matita/matita/lib/turing/universal/tuples.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/marks.ma".
  18
  19 definition STape ≝ FinProd … FSUnialpha FinBool.
  20
  21 definition only_bits ≝ λl.
  22   ∀c.memb STape c l = true → is_bit (\fst c) = true.
  23
  24 definition only_bits_or_nulls ≝ λl.
  25   ∀c.memb STape c l = true → bit_or_null (\fst c) = true.
  26
  27 definition no_grids ≝ λl.
  28   ∀c.memb STape c l = true → is_grid (\fst c) = false.
  29
  30 definition no_bars ≝ λl.
  31   ∀c.memb STape c l = true → is_bar (\fst c) = false.
  32
  33 definition no_marks ≝ λl.
  34   ∀c.memb STape c l = true → is_marked ? c = false.
  35
  36 lemma bit_not_grid: ∀d. is_bit d = true → is_grid d = false.
  37 * // normalize #H destruct
  38 qed.
  39
  40 lemma bit_or_null_not_grid: ∀d. bit_or_null d = true → is_grid d = false.
  41 * // normalize #H destruct
  42 qed.
  43
  44 lemma bit_not_bar: ∀d. is_bit d = true → is_bar d = false.
  45 * // normalize #H destruct
  46 qed.
  47
  48 lemma bit_or_null_not_bar: ∀d. bit_or_null d = true → is_bar d = false.
  49 * // normalize #H destruct
  50 qed.
  51
  52 definition mk_tuple ≝ λqin,cin,qout,cout,mv.
  53   qin @ cin :: 〈comma,false〉:: qout @ cout :: 〈comma,false〉 :: [mv].
  54
  55 (* by definition, a tuple is not marked *)
  56 definition tuple_TM : nat → list STape → Prop ≝
  57  λn,t.∃qin,cin,qout,cout,mv.
  58  no_marks qin ∧ no_marks qout ∧
  59  only_bits qin ∧ only_bits qout ∧
  60  bit_or_null cin = true ∧ bit_or_null cout = true ∧ bit_or_null mv = true ∧
  61  (cout = null → mv = null) ∧
  62  |qin| = n ∧ |qout| = n ∧
  63  t = mk_tuple qin 〈cin,false〉 qout 〈cout,false〉 〈mv,false〉.
  64
  65 inductive table_TM (n:nat) : list STape → Prop ≝
  66 | ttm_nil  : table_TM n []
  67 | ttm_cons : ∀t1,T.tuple_TM n t1 → table_TM n T → table_TM n (t1@〈bar,false〉::T).
  68
  69 inductive match_in_table (qin:list STape) (cin: STape)
  70                          (qout:list STape) (cout:STape) (mv:STape)
  71 : list STape → Prop ≝
  72 | mit_hd :
  73    ∀tb.
  74    match_in_table qin cin qout cout mv
  75      (mk_tuple qin cin qout cout mv @〈bar,false〉::tb)
  76 | mit_tl :
  77    ∀qin0,cin0,qout0,cout0,mv0,tb.
  78    match_in_table qin cin qout cout mv tb →
  79    match_in_table qin cin qout cout mv
  80      (mk_tuple qin0 cin0 qout0 cout0 mv0@〈bar,false〉::tb).
  81
  82 axiom append_l1_injective :
  83   ∀A.∀l1,l2,l3,l4:list A. |l1| = |l2| → l1@l3 = l2@l4 → l1 = l2.
  84 axiom append_l2_injective :
  85   ∀A.∀l1,l2,l3,l4:list A. |l1| = |l2| → l1@l3 = l2@l4 → l3 = l4.
  86 axiom cons_injective_l : ∀A.∀a1,a2:A.∀l1,l2.a1::l1 = a2::l2 → a1 = a2.
  87 axiom cons_injective_r : ∀A.∀a1,a2:A.∀l1,l2.a1::l1 = a2::l2 → l1 = l2.
  88 axiom tuple_len : ∀n,t.tuple_TM n t → |t| = 2*n+5.
  89 axiom append_eq_tech1 :
  90   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → |l1| < |l3| → ∃la:list A.l1@a::la = l3.
  91 axiom append_eq_tech2 :
  92   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l4 = false → ∃la:list A.l3 = l1@a::la.
  93 (*axiom list_decompose_cases :
  94   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → ∃la,lb:list A.l3 = la@a::lb ∨ l4 = la@a::lb.
  95 axiom list_decompose_l :
  96   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l4 = false →
  97   ∃la,lb.l2 = la@lb ∧ l3 = l1@a::la.
  98 axiom list_decompose_r :
  99   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l3 = false →
 100   ∃la,lb.l1 = la@lb ∧ l4 = lb@a::l2.
 101 axiom list_decompose_memb :
 102   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → |l1| < |l3| → memb A a l3 = true.*)
 103
 104 lemma generic_match_to_match_in_table :
 105   ∀n,T.table_TM n T →
 106   ∀qin,cin,qout,cout,mv.|qin| = n → |qout| = n →
 107   only_bits qin → only_bits qout →
 108   bit_or_null (\fst cin) = true → bit_or_null (\fst cout) = true →
 109   bit_or_null (\fst mv) = true →
 110   ∀t1,t2.
 111   T = (t1@qin@cin::〈comma,false〉::qout@cout::〈comma,false〉::[mv])@t2 →
 112   match_in_table qin cin qout cout mv T.
 113 #n #T #Htable #qin #cin #qout #cout #mv #Hlenqin #Hlenqout
 114 #Hqinbits #Hqoutbits #Hcin #Hcout #Hmv
 115 elim Htable
 116 [ #t1 #t2 <associative_append cases (t1@qin) normalize
 117   [ #Hfalse destruct (Hfalse) | #c0 #t0 #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 118 | #tuple #T0 * #qin0 * #cin0 * #qout0 * #cout0 * #mv0
 119   * * * * * * * * * *
 120   #Hqin0marks #Hqout0marks #Hqin0bits #Hqout0bits #Hcin0 #Hcout0 #Hmv0 #Hcout0mv0
 121   #Hlenqin0 #Hlenqout0 #Htuple #Htable0 #IH #t1 #t2 #HT
 122   cases t1 in HT;
 123   [ >Htuple normalize in ⊢ (??%%→?);
 124     >associative_append >associative_append #HT
 125     cut (qin0 = qin ∧ (〈cin0,false〉 = cin ∧ (qout0 = qout ∧
 126          (〈cout0,false〉 = cout ∧ (〈mv0,false〉 = mv ∧ 〈bar,false〉::T0 = t2)))))
 127     [ lapply (append_l1_injective … HT) [ >Hlenqin @Hlenqin0 ]
 128       #Hqin % [ @Hqin ] -Hqin
 129       lapply (append_l2_injective … HT) [ >Hlenqin @Hlenqin0 ] -HT #HT
 130       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hcin % [ @Hcin ] -Hcin
 131       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 132       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT
 133       >associative_append >associative_append #HT
 134       lapply (append_l1_injective … HT) [ >Hlenqout @Hlenqout0 ]
 135       #Hqout % [ @Hqout ] -Hqout
 136       lapply (append_l2_injective … HT) [ >Hlenqout @Hlenqout0 ] -HT normalize #HT
 137       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hcout % [ @Hcout ] -Hcout
 138       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 139       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 140       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hmv % [ @Hmv ] -Hmv
 141       @(cons_injective_r ????? HT) ]
 142     -HT * #Hqin * #Hcin * #Hqout * #Hcout * #Hmv #HT0
 143     >(?:qin0@(〈cin0,false〉::〈comma,false〉::qout0@[〈cout0,false〉;〈comma,false〉;〈mv0,false〉])@〈bar,false〉::T0
 144         = mk_tuple qin cin qout cout mv@〈bar,false〉::T0)
 145     [|>Hqin >Hqout >Hcin >Hcout >Hmv normalize >associative_append >associative_append
 146        normalize >associative_append % ]
 147     %
 148   | #c0 #cs0 #HT cut (∃cs1.c0::cs0 = tuple@〈bar,false〉::cs1)
 149     [ cases (append_eq_tech1 ?????? HT ?)
 150       [ -HT #ta #Hta cases (append_eq_tech2 … Hta ?)
 151         [ -Hta #tb #Htb %{tb} @Htb
 152         | @daemon ]
 153       | @le_S_S >length_append >(plus_n_O (|tuple|)) >commutative_plus @le_plus
 154         [ @le_O_n
 155         | >Htuple normalize >length_append >length_append @le_plus [ >Hlenqin >Hlenqin0 % ]
 156           @le_S_S @le_S_S >length_append >length_append @le_plus [ >Hlenqout >Hlenqout0 % ] %] ]
 157     ]
 158     * #cs1 #Hcs1 >Hcs1 in HT; >associative_append >associative_append #HT
 159     lapply (append_l2_injective … HT) // -HT #HT
 160     lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT
 161     <associative_append #HT >Htuple %2 @(IH ?? HT)
 162   ]
 163 ]
 164 qed.
 165
 166 lemma no_grids_in_tuple : ∀n,l.tuple_TM n l → no_grids l.
 167 #n #l * #qin * #cin * #qout * #cout * #mv * * * * * * * * * *
 168 #_ #_ #Hqin #Hqout #Hcin #Hcout #Hmv #_ #_ #_ #Hl >Hl
 169 #c #Hc normalize in Hc; cases (memb_append … Hc) -Hc #Hc
 170 [ @bit_not_grid @(Hqin … Hc)
 171 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 172 [ change with (c == 〈cin,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) @bit_or_null_not_grid //
 173 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 174 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 175 | cases (memb_append …Hc) -Hc #Hc
 176 [ @bit_not_grid @(Hqout … Hc)
 177 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 178 [ change with (c == 〈cout,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) @bit_or_null_not_grid //
 179 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 180 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 181 | >(memb_single … Hc) @bit_or_null_not_grid @Hmv
 182 ]]]]]]
 183 qed.
 184
 185 lemma no_marks_in_tuple : ∀n,l.tuple_TM n l → no_marks l.
 186 #n #l * #qin * #cin * #qout * #cout * #mv * * * * * * * * * *
 187 #Hqin #Hqout #_ #_ #_ #_ #_ #_ #_ #_ #Hl >Hl
 188 #c #Hc normalize in Hc; cases (memb_append … Hc) -Hc #Hc
 189 [ @(Hqin … Hc)
 190 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 191 [ change with (c == 〈cin,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 192 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 193 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 194 | cases (memb_append … Hc) -Hc #Hc
 195 [ @(Hqout … Hc)
 196 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 197 [ change with (c == 〈cout,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 198 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 199 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 200 | >(memb_single … Hc) %
 201 ]]]]]]
 202 qed.
 203
 204 lemma no_grids_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_grids l.
 205 #n #l #t elim t
 206   [normalize #c #H destruct
 207   |#t1 #t2 #Ht1 #Ht2 #IH lapply (no_grids_in_tuple … Ht1) -Ht1 #Ht1 #x #Hx
 208    cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 209    [ @(Ht1 … Hx)
 210    | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 211      [ >(\P Hx) %
 212      | @(IH … Hx) ] ] ]
 213 qed.
 214
 215 lemma no_marks_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_marks l.
 216 #n #l #t elim t
 217   [normalize #c #H destruct
 218   |#t1 #t2 #Ht1 #Ht2 #IH lapply (no_marks_in_tuple … Ht1) -Ht1 #Ht1 #x #Hx
 219    cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 220    [ @(Ht1 … Hx)
 221    | cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 222      [ >(\P Hx) %
 223      | @(IH … Hx) ] ] ]
 224 qed.
 225
 226 axiom last_of_table: ∀n,l,b.¬ table_TM n (l@[〈bar,b〉]).
 227
 228 (*
 229 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
 230    ^                               ^
 231
 232 if current (* x *) = #
 233    then
 234    else if x = 0
 235       then move_right; ----
 236            adv_to_mark_r;
 237            if current (* x0 *) = 0
 238               then advance_mark ----
 239                    adv_to_mark_l;
 240                    advance_mark
 241               else STOP
 242       else x = 1 (* analogo *)
 243
 244 *)
 245
 246
 247 (*
 248    MARK NEXT TUPLE machine
 249    (partially axiomatized)
 250
 251    marks the first character after the first bar (rightwards)
 252  *)
 253
 254 definition bar_or_grid ≝ λc:STape.is_bar (\fst c) ∨ is_grid (\fst c).
 255
 256 definition mark_next_tuple ≝
 257   seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 258      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
 259        (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1).
 260
 261 definition R_mark_next_tuple ≝
 262   λt1,t2.
 263     ∀ls,c,rs1,rs2.
 264     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
 265     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
 266     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
 267     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
 268       no_bars rs3 ∧
 269       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
 270       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
 271     ∨
 272     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
 273
 274 axiom tech_split :
 275   ∀A:DeqSet.∀f,l.
 276    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
 277    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
 278 (*#A #f #l elim l
 279 [ % #x normalize #Hfalse *)
 280
 281 theorem sem_mark_next_tuple :
 282   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
 283 #intape
 284 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 285          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1) ????)
 286 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
 287 | //
 288 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
 289    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
 290    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
 291    -Hloop
 292    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
 293    cases (Hleft … Hrs)
 294    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
 295    | * #_ #Hta cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
 296      [ #H1 lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
 297        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
 298        | %
 299        | -Hta #Hta cases Hright
 300          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 301            @False_ind cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 302            [ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 303            | >Hta % ]
 304          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 305            cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 306            [  #_ #Htb whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 307              %2 %
 308              [ @H1
 309              | >Houtc >Htb >Hta % ]
 310            | >Hta % ]
 311          ]
 312        ]
 313     | * #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
 314       % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
 315      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
 316      [ #x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
 317        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 318        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 319      | whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 320      | >Hsplit >associative_append % ] -Hta #Hta
 321        cases Hright
 322        [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 323          whd in ⊢ (%→?); #Htb
 324          cases (Hta' c0 ?)
 325          [ #_ #Htb' >Htb' in Htb; #Htb
 326            generalize in match Hsplit; -Hsplit
 327            cases rs4 in Hta;
 328            [ #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 329              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 330              [ @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false)
 331                % [ % [ %
 332                [(* Hsplit *) @daemon |(*Hrs3*) @daemon ] | % ] | % ]
 333                | (* Hc0 *) @daemon ]
 334            | #r5 #rs5 >(eq_pair_fst_snd … r5)
 335              #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 336              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 337              [ @(ex_intro ?? (\fst r5)) @(ex_intro ?? (\snd r5))
 338                % [ % [ % [ (* Hc0, Hsplit *) @daemon | (*Hrs3*) @daemon ] | % ]
 339                      | % ] | (* Hc0 *) @daemon ] ] | >Hta % ]
 340              | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 341                whd in ⊢ (%→?); #Htb
 342                cases (Hta' c0 ?)
 343                [ #Hfalse @False_ind >Hfalse in Hc0;
 344                  #Hc0 destruct (Hc0)
 345                | >Hta % ]
 346 ]]]]
 347 qed.
 348
 349 definition init_current_on_match ≝
 350   (seq ? (move_l ?)
 351     (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 352       (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 353
 354 definition R_init_current_on_match ≝ λt1,t2.
 355   ∀l1,l2,c,rs. no_grids l1 → is_grid c = false →
 356   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::l2)  〈grid,false〉 rs →
 357   t2 = midtape STape (〈grid,false〉::l2) 〈c,true〉 ((reverse ? l1)@〈grid,false〉::rs).
 358
 359 lemma sem_init_current_on_match :
 360   Realize ? init_current_on_match R_init_current_on_match.
 361 #intape
 362 cases (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 363         (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 364            (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))) intape)
 365 #k * #outc * #Hloop #HR
 366 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 367 #l1 #l2 #c #rs #Hl1 #Hc #Hintape
 368 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 369 generalize in match Hl1; cases l1
 370   [#Hl1 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 371    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Hta
 372     [* >Hc #Htemp destruct (Htemp) ]
 373    * #_ #Htc lapply (Htc [ ] 〈grid,false〉 ? (refl ??) (refl …) Hl1)
 374    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); -Htc #Htc
 375    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htc -Htd
 376    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htd
 377    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htd) -Houtc #Houtc
 378    >Houtc %
 379   |#d #tl #Htl whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 380    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Htb
 381     [* >(Htl … (memb_hd …)) #Htemp destruct (Htemp)]
 382    * #Hd >append_cons #Htb lapply (Htb … (refl ??) (refl …) ?)
 383     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 384       [@Htl @memb_cons @membx | >(memb_single … membx) @Hc]]-Htb  #Htb
 385    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc
 386    >reverse_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 387    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc #Houtc
 388    >Houtc >reverse_cons >associative_append %
 389   ]
 390 qed.
 391
 392 (*
 393 definition init_current_gen ≝
 394   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 395     (seq ? (clear_mark ?)
 396        (seq ? (move_l ?)
 397          (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 398             (seq ? (move_r ?) (mark ?))))).
 399
 400 definition R_init_current_gen ≝ λt1,t2.
 401   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 →
 402   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 403   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 404   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 405         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 406
 407 lemma sem_init_current_gen : Realize ? init_current_gen R_init_current_gen.
 408 #intape
 409 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 410         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 411           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 412             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 413               (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))))) intape)
 414 #k * #outc * #Hloop #HR
 415 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 416 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hintape
 417 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta cases (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 418   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 419 * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%] -Hta #Hta
 420 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb -Hta #Htb
 421 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 422 generalize in match Hc; generalize in match Hl2; cases l2
 423   [#_ whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 424    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 425    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 426     [2: * whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp) ]
 427    * #_ #Htd >Htd in Htc; -Htd #Htd
 428    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 429    >reverse_append >reverse_cons
 430    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 431    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 432    >Houtc %
 433   |#d #tl #Htl #Hc0 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 434    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 435     [* >(Htl … (memb_hd …)) whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 436    * #Hd #Htd lapply (Htd … (refl ??) (refl ??) ?)
 437     [#x #membx @Htl @memb_cons @membx] -Htd #Htd
 438    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 439    >reverse_append >reverse_cons >reverse_cons
 440    >reverse_cons in Hc0; >reverse_cons cases (reverse ? tl)
 441      [normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0) #Hte
 442       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 443       >Houtc %
 444      |* #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 445       whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 446       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 447       >Houtc >associative_append >associative_append >associative_append %
 448      ]
 449    ]
 450 qed.
 451 *)
 452 definition init_current ≝
 453   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 454     (seq ? (clear_mark ?)
 455        (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 456           (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 457
 458 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 459   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 460   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 461   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 462   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 463         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 464
 465 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 466 #intape
 467 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 468         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 469            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 470              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 471 #k * #outc * #Hloop #HR
 472 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 473 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 474 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 475 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 476 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 477 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 478 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 479 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 480 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 481 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 482 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 483 >reverse_append >reverse_cons
 484 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 485 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 486   #Htd >(Houtc … Htd) %
 487 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 488   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 489   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 490   >associative_append >associative_append %
 491 ]
 492 qed.
 493
 494 definition match_tuple_step ≝
 495   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 496    (single_finalTM ?
 497      (seq ? compare
 498       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 499         (nop ?)
 500         (seq ? mark_next_tuple
 501            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 502              (mark ?) (seq ? (move_l ?) init_current) tc_true)) tc_true)))
 503     (nop ?) tc_true.
 504
 505 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 506   ∀ls,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs,n.
 507   bit_or_null c = true → only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) → bit_or_null c1 = true →
 508   only_bits_or_nulls l3 → n = |l1| → |l1| = |l3| →
 509   table_TM (S n) (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 510   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 511          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs) →
 512   (* facciamo match *)
 513   (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 514   t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 515         (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs))
 516   ∨
 517   (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 518   ((〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 519    ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
 520    (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 521    t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 522          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
 523           l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs))
 524   ∨
 525   (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 526      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 527      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 528   (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 529
 530 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 531   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 532
 533 include alias "basics/logic.ma".
 534
 535 (*
 536 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 537   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 538     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 539 //
 540 qed-. *)
 541
 542 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 543   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 544 #A #l #a cases l normalize /2/
 545 qed.
 546
 547 axiom tech_split2 : ∀A,l1,l2,l3,l4,x.
 548   memb A x l1 = false → memb ? x l3 = false →
 549   l1@x::l2 = l3@x::l4 → l1 = l3 ∧ l2 = l4.
 550
 551 axiom injective_append : ∀A,l.injective … (λx.append A x l).
 552
 553 lemma sem_match_tuple_step:
 554     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0)))
 555     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 556 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 557   (sem_seq … sem_compare
 558     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 559       (sem_nop …)
 560         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 561            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 562              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 563   (sem_nop ?) …)
 564 [(* is_grid: termination case *)
 565  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1
 566   cases (H c ?) [2: >Ht1 %] #Hgrid #Heq %
 567     [@injective_notb @Hgrid | <Heq @H1]
 568 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Htapea
 569  * #tapec * #Hcompare #Hor
 570  #ls #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs #n #Hc #Hl1bars #Hl1marks #Hc1 #Hl3 #eqn
 571  #eqlen #Htable #Htapea1 cases (Htapea 〈c,true〉 ?) >Htapea1 [2:%]
 572  #notgridc -Htapea -Htapea1 -tapea #Htapeb
 573  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 574  cases (Hcompare c c1 l1 l3 (l2@[〈bar,false〉]) (l4@〈grid,false〉::rs) eqlen Hl1bars Hl3 Hl1marks … (refl …) Hc ?)
 575  -Hcompare
 576    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % [%]
 577     >Htapec in Hor; -Htapec *
 578      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 579       cases (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 580      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #Htaped cases (Htaped ? (refl …)) -Htaped *
 581       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped >associative_append
 582       %
 583      ]
 584    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 585     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 586       [>H2 >H3 elim la
 587         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 588         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 589         ]
 590       ] #Hnoteq %2
 591     cut (bit_or_null d' = true)
 592       [cases la in H3;
 593         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 594         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 595          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 596         ]
 597       ] #Hd'
 598     >Htapec in Hor; -Htapec *
 599      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 600       cases (H … (refl …)) >(bit_or_null_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 601      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H cases (H … (refl …)) -H #_
 602       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 603       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 604       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 605        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 606          [(* rs4 is empty : the case is absurd since the tape
 607             cannot end with a bar *)
 608           * #d * #b * * * #Heq1 @False_ind
 609           cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 610           >Hcut in Htable; >H3 >associative_append
 611           normalize >Heq1 >Hcut <associative_append >Hcut
 612           <associative_append #Htable @(absurd … Htable)
 613           @last_of_table
 614          |(* rs4 not empty *)
 615           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 616           cut (memb STape 〈d2,b2〉 (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) = true)
 617             [@memb_append_l2 @memb_cons
 618              cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 619              >Hcut >H3 >associative_append @memb_append_l2
 620              @memb_cons >Heq1 @memb_append_l2 @memb_cons @memb_hd] #d2intable
 621           cut (is_grid d2 = false)
 622             [@(no_grids_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hd2
 623           cut (b2 = false)
 624             [@(no_marks_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hb2
 625           >Hb2 in Heq1; #Heq1 -Hb2 -b2
 626           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 627            [(* we know current is not grid *)
 628             * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 629             cases (Htapef … (refl …)) >Hd2 #Htemp destruct (Htemp)
 630            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 631             cases (Htapef … (refl …)) #_ -Htapef #Htapef
 632             * #tapeg >Htapef -Htapef *
 633             (* move_l *)
 634             whd in ⊢ (%→?);
 635             #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 636             >Htapeg -Htapeg
 637             (* init_current *)
 638              whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 639             %1 cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 640             * #c00 #b00 #Hoption
 641             lapply
 642              (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? (l2@[〈bar,false〉])@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 643              c' (reverse ? la) false ls bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs) c00 b00 ?????) -Htapeout
 644               [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 645                >associative_append
 646                generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls); #l
 647                whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 648               |>reverse_cons @Hoption
 649               |cases la in H2;
 650                 [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 651                  @injective_notb @notgridc
 652                 |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 653                  @bit_or_null_not_grid @(Hl1bars 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 654                 ]
 655               |cut (only_bits_or_nulls (la@(〈c',false〉::lb)))
 656                 [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 657                   [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1bars]
 658                 |#Hl1' #x #Hx @bit_or_null_not_grid @Hl1'
 659                  @memb_append_l1 @daemon
 660                 ]
 661               |@daemon
 662               |>reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse
 663                >reverse_append >reverse_reverse
 664                >reverse_cons >reverse_append >reverse_reverse
 665                >reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse
 666                >reverse_reverse
 667                #Htapeout % [@Hnoteq]
 668                @(ex_intro … d2)
 669                cut (∃rs32.rs3 = lc@〈comma,false〉::rs32)
 670                [ (*cases (tech_split STape (λc.c == 〈bar,false〉) l4)
 671                  [
 672                  | * #l41 * * #cbar #bfalse * #l42 * * #Hbar #Hl4 #Hl41
 673                    @(ex_intro ?? l41) >Hl4 in Heq1; #Heq1
 674
 675                cut (sublist … lc l3)
 676                  [ #x #Hx cases la in H3;
 677                    [ normalize #H3 destruct (H3) @Hx
 678                    | #p #la' normalize #Hla' destruct (Hla')
 679                      @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ] ] #Hsublist*)
 680                @daemon]
 681                * #rs32 #Hrs3
 682                (* cut
 683                (〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4= la@〈d',false〉::rs3@〈bar,false〉::〈d2,b2〉::rs3')
 684                [@daemon] #Hcut *)
 685                cut (l4=rs32@〈bar,false〉::〈d2,false〉::rs3')
 686                [ >Hrs3 in Heq1; @daemon ] #Hl4
 687                @(ex_intro … rs32) @(ex_intro … rs3') %
 688                  [@Hl4
 689                  |>Htapeout @eq_f2
 690                    [@daemon
 691                    |(*>Hrs3 *)>append_cons
 692                     > (?:l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs
 693                         = (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@[〈bar,false〉])@〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs)
 694                     [|>associative_append normalize
 695                       >associative_append normalize
 696                       >associative_append normalize
 697                       >associative_append normalize
 698                        % ]
 699                     @eq_f2 [|%]
 700                     @(injective_append … (〈d2,false〉::rs3'))
 701                     >(?:(la@[〈c',false〉])@((((lb@[〈grid,false〉])@l2@[〈bar,false〉])@la)@[〈d',false〉])@rs3
 702                        =((la@〈c',false〉::lb)@([〈grid,false〉]@l2@[〈bar,false〉]@la@[〈d',false〉]@rs3)))
 703                     [|>associative_append >associative_append
 704                       >associative_append >associative_append >associative_append
 705                       >associative_append >associative_append % ]
 706                     <H2 normalize (* <Hrs3 *)
 707                     >associative_append >associative_append >associative_append
 708                     @eq_f normalize @eq_f >associative_append
 709                     >associative_append @eq_f normalize @eq_f
 710                     >(append_cons ? 〈d',false〉) >associative_append
 711                     <Heq1 >Hl4 <associative_append <append_cons
 712                     <H3
 713                     >associative_append normalize
 714                     >associative_append normalize %
 715                    ]
 716                  ]
 717               ]
 718            ]
 719          ]
 720        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 721          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 722           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 723           whd in ⊢ (%→?); #Htapeout %2
 724           >(Htapeout … (refl …)) %
 725            [ %
 726              [ @Hnoteq
 727              | whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 728              ]
 729            | %
 730            ]
 731          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 732           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef
 733           whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 734          ]
 735        |(* no marks in table *)
 736         #x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 737         @memb_append_l2 @memb_cons
 738         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 739         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 740        |(* no grids in table *)
 741         #x #membx @(no_grids_in_table … Htable)
 742         @memb_append_l2 @memb_cons
 743         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 744         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 745        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_or_null_not_grid … Hd') >(bit_or_null_not_bar … Hd') %
 746        ]
 747      ]
 748    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 749     @memb_append_l2 @memb_cons @memb_cons @memb_append_l1 @membx
 750    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 751     cases (memb_append … membx) -membx #membx
 752      [@memb_append_l1 @membx | @memb_append_l2 >(memb_single … membx) @memb_hd]
 753    |>associative_append %
 754    ]
 755  ]
 756 qed.
 757
 758
 759 (*
 760   MATCH TUPLE
 761
 762   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 763   current configuration is found
 764 *)
 765
 766 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0))).
 767
 768 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 769   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 770   is_bit c = true → only_bits_or_nulls l1 → is_bit c1 = true → n = |l1| →
 771   table_TM (S n) (〈c1,false〉::l2) →
 772   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 773          (l1@〈grid,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 774   (* facciamo match *)
 775   (∃l3,newc,mv,l4.
 776    〈c1,false〉::l2 = l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4 ∧
 777    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 778         (l3@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4@〈grid,false〉::rs))
 779   ∨
 780   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 781      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 782      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 783   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 784    ∀l3,newc,mv,l4.
 785    〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4).