matita/matita/lib/turing/universal/tuples.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/marks.ma".
  18
  19 definition STape ≝ FinProd … FSUnialpha FinBool.
  20
  21 definition only_bits ≝ λl.
  22   ∀c.memb STape c l = true → is_bit (\fst c) = true.
  23
  24 definition only_bits_or_nulls ≝ λl.
  25   ∀c.memb STape c l = true → bit_or_null (\fst c) = true.
  26
  27 definition no_grids ≝ λl.
  28   ∀c.memb STape c l = true → is_grid (\fst c) = false.
  29
  30 definition no_bars ≝ λl.
  31   ∀c.memb STape c l = true → is_bar (\fst c) = false.
  32
  33 definition no_marks ≝ λl.
  34   ∀c.memb STape c l = true → is_marked ? c = false.
  35
  36 lemma bit_not_grid: ∀d. is_bit d = true → is_grid d = false.
  37 * // normalize #H destruct
  38 qed.
  39
  40 lemma bit_or_null_not_grid: ∀d. bit_or_null d = true → is_grid d = false.
  41 * // normalize #H destruct
  42 qed.
  43
  44 lemma bit_not_bar: ∀d. is_bit d = true → is_bar d = false.
  45 * // normalize #H destruct
  46 qed.
  47
  48 lemma bit_or_null_not_bar: ∀d. bit_or_null d = true → is_bar d = false.
  49 * // normalize #H destruct
  50 qed.
  51
  52 (* by definition, a tuple is not marked *)
  53 definition tuple_TM : nat → list STape → Prop ≝
  54  λn,t.∃qin,qout,mv.
  55  no_marks t ∧
  56  only_bits_or_nulls qin ∧ only_bits_or_nulls qout ∧ bit_or_null mv = true ∧
  57  |qin| = n ∧ |qout| = n (* ∧ |mv| = ? *) ∧
  58  t = qin@〈comma,false〉::qout@〈comma,false〉::[〈mv,false〉].
  59
  60 inductive table_TM : nat → list STape → Prop ≝
  61 | ttm_nil  : ∀n.table_TM n []
  62 | ttm_cons : ∀n,t1,T.tuple_TM n t1 → table_TM n T → table_TM n (t1@〈bar,false〉::T).
  63
  64 lemma no_grids_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_grids l.
  65 #n #l #t elim t
  66   [normalize #n #x #H destruct
  67   |#m #t1 #t2 * #qin * #qout * #mv * * * * * *
  68    #Hmarks #Hqin #Hqout #Hmv  #_ #_ #Heq #Ht2 #Hind
  69    whd >Heq #x #membx
  70    cases (memb_append … membx) -membx #membx
  71     [cases (memb_append … membx) -membx #membx
  72       [@bit_or_null_not_grid @Hqin //
  73       |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
  74         [>(\P membx) //
  75         |cases (memb_append … membx) -membx #membx
  76           [@bit_or_null_not_grid @Hqout //
  77           |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
  78             [>(\P membx) //
  79             |@bit_or_null_not_grid >(memb_single … membx) @Hmv
  80             ]
  81           ]
  82         ]
  83       ]
  84     |cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
  85       [>(\P membx) //
  86       |@Hind //
  87       ]
  88     ]
  89   ]
  90 qed.
  91
  92 lemma no_marks_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_marks l.
  93 #n #l #t elim t
  94   [normalize #n #x #H destruct
  95   |#m #t1 #t2 * #qin * #qout * #mv * * * * * *
  96    #Hmarks #_ #_ #_ #_ #_ #_ #Ht2 #Hind
  97    #x #Hx cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
  98     [@Hmarks //
  99     |cases (orb_true_l … Hx) -Hx #Hx
 100       [>(\P Hx) //
 101       |@Hind //
 102       ]
 103     ]
 104   ]
 105 qed.
 106
 107 axiom last_of_table: ∀n,l,b.¬ table_TM n (l@[〈bar,b〉]).
 108
 109 (*
 110 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
 111    ^                               ^
 112
 113 if current (* x *) = #
 114    then
 115    else if x = 0
 116       then move_right; ----
 117            adv_to_mark_r;
 118            if current (* x0 *) = 0
 119               then advance_mark ----
 120                    adv_to_mark_l;
 121                    advance_mark
 122               else STOP
 123       else x = 1 (* analogo *)
 124
 125 *)
 126
 127
 128 (*
 129    MARK NEXT TUPLE machine
 130    (partially axiomatized)
 131
 132    marks the first character after the first bar (rightwards)
 133  *)
 134
 135 definition bar_or_grid ≝ λc:STape.is_bar (\fst c) ∨ is_grid (\fst c).
 136
 137 definition mark_next_tuple ≝
 138   seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 139      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
 140        (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1).
 141
 142 definition R_mark_next_tuple ≝
 143   λt1,t2.
 144     ∀ls,c,rs1,rs2.
 145     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
 146     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
 147     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
 148     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
 149       no_bars rs3 ∧
 150       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
 151       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
 152     ∨
 153     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
 154
 155 axiom tech_split :
 156   ∀A:DeqSet.∀f,l.
 157    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
 158    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
 159 (*#A #f #l elim l
 160 [ % #x normalize #Hfalse *)
 161
 162 theorem sem_mark_next_tuple :
 163   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
 164 #intape
 165 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 166          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) 1) ????)
 167 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
 168 | //
 169 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
 170    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
 171    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
 172    -Hloop
 173    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
 174    cases (Hleft … Hrs)
 175    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
 176    | * #_ #Hta cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
 177      [ #H1 lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
 178        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
 179        | %
 180        | -Hta #Hta cases Hright
 181          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 182            @False_ind cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 183            [ normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 184            | >Hta % ]
 185          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 186            cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 187            [  #_ #Htb whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 188              %2 %
 189              [ @H1
 190              | >Houtc >Htb >Hta % ]
 191            | >Hta % ]
 192          ]
 193        ]
 194     | * #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
 195       % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
 196      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
 197      [ #x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
 198        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 199        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 200      | whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 201      | >Hsplit >associative_append % ] -Hta #Hta
 202        cases Hright
 203        [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 204          whd in ⊢ (%→?); #Htb
 205          cases (Hta' c0 ?)
 206          [ #_ #Htb' >Htb' in Htb; #Htb
 207            generalize in match Hsplit; -Hsplit
 208            cases rs4 in Hta;
 209            [ #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 210              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 211              [ @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false)
 212                % [ % [ %
 213                [(* Hsplit *) @daemon |(*Hrs3*) @daemon ] | % ] | % ]
 214                | (* Hc0 *) @daemon ]
 215            | #r5 #rs5 >(eq_pair_fst_snd … r5)
 216              #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 217              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 218              [ @(ex_intro ?? (\fst r5)) @(ex_intro ?? (\snd r5))
 219                % [ % [ % [ (* Hc0, Hsplit *) @daemon | (*Hrs3*) @daemon ] | % ]
 220                      | % ] | (* Hc0 *) @daemon ] ] | >Hta % ]
 221              | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 222                whd in ⊢ (%→?); #Htb
 223                cases (Hta' c0 ?)
 224                [ #Hfalse @False_ind >Hfalse in Hc0;
 225                  #Hc0 destruct (Hc0)
 226                | >Hta % ]
 227 ]]]]
 228 qed.
 229
 230 definition init_current_on_match ≝
 231   (seq ? (move_l ?)
 232     (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 233       (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 234
 235 definition R_init_current_on_match ≝ λt1,t2.
 236   ∀l1,l2,c,rs. no_grids l1 → is_grid c = false →
 237   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::l2)  〈grid,false〉 rs →
 238   t2 = midtape STape (〈grid,false〉::l2) 〈c,true〉 ((reverse ? l1)@〈grid,false〉::rs).
 239
 240 lemma sem_init_current_on_match :
 241   Realize ? init_current_on_match R_init_current_on_match.
 242 #intape
 243 cases (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 244         (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 245            (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))) intape)
 246 #k * #outc * #Hloop #HR
 247 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 248 #l1 #l2 #c #rs #Hl1 #Hc #Hintape
 249 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 250 generalize in match Hl1; cases l1
 251   [#Hl1 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 252    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Hta
 253     [* >Hc #Htemp destruct (Htemp) ]
 254    * #_ #Htc lapply (Htc [ ] 〈grid,false〉 ? (refl ??) (refl …) Hl1)
 255    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); -Htc #Htc
 256    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htc -Htd
 257    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htd
 258    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htd) -Houtc #Houtc
 259    >Houtc %
 260   |#d #tl #Htl whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 261    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Htb
 262     [* >(Htl … (memb_hd …)) #Htemp destruct (Htemp)]
 263    * #Hd >append_cons #Htb lapply (Htb … (refl ??) (refl …) ?)
 264     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 265       [@Htl @memb_cons @membx | >(memb_single … membx) @Hc]]-Htb  #Htb
 266    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc
 267    >reverse_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 268    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc #Houtc
 269    >Houtc >reverse_cons >associative_append %
 270   ]
 271 qed.
 272
 273 (*
 274 definition init_current_gen ≝
 275   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 276     (seq ? (clear_mark ?)
 277        (seq ? (move_l ?)
 278          (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 279             (seq ? (move_r ?) (mark ?))))).
 280
 281 definition R_init_current_gen ≝ λt1,t2.
 282   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 →
 283   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 284   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 285   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 286         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 287
 288 lemma sem_init_current_gen : Realize ? init_current_gen R_init_current_gen.
 289 #intape
 290 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 291         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 292           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 293             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 294               (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))))) intape)
 295 #k * #outc * #Hloop #HR
 296 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 297 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hintape
 298 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta cases (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 299   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 300 * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%] -Hta #Hta
 301 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb -Hta #Htb
 302 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 303 generalize in match Hc; generalize in match Hl2; cases l2
 304   [#_ whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 305    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 306    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 307     [2: * whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp) ]
 308    * #_ #Htd >Htd in Htc; -Htd #Htd
 309    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 310    >reverse_append >reverse_cons
 311    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 312    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 313    >Houtc %
 314   |#d #tl #Htl #Hc0 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 315    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 316     [* >(Htl … (memb_hd …)) whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 317    * #Hd #Htd lapply (Htd … (refl ??) (refl ??) ?)
 318     [#x #membx @Htl @memb_cons @membx] -Htd #Htd
 319    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 320    >reverse_append >reverse_cons >reverse_cons
 321    >reverse_cons in Hc0; >reverse_cons cases (reverse ? tl)
 322      [normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0) #Hte
 323       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 324       >Houtc %
 325      |* #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 326       whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 327       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 328       >Houtc >associative_append >associative_append >associative_append %
 329      ]
 330    ]
 331 qed.
 332 *)
 333 definition init_current ≝
 334   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 335     (seq ? (clear_mark ?)
 336        (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 337           (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 338
 339 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 340   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 341   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 342   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 343   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 344         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 345
 346 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 347 #intape
 348 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 349         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 350            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 351              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 352 #k * #outc * #Hloop #HR
 353 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 354 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 355 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 356 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 357 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 358 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 359 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 360 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 361 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 362 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 363 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 364 >reverse_append >reverse_cons
 365 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 366 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 367   #Htd >(Houtc … Htd) %
 368 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 369   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 370   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 371   >associative_append >associative_append %
 372 ]
 373 qed.
 374
 375 definition match_tuple_step ≝
 376   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 377    (single_finalTM ?
 378      (seq ? compare
 379       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 380         (nop ?)
 381         (seq ? mark_next_tuple
 382            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 383              (mark ?) (seq ? (move_l ?) init_current) tc_true)) tc_true)))
 384     (nop ?) tc_true.
 385
 386 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 387   ∀ls,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs,n.
 388   bit_or_null c = true → only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) → bit_or_null c1 = true →
 389   only_bits_or_nulls l3 → n = |l1| → |l1| = |l3| →
 390   table_TM (S n) (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 391   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 392          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs) →
 393   (* facciamo match *)
 394   (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 395   t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 396         (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs))
 397   ∨
 398   (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 399   ((〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 400    ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
 401    (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 402    t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 403          (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
 404           l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs))
 405   ∨
 406   (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 407      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 408      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 409   (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 410
 411 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 412   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 413
 414 include alias "basics/logic.ma".
 415
 416 (*
 417 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 418   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 419     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 420 //
 421 qed-. *)
 422
 423 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 424   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 425 #A #l #a cases l normalize /2/
 426 qed.
 427
 428 axiom tech_split2 : ∀A,l1,l2,l3,l4,x.
 429   memb A x l1 = false → memb ? x l3 = false →
 430   l1@x::l2 = l3@x::l4 → l1 = l3 ∧ l2 = l4.
 431
 432 axiom injective_append : ∀A,l.injective … (λx.append A x l).
 433
 434 lemma sem_match_tuple_step:
 435     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0)))
 436     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 437 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 438   (sem_seq … sem_compare
 439     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 440       (sem_nop …)
 441         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 442            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 443              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 444   (sem_nop ?) …)
 445 [(* is_grid: termination case *)
 446  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1
 447   cases (H c ?) [2: >Ht1 %] #Hgrid #Heq %
 448     [@injective_notb @Hgrid | <Heq @H1]
 449 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Htapea
 450  * #tapec * #Hcompare #Hor
 451  #ls #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs #n #Hc #Hl1bars #Hl1marks #Hc1 #Hl3 #eqn
 452  #eqlen #Htable #Htapea1 cases (Htapea 〈c,true〉 ?) >Htapea1 [2:%]
 453  #notgridc -Htapea -Htapea1 -tapea #Htapeb
 454  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 455  cases (Hcompare c c1 l1 l3 (l2@[〈bar,false〉]) (l4@〈grid,false〉::rs) eqlen Hl1bars Hl3 Hl1marks … (refl …) Hc ?)
 456  -Hcompare
 457    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % [%]
 458     >Htapec in Hor; -Htapec *
 459      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 460       cases (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 461      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #Htaped cases (Htaped ? (refl …)) -Htaped *
 462       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped >associative_append
 463       %
 464      ]
 465    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 466     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 467       [>H2 >H3 elim la
 468         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 469         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 470         ]
 471       ] #Hnoteq %2
 472     cut (bit_or_null d' = true)
 473       [cases la in H3;
 474         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 475         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 476          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 477         ]
 478       ] #Hd'
 479     >Htapec in Hor; -Htapec *
 480      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 481       cases (H … (refl …)) >(bit_or_null_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 482      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H cases (H … (refl …)) -H #_
 483       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 484       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 485       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 486        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 487          [(* rs4 is empty : the case is absurd since the tape
 488             cannot end with a bar *)
 489           * #d * #b * * * #Heq1 @False_ind
 490           cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 491           >Hcut in Htable; >H3 >associative_append
 492           normalize >Heq1 >Hcut <associative_append >Hcut
 493           <associative_append #Htable @(absurd … Htable)
 494           @last_of_table
 495          |(* rs4 not empty *)
 496           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 497           cut (memb STape 〈d2,b2〉 (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) = true)
 498             [@memb_append_l2 @memb_cons
 499              cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 500              >Hcut >H3 >associative_append @memb_append_l2
 501              @memb_cons >Heq1 @memb_append_l2 @memb_cons @memb_hd] #d2intable
 502           cut (is_grid d2 = false)
 503             [@(no_grids_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hd2
 504           cut (b2 = false)
 505             [@(no_marks_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hb2
 506           >Hb2 in Heq1; #Heq1 -Hb2 -b2
 507           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 508            [(* we know current is not grid *)
 509             * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 510             cases (Htapef … (refl …)) >Hd2 #Htemp destruct (Htemp)
 511            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 512             cases (Htapef … (refl …)) #_ -Htapef #Htapef
 513             * #tapeg >Htapef -Htapef *
 514             (* move_l *)
 515             whd in ⊢ (%→?);
 516             #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 517             >Htapeg -Htapeg
 518             (* init_current *)
 519              whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 520             %1 cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 521             * #c00 #b00 #Hoption
 522             lapply
 523              (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? (l2@[〈bar,false〉])@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 524              c' (reverse ? la) false ls bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs) c00 b00 ?????) -Htapeout
 525               [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 526                >associative_append
 527                generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls); #l
 528                whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 529               |>reverse_cons @Hoption
 530               |cases la in H2;
 531                 [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 532                  @injective_notb @notgridc
 533                 |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 534                  @bit_or_null_not_grid @(Hl1bars 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 535                 ]
 536               |cut (only_bits_or_nulls (la@(〈c',false〉::lb)))
 537                 [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 538                   [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1bars]
 539                 |#Hl1' #x #Hx @bit_or_null_not_grid @Hl1'
 540                  @memb_append_l1 @daemon
 541                 ]
 542               |@daemon
 543               |>reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse
 544                >reverse_append >reverse_reverse
 545                >reverse_cons >reverse_append >reverse_reverse
 546                >reverse_append >reverse_cons >reverse_reverse
 547                >reverse_reverse
 548                #Htapeout % [@Hnoteq]
 549                @(ex_intro … d2)
 550                cut (∃rs32.rs3 = lc@〈comma,false〉::rs32)
 551                [ (*cases (tech_split STape (λc.c == 〈bar,false〉) l4)
 552                  [
 553                  | * #l41 * * #cbar #bfalse * #l42 * * #Hbar #Hl4 #Hl41
 554                    @(ex_intro ?? l41) >Hl4 in Heq1; #Heq1
 555
 556                cut (sublist … lc l3)
 557                  [ #x #Hx cases la in H3;
 558                    [ normalize #H3 destruct (H3) @Hx
 559                    | #p #la' normalize #Hla' destruct (Hla')
 560                      @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ] ] #Hsublist*)
 561                @daemon]
 562                * #rs32 #Hrs3
 563                (* cut
 564                (〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4= la@〈d',false〉::rs3@〈bar,false〉::〈d2,b2〉::rs3')
 565                [@daemon] #Hcut *)
 566                cut (l4=rs32@〈bar,false〉::〈d2,false〉::rs3')
 567                [ >Hrs3 in Heq1; @daemon ] #Hl4
 568                @(ex_intro … rs32) @(ex_intro … rs3') %
 569                  [@Hl4
 570                  |>Htapeout @eq_f2
 571                    [@daemon
 572                    |(*>Hrs3 *)>append_cons
 573                     > (?:l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs
 574                         = (l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@[〈bar,false〉])@〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs)
 575                     [|>associative_append normalize
 576                       >associative_append normalize
 577                       >associative_append normalize
 578                       >associative_append normalize
 579                        % ]
 580                     @eq_f2 [|%]
 581                     @(injective_append … (〈d2,false〉::rs3'))
 582                     >(?:(la@[〈c',false〉])@((((lb@[〈grid,false〉])@l2@[〈bar,false〉])@la)@[〈d',false〉])@rs3
 583                        =((la@〈c',false〉::lb)@([〈grid,false〉]@l2@[〈bar,false〉]@la@[〈d',false〉]@rs3)))
 584                     [|>associative_append >associative_append
 585                       >associative_append >associative_append >associative_append
 586                       >associative_append >associative_append % ]
 587                     <H2 normalize (* <Hrs3 *)
 588                     >associative_append >associative_append >associative_append
 589                     @eq_f normalize @eq_f >associative_append
 590                     >associative_append @eq_f normalize @eq_f
 591                     >(append_cons ? 〈d',false〉) >associative_append
 592                     <Heq1 >Hl4 <associative_append <append_cons
 593                     <H3
 594                     >associative_append normalize
 595                     >associative_append normalize %
 596                    ]
 597                  ]
 598               ]
 599            ]
 600          ]
 601        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 602          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 603           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 604           whd in ⊢ (%→?); #Htapeout %2
 605           >(Htapeout … (refl …)) %
 606            [ %
 607              [ @Hnoteq
 608              | whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 609              ]
 610            | %
 611            ]
 612          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 613           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef
 614           whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 615          ]
 616        |(* no marks in table *)
 617         #x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 618         @memb_append_l2 @memb_cons
 619         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 620         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 621        |(* no grids in table *)
 622         #x #membx @(no_grids_in_table … Htable)
 623         @memb_append_l2 @memb_cons
 624         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 625         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 626        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_or_null_not_grid … Hd') >(bit_or_null_not_bar … Hd') %
 627        ]
 628      ]
 629    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 630     @memb_append_l2 @memb_cons @memb_cons @memb_append_l1 @membx
 631    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 632     cases (memb_append … membx) -membx #membx
 633      [@memb_append_l1 @membx | @memb_append_l2 >(memb_single … membx) @memb_hd]
 634    |>associative_append %
 635    ]
 636  ]
 637 qed.
 638
 639
 640 (*
 641   MATCH TUPLE
 642
 643   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 644   current configuration is found
 645 *)
 646
 647 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … 0))).
 648
 649 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 650   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 651   is_bit c = true → only_bits_or_nulls l1 → is_bit c1 = true → n = |l1| →
 652   table_TM (S n) (〈c1,false〉::l2) →
 653   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 654          (l1@〈grid,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 655   (* facciamo match *)
 656   (∃l3,newc,mv,l4.
 657    〈c1,false〉::l2 = l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4 ∧
 658    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 659         (l3@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4@〈grid,false〉::rs))
 660   ∨
 661   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 662      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 663      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 664   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 665    ∀l3,newc,mv,l4.
 666    〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l4).