matita/matita/lib/turing/universal/tuples.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/marks.ma".
  18
  19 definition STape ≝ FinProd … FSUnialpha FinBool.
  20
  21 definition only_bits ≝ λl.
  22   ∀c.memb STape c l
  23    = true → is_bit (\fst c) = true.
  24
  25 definition only_bits_or_nulls ≝ λl.
  26   ∀c.memb STape c l = true → bit_or_null (\fst c) = true.
  27
  28 definition no_grids ≝ λl.
  29   ∀c.memb STape c l = true → is_grid (\fst c) = false.
  30
  31 definition no_bars ≝ λl.
  32   ∀c.memb STape c l = true → is_bar (\fst c) = false.
  33
  34 definition no_marks ≝ λl.
  35   ∀c.memb STape c l = true → is_marked ? c = false.
  36
  37 lemma bit_not_grid: ∀d. is_bit d = true → is_grid d = false.
  38 * // normalize #H destruct
  39 qed.
  40
  41 lemma bit_or_null_not_grid: ∀d. bit_or_null d = true → is_grid d = false.
  42 * // normalize #H destruct
  43 qed.
  44
  45 lemma bit_not_bar: ∀d. is_bit d = true → is_bar d = false.
  46 * // normalize #H destruct
  47 qed.
  48
  49 lemma bit_or_null_not_bar: ∀d. bit_or_null d = true → is_bar d = false.
  50 * // normalize #H destruct
  51 qed.
  52
  53 definition mk_tuple ≝ λqin,cin,qout,cout,mv.
  54   〈bar,false〉 :: qin @ cin :: 〈comma,false〉:: qout @ cout :: 〈comma,false〉 :: [mv].
  55
  56 (* by definition, a tuple is not marked *)
  57 definition tuple_TM : nat → list STape → Prop ≝
  58  λn,t.∃qin,cin,qout,cout,mv.
  59  no_marks qin ∧ no_marks qout ∧
  60  only_bits qin ∧ only_bits qout ∧
  61  bit_or_null cin = true ∧ bit_or_null cout = true ∧ bit_or_null mv = true ∧
  62  (cout = null → mv = null) ∧
  63  |qin| = n ∧ |qout| = n ∧
  64  t = mk_tuple qin 〈cin,false〉 qout 〈cout,false〉 〈mv,false〉.
  65
  66 inductive table_TM (n:nat) : list STape → Prop ≝
  67 | ttm_nil  : table_TM n []
  68 | ttm_cons : ∀t1,T.tuple_TM n t1 → table_TM n T → table_TM n (t1@T).
  69
  70 inductive match_in_table (n:nat) (qin:list STape) (cin: STape)
  71                          (qout:list STape) (cout:STape) (mv:STape)
  72 : list STape → Prop ≝
  73 | mit_hd :
  74    ∀tb.
  75    tuple_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv) →
  76    match_in_table n qin cin qout cout mv
  77      (mk_tuple qin cin qout cout mv @tb)
  78 | mit_tl :
  79    ∀qin0,cin0,qout0,cout0,mv0,tb.
  80    tuple_TM n (mk_tuple qin0 cin0 qout0 cout0 mv0) →
  81    match_in_table n qin cin qout cout mv tb →
  82    match_in_table n qin cin qout cout mv
  83      (mk_tuple qin0 cin0 qout0 cout0 mv0@tb).
  84
  85 axiom tuple_len : ∀n,t.tuple_TM n t → |t| = 2*n+6.
  86 axiom append_eq_tech1 :
  87   ∀A,l1,l2,l3,l4.l1@l2 = l3@l4 → |l1| < |l3| → ∃la:list A.l1@la = l3.
  88 axiom append_eq_tech2 :
  89   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l4 = false → ∃la:list A.l3 = l1@a::la.
  90 (*axiom list_decompose_cases :
  91   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → ∃la,lb:list A.l3 = la@a::lb ∨ l4 = la@a::lb.
  92 axiom list_decompose_l :
  93   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l4 = false →
  94   ∃la,lb.l2 = la@lb ∧ l3 = l1@a::la.*)
  95 axiom list_decompose_r :
  96   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l3 = false →
  97   ∃la,lb.l1 = la@lb ∧ l4 = lb@a::l2.
  98 (*axiom list_decompose_memb :
  99   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → |l1| < |l3| → memb A a l3 = true.*)
 100
 101 lemma table_invert_r : ∀n,t,T.
 102   tuple_TM n t → table_TM n (t@T) → table_TM n T.
 103 #n #t #T #Htuple #Htable inversion Htable
 104 [ cases Htuple #qin * #cin * #qout * #cout * #mv * #_ #Ht >Ht
 105   normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 106 | #t0 #T0 #Htuple0 #Htable0 #_ #Heq
 107   lapply (append_l2_injective ?????? Heq)
 108   [ >(tuple_len … Htuple) >(tuple_len … Htuple0) % ]
 109   -Heq #Heq destruct (Heq) // ]
 110 qed.
 111
 112 lemma match_in_table_to_tuple :
 113   ∀n,T,qin,cin,qout,cout,mv.
 114   match_in_table n qin cin qout cout mv T → table_TM n T →
 115   tuple_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv).
 116 #n #T #qin #cin #qout #cout #mv #Hmatch elim Hmatch
 117 [ //
 118 | #qin0 #cin0 #qout0 #cout0 #mv0 #tb #Htuple #Hmatch #IH #Htable
 119   @IH @(table_invert_r ???? Htable) @Htuple
 120 ]
 121 qed.
 122
 123 lemma match_in_table_append :
 124   ∀n,T,qin,cin,qout,cout,mv,t.
 125   tuple_TM n t →
 126   match_in_table n qin cin qout cout mv (t@T) →
 127   t = mk_tuple qin cin qout cout mv ∨ match_in_table n qin cin qout cout mv T.
 128 #n #T #qin #cin #qout #cout #mv #t #Ht #Hmatch inversion Hmatch
 129 [ #T0 #H #H1 % >(append_l1_injective … H1) //
 130   >(tuple_len … Ht) >(tuple_len … H) %
 131 | #qin0 #cin0 #qout0 #cout0 #mv0 #T0 #H #H1 #_ #H2 %2
 132   >(append_l2_injective … H2) // >(tuple_len … Ht) >(tuple_len … H) %
 133 ]
 134 qed.
 135
 136 lemma generic_match_to_match_in_table_tech :
 137   ∀n,t,T0,T1,T2.tuple_TM n t → table_TM n (T1@〈bar,false〉::T2) →
 138    t@T0 = T1@〈bar,false〉::T2 → T1 = [] ∨ ∃T3.T1 = t@T3.
 139 #n #t #T0 #T1 #T2 #Ht cases T1
 140 [ #_ #_ % %
 141 | normalize #c #T1c #Htable #Heq %2
 142   cases Ht in Heq; #qin * #cin * #qout * #cout * #mv **********
 143   #Hqin1 #Hqout1 #Hqin2 #Hqout2 #Hcin #Hcout #Hmv #Hcoutmv #Hqinlen #Hqoutlen
 144   #Heqt >Heqt whd in ⊢ (??%%→?); #Ht lapply (cons_injective_r ????? Ht)
 145   #Ht' cases (list_decompose_r STape … (sym_eq … Ht') ?)
 146   [ #la * #lb * #HT1c #HT0 %{lb} >HT1c @(eq_f2 ??? (append ?) (c::la)) //
 147     >HT0 in Ht'; >HT1c >associative_append in ⊢ (???%→?); #Ht'
 148     <(append_l1_injective_r … Ht') // <(cons_injective_l ????? Ht) %
 149   |@(noteq_to_eqnot ? true) @(not_to_not … not_eq_true_false) #Hbar @sym_eq
 150    cases (memb_append … Hbar) -Hbar #Hbar
 151     [@(Hqin2 … Hbar)
 152     |cases (orb_true_l … Hbar) -Hbar
 153       [#Hbar lapply (\P Hbar) -Hbar #Hbar destruct (Hbar) @Hcin
 154       |whd in ⊢ ((??%?)→?); #Hbar cases (memb_append … Hbar) -Hbar #Hbar
 155         [@(Hqout2 … Hbar)
 156         |cases (orb_true_l … Hbar) -Hbar
 157           [#Hbar lapply (\P Hbar) -Hbar #Hbar destruct (Hbar) @Hcout
 158           |#Hbar cases (orb_true_l … Hbar) -Hbar
 159             [whd in ⊢ ((??%?)→?); #Hbar @Hbar
 160             |#Hbar lapply (memb_single … Hbar) -Hbar #Hbar destruct (Hbar) @Hmv
 161             ]
 162           ]
 163         ]
 164       ]
 165     ]
 166   ]
 167 qed.
 168
 169 lemma generic_match_to_match_in_table :
 170   ∀n,T.table_TM n T →
 171   ∀qin,cin,qout,cout,mv.|qin| = n → |qout| = n →
 172   only_bits qin → only_bits qout →
 173   bit_or_null (\fst cin) = true → bit_or_null (\fst cout) = true →
 174   bit_or_null (\fst mv) = true →
 175   ∀t1,t2.
 176   T = (t1@〈bar,false〉::qin@cin::〈comma,false〉::qout@cout::〈comma,false〉::[mv])@t2 →
 177   match_in_table n qin cin qout cout mv T.
 178 #n #T #Htable #qin #cin #qout #cout #mv #Hlenqin #Hlenqout
 179 #Hqinbits #Hqoutbits #Hcin #Hcout #Hmv
 180 elim Htable
 181 [ * [ #t2 normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 182     | #c0 #t1 #t2 normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 183 | #tuple #T0 #H1 #Htable0#IH #t1 #t2 #HT cases H1 #qin0 * #cin0 * #qout0 * #cout0 * #mv0
 184   * * * * * * * * * *
 185   #Hqin0marks #Hqout0marks #Hqin0bits #Hqout0bits #Hcin0 #Hcout0 #Hmv0 #Hcout0mv0
 186   #Hlenqin0 #Hlenqout0 #Htuple
 187   lapply (generic_match_to_match_in_table_tech n ? T0 t1
 188            (qin@cin::〈comma,false〉::qout@[cout;〈comma,false〉;mv]@t2) H1) #Htmp
 189   >Htuple in H1; #H1
 190   lapply (ttm_cons … T0 H1 Htable0) <Htuple in ⊢ (%→?); >HT
 191   >associative_append normalize >associative_append normalize
 192   >associative_append #Htable cases (Htmp Htable ?)
 193   [ #Ht1 >Htuple in HT; >Ht1 normalize in ⊢ (??%%→?);
 194     >associative_append >associative_append #HT
 195     cut (qin0 = qin ∧ (〈cin0,false〉 = cin ∧ (qout0 = qout ∧
 196          (〈cout0,false〉 = cout ∧ (〈mv0,false〉 = mv ∧ T0 = t2)))))
 197     [ lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 198       lapply (append_l1_injective … HT) [ >Hlenqin @Hlenqin0 ]
 199       #Hqin % [ @Hqin ] -Hqin
 200       lapply (append_l2_injective … HT) [ >Hlenqin @Hlenqin0 ] -HT #HT
 201       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hcin % [ @Hcin ] -Hcin
 202       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 203       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT
 204       >associative_append >associative_append #HT
 205       lapply (append_l1_injective … HT) [ >Hlenqout @Hlenqout0 ]
 206       #Hqout % [ @Hqout ] -Hqout
 207       lapply (append_l2_injective … HT) [ >Hlenqout @Hlenqout0 ] -HT normalize #HT
 208       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hcout % [ @Hcout ] -Hcout
 209       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 210       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 211       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hmv % [ @Hmv ] -Hmv
 212       @(cons_injective_r ????? HT) ]
 213     -HT * #Hqin * #Hcin * #Hqout * #Hcout * #Hmv #HT0
 214     >(?:〈bar,false〉::qin0@(〈cin0,false〉::〈comma,false〉::qout0@
 215         [〈cout0,false〉;〈comma,false〉;〈mv0,false〉])@T0 = tuple@T0)
 216     [ >Htuple >Hqin >Hqout >Hcin >Hcout >Hmv % //
 217     | >Htuple normalize >associative_append normalize >associative_append
 218       normalize >associative_append % ]
 219   | * #T3 #HT3 >HT3 in HT; >associative_append; >associative_append #HT
 220     lapply (append_l2_injective … HT) // -HT #HT %2 //
 221     @(IH T3 t2) >HT >associative_append %
 222   |>HT >associative_append normalize >associative_append normalize
 223    >associative_append % ]
 224 ]
 225 qed.
 226
 227 (*
 228 lemma table_invert_l : ∀n,T0,qin,cin,qout,cout,mv.
 229   table_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv@〈bar,false〉::T0) →
 230   tuple_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv).
 231 #n #T #qin #cin #qout #cout #mv #HT inversion HT
 232 [ change with (append ???) in ⊢ (??(??%?)?→?);cases qin [ #Hfalse | #t0 #ts0 #Hfalse] normalize in Hfalse; destruct (Hfalse)
 233 | #t0 #T0 #Ht0 #HT0 #_
 234
 235
 236 lemma table_invert_r : ∀n,T0,qin,cin,qout,cout,mv.
 237   table n (mk_tuple qin cin qout cout mv@〈bar,false〉::T0) → table n T0.
 238 *)
 239
 240 lemma no_grids_in_tuple : ∀n,l.tuple_TM n l → no_grids l.
 241 #n #l * #qin * #cin * #qout * #cout * #mv * * * * * * * * * *
 242 #_ #_ #Hqin #Hqout #Hcin #Hcout #Hmv #_ #_ #_ #Hl >Hl
 243 #c #Hc cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 244 [ >(\P Hc) %
 245 | cases (memb_append … Hc) -Hc #Hc
 246 [ @bit_not_grid @(Hqin … Hc)
 247 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 248 [ change with (c == 〈cin,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) @bit_or_null_not_grid //
 249 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 250 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 251 | cases (memb_append …Hc) -Hc #Hc
 252 [ @bit_not_grid @(Hqout … Hc)
 253 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 254 [ change with (c == 〈cout,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) @bit_or_null_not_grid //
 255 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 256 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 257 | >(memb_single … Hc) @bit_or_null_not_grid @Hmv
 258 ]]]]]]
 259 qed.
 260
 261 lemma no_marks_in_tuple : ∀n,l.tuple_TM n l → no_marks l.
 262 #n #l * #qin * #cin * #qout * #cout * #mv * * * * * * * * * *
 263 #Hqin #Hqout #_ #_ #_ #_ #_ #_ #_ #_ #Hl >Hl
 264 #c #Hc cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 265 [ >(\P Hc) %
 266 | cases (memb_append … Hc) -Hc #Hc
 267 [ @(Hqin … Hc)
 268 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 269 [ change with (c == 〈cin,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 270 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 271 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 272 | cases (memb_append … Hc) -Hc #Hc
 273 [ @(Hqout … Hc)
 274 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 275 [ change with (c == 〈cout,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 276 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 277 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 278 | >(memb_single … Hc) %
 279 ]]]]]]
 280 qed.
 281
 282 lemma no_grids_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_grids l.
 283 #n #l #t elim t
 284   [normalize #c #H destruct
 285   |#t1 #t2 #Ht1 #Ht2 #IH lapply (no_grids_in_tuple … Ht1) -Ht1 #Ht1 #x #Hx
 286    cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 287    [ @(Ht1 … Hx)
 288    | @(IH … Hx) ] ]
 289 qed.
 290
 291 lemma no_marks_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_marks l.
 292 #n #l #t elim t
 293   [normalize #c #H destruct
 294   |#t1 #t2 #Ht1 #Ht2 #IH lapply (no_marks_in_tuple … Ht1) -Ht1 #Ht1 #x #Hx
 295    cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 296    [ @(Ht1 … Hx)
 297    | @(IH … Hx) ] ]
 298 qed.
 299
 300 axiom last_of_table: ∀n,l,b.¬ table_TM n (l@[〈bar,b〉]).
 301
 302 (*
 303 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
 304    ^                               ^
 305
 306 if current (* x *) = #
 307    then
 308    else if x = 0
 309       then move_right; ----
 310            adv_to_mark_r;
 311            if current (* x0 *) = 0
 312               then advance_mark ----
 313                    adv_to_mark_l;
 314                    advance_mark
 315               else STOP
 316       else x = 1 (* analogo *)
 317
 318 *)
 319
 320
 321 (*
 322    MARK NEXT TUPLE machine
 323    (partially axiomatized)
 324
 325    marks the first character after the first bar (rightwards)
 326  *)
 327
 328 definition bar_or_grid ≝ λc:STape.is_bar (\fst c) ∨ is_grid (\fst c).
 329
 330 definition mark_next_tuple ≝
 331   seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 332      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
 333        (move_right_and_mark ?) (nop ?) tc_true).
 334
 335 definition R_mark_next_tuple ≝
 336   λt1,t2.
 337     ∀ls,c,rs1,rs2.
 338     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
 339     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
 340     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
 341     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
 342       no_bars rs3 ∧
 343       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
 344       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
 345     ∨
 346     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
 347
 348 axiom daemon :∀P:Prop.P.
 349
 350 axiom tech_split :
 351   ∀A:DeqSet.∀f,l.
 352    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
 353    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
 354 (*#A #f #l elim l
 355 [ % #x normalize #Hfalse *)
 356
 357 theorem sem_mark_next_tuple :
 358   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
 359 #intape
 360 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 361          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) tc_true) ????)
 362 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
 363 | //
 364 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
 365    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
 366    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
 367    -Hloop
 368    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
 369    cases (Hleft … Hrs)
 370    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
 371    | * #_ #Hta cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
 372      [ #H1 lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
 373        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
 374        | %
 375        | -Hta #Hta cases Hright
 376          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 377            @False_ind cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 378            [ normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 379            | >Hta % ]
 380          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 381            cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 382            [  #_ #Htb whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 383              %2 %
 384              [ @H1
 385              | >Houtc >Htb >Hta % ]
 386            | >Hta % ]
 387          ]
 388        ]
 389     | * #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
 390       % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
 391      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
 392      [ #x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
 393        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 394        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 395      | whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 396      | >Hsplit >associative_append % ] -Hta #Hta
 397        cases Hright
 398        [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 399          whd in ⊢ (%→?); #Htb
 400          cases (Hta' c0 ?)
 401          [ #_ #Htb' >Htb' in Htb; #Htb
 402            generalize in match Hsplit; -Hsplit
 403            cases rs4 in Hta;
 404            [ #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 405              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 406              [ @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false)
 407                % [ % [ %
 408                [(* Hsplit *) @daemon |(*Hrs3*) @daemon ] | % ] | % ]
 409                | (* Hc0 *) @daemon ]
 410            | #r5 #rs5 >(eq_pair_fst_snd … r5)
 411              #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 412              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 413              [ @(ex_intro ?? (\fst r5)) @(ex_intro ?? (\snd r5))
 414                % [ % [ % [ (* Hc0, Hsplit *) @daemon | (*Hrs3*) @daemon ] | % ]
 415                      | % ] | (* Hc0 *) @daemon ] ] | >Hta % ]
 416              | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 417                whd in ⊢ (%→?); #Htb
 418                cases (Hta' c0 ?)
 419                [ #Hfalse @False_ind >Hfalse in Hc0;
 420                  #Hc0 destruct (Hc0)
 421                | >Hta % ]
 422 ]]]]
 423 qed.
 424
 425 definition init_current_on_match ≝
 426   (seq ? (move_l ?)
 427     (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 428       (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 429
 430 definition R_init_current_on_match ≝ λt1,t2.
 431   ∀l1,l2,c,rs. no_grids l1 → is_grid c = false →
 432   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::l2)  〈grid,false〉 rs →
 433   t2 = midtape STape (〈grid,false〉::l2) 〈c,true〉 ((reverse ? l1)@〈grid,false〉::rs).
 434
 435 lemma sem_init_current_on_match :
 436   Realize ? init_current_on_match R_init_current_on_match.
 437 #intape
 438 cases (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 439         (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 440            (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))) intape)
 441 #k * #outc * #Hloop #HR
 442 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 443 #l1 #l2 #c #rs #Hl1 #Hc #Hintape
 444 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 445 generalize in match Hl1; cases l1
 446   [#Hl1 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 447    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Hta
 448     [* >Hc #Htemp destruct (Htemp) ]
 449    * #_ #Htc lapply (Htc [ ] 〈grid,false〉 ? (refl ??) (refl …) Hl1)
 450    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); -Htc #Htc
 451    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htc -Htd
 452    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htd
 453    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htd) -Houtc #Houtc
 454    >Houtc %
 455   |#d #tl #Htl whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 456    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Htb
 457     [* >(Htl … (memb_hd …)) #Htemp destruct (Htemp)]
 458    * #Hd >append_cons #Htb lapply (Htb … (refl ??) (refl …) ?)
 459     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 460       [@Htl @memb_cons @membx | >(memb_single … membx) @Hc]]-Htb  #Htb
 461    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc
 462    >reverse_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 463    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc #Houtc
 464    >Houtc >reverse_cons >associative_append %
 465   ]
 466 qed.
 467
 468 (*
 469 definition init_current_gen ≝
 470   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 471     (seq ? (clear_mark ?)
 472        (seq ? (move_l ?)
 473          (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 474             (seq ? (move_r ?) (mark ?))))).
 475
 476 definition R_init_current_gen ≝ λt1,t2.
 477   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 →
 478   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 479   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 480   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 481         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 482
 483 lemma sem_init_current_gen : Realize ? init_current_gen R_init_current_gen.
 484 #intape
 485 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 486         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 487           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 488             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 489               (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))))) intape)
 490 #k * #outc * #Hloop #HR
 491 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 492 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hintape
 493 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta cases (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 494   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 495 * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%] -Hta #Hta
 496 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb -Hta #Htb
 497 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 498 generalize in match Hc; generalize in match Hl2; cases l2
 499   [#_ whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 500    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 501    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 502     [2: * whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp) ]
 503    * #_ #Htd >Htd in Htc; -Htd #Htd
 504    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 505    >reverse_append >reverse_cons
 506    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 507    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 508    >Houtc %
 509   |#d #tl #Htl #Hc0 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 510    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 511     [* >(Htl … (memb_hd …)) whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 512    * #Hd #Htd lapply (Htd … (refl ??) (refl ??) ?)
 513     [#x #membx @Htl @memb_cons @membx] -Htd #Htd
 514    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 515    >reverse_append >reverse_cons >reverse_cons
 516    >reverse_cons in Hc0; >reverse_cons cases (reverse ? tl)
 517      [normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0) #Hte
 518       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 519       >Houtc %
 520      |* #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 521       whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 522       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 523       >Houtc >associative_append >associative_append >associative_append %
 524      ]
 525    ]
 526 qed.
 527 *)
 528
 529 definition init_current ≝
 530   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 531     (seq ? (clear_mark ?)
 532        (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 533           (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 534
 535 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 536   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 537   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 538   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 539   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 540         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 541
 542 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 543 #intape
 544 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 545         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 546            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 547              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 548 #k * #outc * #Hloop #HR
 549 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 550 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 551 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 552 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 553 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 554 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 555 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 556 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 557 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 558 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 559 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 560 >reverse_append >reverse_cons
 561 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 562 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 563   #Htd >(Houtc … Htd) %
 564 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 565   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 566   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 567   >associative_append >associative_append %
 568 ]
 569 qed.
 570
 571 definition match_tuple_step ≝
 572   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 573    (single_finalTM ?
 574      (seq ? compare
 575       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 576         (nop ?)
 577         (seq ? mark_next_tuple
 578            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 579              (mark ?) (seq ? (move_l ?) init_current) tc_true)) tc_true)))
 580     (nop ?) tc_true.
 581
 582 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 583   ∀ls,cur,rs.t1 = midtape STape ls cur rs →
 584   \fst cur ≠ grid ∧
 585   (∀ls0,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs0,n.
 586    only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) →
 587    bit_or_null c = true → bit_or_null c1 = true →
 588    only_bits_or_nulls l3 → S n = |l1| → |l1| = |l3| →
 589    table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 590    ls = 〈grid,false〉::ls0 → cur = 〈c,true〉 →
 591    rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs0 →
 592    (* facciamo match *)
 593    (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 594    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 595          (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs0))
 596    ∨
 597    (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 598    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 599     ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
 600     (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 601     t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈c,true〉
 602           (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
 603            l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs0))
 604    ∨
 605    (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 606       non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 607       non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 608    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 609
 610 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 611   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 612
 613 include alias "basics/logic.ma".
 614
 615 (*
 616 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 617   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 618     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 619 //
 620 qed-. *)
 621
 622 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 623   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 624 #A #l #a cases l normalize /2/
 625 qed.
 626
 627 axiom tech_split2 : ∀A,l1,l2,l3,l4,x.
 628   memb A x l1 = false → memb ? x l3 = false →
 629   l1@x::l2 = l3@x::l4 → l1 = l3 ∧ l2 = l4.
 630
 631 axiom injective_append : ∀A,l.injective … (λx.append A x l).
 632
 633 lemma sem_match_tuple_step:
 634     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … start_nop)))
 635     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 636 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 637   (sem_seq … sem_compare
 638     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 639       (sem_nop …)
 640         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 641            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 642              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 643   (sem_nop ?) …)
 644 [(* is_grid: termination case *)
 645  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1
 646   cases (H c ?) [2: >Ht1 %] #Hgrid #Heq %
 647     [@injective_notb @Hgrid | <Heq @H1]
 648 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Hcur
 649  * #tapec * whd in ⊢ (%→?); #Hcompare #Hor
 650  #ls #cur #rs #Htapea >Htapea in Hcur; #Hcur cases (Hcur ? (refl ??))
 651  -Hcur #Hcur #Htapeb %
 652  [ % #Hfalse >Hfalse in Hcur; normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1)]
 653  #ls0 #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs0 #n #Hl1bitnull #Hl1marks #Hc #Hc1 #Hl3 #eqn
 654  #eqlen #Htable #Hls #Hcur #Hrs -Htapea >Hls in Htapeb; >Hcur >Hrs #Htapeb
 655  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 656  cases (Hcompare c c1 l1 l3 l2 (l4@〈grid,false〉::rs0) eqlen Hl1bitnull Hl3 Hl1marks … (refl …) Hc ?)
 657  -Hcompare
 658    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % % [%]
 659     >Htapec in Hor; -Htapec *
 660      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 661       cases (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 662      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #Htaped cases (Htaped ? (refl …)) -Htaped *
 663       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped
 664       %
 665      ]
 666    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 667     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 668       [>H2 >H3 elim la
 669         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 670         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 671         ]
 672       ] #Hnoteq
 673     cut (bit_or_null d' = true)
 674       [cases la in H3;
 675         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 676         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 677          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 678         ]
 679       ] #Hd'
 680     >Htapec in Hor; -Htapec *
 681      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 682       cases (H … (refl …)) >(bit_or_null_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 683      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H cases (H … (refl …)) -H #_
 684       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 685       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 686       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 687        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 688          [(* rs4 is empty : the case is absurd since the tape
 689             cannot end with a bar *)
 690           * #d * #b * * * #Heq1 @False_ind
 691           cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 692           >Hcut in Htable; >H3 >associative_append
 693           normalize >Heq1 <associative_append >Hcut
 694           <associative_append #Htable @(absurd … Htable)
 695           @last_of_table
 696          |(* rs4 not empty *)
 697           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 698           cut (memb STape 〈d2,b2〉 (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) = true)
 699             [@memb_append_l2
 700              cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 701              >Hcut >H3 >associative_append @memb_append_l2
 702              @memb_cons >Heq1 @memb_append_l2 @memb_cons @memb_hd] #d2intable
 703           cut (is_grid d2 = false)
 704             [@(no_grids_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hd2
 705           cut (b2 = false)
 706             [@(no_marks_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hb2
 707           >Hb2 in Heq1; #Heq1 -Hb2 -b2
 708           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 709            [(* we know current is not grid *)
 710             * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 711             cases (Htapef … (refl …)) >Hd2 #Htemp destruct (Htemp)
 712            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 713             cases (Htapef … (refl …)) #_ -Htapef #Htapef
 714             * #tapeg >Htapef -Htapef *
 715             (* move_l *)
 716             whd in ⊢ (%→?);
 717             #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 718             >Htapeg -Htapeg
 719             (* init_current *)
 720              whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 721              cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 722              * #c00 #b00 #Hoption
 723              lapply
 724               (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? l2@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 725               c' (reverse ? la) false ls0 bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0) c00 b00 ?????) -Htapeout
 726                [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 727                 >associative_append
 728                  generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls0); #l
 729                 whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 730                |>reverse_cons @Hoption
 731                |cases la in H2;
 732                  [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 733                   @bit_or_null_not_grid @Hc
 734                  |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 735                   @bit_or_null_not_grid @(Hl1bitnull 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 736                  ]
 737                |cut (only_bits_or_nulls (la@(〈c',false〉::lb)))
 738                  [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 739                    [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1bitnull]
 740                  |#Hl1' #x #Hx @bit_or_null_not_grid @Hl1'
 741                   @memb_append_l1 @daemon
 742                  ]
 743                |@daemon] #Htapeout % %2 % //
 744             @(ex_intro … d2)
 745             cut (∃rs32.rs3 = lc@〈comma,false〉::rs32)
 746                  [ (*cases (tech_split STape (λc.c == 〈bar,false〉) l4)
 747                   [
 748                   | * #l41 * * #cbar #bfalse * #l42 * * #Hbar #Hl4 #Hl41
 749                     @(ex_intro ?? l41) >Hl4 in Heq1; #Heq1
 750
 751                 cut (sublist … lc l3)
 752                   [ #x #Hx cases la in H3;
 753                     [ normalize #H3 destruct (H3) @Hx
 754                     | #p #la' normalize #Hla' destruct (Hla')
 755                       @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ] ] #Hsublist*)
 756                 @daemon]
 757                 * #rs32 #Hrs3
 758                 (* cut
 759                 (〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4= la@〈d',false〉::rs3@〈bar,false〉::〈d2,b2〉::rs3')
 760                 [@daemon] #Hcut *)
 761                 cut (l4=rs32@〈bar,false〉::〈d2,false〉::rs3')
 762                 [ >Hrs3 in Heq1; @daemon ] #Hl4
 763                 @(ex_intro … rs32) @(ex_intro … rs3') % [@Hl4]
 764                 >Htapeout @eq_f2
 765                    [(* by Hoption, H2 *) @daemon
 766                    |(*>Hrs3 *)>append_cons
 767                     > (?:l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs
 768                         = (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@[〈bar,false〉])@〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs)
 769                     [|>associative_append normalize
 770                       >associative_append normalize
 771                       >associative_append normalize
 772                       >associative_append normalize
 773                        % ]
 774                     >reverse_append >reverse_append >reverse_cons
 775                     >reverse_reverse >reverse_cons >reverse_reverse
 776                     >reverse_append >reverse_append >reverse_cons
 777                     >reverse_reverse >reverse_reverse >reverse_reverse
 778                     >(?:(la@[〈c',false〉])@((((lb@[〈grid,false〉])@l2)@la)@[〈d',false〉])@rs3
 779                        =((la@〈c',false〉::lb)@([〈grid,false〉]@l2@la@[〈d',false〉]@rs3)))
 780                     [|>associative_append >associative_append
 781                       >associative_append >associative_append >associative_append
 782                       >associative_append % ]
 783                     <H2 normalize in ⊢ (??%?); >Hrs3
 784                     >associative_append >associative_append normalize
 785                     >associative_append >associative_append
 786                     @eq_f @eq_f @eq_f
 787                     >(?:la@(〈d',false〉::lc@〈comma,false〉::rs32)@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0 =
 788                         (la@〈d',false〉::lc)@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0 )
 789                     [| >associative_append normalize >associative_append % ]
 790                     <H3 %
 791                    ]
 792                  ]
 793               ]
 794        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 795          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 796           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 797           whd in ⊢ (%→?); #Htapeout %2 %
 798           [% [//] whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 799           | >(Htapeout … (refl …)) % ]
 800          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 801           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef
 802           whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 803          ]
 804        |(* no marks in table *)
 805         #x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 806         @memb_append_l2
 807         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 808         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 809        |(* no grids in table *)
 810         #x #membx @(no_grids_in_table … Htable)
 811         @memb_append_l2
 812         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 813         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 814        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_or_null_not_grid … Hd') >(bit_or_null_not_bar … Hd') %
 815        ]
 816      ]
 817    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 818     @memb_append_l2 @memb_cons @memb_append_l1 @membx
 819    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 820     @memb_append_l1 @membx
 821    |%
 822    ]
 823  ]
 824 qed.
 825
 826 (*
 827   MATCH TUPLE
 828
 829   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 830   current configuration is found
 831 *)
 832
 833 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
 834
 835 lemma is_grid_true : ∀c.is_grid c = true → c = grid.
 836 * normalize [ #b ] #H // destruct (H)
 837 qed.
 838
 839 (* possible variante ?
 840 definition weakR_match_tuple ≝ λt1,t2.
 841   (∀ls,cur,rs,b. t1 = midtape STape ls 〈grid,b〉 rs → t2 = t1) ∧
 842   (∀c,l1,c1,l2,l3,ls0,rs0,n.
 843   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈bit c,true〉 rs
 844     (l1@〈grid,false〉::l2@〈bit c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0) →
 845   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 846   table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3) →
 847   (* facciamo match *)
 848   (∃l4,newc,mv,l5.
 849    〈c1,false〉::l3 = l4@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5 ∧
 850    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 851         (l2@l4@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5@
 852         〈grid,false〉::rs0))
 853   ∨
 854   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 855      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 856      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 857   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 858    ∀l4,newc,mv,l5.
 859    〈c1,false〉::l3 ≠ l4@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5)).
 860 *)
 861
 862 definition R_match_tuple0 ≝ λt1,t2.
 863   ∀ls,cur,rs.
 864   t1 = midtape STape ls cur rs →
 865   (is_grid (\fst cur) = true → t2 = t1) ∧
 866   (∀c,l1,c1,l2,l3,ls0,rs0,n.
 867   ls = 〈grid,false〉::ls0 →
 868   cur = 〈c,true〉 →
 869   rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0 →
 870   is_bit c = true → is_bit c1 = true →
 871   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 872   table_TM (S n) (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3) →
 873   (* facciamo match *)
 874   (∃l4,newc,mv,l5.
 875    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3 = l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5 ∧
 876    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 877         (l2@l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5@
 878         〈grid,false〉::rs0))
 879   ∨
 880   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 881      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 882      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 883   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 884    ∀l4,newc,mv,l5.
 885    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3 ≠ l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5)).
 886
 887 axiom table_bit_after_bar :
 888   ∀n,l1,c,l2.table_TM n (l1@〈bar,false〉::〈c,false〉::l2) → is_bit c = true.
 889
 890 lemma wsem_match_tuple : WRealize ? match_tuple R_match_tuple0.
 891 #intape #k #outc #Hloop
 892 lapply (sem_while … sem_match_tuple_step intape k outc Hloop) [%] -Hloop
 893 * #ta * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 894 [ #tb whd in ⊢ (%→?); #Hleft
 895   #ls #cur #rs #Htb cases (Hleft … Htb) #Hgrid #Houtc %
 896   [ #_ @Houtc
 897   | #c #l1 #c1 #l2 #l3 #ls0 #rs0 #n #Hls #Hcur #Hrs
 898     >Hcur in Hgrid; #Hgrid >(is_grid_true … Hgrid) normalize in ⊢ (%→?);
 899     #Hc destruct (Hc)
 900   ]
 901 | (* in the interesting case, we execute a true iteration, then we restart the
 902      while cycle, finally we end with a false iteration *)
 903   #tb #tc #td whd in ⊢ (%→?); #Htc
 904   #Hstar1 #IH whd in ⊢ (%→?); #Hright lapply (IH Hright) -IH whd in ⊢ (%→?); #IH
 905   #ls #cur #rs #Htb %
 906   [ (* cur can't be true because we assume at least one iteration *)
 907     #Hcur cases (Htc … Htb) * #Hfalse @False_ind @Hfalse @(is_grid_true … Hcur)
 908   | (* current and a tuple are marked *)
 909    #c #l1 #c1 #l2 #l3 #ls0 #rs0 #n #Hls #Hcur #Hrs #Hc #Hc1 #Hl1bitnull #Hl1marks
 910    #Hl1len #Htable cases (Htc … Htb) -Htc -Htb * #_ #Htc
 911    (* expose the marked tuple in table *)
 912    cut (∃la,lb,mv,lc.l3 = la@〈comma,false〉::lb@〈comma,false〉::mv::lc ∧
 913          S n = |la| ∧ only_bits_or_nulls la)
 914    [@daemon] * #la * #lb * #mv * #lc * * #Hl3 #Hlalen #Hlabitnull
 915    >Hl3 in Htable; >append_cons #Htable
 916    >(?: l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0
 917       = (l2@[〈bar,false〉])@〈c1,true〉::la@〈comma,false〉::(lb@〈comma,false〉::mv::
 918          lc)@〈grid,false〉::rs0) in Hrs;
 919    [| >associative_append normalize >Hl3
 920       >associative_append normalize % ] #Hrs
 921    cases (Htc ????????? Hl1bitnull Hl1marks ?? Hlabitnull Hl1len ? Htable Hls Hcur Hrs)
 922    [5: <Hl1len @Hlalen
 923    |4: whd in ⊢ (??%?); >Hc1 %
 924    |3: whd in ⊢ (??%?); >Hc %
 925    |-Htc *
 926      [ (* case 1: match successful *)
 927        * #Heq #Htc % %{[]} %{lb} %{mv} %{lc} destruct (Heq) %
 928        [%
 929        | cases (IH … Htc) -IH #Houtc #_ >(Houtc (refl ??))
 930          >Htc @eq_f normalize >associative_append normalize
 931          >associative_append normalize %
 932        ]
 933      | (* case 2: tuples don't match, we still have other tuples to try *)
 934        * #Hdiff * #c2 * #l5 * #l6 * #Heqlblc #Htc
 935        cases (IH ??? … Htc) -IH #_ #IH
 936        (* by induction hypothesis *)
 937        lapply (IH ? l1 c2 (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5) l6 ? rs0 n (refl ??) (refl ??) ???????)
 938        [ generalize in match Htable;
 939          >associative_append normalize
 940          >associative_append normalize >Heqlblc
 941          >associative_append normalize //
 942        | @Hl1len
 943        | @Hl1marks
 944        | @Hl1bitnull
 945        | (*???*) @daemon
 946        | @Hc
 947        | >associative_append normalize
 948          >associative_append normalize
 949          >associative_append %
 950        |-IH *
 951          [ (* the while finally matches a tuple *)
 952            * #l7 * #newc * #mv0 * #l8 * #Hl7l8 #Houtc %
 953            >Heqlblc @(ex_intro ?? (〈bar,false〉::〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5@l7))
 954            %{newc} %{mv0} %{l8} %
 955            [ normalize >Hl7l8 >associative_append normalize
 956              >associative_append %
 957            | >Houtc @eq_f >associative_append normalize
 958              >associative_append normalize >associative_append
 959              normalize >associative_append %
 960            ]
 961          | (* the while fails finding a tuple: there are no matches in the whole table *)
 962            * #Houtc #Hdiff1 %2 %
 963            [ @Houtc
 964            | #l50 #newc #mv0 #l51 >Heqlblc
 965              @daemon
 966            ]
 967          ]
 968        ]
 969      ]
 970    | (* match failed and there is no next tuple: the next while cycle will just exit *)
 971      * * #Hdiff #Hnobars generalize in match (refl ? tc);
 972      cases tc in ⊢ (???% → %);
 973      [ #_ normalize in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 974      |2,3: #x #xs #_ normalize in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 975      #ls1 #cur1 #rs1 #Htc normalize in ⊢ (??%?→?); #Hcur1
 976      cases (IH … Htc) -IH #IH #_ %2 %
 977      [ destruct (Hcur1) >IH [ >Htc % | % ]
 978      | #l4 #newc #mv0 #l5
 979        (* no_bars except the first one, where the tuple does not match ⇒
 980           no match *)
 981         @daemon
 982      ]
 983    ]
 984  ]
 985 qed.
 986
 987 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 988   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 989   is_bit c = true → is_bit c1 = true →
 990   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 991   table_TM (S n) (〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2) →
 992   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 993          (l1@〈grid,false〉::〈bar,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 994   (* facciamo match *)
 995   (∃l3,newc,mv,l4.
 996    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2 = l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4 ∧
 997    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 998         (l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4@〈grid,false〉::rs))
 999   ∨
1000   (* non facciamo match su nessuna tupla;
1001      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
1002      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
1003   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
1004    ∀l3,newc,mv,l4.
1005    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4).
1006
1007 (* we still haven't proved termination *)
1008 axiom sem_match_tuple0 : Realize ? match_tuple R_match_tuple0.
1009
1010 axiom Realize_to_Realize :
1011   ∀alpha,M,R1,R2.(∀t1,t2.R1 t1 t2 → R2 t1 t2) → Realize alpha M R1 → Realize alpha M R2.
1012
1013 lemma sem_match_tuple : Realize ? match_tuple R_match_tuple.
1014 generalize in match sem_match_tuple0; @Realize_to_Realize
1015 #t1 #t2 #HR #ls #c #l1 #c1 #l2 #rs #n #Hc #Hc1 #Hl1bitsnulls #Hl1marks #Hl1len #Htable #Ht1
1016 cases (HR … Ht1) -HR #_ #HR
1017 @(HR ??? [] … (refl ??) (refl ??) (refl ??) Hc Hc1 Hl1bitsnulls Hl1marks
1018           Hl1len  Htable)
1019 qed.