matita/matita/lib/turing/universal/tuples.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/marks.ma".
  18
  19 definition STape ≝ FinProd … FSUnialpha FinBool.
  20
  21 definition only_bits ≝ λl.
  22   ∀c.memb STape c l = true → is_bit (\fst c) = true.
  23
  24 definition no_grids ≝ λl.
  25   ∀c.memb STape c l = true → is_grid (\fst c) = false.
  26
  27 definition no_bars ≝ λl.
  28   ∀c.memb STape c l = true → is_bar (\fst c) = false.
  29
  30 definition no_marks ≝ λl.
  31   ∀c.memb STape c l = true → is_marked ? c = false.
  32
  33 lemma bit_not_grid: ∀d. is_bit d = true → is_grid d = false.
  34 * // normalize #H destruct
  35 qed.
  36
  37 lemma bit_not_bar: ∀d. is_bit d = true → is_bar d = false.
  38 * // normalize #H destruct
  39 qed.
  40
  41 (* by definition, a tuple is not marked *)
  42 definition tuple_TM : nat → list STape → Prop ≝
  43  λn,t.∃qin,qout,mv.
  44  no_marks t ∧
  45  only_bits qin ∧ only_bits qout ∧ only_bits mv ∧
  46  |qin| = n ∧ |qout| = n (* ∧ |mv| = ? *) ∧
  47  t = qin@〈comma,false〉::qout@〈comma,false〉::mv.
  48
  49 inductive table_TM : nat → list STape → Prop ≝
  50 | ttm_nil  : ∀n.table_TM n []
  51 | ttm_cons : ∀n,t1,T.tuple_TM n t1 → table_TM n T → table_TM n (t1@〈bar,false〉::T).
  52
  53 lemma no_grids_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_grids l.
  54 #n #l #t elim t
  55   [normalize #n #x #H destruct
  56   |#m #t1 #t2 * #qin * #qout * #mv * * * * * *
  57    #Hmarks #Hqin #Hqout #Hmv  #_ #_ #Heq #Ht2 #Hind
  58    whd >Heq #x #membx
  59    cases (memb_append … membx) -membx #membx
  60     [cases (memb_append … membx) -membx #membx
  61       [@bit_not_grid @Hqin //
  62       |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
  63         [>(\P membx) //
  64         |cases (memb_append … membx) -membx #membx
  65           [@bit_not_grid @Hqout //
  66           |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
  67             [>(\P membx) //
  68             |@bit_not_grid @Hmv //
  69             ]
  70           ]
  71         ]
  72       ]
  73     |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
  74       [>(\P membx) //
  75       |@Hind //
  76       ]
  77     ]
  78   ]
  79 qed.
  80
  81 lemma no_marks_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_marks l.
  82 #n #l #t elim t
  83   [normalize #n #x #H destruct
  84   |#m #t1 #t2 * #qin * #qout * #mv * * * * * *
  85    #Hmarks #_ #_ #_ #_ #_ #_ #Ht2 #Hind
  86    #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
  87     [@Hmarks //
  88     |cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
  89       [>(\P Hx) //
  90       |@Hind //
  91       ]
  92     ]
  93   ]
  94 qed.
  95
  96 axiom last_of_table: ∀n,l,b.¬ table_TM n (l@[〈bar,b〉]).
  97
  98 (*
  99 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
 100    ^                               ^
 101
 102 if current (* x *) = #
 103    then
 104    else if x = 0
 105       then move_right; ----
 106            adv_to_mark_r;
 107            if current (* x0 *) = 0
 108               then advance_mark ----
 109                    adv_to_mark_l;
 110                    advance_mark
 111               else STOP
 112       else x = 1 (* analogo *)
 113
 114 *)
 115
 116
 117 (*
 118    MARK NEXT TUPLE machine
 119    (partially axiomatized)
 120
 121    marks the first character after the first bar (rightwards)
 122  *)
 123
 124 definition bar_or_grid ≝ λc:STape.is_bar (\fst c) ∨ is_grid (\fst c).
 125
 126 definition mark_next_tuple ≝
 127   seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 128      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
 129        (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1).
 130
 131 definition R_mark_next_tuple ≝
 132   λt1,t2.
 133     ∀ls,c,rs1,rs2.
 134     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
 135     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
 136     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
 137     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
 138       no_bars rs3 ∧
 139       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
 140       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
 141     ∨
 142     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
 143
 144 axiom tech_split :
 145   ∀A:DeqSet.∀f,l.
 146    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
 147    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
 148 (*#A #f #l elim l
 149 [ % #x normalize #Hfalse *)
 150
 151 theorem sem_mark_next_tuple :
 152   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
 153 #intape
 154 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 155          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1) ????)
 156 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
 157 | //
 158 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
 159    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
 160    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
 161    -Hloop
 162    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
 163    cases (Hleft … Hrs)
 164    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
 165    | * #_ #Hta cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
 166      [ #H1 lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
 167        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
 168        | %
 169        | -Hta #Hta cases Hright
 170          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 171            @False_ind cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 172            [ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 173            | >Hta % ]
 174          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 175            cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 176            [  #_ #Htb whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 177              %2 %
 178              [ @H1
 179              | >Houtc >Htb >Hta % ]
 180            | >Hta % ]
 181          ]
 182        ]
 183     | * #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
 184       % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
 185      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
 186      [ #x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
 187        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 188        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 189      | whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 190      | >Hsplit >associative_append % ] -Hta #Hta
 191        cases Hright
 192        [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 193          whd in ⊢ (%→?); #Htb
 194          cases (Hta' c0 ?)
 195          [ #_ #Htb' >Htb' in Htb; #Htb
 196            generalize in match Hsplit; -Hsplit
 197            cases rs4 in Hta;
 198            [ #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 199              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 200              [ @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false)
 201                % [ % [ %
 202                [(* Hsplit *) @daemon |(*Hrs3*) @daemon ] | % ] | % ]
 203                | (* Hc0 *) @daemon ]
 204            | #r5 #rs5 >(eq_pair_fst_snd … r5)
 205              #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 206              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 207              [ @(ex_intro ?? (\fst r5)) @(ex_intro ?? (\snd r5))
 208                % [ % [ % [ (* Hc0, Hsplit *) @daemon | (*Hrs3*) @daemon ] | % ]
 209                      | % ] | (* Hc0 *) @daemon ] ] | >Hta % ]
 210              | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 211                whd in ⊢ (%→?); #Htb
 212                cases (Hta' c0 ?)
 213                [ #Hfalse @False_ind >Hfalse in Hc0;
 214                  #Hc0 destruct (Hc0)
 215                | >Hta % ]
 216 ]]]]
 217 qed.
 218
 219 definition init_current ≝
 220   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 221     (seq ? (clear_mark ?)
 222        (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 223           (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 224
 225 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 226   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 227   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 228   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 229   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 230         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 231
 232 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 233 #intape
 234 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 235         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 236            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 237              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 238 #k * #outc * #Hloop #HR
 239 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 240 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 241 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 242 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 243 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 244 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 245 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 246 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 247 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 248 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 249 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 250 >reverse_append >reverse_cons
 251 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 252 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 253   #Htd >(Houtc … Htd) %
 254 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 255   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 256   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 257   >associative_append >associative_append %
 258 ]
 259 qed.
 260
 261 definition match_tuple_step ≝
 262   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 263    (single_finalTM ?
 264      (seq ? compare
 265       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 266         (nop ?)
 267         (seq ? mark_next_tuple
 268            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 269              (mark ?) (seq ? (move_l ?) init_current) tc_true)) tc_true)))
 270     (nop ?) tc_true.
 271
 272 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 273   ∀ls,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs,n.
 274   is_bit c = true → only_bits l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) → is_bit c1 = true →
 275   only_bits l3 → n = |l1| → |l1| = |l3| →
 276   table_TM (S n) (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 277   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 278          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs) →
 279   (* facciamo match *)
 280   (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 281   t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 282         (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs))
 283   ∨
 284   (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 285   ((〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 286    ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
 287    (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 288    t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 289          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
 290           l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs))
 291   ∨
 292   (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 293      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 294      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 295   (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 296
 297 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 298   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 299
 300 include alias "basics/logic.ma".
 301
 302 (*
 303 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 304   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 305     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 306 //
 307 qed-. *)
 308
 309 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 310   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 311 #A #l #a cases l normalize /2/
 312 qed.
 313
 314 lemma sem_match_tuple_step:
 315     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0)))
 316     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 317 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 318   (sem_seq … sem_compare
 319     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 320       (sem_nop …)
 321         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 322            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 323              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 324   (sem_nop ?) …)
 325 [(* is_grid: termination case *)
 326  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1
 327   cases (H c ?) [2: >Ht1 %] #Hgrid #Heq %
 328     [@injective_notb @Hgrid | <Heq @H1]
 329 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Htapea
 330  * #tapec * #Hcompare #Hor
 331  #ls #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs #n #Hc #Hl1bars #Hl1marks #Hc1 #Hl3 #eqn
 332  #eqlen #Htable #Htapea1 cases (Htapea 〈c,true〉 ?) >Htapea1 [2:%]
 333  #notgridc -Htapea -Htapea1 -tapea #Htapeb
 334  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 335  cases (Hcompare c c1 l1 l3 (l2@[〈bar,false〉]) (l4@〈grid,false〉::rs) eqlen Hl1bars Hl3 Hl1marks … (refl …) Hc ?)
 336  -Hcompare
 337    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % [%]
 338     >Htapec in Hor; -Htapec *
 339      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 340       cases (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 341      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #Htaped cases (Htaped ? (refl …)) -Htaped *
 342       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped >associative_append
 343       %
 344      ]
 345    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 346     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 347       [>H2 >H3 elim la
 348         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 349         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 350         ]
 351       ] #Hnoteq %2
 352     cut (is_bit d' = true)
 353       [cases la in H3;
 354         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 355         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 356          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 357         ]
 358       ] #Hd'
 359     >Htapec in Hor; -Htapec *
 360      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 361       cases (H … (refl …)) >(bit_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 362      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H cases (H … (refl …)) -H #_
 363       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 364       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 365       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 366        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 367          [(* rs4 is empty : the case is absurd since the tape
 368             cannot end with a bar *)
 369           * #d * #b * * * #Heq1 @False_ind
 370           cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 371           >Hcut in Htable; >H3 >associative_append
 372           normalize >Heq1 >Hcut <associative_append >Hcut
 373           <associative_append #Htable @(absurd … Htable)
 374           @last_of_table
 375          |(* rs4 not empty *)
 376           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 377           cut (is_grid d2 = false)
 378           [@(no_grids_in_table … Htable … 〈d2,b2〉)
 379            @daemon (* no grids in table *)] #Hd2
 380           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 381            [(* we know current is not grid *)
 382             * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 383             cases (Htapef … (refl …)) >Hd2 #Htemp destruct (Htemp)
 384            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 385             cases (Htapef … (refl …)) #_ -Htapef #Htapef
 386             * #tapeg >Htapef -Htapef *
 387             (* move_l *)
 388             whd in ⊢ (%→?);
 389             #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 390             >Htapeg -Htapeg
 391             (* init_current *)
 392              whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 393             %1 cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 394             * #c00 #b00 #Hoption
 395              (* cut
 396             ((reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? (l2@[〈bar,false〉])@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 397              = *)
 398             lapply
 399              (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? (l2@[〈bar,false〉])@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 400              c' (reverse ? la) false ls bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs) c00 b00 ?????) -Htapeout
 401               [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 402                >associative_append
 403                generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls); #l
 404                whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 405               |>reverse_cons @Hoption
 406               |cases la in H2;
 407                 [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 408                  @injective_notb @notgridc
 409                 |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 410                  @bit_not_grid @(Hl1bars 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 411                 ]
 412               |cut (only_bits (la@(〈c',false〉::lb)))
 413                 [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 414                   [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1bars]
 415                 |#Hl1' #x #Hx @bit_not_grid @Hl1'
 416                  @memb_append_l1 @daemon
 417                 ]
 418               |@daemon
 419               |>reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse
 420                >reverse_append >reverse_reverse
 421                >reverse_cons >reverse_append >reverse_reverse
 422                >reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse
 423                >reverse_reverse
 424                #Htapeout % [@Hnoteq]
 425                @(ex_intro … d2)
 426                cut (∃rs31,rs32.rs3 = rs31@〈comma,false〉::rs32)
 427                [@daemon] * #rs31 * #rs32 #Hrs3
 428                (* cut
 429                (〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4= la@〈d',false〉::rs3@〈bar,false〉::〈d2,b2〉::rs3')
 430                [@daemon] #Hcut *)
 431                @(ex_intro … rs32) @(ex_intro … rs3') %
 432                  [>Hrs3 in Heq1; @daemon
 433                  |>Htapeout @eq_f2
 434                    [@daemon
 435                    |<associative_append <associative_append
 436                     <associative_append <associative_append <associative_append
 437                     <associative_append >(associative_append …la) <H2
 438                     normalize in ⊢ (??%?);
 439                     >associative_append >associative_append
 440                     >associative_append >associative_append >associative_append
 441                     >associative_append normalize @eq_f @eq_f @eq_f @eq_f
 442                     cut (true = b2) [@daemon] #Hcut >Hcut
 443                     cut (∀A,l1,l2,l3. l1 = l2 → l1@l3 =
 444                     <Heq1 >(associative_append …la)
 445                     cut (true = b2
 446
 447
 448               ]
 449            ]
 450          ]
 451        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 452          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 453           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 454           whd in ⊢ (%→?); #Htapeout %2
 455           >(Htapeout … (refl …)) %
 456            [ %
 457              [ @Hnoteq
 458              | whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 459              ]
 460            | %
 461            ]
 462          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 463           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef
 464           whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 465          ]
 466        |(* no marks in table *)
 467         #x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 468         @memb_append_l2 @memb_cons
 469         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 470         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 471        |(* no grids in table *)
 472         #x #membx @(no_grids_in_table … Htable)
 473         @memb_append_l2 @memb_cons
 474         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 475         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 476        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_not_grid … Hd') >(bit_not_bar … Hd') %
 477        ]
 478      ]
 479    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 480     @memb_append_l2 @memb_cons @memb_cons @memb_append_l1 @membx
 481    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 482     cases (memb_append … membx) -membx #membx
 483      [@memb_append_l1 @membx | @memb_append_l2 >(memb_single … membx) @memb_hd]
 484    |>associative_append %
 485    ]
 486  ]
 487 qed.
 488
 489
 490 (*
 491   MATCH TUPLE
 492
 493   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 494   current configuration is found
 495 *)
 496
 497 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0))).
 498
 499 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 500   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 501   is_bit c = true → only_bits l1 → is_bit c1 = true → n = |l1| →
 502   table_TM (S n) (〈c1,true〉::l2) →
 503   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 504          (l1@〈grid,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 505   (* facciamo match *)
 506   (∃l3,newc,mv,l4.
 507    〈c1,false〉::l2 = l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4 ∧
 508    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 509         (l3@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4@〈grid,false〉::rs))
 510   ∨
 511   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 512      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 513      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 514   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 515    ∀l3,newc,mv,l4.
 516    〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4).