mark_next_tuple
 566            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 567              (mark ?) (seq ? (move_l ?) init_current) tc_true)) tc_true)))
 568     (nop ?) tc_true.
 569
 570 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 571   ∀ls,cur,rs.t1 = midtape STape ls cur rs →
 572   \fst cur ≠ grid ∧
 573   (∀ls0,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs0,n.
 574    only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) →
 575    bit_or_null c = true → bit_or_null c1 = true →
 576    only_bits_or_nulls l3 → S n = |l1| → |l1| = |l3| →
 577    table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 578    ls = 〈grid,false〉::ls0 → cur = 〈c,true〉 →
 579    rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs0 →
 580    (* facciamo match *)
 581    (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 582    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 583          (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs0))
 584    ∨
 585    (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 586    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 587     ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
 588     (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 589     t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈c,true〉
 590           (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
 591            l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs0))
 592    ∨
 593    (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 594       non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 595       non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 596    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 597
 598 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 599   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 600
 601 include alias "basics/logic.ma".
 602
 603 (*
 604 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 605   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 606     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 607 //
 608 qed-. *)
 609
 610 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 611   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 612 #A #l #a cases l normalize /2/
 613 qed.
 614
 615 axiom tech_split2 : ∀A,l1,l2,l3,l4,x.
 616   memb A x l1 = false → memb ? x l3 = false →
 617   l1@x::l2 = l3@x::l4 → l1 = l3 ∧ l2 = l4.
 618
 619 axiom injective_append : ∀A,l.injective … (λx.append A x l).
 620
 621 lemma sem_match_tuple_step:
 622     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … start_nop)))
 623     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 624 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 625   (sem_seq … sem_compare
 626     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 627       (sem_nop …)
 628         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 629            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 630              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 631   (sem_nop ?) …)
 632 [(* is_grid: termination case *)
 633  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1
 634   cases (H c ?) [2: >Ht1 %] #Hgrid #Heq %
 635     [@injective_notb @Hgrid | <Heq @H1]
 636 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Hcur
 637  * #tapec * whd in ⊢ (%→?); #Hcompare #Hor
 638  #ls #cur #rs #Htapea >Htapea in Hcur; #Hcur cases (Hcur ? (refl ??))
 639  -Hcur #Hcur #Htapeb %
 640  [ % #Hfalse >Hfalse in Hcur; normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1)]
 641  #ls0 #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs0 #n #Hl1bitnull #Hl1marks #Hc #Hc1 #Hl3 #eqn
 642  #eqlen #Htable #Hls #Hcur #Hrs -Htapea >Hls in Htapeb; >Hcur >Hrs #Htapeb
 643  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 644  cases (Hcompare c c1 l1 l3 l2 (l4@〈grid,false〉::rs0) eqlen Hl1bitnull Hl3 Hl1marks … (refl …) Hc ?)
 645  -Hcompare
 646    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % % [%]
 647     >Htapec in Hor; -Htapec *
 648      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 649       cases (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 650      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #Htaped cases (Htaped ? (refl …)) -Htaped *
 651       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped
 652       %
 653      ]
 654    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 655     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 656       [>H2 >H3 elim la
 657         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 658         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 659         ]
 660       ] #Hnoteq
 661     cut (bit_or_null d' = true)
 662       [cases la in H3;
 663         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 664         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 665          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 666         ]
 667       ] #Hd'
 668     >Htapec in Hor; -Htapec *
 669      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 670       cases (H … (refl …)) >(bit_or_null_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 671      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H cases (H … (refl …)) -H #_
 672       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 673       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 674       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 675        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 676          [(* rs4 is empty : the case is absurd since the tape
 677             cannot end with a bar *)
 678           * #d * #b * * * #Heq1 @False_ind
 679           cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 680           >Hcut in Htable; >H3 >associative_append
 681           normalize >Heq1 <associative_append >Hcut
 682           <associative_append #Htable @(absurd … Htable)
 683           @last_of_table
 684          |(* rs4 not empty *)
 685           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 686           cut (memb STape 〈d2,b2〉 (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) = true)
 687             [@memb_append_l2
 688              cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 689              >Hcut >H3 >associative_append @memb_append_l2
 690              @memb_cons >Heq1 @memb_append_l2 @memb_cons @memb_hd] #d2intable
 691           cut (is_grid d2 = false)
 692             [@(no_grids_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hd2
 693           cut (b2 = false)
 694             [@(no_marks_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hb2
 695           >Hb2 in Heq1; #Heq1 -Hb2 -b2
 696           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 697            [(* we know current is not grid *)
 698             * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 699             cases (Htapef … (refl …)) >Hd2 #Htemp destruct (Htemp)
 700            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 701             cases (Htapef … (refl …)) #_ -Htapef #Htapef
 702             * #tapeg >Htapef -Htapef *
 703             (* move_l *)
 704             whd in ⊢ (%→?);
 705             #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 706             >Htapeg -Htapeg
 707             (* init_current *)
 708              whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 709              cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 710              * #c00 #b00 #Hoption
 711              lapply
 712               (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? l2@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 713               c' (reverse ? la) false ls0 bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0) c00 b00 ?????) -Htapeout
 714                [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 715                 >associative_append
 716                  generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls0); #l
 717                 whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 718                |>reverse_cons @Hoption
 719                |cases la in H2;
 720                  [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 721                   @bit_or_null_not_grid @Hc
 722                  |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 723                   @bit_or_null_not_grid @(Hl1bitnull 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 724                  ]
 725                |cut (only_bits_or_nulls (la@(〈c',false〉::lb)))
 726                  [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 727                    [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1bitnull]
 728                  |#Hl1' #x #Hx @bit_or_null_not_grid @Hl1'
 729                   @memb_append_l1 @daemon
 730                  ]
 731                |@daemon] #Htapeout % %2 % //
 732             @(ex_intro … d2)
 733             cut (∃rs32.rs3 = lc@〈comma,false〉::rs32)
 734                  [ (*cases (tech_split STape (λc.c == 〈bar,false〉) l4)
 735                   [
 736                   | * #l41 * * #cbar #bfalse * #l42 * * #Hbar #Hl4 #Hl41
 737                     @(ex_intro ?? l41) >Hl4 in Heq1; #Heq1
 738
 739                 cut (sublist … lc l3)
 740                   [ #x #Hx cases la in H3;
 741                     [ normalize #H3 destruct (H3) @Hx
 742                     | #p #la' normalize #Hla' destruct (Hla')
 743                       @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ] ] #Hsublist*)
 744                 @daemon]
 745                 * #rs32 #Hrs3
 746                 (* cut
 747                 (〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4= la@〈d',false〉::rs3@〈bar,false〉::〈d2,b2〉::rs3')
 748                 [@daemon] #Hcut *)
 749                 cut (l4=rs32@〈bar,false〉::〈d2,false〉::rs3')
 750                 [ >Hrs3 in Heq1; @daemon ] #Hl4
 751                 @(ex_intro … rs32) @(ex_intro … rs3') % [@Hl4]
 752                 >Htapeout @eq_f2
 753                    [@daemon
 754                    |(*>Hrs3 *)>append_cons
 755                     > (?:l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs
 756                         = (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@[〈bar,false〉])@〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs)
 757                     [|>associative_append normalize
 758                       >associative_append normalize
 759                       >associative_append normalize
 760                       >associative_append normalize
 761                        % ]
 762                     >reverse_append >reverse_append >reverse_cons
 763                     >reverse_reverse >reverse_cons >reverse_reverse
 764                     >reverse_append >reverse_append >reverse_cons
 765                     >reverse_reverse >reverse_reverse >reverse_reverse
 766                     >(?:(la@[〈c',false〉])@((((lb@[〈grid,false〉])@l2)@la)@[〈d',false〉])@rs3
 767                        =((la@〈c',false〉::lb)@([〈grid,false〉]@l2@la@[〈d',false〉]@rs3)))
 768                     [|>associative_append >associative_append
 769                       >associative_append >associative_append >associative_append
 770                       >associative_append % ]
 771                     <H2 normalize in ⊢ (??%?); >Hrs3
 772                     >associative_append >associative_append normalize
 773                     >associative_append >associative_append
 774                     @eq_f @eq_f @eq_f
 775                     >(?:la@(〈d',false〉::lc@〈comma,false〉::rs32)@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0 =
 776                         (la@〈d',false〉::lc)@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0 )
 777                     [| >associative_append normalize >associative_append % ]
 778                     <H3 %
 779                    ]
 780                  ]
 781               ]
 782        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 783          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 784           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 785           whd in ⊢ (%→?); #Htapeout %2 %
 786           [% [//] whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 787           | >(Htapeout … (refl …)) % ]
 788          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 789           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef
 790           whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 791          ]
 792        |(* no marks in table *)
 793         #x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 794         @memb_append_l2
 795         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 796         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 797        |(* no grids in table *)
 798         #x #membx @(no_grids_in_table … Htable)
 799         @memb_append_l2
 800         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 801         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 802        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_or_null_not_grid … Hd') >(bit_or_null_not_bar … Hd') %
 803        ]
 804      ]
 805    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 806     @memb_append_l2 @memb_cons @memb_append_l1 @membx
 807    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 808     @memb_append_l1 @membx
 809    |%
 810    ]
 811  ]
 812 qed.
 813
 814 (*
 815   MATCH TUPLE
 816
 817   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 818   current configuration is found
 819 *)
 820
 821 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
 822
 823 lemma is_grid_true : ∀c.is_grid c = true → c = grid.
 824 * normalize [ #b ] #H // destruct (H)
 825 qed.
 826
 827 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 828   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 829   is_bit c = true → only_bits l1 → is_bit c1 = true → n = |l1| →
 830   table_TM (S n) (〈c1,true〉::l2) →
 831   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 832          (l1@〈grid,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 833   (* facciamo match *)
 834   (∃l3,newc,mv,l4.
 835    〈c1,false〉::l2 = l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4 ∧
 836    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 837         (l3@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4@〈grid,false〉::rs))
 838   ∨
 839   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 840      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 841      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 842   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 843    ∀l3,newc,mv,l4.
 844    〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4).
 845
 846 definition weakR_match_tuple ≝ λt1,t2.
 847   ∀ls,cur,rs.
 848   t1 = midtape STape ls cur rs →
 849   (is_grid (\fst cur) = true → t2 = t1) ∧
 850   (∀c,l1,c1,l2,l3,ls0,rs0,n.
 851   ls = 〈grid,false〉::ls0 →
 852   cur = 〈c,true〉 →
 853   rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0 →
 854   is_bit c = true → is_bit c1 = true →
 855   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 856   table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3) →
 857   (* facciamo match *)
 858   (∃l4,newc,mv,l5.
 859    〈c1,false〉::l3 = l4@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5 ∧
 860    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 861         (l2@l4@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5@
 862         〈grid,false〉::rs0))
 863   ∨
 864   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 865      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 866      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 867   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 868    ∀l4,newc,mv,l5.
 869    〈c1,false〉::l3 ≠ l4@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5)).
 870
 871 axiom table_bit_after_bar :
 872   ∀n,l1,c,l2.table_TM n (l1@〈bar,false〉::〈c,false〉::l2) → is_bit c = true.
 873
 874 lemma wsem_match_tuple : WRealize ? match_tuple weakR_match_tuple.
 875 #intape #k #outc #Hloop
 876 lapply (sem_while … sem_match_tuple_step intape k outc Hloop) [%] -Hloop
 877 * #ta * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 878 [ #tb whd in ⊢ (%→?); #Hleft
 879   #ls #cur #rs #Htb cases (Hleft … Htb) #Hgrid #Houtc %
 880   [ #_ @Houtc
 881   | #c #l1 #c1 #l2 #l3 #ls0 #rs0 #n #Hls #Hcur #Hrs
 882     >Hcur in Hgrid; #Hgrid >(is_grid_true … Hgrid) normalize in ⊢ (%→?);
 883     #Hc destruct (Hc)
 884
 885   ]
 886 | #tb #tc #td whd in ⊢ (%→?); #Htc
 887   #Hstar1 #IH whd in ⊢ (%→?); #Hright lapply (IH Hright) -IH whd in ⊢ (%→?); #IH
 888   #ls #cur #rs #Htb %
 889   [ #Hcur cases (Htc … Htb) * #Hfalse @False_ind @Hfalse @(is_grid_true … Hcur)
 890   |#c #l1 #c1 #l2 #l3 #ls0 #rs0 #n #Hls #Hcur #Hrs #Hc #Hc1 #Hl1bitnull #Hl1marks
 891    #Hl1len #Htable cases (Htc … Htb) -Htc -Htb * #_ #Htc
 892    cut (∃la,lb,mv,lc.l3 = la@〈comma,false〉::lb@〈comma,false〉::mv::lc ∧
 893          S n = |la| ∧ only_bits_or_nulls la)
 894    [@daemon] * #la * #lb * #mv * #lc * * #Hl3 #Hlalen #Hlabitnull
 895    >Hl3 in Htable;
 896   >(?: 〈c1,true〉::(la@〈comma,false〉::lb@〈comma,false〉::mv::lc)@〈grid,false〉::rs =
 897        〈c1,true〉::la@〈comma,false〉::(lb@〈comma,false〉::mv::lc)@〈grid,false〉::rs)
 898   [#Htable cases (Htc ?? l1 l2 ??? rs0 ???????? Htable Hls Hcur ?)
 899    [10: >Hrs >Hl3 >associative_append >associative_append
 900     normalize >associative_append % ] //
 901    [3: whd in ⊢ (??%?); >Hc %
 902    |4: whd in ⊢ (??%?); >Hc1 %
 903    |5: @Hl1len
 904    |6: <Hl1len @Hlalen
 905    | *
 906      [ * #Heq #Htc % %{[]} %{lb} %{mv} %{lc}
 907        destruct (Heq) %
 908        [ %
 909        | cases (IH … Htc) #Houtc #_ >(Houtc (refl ??)) -Houtc
 910          >Htc @eq_f normalize >associative_append %
 911        ]
 912      | * #Hdiff * #c2 * #l5 * #l6 * #Hnext #Htc
 913        cases (IH … Htc) -IH #_ #IH >Hnext in Htable;
 914        >(?:l2@〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 =
 915           (l2@〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5@[〈bar,false〉])@〈c2,false〉::l6)
 916        [|@daemon] #Htable
 917        cases (IH ? l1 ? (l2@〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5@[〈bar,false〉]) l6 ? rs0 ?
 918                 (refl ??) (refl ??) … Htable) //
 919        [3: >associative_append normalize >associative_append
 920            normalize >associative_append %
 921        |4: @(table_bit_after_bar (S n) (l2@〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5) ? l6)
 922            >associative_append in Htable; normalize >associative_append normalize
 923            >associative_append normalize >associative_append normalize
 924            >associative_append normalize //
 925        | * #l4 * #newc * #mv0 * #l50 * #Heq #Houtc %
 926          @(ex_intro ?? (〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5@〈bar,false〉::l4))
 927          @(ex_intro ?? newc) @(ex_intro ?? mv0) @(ex_intro ?? l50) >Heq %
 928          [ normalize >associative_append normalize >associative_append %
 929          | >Houtc @eq_f normalize >associative_append normalize >associative_append
 930            normalize >associative_append normalize >associative_append
 931            normalize >associative_append %
 932          ]
 933        | * #Houtc #Hneq %2 % [@Houtc]
 934          #l4 #newc #mv0 #l50
 935          (* difficile (sempre che sia dimostrabile)
 936             dobbiamo veramente considerare di fare la table in modo più
 937             strutturato
 938          *)
 939          @daemon
 940        ]
 941      ]
 942    | * * #Hdiff #Hnobars generalize in match (refl ? tc);
 943      cases tc in ⊢ (???% → %);
 944      [ #_ normalize in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 945      |2,3: #x #xs #_ normalize in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 946      #ls1 #cur1 #rs1 #Htc normalize in ⊢ (??%?→?); #Hcur1
 947      cases (IH … Htc) -IH #IH #_ %2 %
 948      [ destruct (Hcur1) >IH [ >Htc % | % ]
 949      | (* difficile (sempre che sia dimostrabile)
 950           dobbiamo veramente considerare di fare la table in modo più
 951           strutturato
 952         *)
 953         @daemon
 954      ]
 955    ]
 956 | >associative_append %
 957 ]
 958 qed.
 959