matita/matita/lib/turing/universal/tuples.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/marks.ma".
  18
  19 definition STape ≝ FinProd … FSUnialpha FinBool.
  20
  21 definition only_bits ≝ λl.
  22   ∀c.memb STape c l = true → is_bit (\fst c) = true.
  23
  24 definition no_grids ≝ λl.
  25   ∀c.memb STape c l = true → is_grid (\fst c) = false.
  26
  27 definition no_bars ≝ λl.
  28   ∀c.memb STape c l = true → is_bar (\fst c) = false.
  29
  30 definition no_marks ≝ λl.
  31   ∀c.memb STape c l = true → is_marked ? c = false.
  32
  33 definition tuple_TM : nat → list STape → Prop ≝
  34  λn,t.∃qin,qout,mv,b1,b2.
  35  only_bits qin ∧ only_bits qout ∧ only_bits mv ∧
  36  |qin| = n ∧ |qout| = n (* ∧ |mv| = ? *) ∧
  37  t = qin@〈comma,b1〉::qout@〈comma,b2〉::mv.
  38
  39 inductive table_TM : nat → list STape → Prop ≝
  40 | ttm_nil  : ∀n.table_TM n []
  41 | ttm_cons : ∀n,t1,T,b.tuple_TM n t1 → table_TM n T → table_TM n (t1@〈bar,b〉::T).
  42
  43 axiom no_grids_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_grids l.
  44 (*
  45 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
  46    ^                               ^
  47
  48 if current (* x *) = #
  49    then
  50    else if x = 0
  51       then move_right; ----
  52            adv_to_mark_r;
  53            if current (* x0 *) = 0
  54               then advance_mark ----
  55                    adv_to_mark_l;
  56                    advance_mark
  57               else STOP
  58       else x = 1 (* analogo *)
  59
  60 *)
  61
  62
  63 (*
  64    MARK NEXT TUPLE machine
  65    (partially axiomatized)
  66
  67    marks the first character after the first bar (rightwards)
  68  *)
  69
  70 definition bar_or_grid ≝ λc:STape.is_bar (\fst c) ∨ is_grid (\fst c).
  71
  72 definition mark_next_tuple ≝
  73   seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
  74      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
  75        (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1).
  76
  77 definition R_mark_next_tuple ≝
  78   λt1,t2.
  79     ∀ls,c,rs1,rs2.
  80     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
  81     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
  82     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
  83     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
  84       no_bars rs3 ∧
  85       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
  86       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
  87     ∨
  88     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
  89
  90 axiom tech_split :
  91   ∀A:DeqSet.∀f,l.
  92    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
  93    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
  94 (*#A #f #l elim l
  95 [ % #x normalize #Hfalse *)
  96
  97 theorem sem_mark_next_tuple :
  98   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
  99 #intape
 100 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 101          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1) ????)
 102 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
 103 | //
 104 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
 105    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
 106    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
 107    -Hloop
 108    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
 109    cases (Hleft … Hrs)
 110    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
 111    | * #_ #Hta cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
 112      [ #H1 lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
 113        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
 114        | %
 115        | -Hta #Hta cases Hright
 116          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 117            @False_ind cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 118            [ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 119            | >Hta % ]
 120          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 121            cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 122            [  #_ #Htb whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 123              %2 %
 124              [ @H1
 125              | >Houtc >Htb >Hta % ]
 126            | >Hta % ]
 127          ]
 128        ]
 129     | * #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
 130       % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
 131      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
 132      [ #x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
 133        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 134        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 135      | whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 136      | >Hsplit >associative_append % ] -Hta #Hta
 137        cases Hright
 138        [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 139          whd in ⊢ (%→?); #Htb
 140          cases (Hta' c0 ?)
 141          [ #_ #Htb' >Htb' in Htb; #Htb
 142            generalize in match Hsplit; -Hsplit
 143            cases rs4 in Hta;
 144            [ #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 145              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 146              [ @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false)
 147                % [ % [ %
 148                [(* Hsplit *) @daemon |(*Hrs3*) @daemon ] | % ] | % ]
 149                | (* Hc0 *) @daemon ]
 150            | #r5 #rs5 >(eq_pair_fst_snd … r5)
 151              #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 152              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 153              [ @(ex_intro ?? (\fst r5)) @(ex_intro ?? (\snd r5))
 154                % [ % [ % [ (* Hc0, Hsplit *) @daemon | (*Hrs3*) @daemon ] | % ]
 155                      | % ] | (* Hc0 *) @daemon ] ] | >Hta % ]
 156              | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 157                whd in ⊢ (%→?); #Htb
 158                cases (Hta' c0 ?)
 159                [ #Hfalse @False_ind >Hfalse in Hc0;
 160                  #Hc0 destruct (Hc0)
 161                | >Hta % ]
 162 ]]]]
 163 qed.
 164
 165 definition init_current ≝
 166   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 167     (seq ? (clear_mark ?)
 168        (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 169           (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 170
 171 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 172   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 173   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 174   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 175   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 176         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 177
 178 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 179 #intape
 180 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 181         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 182            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 183              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 184 #k * #outc * #Hloop #HR
 185 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 186 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 187 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 188 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 189 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 190 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 191 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 192 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 193 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 194 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 195 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 196 >reverse_append >reverse_cons
 197 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 198 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 199   #Htd >(Houtc … Htd) %
 200 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 201   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 202   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 203   >associative_append >associative_append %
 204 ]
 205 qed.
 206
 207 definition match_tuple_step ≝
 208   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 209    (single_finalTM ?
 210      (seq ? compare
 211       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 212         (nop ?)
 213         (seq ? mark_next_tuple
 214            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 215              (mark ?) (seq ? (move_l ?) init_current) tc_true)) tc_true)))
 216     (nop ?) tc_true.
 217
 218 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 219   ∀ls,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs,n.
 220   is_bit c = true → only_bits l1 → no_grids l2 → is_bit c1 = true →
 221   only_bits l3 → n = |l1| → |l1| = |l3| →
 222   table_TM (S n) (〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 223   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 224          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs) →
 225   (* facciamo match *)
 226   (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 227   t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 228         (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs))
 229   ∨
 230   (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 231   ((〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 232    ∃c2,l5,l6,l7.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6@〈comma,false〉::l7 ∧
 233    (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 234    t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 235          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::
 236           l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈comma,false〉::l7))
 237   ∨
 238   (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 239      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 240      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 241   (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 242
 243 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 244   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 245
 246 include alias "basics/logic.ma".
 247
 248 (*
 249 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 250   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 251     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 252 //
 253 qed-. *)
 254
 255 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 256   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 257 #A #l #a cases l normalize /2/
 258 qed.
 259
 260 lemma bit_not_grid: ∀d. is_bit d = true → is_grid d = false.
 261 * // normalize #H destruct
 262 qed.
 263
 264 lemma bit_not_bar: ∀d. is_bit d = true → is_bar d = false.
 265 * // normalize #H destruct
 266 qed.
 267
 268 lemma sem_match_tuple_step:
 269     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0)))
 270     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 271 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 272   (sem_seq … sem_compare
 273     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 274       (sem_nop …)
 275         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 276            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 277              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 278   (sem_nop ?) …)
 279 [(* is_grid: termination case *)
 280  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1
 281   cases (H c ?) [2: >Ht1 %] #Hgrid #Heq %
 282     [@injective_notb @Hgrid | <Heq @H1]
 283 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Htapea
 284  * #tapec * #Hcompare #Hor
 285  #ls #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs #n #Hc #Hl1 #Hl2 #Hc1 #Hl3 #eqn
 286  #eqlen #Htable #Htapea1 cases (Htapea 〈c,true〉 ?) >Htapea1 [2:%]
 287  #notgridc -Htapea -Htapea1 -tapea #Htapeb
 288  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 289  cases (Hcompare c c1 l1 l3 (l2@[〈bar,false〉]) (l4@〈grid,false〉::rs) eqlen Hl1 … (refl …) Hc ?)
 290  -Hcompare
 291    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % [%]
 292     >Htapec in Hor; -Htapec *
 293      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 294       cases (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 295      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #Htaped cases (Htaped ? (refl …)) -Htaped *
 296       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped >associative_append
 297       %
 298      ]
 299    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 300     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 301       [>H2 >H3 elim la
 302         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 303         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 304         ]
 305       ] #Hnoteq %2
 306     cut (is_bit d' = true)
 307       [cases la in H3;
 308         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 309         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 310          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 311         ]
 312       ] #Hd'
 313     >Htapec in Hor; -Htapec *
 314      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 315       cases (H … (refl …)) >(bit_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 316      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H cases (H … (refl …)) -H #_
 317       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 318       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 319       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 320        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 321          [(* rs4 is empty *)
 322           * #d * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 323           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 324           #Htapee *
 325            [* #tapef * whd in ⊢ (%→?); >Htapee -Htapee #Htapef
 326             cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 327             whd in ⊢ (%→?); #H lapply (H … ???? (refl …)) #Htapeout
 328             %2 %
 329              [% [@Hnoteq |@daemon]
 330              |>Htapeout %
 331              ]
 332            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); >Htapee -Htapee #Htapef
 333             cases (Htapef … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 334            ]
 335          |(* rs4 not empty *)
 336           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 337           cut (is_grid d2 = false) [@daemon (* no grids in table *)] #Hd2
 338           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 339            [* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 340             cases (Htapef … (refl …)) >Hd2 #Htemp destruct (Htemp)
 341            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 342             cases (Htapef … (refl …)) #_ -Htapef #Htapef
 343             * #tapeg >Htapef -Htapef * whd in ⊢ (%→?);
 344             #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 345             >Htapeg -Htapeg whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 346             %1 cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 347             * #c00 #b00 #Hoption
 348             lapply
 349              (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? (l2@[〈bar,false〉])@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 350              c' (reverse ? la) false ls bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs) c00 b00 ?????) -Htapeout
 351               [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 352                >associative_append
 353                generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls); #l
 354                whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 355               |>reverse_cons @Hoption
 356               |cases la in H2;
 357                 [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 358                  @injective_notb @notgridc
 359                 |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 360                  @bit_not_grid @(Hl1 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 361                 ]
 362               |cut (only_bits (la@(〈c',false〉::lb)))
 363                 [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 364                   [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1]
 365                 |#Hl1' #x #Hx @bit_not_grid @Hl1'
 366                  @memb_append_l1 @daemon
 367                 ]
 368               |@daemon
 369               |@daemon
 370               ]
 371            ]
 372          ]
 373        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 374          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 375           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 376           whd in ⊢ (%→?); #Htapeout %2
 377           >(Htapeout … (refl …)) %
 378            [ %
 379              [ @Hnoteq
 380              | whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 381              ]
 382            | %
 383            ]
 384          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 385           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef
 386           whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 387          ]
 388        |@daemon (* no marks in table *)
 389        |(* no grids in table *)
 390         #x #Hx cases (memb_append … Hx)
 391          [-Hx #Hx @bit_not_grid @Hl3 cases la in H3; normalize
 392            [#H3 destruct (H3) @Hx | #y #tl #H3 destruct (H3)
 393             @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ]
 394          |-Hx #Hx @(no_grids_in_table … Htable)
 395           @memb_cons @memb_append_l2 @Hx
 396          ]
 397        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_not_grid … Hd') >(bit_not_bar … Hd') %
 398        ]
 399      ]
 400    |@Hl3
 401    |@daemon
 402    |@daemon
 403    |@daemon
 404    |>associative_append %
 405    ]
 406  ]
 407 qed.
 408
 409