matita/matita/lib/turing/universal/tuples.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/marks.ma".
  18
  19 definition STape ≝ FinProd … FSUnialpha FinBool.
  20
  21 definition only_bits_or_nulls ≝ λl.
  22   ∀c.memb STape c l = true → bit_or_null (\fst c) = true.
  23
  24 definition no_grids ≝ λl.
  25   ∀c.memb STape c l = true → is_grid (\fst c) = false.
  26
  27 definition no_bars ≝ λl.
  28   ∀c.memb STape c l = true → is_bar (\fst c) = false.
  29
  30 definition no_marks ≝ λl.
  31   ∀c.memb STape c l = true → is_marked ? c = false.
  32
  33 lemma bit_not_grid: ∀d. is_bit d = true → is_grid d = false.
  34 * // normalize #H destruct
  35 qed.
  36
  37 lemma bit_or_null_not_grid: ∀d. bit_or_null d = true → is_grid d = false.
  38 * // normalize #H destruct
  39 qed.
  40
  41 lemma bit_not_bar: ∀d. is_bit d = true → is_bar d = false.
  42 * // normalize #H destruct
  43 qed.
  44
  45 lemma bit_or_null_not_bar: ∀d. bit_or_null d = true → is_bar d = false.
  46 * // normalize #H destruct
  47 qed.
  48
  49 (* by definition, a tuple is not marked *)
  50 definition tuple_TM : nat → list STape → Prop ≝
  51  λn,t.∃qin,qout,mv.
  52  no_marks t ∧
  53  only_bits_or_nulls qin ∧ only_bits_or_nulls qout ∧ bit_or_null mv = true ∧
  54  |qin| = n ∧ |qout| = n (* ∧ |mv| = ? *) ∧
  55  t = qin@〈comma,false〉::qout@〈comma,false〉::[〈mv,false〉].
  56
  57 inductive table_TM : nat → list STape → Prop ≝
  58 | ttm_nil  : ∀n.table_TM n []
  59 | ttm_cons : ∀n,t1,T.tuple_TM n t1 → table_TM n T → table_TM n (t1@〈bar,false〉::T).
  60
  61 lemma no_grids_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_grids l.
  62 #n #l #t elim t
  63   [normalize #n #x #H destruct
  64   |#m #t1 #t2 * #qin * #qout * #mv * * * * * *
  65    #Hmarks #Hqin #Hqout #Hmv  #_ #_ #Heq #Ht2 #Hind
  66    whd >Heq #x #membx
  67    cases (memb_append … membx) -membx #membx
  68     [cases (memb_append … membx) -membx #membx
  69       [@bit_or_null_not_grid @Hqin //
  70       |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
  71         [>(\P membx) //
  72         |cases (memb_append … membx) -membx #membx
  73           [@bit_or_null_not_grid @Hqout //
  74           |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
  75             [>(\P membx) //
  76             |@bit_or_null_not_grid >(memb_single … membx) @Hmv
  77             ]
  78           ]
  79         ]
  80       ]
  81     |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
  82       [>(\P membx) //
  83       |@Hind //
  84       ]
  85     ]
  86   ]
  87 qed.
  88
  89 lemma no_marks_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_marks l.
  90 #n #l #t elim t
  91   [normalize #n #x #H destruct
  92   |#m #t1 #t2 * #qin * #qout * #mv * * * * * *
  93    #Hmarks #_ #_ #_ #_ #_ #_ #Ht2 #Hind
  94    #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
  95     [@Hmarks //
  96     |cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
  97       [>(\P Hx) //
  98       |@Hind //
  99       ]
 100     ]
 101   ]
 102 qed.
 103
 104 axiom last_of_table: ∀n,l,b.¬ table_TM n (l@[〈bar,b〉]).
 105
 106 (*
 107 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
 108    ^                               ^
 109
 110 if current (* x *) = #
 111    then
 112    else if x = 0
 113       then move_right; ----
 114            adv_to_mark_r;
 115            if current (* x0 *) = 0
 116               then advance_mark ----
 117                    adv_to_mark_l;
 118                    advance_mark
 119               else STOP
 120       else x = 1 (* analogo *)
 121
 122 *)
 123
 124
 125 (*
 126    MARK NEXT TUPLE machine
 127    (partially axiomatized)
 128
 129    marks the first character after the first bar (rightwards)
 130  *)
 131
 132 definition bar_or_grid ≝ λc:STape.is_bar (\fst c) ∨ is_grid (\fst c).
 133
 134 definition mark_next_tuple ≝
 135   seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 136      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
 137        (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1).
 138
 139 definition R_mark_next_tuple ≝
 140   λt1,t2.
 141     ∀ls,c,rs1,rs2.
 142     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
 143     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
 144     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
 145     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
 146       no_bars rs3 ∧
 147       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
 148       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
 149     ∨
 150     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
 151
 152 axiom tech_split :
 153   ∀A:DeqSet.∀f,l.
 154    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
 155    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
 156 (*#A #f #l elim l
 157 [ % #x normalize #Hfalse *)
 158
 159 theorem sem_mark_next_tuple :
 160   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
 161 #intape
 162 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 163          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1) ????)
 164 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
 165 | //
 166 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
 167    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
 168    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
 169    -Hloop
 170    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
 171    cases (Hleft … Hrs)
 172    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
 173    | * #_ #Hta cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
 174      [ #H1 lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
 175        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
 176        | %
 177        | -Hta #Hta cases Hright
 178          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 179            @False_ind cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 180            [ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 181            | >Hta % ]
 182          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 183            cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 184            [  #_ #Htb whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 185              %2 %
 186              [ @H1
 187              | >Houtc >Htb >Hta % ]
 188            | >Hta % ]
 189          ]
 190        ]
 191     | * #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
 192       % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
 193      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
 194      [ #x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
 195        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 196        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 197      | whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 198      | >Hsplit >associative_append % ] -Hta #Hta
 199        cases Hright
 200        [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 201          whd in ⊢ (%→?); #Htb
 202          cases (Hta' c0 ?)
 203          [ #_ #Htb' >Htb' in Htb; #Htb
 204            generalize in match Hsplit; -Hsplit
 205            cases rs4 in Hta;
 206            [ #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 207              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 208              [ @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false)
 209                % [ % [ %
 210                [(* Hsplit *) @daemon |(*Hrs3*) @daemon ] | % ] | % ]
 211                | (* Hc0 *) @daemon ]
 212            | #r5 #rs5 >(eq_pair_fst_snd … r5)
 213              #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 214              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 215              [ @(ex_intro ?? (\fst r5)) @(ex_intro ?? (\snd r5))
 216                % [ % [ % [ (* Hc0, Hsplit *) @daemon | (*Hrs3*) @daemon ] | % ]
 217                      | % ] | (* Hc0 *) @daemon ] ] | >Hta % ]
 218              | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 219                whd in ⊢ (%→?); #Htb
 220                cases (Hta' c0 ?)
 221                [ #Hfalse @False_ind >Hfalse in Hc0;
 222                  #Hc0 destruct (Hc0)
 223                | >Hta % ]
 224 ]]]]
 225 qed.
 226
 227 definition init_current_on_match ≝
 228   seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 229     (seq ? (move_l ?)
 230        (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 231           (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 232
 233 definition R_init_current_on_match ≝ λt1,t2.
 234   ∀l1,l2,c,l3,d,rs. no_grids l1 → no_grids l2 → is_grid c = false → is_grid (\fst d) = false →
 235   t1 = midtape STape (l1@〈grid,false〉::l2@〈c,false〉::〈grid,false〉::l3) d rs →
 236   t2 = midtape STape (〈grid,false〉::l3) 〈c,true〉
 237            ((reverse ? (l1@〈grid,false〉::l2)@d::rs)).
 238
 239 lemma sem_init_current_on_match :
 240   Realize ? init_current_on_match R_init_current_on_match.
 241 #intape
 242 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 243         (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 244           (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 245              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 246 #k * #outc * #Hloop #HR
 247 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 248 #l1 #l2 #c #l3 #d #rs #Hl1 #Hl2 #Hc #Hd #Hintape
 249 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta cases (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 250   [ * >Hd #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 251 * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈grid,false〉 ? (refl ??) (refl …) Hl1) -Hta #Hta
 252 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb -Hta
 253 generalize in match Hl2; cases l2
 254   [#Hl2 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htb
 255    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc cases (Htc … Htb) -Htb
 256     [* >Hc #Htemp destruct (Htemp) ]
 257    * #_ #Htc lapply (Htc [ ] 〈grid,false〉 ? (refl ??) (refl …) Hl2)
 258    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); -Htc #Htc
 259    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htc -Htd
 260    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htd
 261    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htd) -Houtc #Houtc
 262    >Houtc >reverse_append %
 263   |#d #tl #Htl whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htb
 264    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc cases (Htc … Htb) -Htc
 265     [* >(Htl … (memb_hd …)) #Htemp destruct (Htemp)]
 266    * #Hd >append_cons #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl …) ?)
 267     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 268       [@Htl @memb_cons @membx | >(memb_single … membx) @Hc]] #Htc
 269    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htc -Htd
 270    >reverse_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htd
 271    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htd) -Houtc #Houtc
 272    >Houtc >reverse_append >reverse_cons >reverse_cons
 273    >associative_append >associative_append >associative_append %
 274   ]
 275 qed.
 276
 277 (*
 278 definition init_current_gen ≝
 279   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 280     (seq ? (clear_mark ?)
 281        (seq ? (move_l ?)
 282          (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 283             (seq ? (move_r ?) (mark ?))))).
 284
 285 definition R_init_current_gen ≝ λt1,t2.
 286   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 →
 287   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 288   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 289   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 290         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 291
 292 lemma sem_init_current_gen : Realize ? init_current_gen R_init_current_gen.
 293 #intape
 294 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 295         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 296           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 297             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 298               (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))))) intape)
 299 #k * #outc * #Hloop #HR
 300 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 301 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hintape
 302 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta cases (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 303   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 304 * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%] -Hta #Hta
 305 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb -Hta #Htb
 306 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 307 generalize in match Hc; generalize in match Hl2; cases l2
 308   [#_ whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 309    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 310    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 311     [2: * whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp) ]
 312    * #_ #Htd >Htd in Htc; -Htd #Htd
 313    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 314    >reverse_append >reverse_cons
 315    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 316    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 317    >Houtc %
 318   |#d #tl #Htl #Hc0 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 319    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 320     [* >(Htl … (memb_hd …)) whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 321    * #Hd #Htd lapply (Htd … (refl ??) (refl ??) ?)
 322     [#x #membx @Htl @memb_cons @membx] -Htd #Htd
 323    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 324    >reverse_append >reverse_cons >reverse_cons
 325    >reverse_cons in Hc0; >reverse_cons cases (reverse ? tl)
 326      [normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0) #Hte
 327       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 328       >Houtc %
 329      |* #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 330       whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 331       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 332       >Houtc >associative_append >associative_append >associative_append %
 333      ]
 334    ]
 335 qed.
 336 *)
 337 definition init_current ≝
 338   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 339     (seq ? (clear_mark ?)
 340        (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 341           (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 342
 343 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 344   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 345   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 346   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 347   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 348         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 349
 350 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 351 #intape
 352 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 353         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 354            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 355              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 356 #k * #outc * #Hloop #HR
 357 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 358 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 359 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 360 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 361 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 362 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 363 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 364 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 365 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 366 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 367 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 368 >reverse_append >reverse_cons
 369 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 370 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 371   #Htd >(Houtc … Htd) %
 372 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 373   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 374   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 375   >associative_append >associative_append %
 376 ]
 377 qed.
 378
 379 definition match_tuple_step ≝
 380   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 381    (single_finalTM ?
 382      (seq ? compare
 383       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 384         (nop ?)
 385         (seq ? mark_next_tuple
 386            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 387              (mark ?) (seq ? (move_l ?) init_current) tc_true)) tc_true)))
 388     (nop ?) tc_true.
 389
 390 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 391   ∀ls,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs,n.
 392   bit_or_null c = true → only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) → bit_or_null c1 = true →
 393   only_bits_or_nulls l3 → n = |l1| → |l1| = |l3| →
 394   table_TM (S n) (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 395   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 396          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs) →
 397   (* facciamo match *)
 398   (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 399   t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 400         (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs))
 401   ∨
 402   (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 403   ((〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 404    ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
 405    (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 406    t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 407          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
 408           l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs))
 409   ∨
 410   (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 411      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 412      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 413   (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 414
 415 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 416   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 417
 418 include alias "basics/logic.ma".
 419
 420 (*
 421 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 422   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 423     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 424 //
 425 qed-. *)
 426
 427 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 428   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 429 #A #l #a cases l normalize /2/
 430 qed.
 431
 432 axiom tech_split2 : ∀A,l1,l2,l3,l4,x.
 433   memb A x l1 = false → memb ? x l3 = false →
 434   l1@x::l2 = l3@x::l4 → l1 = l3 ∧ l2 = l4.
 435
 436 axiom injective_append : ∀A,l.injective … (λx.append A x l).
 437
 438 lemma sem_match_tuple_step:
 439     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0)))
 440     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 441 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 442   (sem_seq … sem_compare
 443     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 444       (sem_nop …)
 445         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 446            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 447              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 448   (sem_nop ?) …)
 449 [(* is_grid: termination case *)
 450  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1
 451   cases (H c ?) [2: >Ht1 %] #Hgrid #Heq %
 452     [@injective_notb @Hgrid | <Heq @H1]
 453 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Htapea
 454  * #tapec * #Hcompare #Hor
 455  #ls #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs #n #Hc #Hl1bars #Hl1marks #Hc1 #Hl3 #eqn
 456  #eqlen #Htable #Htapea1 cases (Htapea 〈c,true〉 ?) >Htapea1 [2:%]
 457  #notgridc -Htapea -Htapea1 -tapea #Htapeb
 458  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 459  cases (Hcompare c c1 l1 l3 (l2@[〈bar,false〉]) (l4@〈grid,false〉::rs) eqlen Hl1bars Hl3 Hl1marks … (refl …) Hc ?)
 460  -Hcompare
 461    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % [%]
 462     >Htapec in Hor; -Htapec *
 463      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 464       cases (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 465      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #Htaped cases (Htaped ? (refl …)) -Htaped *
 466       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped >associative_append
 467       %
 468      ]
 469    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 470     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 471       [>H2 >H3 elim la
 472         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 473         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 474         ]
 475       ] #Hnoteq %2
 476     cut (bit_or_null d' = true)
 477       [cases la in H3;
 478         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 479         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 480          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 481         ]
 482       ] #Hd'
 483     >Htapec in Hor; -Htapec *
 484      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 485       cases (H … (refl …)) >(bit_or_null_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 486      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H cases (H … (refl …)) -H #_
 487       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 488       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 489       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 490        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 491          [(* rs4 is empty : the case is absurd since the tape
 492             cannot end with a bar *)
 493           * #d * #b * * * #Heq1 @False_ind
 494           cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 495           >Hcut in Htable; >H3 >associative_append
 496           normalize >Heq1 >Hcut <associative_append >Hcut
 497           <associative_append #Htable @(absurd … Htable)
 498           @last_of_table
 499          |(* rs4 not empty *)
 500           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 501           cut (memb STape 〈d2,b2〉 (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) = true)
 502             [@memb_append_l2 @memb_cons
 503              cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 504              >Hcut >H3 >associative_append @memb_append_l2
 505              @memb_cons >Heq1 @memb_append_l2 @memb_cons @memb_hd] #d2intable
 506           cut (is_grid d2 = false)
 507             [@(no_grids_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hd2
 508           cut (b2 = false)
 509             [@(no_marks_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hb2
 510           >Hb2 in Heq1; #Heq1 -Hb2 -b2
 511           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 512            [(* we know current is not grid *)
 513             * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 514             cases (Htapef … (refl …)) >Hd2 #Htemp destruct (Htemp)
 515            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 516             cases (Htapef … (refl …)) #_ -Htapef #Htapef
 517             * #tapeg >Htapef -Htapef *
 518             (* move_l *)
 519             whd in ⊢ (%→?);
 520             #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 521             >Htapeg -Htapeg
 522             (* init_current *)
 523              whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 524             %1 cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 525             * #c00 #b00 #Hoption
 526             lapply
 527              (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? (l2@[〈bar,false〉])@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 528              c' (reverse ? la) false ls bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs) c00 b00 ?????) -Htapeout
 529               [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 530                >associative_append
 531                generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls); #l
 532                whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 533               |>reverse_cons @Hoption
 534               |cases la in H2;
 535                 [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 536                  @injective_notb @notgridc
 537                 |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 538                  @bit_or_null_not_grid @(Hl1bars 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 539                 ]
 540               |cut (only_bits_or_nulls (la@(〈c',false〉::lb)))
 541                 [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 542                   [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1bars]
 543                 |#Hl1' #x #Hx @bit_or_null_not_grid @Hl1'
 544                  @memb_append_l1 @daemon
 545                 ]
 546               |@daemon
 547               |>reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse
 548                >reverse_append >reverse_reverse
 549                >reverse_cons >reverse_append >reverse_reverse
 550                >reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse
 551                >reverse_reverse
 552                #Htapeout % [@Hnoteq]
 553                @(ex_intro … d2)
 554                cut (∃rs32.rs3 = lc@〈comma,false〉::rs32)
 555                [ (*cases (tech_split STape (λc.c == 〈bar,false〉) l4)
 556                  [
 557                  | * #l41 * * #cbar #bfalse * #l42 * * #Hbar #Hl4 #Hl41
 558                    @(ex_intro ?? l41) >Hl4 in Heq1; #Heq1
 559
 560                cut (sublist … lc l3)
 561                  [ #x #Hx cases la in H3;
 562                    [ normalize #H3 destruct (H3) @Hx
 563                    | #p #la' normalize #Hla' destruct (Hla')
 564                      @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ] ] #Hsublist*)
 565                @daemon]
 566                * #rs32 #Hrs3
 567                (* cut
 568                (〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4= la@〈d',false〉::rs3@〈bar,false〉::〈d2,b2〉::rs3')
 569                [@daemon] #Hcut *)
 570                cut (l4=rs32@〈bar,false〉::〈d2,false〉::rs3')
 571                [ >Hrs3 in Heq1; @daemon ] #Hl4
 572                @(ex_intro … rs32) @(ex_intro … rs3') %
 573                  [@Hl4
 574                  |>Htapeout @eq_f2
 575                    [@daemon
 576                    |(*>Hrs3 *)>append_cons
 577                     > (?:l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs
 578                         = (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@[〈bar,false〉])@〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs)
 579                     [|>associative_append normalize
 580                       >associative_append normalize
 581                       >associative_append normalize
 582                       >associative_append normalize
 583                        % ]
 584                     @eq_f2 [|%]
 585                     @(injective_append … (〈d2,false〉::rs3'))
 586                     >(?:(la@[〈c',false〉])@((((lb@[〈grid,false〉])@l2@[〈bar,false〉])@la)@[〈d',false〉])@rs3
 587                        =((la@〈c',false〉::lb)@([〈grid,false〉]@l2@[〈bar,false〉]@la@[〈d',false〉]@rs3)))
 588                     [|>associative_append >associative_append
 589                       >associative_append >associative_append >associative_append
 590                       >associative_append >associative_append % ]
 591                     <H2 normalize (* <Hrs3 *)
 592                     >associative_append >associative_append >associative_append
 593                     @eq_f normalize @eq_f >associative_append
 594                     >associative_append @eq_f normalize @eq_f
 595                     >(append_cons ? 〈d',false〉) >associative_append
 596                     <Heq1 >Hl4 <associative_append <append_cons
 597                     <H3
 598                     >associative_append normalize
 599                     >associative_append normalize %
 600                    ]
 601                  ]
 602               ]
 603            ]
 604          ]
 605        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 606          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 607           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 608           whd in ⊢ (%→?); #Htapeout %2
 609           >(Htapeout … (refl …)) %
 610            [ %
 611              [ @Hnoteq
 612              | whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 613              ]
 614            | %
 615            ]
 616          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 617           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef
 618           whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 619          ]
 620        |(* no marks in table *)
 621         #x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 622         @memb_append_l2 @memb_cons
 623         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 624         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 625        |(* no grids in table *)
 626         #x #membx @(no_grids_in_table … Htable)
 627         @memb_append_l2 @memb_cons
 628         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 629         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 630        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_or_null_not_grid … Hd') >(bit_or_null_not_bar … Hd') %
 631        ]
 632      ]
 633    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 634     @memb_append_l2 @memb_cons @memb_cons @memb_append_l1 @membx
 635    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 636     cases (memb_append … membx) -membx #membx
 637      [@memb_append_l1 @membx | @memb_append_l2 >(memb_single … membx) @memb_hd]
 638    |>associative_append %
 639    ]
 640  ]
 641 qed.
 642
 643
 644 (*
 645   MATCH TUPLE
 646
 647   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 648   current configuration is found
 649 *)
 650
 651 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0))).
 652
 653 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 654   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 655   is_bit c = true → only_bits_or_nulls l1 → is_bit c1 = true → n = |l1| →
 656   table_TM (S n) (〈c1,true〉::l2) →
 657   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 658          (l1@〈grid,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 659   (* facciamo match *)
 660   (∃l3,newc,mv,l4.
 661    〈c1,false〉::l2 = l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4 ∧
 662    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 663         (l3@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4@〈grid,false〉::rs))
 664   ∨
 665   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 666      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 667      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 668   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 669    ∀l3,newc,mv,l4.
 670    〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4).