matita/matita/lib/turing/universal/tuples.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/marks.ma".
  18
  19 definition STape ≝ FinProd … FSUnialpha FinBool.
  20
  21 definition only_bits_or_nulls ≝ λl.
  22   ∀c.memb STape c l = true → bit_or_null (\fst c) = true.
  23
  24 definition no_grids ≝ λl.
  25   ∀c.memb STape c l = true → is_grid (\fst c) = false.
  26
  27 definition no_bars ≝ λl.
  28   ∀c.memb STape c l = true → is_bar (\fst c) = false.
  29
  30 definition no_marks ≝ λl.
  31   ∀c.memb STape c l = true → is_marked ? c = false.
  32
  33 lemma bit_not_grid: ∀d. is_bit d = true → is_grid d = false.
  34 * // normalize #H destruct
  35 qed.
  36
  37 lemma bit_or_null_not_grid: ∀d. bit_or_null d = true → is_grid d = false.
  38 * // normalize #H destruct
  39 qed.
  40
  41 lemma bit_not_bar: ∀d. is_bit d = true → is_bar d = false.
  42 * // normalize #H destruct
  43 qed.
  44
  45 lemma bit_or_null_not_bar: ∀d. bit_or_null d = true → is_bar d = false.
  46 * // normalize #H destruct
  47 qed.
  48
  49 (* by definition, a tuple is not marked *)
  50 definition tuple_TM : nat → list STape → Prop ≝
  51  λn,t.∃qin,qout,mv.
  52  no_marks t ∧
  53  only_bits_or_nulls qin ∧ only_bits_or_nulls qout ∧ bit_or_null mv = true ∧
  54  |qin| = n ∧ |qout| = n (* ∧ |mv| = ? *) ∧
  55  t = qin@〈comma,false〉::qout@〈comma,false〉::[〈mv,false〉].
  56
  57 inductive table_TM : nat → list STape → Prop ≝
  58 | ttm_nil  : ∀n.table_TM n []
  59 | ttm_cons : ∀n,t1,T.tuple_TM n t1 → table_TM n T → table_TM n (t1@〈bar,false〉::T).
  60
  61 lemma no_grids_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_grids l.
  62 #n #l #t elim t
  63   [normalize #n #x #H destruct
  64   |#m #t1 #t2 * #qin * #qout * #mv * * * * * *
  65    #Hmarks #Hqin #Hqout #Hmv  #_ #_ #Heq #Ht2 #Hind
  66    whd >Heq #x #membx
  67    cases (memb_append … membx) -membx #membx
  68     [cases (memb_append … membx) -membx #membx
  69       [@bit_or_null_not_grid @Hqin //
  70       |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
  71         [>(\P membx) //
  72         |cases (memb_append … membx) -membx #membx
  73           [@bit_or_null_not_grid @Hqout //
  74           |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
  75             [>(\P membx) //
  76             |@bit_or_null_not_grid >(memb_single … membx) @Hmv
  77             ]
  78           ]
  79         ]
  80       ]
  81     |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
  82       [>(\P membx) //
  83       |@Hind //
  84       ]
  85     ]
  86   ]
  87 qed.
  88
  89 lemma no_marks_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_marks l.
  90 #n #l #t elim t
  91   [normalize #n #x #H destruct
  92   |#m #t1 #t2 * #qin * #qout * #mv * * * * * *
  93    #Hmarks #_ #_ #_ #_ #_ #_ #Ht2 #Hind
  94    #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
  95     [@Hmarks //
  96     |cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
  97       [>(\P Hx) //
  98       |@Hind //
  99       ]
 100     ]
 101   ]
 102 qed.
 103
 104 axiom last_of_table: ∀n,l,b.¬ table_TM n (l@[〈bar,b〉]).
 105
 106 (*
 107 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
 108    ^                               ^
 109
 110 if current (* x *) = #
 111    then
 112    else if x = 0
 113       then move_right; ----
 114            adv_to_mark_r;
 115            if current (* x0 *) = 0
 116               then advance_mark ----
 117                    adv_to_mark_l;
 118                    advance_mark
 119               else STOP
 120       else x = 1 (* analogo *)
 121
 122 *)
 123
 124
 125 (*
 126    MARK NEXT TUPLE machine
 127    (partially axiomatized)
 128
 129    marks the first character after the first bar (rightwards)
 130  *)
 131
 132 definition bar_or_grid ≝ λc:STape.is_bar (\fst c) ∨ is_grid (\fst c).
 133
 134 definition mark_next_tuple ≝
 135   seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 136      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
 137        (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1).
 138
 139 definition R_mark_next_tuple ≝
 140   λt1,t2.
 141     ∀ls,c,rs1,rs2.
 142     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
 143     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
 144     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
 145     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
 146       no_bars rs3 ∧
 147       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
 148       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
 149     ∨
 150     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
 151
 152 axiom tech_split :
 153   ∀A:DeqSet.∀f,l.
 154    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
 155    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
 156 (*#A #f #l elim l
 157 [ % #x normalize #Hfalse *)
 158
 159 theorem sem_mark_next_tuple :
 160   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
 161 #intape
 162 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 163          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1) ????)
 164 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
 165 | //
 166 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
 167    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
 168    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
 169    -Hloop
 170    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
 171    cases (Hleft … Hrs)
 172    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
 173    | * #_ #Hta cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
 174      [ #H1 lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
 175        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
 176        | %
 177        | -Hta #Hta cases Hright
 178          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 179            @False_ind cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 180            [ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 181            | >Hta % ]
 182          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 183            cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 184            [  #_ #Htb whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 185              %2 %
 186              [ @H1
 187              | >Houtc >Htb >Hta % ]
 188            | >Hta % ]
 189          ]
 190        ]
 191     | * #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
 192       % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
 193      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
 194      [ #x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
 195        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 196        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 197      | whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 198      | >Hsplit >associative_append % ] -Hta #Hta
 199        cases Hright
 200        [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 201          whd in ⊢ (%→?); #Htb
 202          cases (Hta' c0 ?)
 203          [ #_ #Htb' >Htb' in Htb; #Htb
 204            generalize in match Hsplit; -Hsplit
 205            cases rs4 in Hta;
 206            [ #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 207              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 208              [ @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false)
 209                % [ % [ %
 210                [(* Hsplit *) @daemon |(*Hrs3*) @daemon ] | % ] | % ]
 211                | (* Hc0 *) @daemon ]
 212            | #r5 #rs5 >(eq_pair_fst_snd … r5)
 213              #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 214              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 215              [ @(ex_intro ?? (\fst r5)) @(ex_intro ?? (\snd r5))
 216                % [ % [ % [ (* Hc0, Hsplit *) @daemon | (*Hrs3*) @daemon ] | % ]
 217                      | % ] | (* Hc0 *) @daemon ] ] | >Hta % ]
 218              | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 219                whd in ⊢ (%→?); #Htb
 220                cases (Hta' c0 ?)
 221                [ #Hfalse @False_ind >Hfalse in Hc0;
 222                  #Hc0 destruct (Hc0)
 223                | >Hta % ]
 224 ]]]]
 225 qed.
 226
 227 definition init_current ≝
 228   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 229     (seq ? (clear_mark ?)
 230        (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 231           (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 232
 233 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 234   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 235   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 236   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 237   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 238         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 239
 240 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 241 #intape
 242 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 243         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 244            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 245              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 246 #k * #outc * #Hloop #HR
 247 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 248 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 249 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 250 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 251 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 252 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 253 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 254 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 255 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 256 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 257 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 258 >reverse_append >reverse_cons
 259 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 260 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 261   #Htd >(Houtc … Htd) %
 262 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 263   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 264   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 265   >associative_append >associative_append %
 266 ]
 267 qed.
 268
 269 definition match_tuple_step ≝
 270   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 271    (single_finalTM ?
 272      (seq ? compare
 273       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 274         (nop ?)
 275         (seq ? mark_next_tuple
 276            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 277              (mark ?) (seq ? (move_l ?) init_current) tc_true)) tc_true)))
 278     (nop ?) tc_true.
 279
 280 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 281   ∀ls,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs,n.
 282   bit_or_null c = true → only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) → bit_or_null c1 = true →
 283   only_bits_or_nulls l3 → n = |l1| → |l1| = |l3| →
 284   table_TM (S n) (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 285   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 286          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs) →
 287   (* facciamo match *)
 288   (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 289   t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 290         (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs))
 291   ∨
 292   (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 293   ((〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 294    ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
 295    (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 296    t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 297          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
 298           l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs))
 299   ∨
 300   (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 301      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 302      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 303   (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 304
 305 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 306   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 307
 308 include alias "basics/logic.ma".
 309
 310 (*
 311 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 312   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 313     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 314 //
 315 qed-. *)
 316
 317 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 318   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 319 #A #l #a cases l normalize /2/
 320 qed.
 321
 322 axiom tech_split2 : ∀A,l1,l2,l3,l4,x.
 323   memb A x l1 = false → memb ? x l3 = false →
 324   l1@x::l2 = l3@x::l4 → l1 = l3 ∧ l2 = l4.
 325
 326 axiom injective_append : ∀A,l.injective … (λx.append A x l).
 327
 328 lemma sem_match_tuple_step:
 329     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0)))
 330     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 331 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 332   (sem_seq … sem_compare
 333     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 334       (sem_nop …)
 335         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 336            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 337              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 338   (sem_nop ?) …)
 339 [(* is_grid: termination case *)
 340  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1
 341   cases (H c ?) [2: >Ht1 %] #Hgrid #Heq %
 342     [@injective_notb @Hgrid | <Heq @H1]
 343 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Htapea
 344  * #tapec * #Hcompare #Hor
 345  #ls #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs #n #Hc #Hl1bars #Hl1marks #Hc1 #Hl3 #eqn
 346  #eqlen #Htable #Htapea1 cases (Htapea 〈c,true〉 ?) >Htapea1 [2:%]
 347  #notgridc -Htapea -Htapea1 -tapea #Htapeb
 348  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 349  cases (Hcompare c c1 l1 l3 (l2@[〈bar,false〉]) (l4@〈grid,false〉::rs) eqlen Hl1bars Hl3 Hl1marks … (refl …) Hc ?)
 350  -Hcompare
 351    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % [%]
 352     >Htapec in Hor; -Htapec *
 353      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 354       cases (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 355      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #Htaped cases (Htaped ? (refl …)) -Htaped *
 356       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped >associative_append
 357       %
 358      ]
 359    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 360     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 361       [>H2 >H3 elim la
 362         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 363         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 364         ]
 365       ] #Hnoteq %2
 366     cut (bit_or_null d' = true)
 367       [cases la in H3;
 368         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 369         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 370          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 371         ]
 372       ] #Hd'
 373     >Htapec in Hor; -Htapec *
 374      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 375       cases (H … (refl …)) >(bit_or_null_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 376      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H cases (H … (refl …)) -H #_
 377       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 378       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 379       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 380        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 381          [(* rs4 is empty : the case is absurd since the tape
 382             cannot end with a bar *)
 383           * #d * #b * * * #Heq1 @False_ind
 384           cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 385           >Hcut in Htable; >H3 >associative_append
 386           normalize >Heq1 >Hcut <associative_append >Hcut
 387           <associative_append #Htable @(absurd … Htable)
 388           @last_of_table
 389          |(* rs4 not empty *)
 390           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 391           cut (memb STape 〈d2,b2〉 (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) = true)
 392             [@memb_append_l2 @memb_cons
 393              cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 394              >Hcut >H3 >associative_append @memb_append_l2
 395              @memb_cons >Heq1 @memb_append_l2 @memb_cons @memb_hd] #d2intable
 396           cut (is_grid d2 = false)
 397             [@(no_grids_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hd2
 398           cut (b2 = false)
 399             [@(no_marks_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hb2
 400           >Hb2 in Heq1; #Heq1 -Hb2 -b2
 401           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 402            [(* we know current is not grid *)
 403             * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 404             cases (Htapef … (refl …)) >Hd2 #Htemp destruct (Htemp)
 405            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 406             cases (Htapef … (refl …)) #_ -Htapef #Htapef
 407             * #tapeg >Htapef -Htapef *
 408             (* move_l *)
 409             whd in ⊢ (%→?);
 410             #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 411             >Htapeg -Htapeg
 412             (* init_current *)
 413              whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 414             %1 cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 415             * #c00 #b00 #Hoption
 416             lapply
 417              (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? (l2@[〈bar,false〉])@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 418              c' (reverse ? la) false ls bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs) c00 b00 ?????) -Htapeout
 419               [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 420                >associative_append
 421                generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls); #l
 422                whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 423               |>reverse_cons @Hoption
 424               |cases la in H2;
 425                 [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 426                  @injective_notb @notgridc
 427                 |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 428                  @bit_or_null_not_grid @(Hl1bars 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 429                 ]
 430               |cut (only_bits_or_nulls (la@(〈c',false〉::lb)))
 431                 [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 432                   [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1bars]
 433                 |#Hl1' #x #Hx @bit_or_null_not_grid @Hl1'
 434                  @memb_append_l1 @daemon
 435                 ]
 436               |@daemon
 437               |>reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse
 438                >reverse_append >reverse_reverse
 439                >reverse_cons >reverse_append >reverse_reverse
 440                >reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse
 441                >reverse_reverse
 442                #Htapeout % [@Hnoteq]
 443                @(ex_intro … d2)
 444                cut (∃rs32.rs3 = lc@〈comma,false〉::rs32)
 445                [ (*cases (tech_split STape (λc.c == 〈bar,false〉) l4)
 446                  [
 447                  | * #l41 * * #cbar #bfalse * #l42 * * #Hbar #Hl4 #Hl41
 448                    @(ex_intro ?? l41) >Hl4 in Heq1; #Heq1
 449
 450                cut (sublist … lc l3)
 451                  [ #x #Hx cases la in H3;
 452                    [ normalize #H3 destruct (H3) @Hx
 453                    | #p #la' normalize #Hla' destruct (Hla')
 454                      @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ] ] #Hsublist*)
 455                @daemon]
 456                * #rs32 #Hrs3
 457                (* cut
 458                (〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4= la@〈d',false〉::rs3@〈bar,false〉::〈d2,b2〉::rs3')
 459                [@daemon] #Hcut *)
 460                cut (l4=rs32@〈bar,false〉::〈d2,false〉::rs3')
 461                [ >Hrs3 in Heq1; @daemon ] #Hl4
 462                @(ex_intro … rs32) @(ex_intro … rs3') %
 463                  [@Hl4
 464                  |>Htapeout @eq_f2
 465                    [@daemon
 466                    |(*>Hrs3 *)>append_cons
 467                     > (?:l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs
 468                         = (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@[〈bar,false〉])@〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs)
 469                     [|>associative_append normalize
 470                       >associative_append normalize
 471                       >associative_append normalize
 472                       >associative_append normalize
 473                        % ]
 474                     @eq_f2 [|%]
 475                     @(injective_append … (〈d2,false〉::rs3'))
 476                     >(?:(la@[〈c',false〉])@((((lb@[〈grid,false〉])@l2@[〈bar,false〉])@la)@[〈d',false〉])@rs3
 477                        =((la@〈c',false〉::lb)@([〈grid,false〉]@l2@[〈bar,false〉]@la@[〈d',false〉]@rs3)))
 478                     [|>associative_append >associative_append
 479                       >associative_append >associative_append >associative_append
 480                       >associative_append >associative_append % ]
 481                     <H2 normalize (* <Hrs3 *)
 482                     >associative_append >associative_append >associative_append
 483                     @eq_f normalize @eq_f >associative_append
 484                     >associative_append @eq_f normalize @eq_f
 485                     >(append_cons ? 〈d',false〉) >associative_append
 486                     <Heq1 >Hl4 <associative_append <append_cons
 487                     <H3
 488                     >associative_append normalize
 489                     >associative_append normalize %
 490                    ]
 491                  ]
 492               ]
 493            ]
 494          ]
 495        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 496          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 497           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 498           whd in ⊢ (%→?); #Htapeout %2
 499           >(Htapeout … (refl …)) %
 500            [ %
 501              [ @Hnoteq
 502              | whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 503              ]
 504            | %
 505            ]
 506          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 507           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef
 508           whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 509          ]
 510        |(* no marks in table *)
 511         #x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 512         @memb_append_l2 @memb_cons
 513         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 514         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 515        |(* no grids in table *)
 516         #x #membx @(no_grids_in_table … Htable)
 517         @memb_append_l2 @memb_cons
 518         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 519         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 520        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_or_null_not_grid … Hd') >(bit_or_null_not_bar … Hd') %
 521        ]
 522      ]
 523    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 524     @memb_append_l2 @memb_cons @memb_cons @memb_append_l1 @membx
 525    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 526     cases (memb_append … membx) -membx #membx
 527      [@memb_append_l1 @membx | @memb_append_l2 >(memb_single … membx) @memb_hd]
 528    |>associative_append %
 529    ]
 530  ]
 531 qed.
 532
 533
 534 (*
 535   MATCH TUPLE
 536
 537   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 538   current configuration is found
 539 *)
 540
 541 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0))).
 542
 543 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 544   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 545   is_bit c = true → only_bits_or_nulls l1 → is_bit c1 = true → n = |l1| →
 546   table_TM (S n) (〈c1,true〉::l2) →
 547   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 548          (l1@〈grid,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 549   (* facciamo match *)
 550   (∃l3,newc,mv,l4.
 551    〈c1,false〉::l2 = l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4 ∧
 552    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 553         (l3@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4@〈grid,false〉::rs))
 554   ∨
 555   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 556      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 557      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 558   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 559    ∀l3,newc,mv,l4.
 560    〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4).