matita/matita/lib/turing/universal/tuples.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/marks.ma".
  18
  19 definition STape ≝ FinProd … FSUnialpha FinBool.
  20
  21 definition only_bits ≝ λl.
  22   ∀c.memb STape c l = true → is_bit (\fst c) = true.
  23
  24 definition only_bits_or_nulls ≝ λl.
  25   ∀c.memb STape c l = true → bit_or_null (\fst c) = true.
  26
  27 definition no_grids ≝ λl.
  28   ∀c.memb STape c l = true → is_grid (\fst c) = false.
  29
  30 definition no_bars ≝ λl.
  31   ∀c.memb STape c l = true → is_bar (\fst c) = false.
  32
  33 definition no_marks ≝ λl.
  34   ∀c.memb STape c l = true → is_marked ? c = false.
  35
  36 lemma bit_not_grid: ∀d. is_bit d = true → is_grid d = false.
  37 * // normalize #H destruct
  38 qed.
  39
  40 lemma bit_or_null_not_grid: ∀d. bit_or_null d = true → is_grid d = false.
  41 * // normalize #H destruct
  42 qed.
  43
  44 lemma bit_not_bar: ∀d. is_bit d = true → is_bar d = false.
  45 * // normalize #H destruct
  46 qed.
  47
  48 lemma bit_or_null_not_bar: ∀d. bit_or_null d = true → is_bar d = false.
  49 * // normalize #H destruct
  50 qed.
  51
  52 definition mk_tuple ≝ λqin,cin,qout,cout,mv.
  53   〈bar,false〉 :: qin @ cin :: 〈comma,false〉:: qout @ cout :: 〈comma,false〉 :: [mv].
  54
  55 (* by definition, a tuple is not marked *)
  56 definition tuple_TM : nat → list STape → Prop ≝
  57  λn,t.∃qin,cin,qout,cout,mv.
  58  no_marks qin ∧ no_marks qout ∧
  59  only_bits qin ∧ only_bits qout ∧
  60  bit_or_null cin = true ∧ bit_or_null cout = true ∧ bit_or_null mv = true ∧
  61  (cout = null → mv = null) ∧
  62  |qin| = n ∧ |qout| = n ∧
  63  t = mk_tuple qin 〈cin,false〉 qout 〈cout,false〉 〈mv,false〉.
  64
  65 inductive table_TM (n:nat) : list STape → Prop ≝
  66 | ttm_nil  : table_TM n []
  67 | ttm_cons : ∀t1,T.tuple_TM n t1 → table_TM n T → table_TM n (t1@T).
  68
  69 inductive match_in_table (n:nat) (qin:list STape) (cin: STape)
  70                          (qout:list STape) (cout:STape) (mv:STape)
  71 : list STape → Prop ≝
  72 | mit_hd :
  73    ∀tb.
  74    tuple_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv) →
  75    match_in_table n qin cin qout cout mv
  76      (mk_tuple qin cin qout cout mv @tb)
  77 | mit_tl :
  78    ∀qin0,cin0,qout0,cout0,mv0,tb.
  79    tuple_TM n (mk_tuple qin0 cin0 qout0 cout0 mv0) →
  80    match_in_table n qin cin qout cout mv tb →
  81    match_in_table n qin cin qout cout mv
  82      (mk_tuple qin0 cin0 qout0 cout0 mv0@tb).
  83
  84 axiom append_l1_injective :
  85   ∀A.∀l1,l2,l3,l4:list A. |l1| = |l2| → l1@l3 = l2@l4 → l1 = l2.
  86 axiom append_l2_injective :
  87   ∀A.∀l1,l2,l3,l4:list A. |l1| = |l2| → l1@l3 = l2@l4 → l3 = l4.
  88 axiom cons_injective_l : ∀A.∀a1,a2:A.∀l1,l2.a1::l1 = a2::l2 → a1 = a2.
  89 axiom cons_injective_r : ∀A.∀a1,a2:A.∀l1,l2.a1::l1 = a2::l2 → l1 = l2.
  90 axiom tuple_len : ∀n,t.tuple_TM n t → |t| = 2*n+6.
  91 axiom append_eq_tech1 :
  92   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → |l1| < |l3| → ∃la:list A.l1@a::la = l3.
  93 axiom append_eq_tech2 :
  94   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l4 = false → ∃la:list A.l3 = l1@a::la.
  95 (*axiom list_decompose_cases :
  96   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → ∃la,lb:list A.l3 = la@a::lb ∨ l4 = la@a::lb.
  97 axiom list_decompose_l :
  98   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l4 = false →
  99   ∃la,lb.l2 = la@lb ∧ l3 = l1@a::la.
 100 axiom list_decompose_r :
 101   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → memb A a l3 = false →
 102   ∃la,lb.l1 = la@lb ∧ l4 = lb@a::l2.
 103 axiom list_decompose_memb :
 104   ∀A,l1,l2,l3,l4,a.l1@a::l2 = l3@l4 → |l1| < |l3| → memb A a l3 = true.*)
 105
 106 lemma table_invert_r : ∀n,t,T.
 107   tuple_TM n t → table_TM n (t@T) → table_TM n T.
 108 #n #t #T #Htuple #Htable inversion Htable
 109 [ cases Htuple #qin * #cin * #qout * #cout * #mv * #_ #Ht >Ht
 110   normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 111 | #t0 #T0 #Htuple0 #Htable0 #_ #Heq
 112   lapply (append_l2_injective ?????? Heq)
 113   [ >(tuple_len … Htuple) >(tuple_len … Htuple0) % ]
 114   -Heq #Heq destruct (Heq) // ]
 115 qed.
 116
 117 lemma match_in_table_to_tuple :
 118   ∀n,T,qin,cin,qout,cout,mv.
 119   match_in_table n qin cin qout cout mv T → table_TM n T →
 120   tuple_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv).
 121 #n #T #qin #cin #qout #cout #mv #Hmatch elim Hmatch
 122 [ //
 123 | #qin0 #cin0 #qout0 #cout0 #mv0 #tb #Htuple #Hmatch #IH #Htable
 124   @IH @(table_invert_r ???? Htable) @Htuple
 125 ]
 126 qed.
 127
 128 axiom generic_match_to_match_in_table :
 129   ∀n,T.table_TM n T →
 130   ∀qin,cin,qout,cout,mv.|qin| = n → |qout| = n →
 131   only_bits qin → only_bits qout →
 132   bit_or_null (\fst cin) = true → bit_or_null (\fst cout) = true →
 133   bit_or_null (\fst mv) = true →
 134   ∀t1,t2.
 135   T = (t1@〈bar,false〉::qin@cin::〈comma,false〉::qout@cout::〈comma,false〉::[mv])@t2 →
 136   match_in_table n qin cin qout cout mv T.
 137 (*#n #T #Htable #qin #cin #qout #cout #mv #Hlenqin #Hlenqout
 138 #Hqinbits #Hqoutbits #Hcin #Hcout #Hmv
 139 elim Htable
 140 [ * [ #t2 normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 141     | #c0 #t1 #t2 normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 142 | #tuple #T0 #H1 #Htable0#IH #t1 #t2 #HT cases H1 #qin0 * #cin0 * #qout0 * #cout0 * #mv0
 143   * * * * * * * * * *
 144   #Hqin0marks #Hqout0marks #Hqin0bits #Hqout0bits #Hcin0 #Hcout0 #Hmv0 #Hcout0mv0
 145   #Hlenqin0 #Hlenqout0 #Htuple >Htuple in H1; #H1
 146   lapply (ttm_cons … T0 H1 Htable0) #Htable
 147   cases t1 in HT;
 148   [ >Htuple normalize in ⊢ (??%%→?);
 149     >associative_append >associative_append #HT
 150     cut (qin0 = qin ∧ (〈cin0,false〉 = cin ∧ (qout0 = qout ∧
 151          (〈cout0,false〉 = cout ∧ (〈mv0,false〉 = mv ∧ 〈bar,false〉::T0 = t2)))))
 152     [ lapply (append_l1_injective … HT) [ >Hlenqin @Hlenqin0 ]
 153       #Hqin % [ @Hqin ] -Hqin
 154       lapply (append_l2_injective … HT) [ >Hlenqin @Hlenqin0 ] -HT #HT
 155       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hcin % [ @Hcin ] -Hcin
 156       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 157       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT
 158       >associative_append >associative_append #HT
 159       lapply (append_l1_injective … HT) [ >Hlenqout @Hlenqout0 ]
 160       #Hqout % [ @Hqout ] -Hqout
 161       lapply (append_l2_injective … HT) [ >Hlenqout @Hlenqout0 ] -HT normalize #HT
 162       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hcout % [ @Hcout ] -Hcout
 163       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 164       lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT #HT
 165       lapply (cons_injective_l ????? HT) #Hmv % [ @Hmv ] -Hmv
 166       @(cons_injective_r ????? HT) ]
 167     -HT * #Hqin * #Hcin * #Hqout * #Hcout * #Hmv #HT0
 168     >(?:qin0@(〈cin0,false〉::〈comma,false〉::qout0@[〈cout0,false〉;〈comma,false〉;〈mv0,false〉])@〈bar,false〉::T0
 169         = mk_tuple qin cin qout cout mv@〈bar,false〉::T0)
 170     [|>Hqin >Hqout >Hcin >Hcout >Hmv normalize >associative_append >associative_append
 171        normalize >associative_append % ]
 172     % %{qin0} %{cin0} %{qout0} %{cout0} %{mv0} % // % [|@Hlenqout0] % // %
 173         [ | @Hcout0mv0 ] % // % // % // % // % // % // %
 174   | #c0 #cs0 #HT cut (∃cs1.c0::cs0 = tuple@〈bar,false〉::cs1)
 175     [ cases (append_eq_tech1 ?????? HT ?)
 176       [ -HT #ta #Hta cases (append_eq_tech2 … Hta ?)
 177         [ -Hta #tb #Htb %{tb} @Htb
 178         | @daemon ]
 179       | @le_S_S >length_append >(plus_n_O (|tuple|)) >commutative_plus @le_plus
 180         [ @le_O_n
 181         | >Htuple normalize >length_append >length_append @le_plus [ >Hlenqin >Hlenqin0 % ]
 182           @le_S_S @le_S_S >length_append >length_append @le_plus [ >Hlenqout >Hlenqout0 % ] %] ]
 183     ]
 184     * #cs1 #Hcs1 >Hcs1 in HT; >associative_append >associative_append #HT
 185     lapply (append_l2_injective … HT) // -HT #HT
 186     lapply (cons_injective_r ????? HT) -HT
 187     <associative_append #HT >Htuple %2 // @(IH … HT)
 188   ]
 189 ]
 190 qed.*)
 191
 192 (*
 193 lemma table_invert_l : ∀n,T0,qin,cin,qout,cout,mv.
 194   table_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv@〈bar,false〉::T0) →
 195   tuple_TM n (mk_tuple qin cin qout cout mv).
 196 #n #T #qin #cin #qout #cout #mv #HT inversion HT
 197 [ change with (append ???) in ⊢ (??(??%?)?→?);cases qin [ #Hfalse | #t0 #ts0 #Hfalse] normalize in Hfalse; destruct (Hfalse)
 198 | #t0 #T0 #Ht0 #HT0 #_
 199
 200
 201 lemma table_invert_r : ∀n,T0,qin,cin,qout,cout,mv.
 202   table n (mk_tuple qin cin qout cout mv@〈bar,false〉::T0) → table n T0.
 203 *)
 204
 205 lemma no_grids_in_tuple : ∀n,l.tuple_TM n l → no_grids l.
 206 #n #l * #qin * #cin * #qout * #cout * #mv * * * * * * * * * *
 207 #_ #_ #Hqin #Hqout #Hcin #Hcout #Hmv #_ #_ #_ #Hl >Hl
 208 #c #Hc cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 209 [ >(\P Hc) %
 210 | cases (memb_append … Hc) -Hc #Hc
 211 [ @bit_not_grid @(Hqin … Hc)
 212 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 213 [ change with (c == 〈cin,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) @bit_or_null_not_grid //
 214 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 215 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 216 | cases (memb_append …Hc) -Hc #Hc
 217 [ @bit_not_grid @(Hqout … Hc)
 218 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 219 [ change with (c == 〈cout,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) @bit_or_null_not_grid //
 220 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 221 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 222 | >(memb_single … Hc) @bit_or_null_not_grid @Hmv
 223 ]]]]]]
 224 qed.
 225
 226 lemma no_marks_in_tuple : ∀n,l.tuple_TM n l → no_marks l.
 227 #n #l * #qin * #cin * #qout * #cout * #mv * * * * * * * * * *
 228 #Hqin #Hqout #_ #_ #_ #_ #_ #_ #_ #_ #Hl >Hl
 229 #c #Hc cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 230 [ >(\P Hc) %
 231 | cases (memb_append … Hc) -Hc #Hc
 232 [ @(Hqin … Hc)
 233 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 234 [ change with (c == 〈cin,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 235 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 236 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 237 | cases (memb_append … Hc) -Hc #Hc
 238 [ @(Hqout … Hc)
 239 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 240 [ change with (c == 〈cout,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 241 | cases (orb_true_l … Hc) -Hc #Hc
 242 [ change with (c == 〈comma,false〉 = true) in Hc; >(\P Hc) %
 243 | >(memb_single … Hc) %
 244 ]]]]]]
 245 qed.
 246
 247 lemma no_grids_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_grids l.
 248 #n #l #t elim t
 249   [normalize #c #H destruct
 250   |#t1 #t2 #Ht1 #Ht2 #IH lapply (no_grids_in_tuple … Ht1) -Ht1 #Ht1 #x #Hx
 251    cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 252    [ @(Ht1 … Hx)
 253    | @(IH … Hx) ] ]
 254 qed.
 255
 256 lemma no_marks_in_table: ∀n.∀l.table_TM n l → no_marks l.
 257 #n #l #t elim t
 258   [normalize #c #H destruct
 259   |#t1 #t2 #Ht1 #Ht2 #IH lapply (no_marks_in_tuple … Ht1) -Ht1 #Ht1 #x #Hx
 260    cases (memb_append … Hx) -Hx #Hx
 261    [ @(Ht1 … Hx)
 262    | @(IH … Hx) ] ]
 263 qed.
 264
 265 axiom last_of_table: ∀n,l,b.¬ table_TM n (l@[〈bar,b〉]).
 266
 267 (*
 268 l0 x* a l1 x0* a0 l2 ------> l0 x a* l1 x0 a0* l2
 269    ^                               ^
 270
 271 if current (* x *) = #
 272    then
 273    else if x = 0
 274       then move_right; ----
 275            adv_to_mark_r;
 276            if current (* x0 *) = 0
 277               then advance_mark ----
 278                    adv_to_mark_l;
 279                    advance_mark
 280               else STOP
 281       else x = 1 (* analogo *)
 282
 283 *)
 284
 285
 286 (*
 287    MARK NEXT TUPLE machine
 288    (partially axiomatized)
 289
 290    marks the first character after the first bar (rightwards)
 291  *)
 292
 293 definition bar_or_grid ≝ λc:STape.is_bar (\fst c) ∨ is_grid (\fst c).
 294
 295 definition mark_next_tuple ≝
 296   seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 297      (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c)))
 298        (move_right_and_mark ?) (nop ?) tc_true).
 299
 300 definition R_mark_next_tuple ≝
 301   λt1,t2.
 302     ∀ls,c,rs1,rs2.
 303     (* c non può essere un separatore ... speriamo *)
 304     t1 = midtape STape ls c (rs1@〈grid,false〉::rs2) →
 305     no_marks rs1 → no_grids rs1 → bar_or_grid c = false →
 306     (∃rs3,rs4,d,b.rs1 = rs3 @ 〈bar,false〉 :: rs4 ∧
 307       no_bars rs3 ∧
 308       Some ? 〈d,b〉 = option_hd ? (rs4@〈grid,false〉::rs2) ∧
 309       t2 = midtape STape (〈bar,false〉::reverse ? rs3@c::ls) 〈d,true〉 (tail ? (rs4@〈grid,false〉::rs2)))
 310     ∨
 311     (no_bars rs1 ∧ t2 = midtape ? (reverse ? rs1@c::ls) 〈grid,false〉 rs2).
 312
 313 axiom tech_split :
 314   ∀A:DeqSet.∀f,l.
 315    (∀x.memb A x l = true → f x = false) ∨
 316    (∃l1,c,l2.f c = true ∧ l = l1@c::l2 ∧ ∀x.memb ? x l1 = true → f x = false).
 317 (*#A #f #l elim l
 318 [ % #x normalize #Hfalse *)
 319
 320 theorem sem_mark_next_tuple :
 321   Realize ? mark_next_tuple R_mark_next_tuple.
 322 #intape
 323 lapply (sem_seq ? (adv_to_mark_r ? bar_or_grid)
 324          (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_bar (\fst c))) (move_right_and_mark ?) (nop ?) tc_true) ????)
 325 [@sem_if [5: // |6: @sem_move_right_and_mark |7: // |*:skip]
 326 | //
 327 |||#Hif cases (Hif intape) -Hif
 328    #j * #outc * #Hloop * #ta * #Hleft #Hright
 329    @(ex_intro ?? j) @ex_intro [|% [@Hloop] ]
 330    -Hloop
 331    #ls #c #rs1 #rs2 #Hrs #Hrs1 #Hrs1' #Hc
 332    cases (Hleft … Hrs)
 333    [ * #Hfalse >Hfalse in Hc; #Htf destruct (Htf)
 334    | * #_ #Hta cases (tech_split STape (λc.is_bar (\fst c)) rs1)
 335      [ #H1 lapply (Hta rs1 〈grid,false〉 rs2 (refl ??) ? ?)
 336        [ * #x #b #Hx whd in ⊢ (??%?); >(Hrs1' … Hx) >(H1 … Hx) %
 337        | %
 338        | -Hta #Hta cases Hright
 339          [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 340            @False_ind cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 341            [ normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 342            | >Hta % ]
 343          | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hcurrent
 344            cases (Hcurrent 〈grid,false〉 ?)
 345            [  #_ #Htb whd in ⊢ (%→?); #Houtc
 346              %2 %
 347              [ @H1
 348              | >Houtc >Htb >Hta % ]
 349            | >Hta % ]
 350          ]
 351        ]
 352     | * #rs3 * #c0 * #rs4 * * #Hc0 #Hsplit #Hrs3
 353       % @(ex_intro ?? rs3) @(ex_intro ?? rs4)
 354      lapply (Hta rs3 c0 (rs4@〈grid,false〉::rs2) ???)
 355      [ #x #Hrs3' whd in ⊢ (??%?); >Hsplit in Hrs1;>Hsplit in Hrs3;
 356        #Hrs3 #Hrs1 >(Hrs1 …) [| @memb_append_l1 @Hrs3'|]
 357        >(Hrs3 … Hrs3') @Hrs1' >Hsplit @memb_append_l1 //
 358      | whd in ⊢ (??%?); >Hc0 %
 359      | >Hsplit >associative_append % ] -Hta #Hta
 360        cases Hright
 361        [ * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 362          whd in ⊢ (%→?); #Htb
 363          cases (Hta' c0 ?)
 364          [ #_ #Htb' >Htb' in Htb; #Htb
 365            generalize in match Hsplit; -Hsplit
 366            cases rs4 in Hta;
 367            [ #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 368              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 369              [ @(ex_intro ?? grid) @(ex_intro ?? false)
 370                % [ % [ %
 371                [(* Hsplit *) @daemon |(*Hrs3*) @daemon ] | % ] | % ]
 372                | (* Hc0 *) @daemon ]
 373            | #r5 #rs5 >(eq_pair_fst_snd … r5)
 374              #Hta #Hsplit >(Htb … Hta)
 375              >(?:c0 = 〈bar,false〉)
 376              [ @(ex_intro ?? (\fst r5)) @(ex_intro ?? (\snd r5))
 377                % [ % [ % [ (* Hc0, Hsplit *) @daemon | (*Hrs3*) @daemon ] | % ]
 378                      | % ] | (* Hc0 *) @daemon ] ] | >Hta % ]
 379              | * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Hta'
 380                whd in ⊢ (%→?); #Htb
 381                cases (Hta' c0 ?)
 382                [ #Hfalse @False_ind >Hfalse in Hc0;
 383                  #Hc0 destruct (Hc0)
 384                | >Hta % ]
 385 ]]]]
 386 qed.
 387
 388 definition init_current_on_match ≝
 389   (seq ? (move_l ?)
 390     (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 391       (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 392
 393 definition R_init_current_on_match ≝ λt1,t2.
 394   ∀l1,l2,c,rs. no_grids l1 → is_grid c = false →
 395   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::l2)  〈grid,false〉 rs →
 396   t2 = midtape STape (〈grid,false〉::l2) 〈c,true〉 ((reverse ? l1)@〈grid,false〉::rs).
 397
 398 lemma sem_init_current_on_match :
 399   Realize ? init_current_on_match R_init_current_on_match.
 400 #intape
 401 cases (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 402         (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 403            (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))) intape)
 404 #k * #outc * #Hloop #HR
 405 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 406 #l1 #l2 #c #rs #Hl1 #Hc #Hintape
 407 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 408 generalize in match Hl1; cases l1
 409   [#Hl1 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 410    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Hta
 411     [* >Hc #Htemp destruct (Htemp) ]
 412    * #_ #Htc lapply (Htc [ ] 〈grid,false〉 ? (refl ??) (refl …) Hl1)
 413    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); -Htc #Htc
 414    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htc -Htd
 415    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htd
 416    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htd) -Houtc #Houtc
 417    >Houtc %
 418   |#d #tl #Htl whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hta
 419    * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Htb
 420     [* >(Htl … (memb_hd …)) #Htemp destruct (Htemp)]
 421    * #Hd >append_cons #Htb lapply (Htb … (refl ??) (refl …) ?)
 422     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 423       [@Htl @memb_cons @membx | >(memb_single … membx) @Hc]]-Htb  #Htb
 424    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htb -Htc
 425    >reverse_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 426    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc #Houtc
 427    >Houtc >reverse_cons >associative_append %
 428   ]
 429 qed.
 430
 431 (*
 432 definition init_current_gen ≝
 433   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 434     (seq ? (clear_mark ?)
 435        (seq ? (move_l ?)
 436          (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 437             (seq ? (move_r ?) (mark ?))))).
 438
 439 definition R_init_current_gen ≝ λt1,t2.
 440   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 →
 441   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 442   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 443   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 444         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 445
 446 lemma sem_init_current_gen : Realize ? init_current_gen R_init_current_gen.
 447 #intape
 448 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 449         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 450           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
 451             (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 452               (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?))))) intape)
 453 #k * #outc * #Hloop #HR
 454 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 455 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hintape
 456 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta cases (Hta … Hintape) -Hta -Hintape
 457   [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 458 * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%] -Hta #Hta
 459 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta) -Htb -Hta #Htb
 460 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 461 generalize in match Hc; generalize in match Hl2; cases l2
 462   [#_ whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 463    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 464    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 465     [2: * whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp) ]
 466    * #_ #Htd >Htd in Htc; -Htd #Htd
 467    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 468    >reverse_append >reverse_cons
 469    whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 470    whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 471    >Houtc %
 472   |#d #tl #Htl #Hc0 whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 473    * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd
 474     [* >(Htl … (memb_hd …)) whd in ⊢ (??%?→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 475    * #Hd #Htd lapply (Htd … (refl ??) (refl ??) ?)
 476     [#x #membx @Htl @memb_cons @membx] -Htd #Htd
 477    * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Htd
 478    >reverse_append >reverse_cons >reverse_cons
 479    >reverse_cons in Hc0; >reverse_cons cases (reverse ? tl)
 480      [normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0) #Hte
 481       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 482       >Houtc %
 483      |* #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 484       whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Hte
 485       whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Hte) -Houtc -Hte #Houtc
 486       >Houtc >associative_append >associative_append >associative_append %
 487      ]
 488    ]
 489 qed.
 490 *)
 491
 492 definition init_current ≝
 493   seq ? (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 494     (seq ? (clear_mark ?)
 495        (seq ? (adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 496           (seq ? (move_r ?) (mark ?)))).
 497
 498 definition R_init_current ≝ λt1,t2.
 499   ∀l1,c,l2,b,l3,c1,rs,c0,b0. no_marks l1 → no_grids l2 → is_grid c = false →
 500   Some ? 〈c0,b0〉 = option_hd ? (reverse ? (〈c,true〉::l2)) →
 501   t1 = midtape STape (l1@〈c,true〉::l2@〈grid,b〉::l3) 〈c1,false〉 rs →
 502   t2 = midtape STape (〈grid,b〉::l3) 〈c0,true〉
 503         ((tail ? (reverse ? (l1@〈c,false〉::l2))@〈c1,false〉::rs)).
 504
 505 lemma sem_init_current : Realize ? init_current R_init_current.
 506 #intape
 507 cases (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))
 508         (sem_seq ????? (sem_clear_mark ?)
 509            (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_l ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 510              (sem_seq ????? (sem_move_r ?) (sem_mark ?)))) intape)
 511 #k * #outc * #Hloop #HR
 512 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop]
 513 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 514 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 515 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc
 516 * #td * whd in ⊢ (%→%→?); #Htd #Houtc
 517 #l1 #c #l2 #b #l3 #c1 #rs #c0 #b0 #Hl1 #Hl2 #Hc #Hc0 #Hintape
 518 cases (Hta … Hintape) [ * #Hfalse normalize in Hfalse; destruct (Hfalse) ]
 519 -Hta * #_ #Hta lapply (Hta l1 〈c,true〉 ? (refl ??) ??) [@Hl1|%]
 520 -Hta #Hta lapply (Htb … Hta) -Htb #Htb cases (Htc … Htb) [ >Hc -Hc * #Hc destruct (Hc) ]
 521 -Htc * #_ #Htc lapply (Htc … (refl ??) (refl ??) ?) [@Hl2]
 522 -Htc #Htc lapply (Htd … Htc) -Htd
 523 >reverse_append >reverse_cons
 524 >reverse_cons in Hc0; cases (reverse … l2)
 525 [ normalize in ⊢ (%→?); #Hc0 destruct (Hc0)
 526   #Htd >(Houtc … Htd) %
 527 | * #c2 #b2 #tl2 normalize in ⊢ (%→?);
 528   #Hc0 #Htd >(Houtc … Htd)
 529   whd in ⊢ (???%); destruct (Hc0)
 530   >associative_append >associative_append %
 531 ]
 532 qed.
 533
 534 definition match_tuple_step ≝
 535   ifTM ? (test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c)))
 536    (single_finalTM ?
 537      (seq ? compare
 538       (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 539         (nop ?)
 540         (seq ? mark_next_tuple
 541            (ifTM ? (test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 542              (mark ?) (seq ? (move_l ?) init_current) tc_true)) tc_true)))
 543     (nop ?) tc_true.
 544
 545 definition R_match_tuple_step_true ≝ λt1,t2.
 546   ∀ls,cur,rs.t1 = midtape STape ls cur rs →
 547   \fst cur ≠ grid ∧
 548   (∀ls0,c,l1,l2,c1,l3,l4,rs0,n.
 549    only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 (* → no_grids l2 *) →
 550    bit_or_null c = true → bit_or_null c1 = true →
 551    only_bits_or_nulls l3 → S n = |l1| → |l1| = |l3| →
 552    table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) →
 553    ls = 〈grid,false〉::ls0 → cur = 〈c,true〉 →
 554    rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,true〉::l3@〈comma,false〉::l4@〈grid,false〉::rs0 →
 555    (* facciamo match *)
 556    (〈c,false〉::l1 = 〈c1,false〉::l3 ∧
 557    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 558          (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,true〉::l4@〈grid,false〉::rs0))
 559    ∨
 560    (* non facciamo match e marchiamo la prossima tupla *)
 561    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧
 562     ∃c2,l5,l6.l4 = l5@〈bar,false〉::〈c2,false〉::l6 ∧
 563     (* condizioni su l5 l6 l7 *)
 564     t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈c,true〉
 565           (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::
 566            l5@〈bar,false〉::〈c2,true〉::l6@〈grid,false〉::rs0))
 567    ∨
 568    (* non facciamo match e non c'è una prossima tupla:
 569       non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 570       non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 571    (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3 ∧ no_bars l4 ∧ current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉)).
 572
 573 definition R_match_tuple_step_false ≝ λt1,t2.
 574   ∀ls,c,rs.t1 = midtape STape ls c rs → is_grid (\fst c) = true ∧ t2 = t1.
 575
 576 include alias "basics/logic.ma".
 577
 578 (*
 579 lemma eq_f4: ∀A1,A2,A3,A4,B.∀f:A1 → A2 →A3 →A4 →B.
 580   ∀x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4. x1 = y1 → x2 = y2 →x3=y3 →x4 = y4 →
 581     f x1 x2 x3 x4 = f y1 y2 y3 y4.
 582 //
 583 qed-. *)
 584
 585 lemma some_option_hd: ∀A.∀l:list A.∀a.∃b.
 586   Some ? b = option_hd ? (l@[a]) .
 587 #A #l #a cases l normalize /2/
 588 qed.
 589
 590 axiom tech_split2 : ∀A,l1,l2,l3,l4,x.
 591   memb A x l1 = false → memb ? x l3 = false →
 592   l1@x::l2 = l3@x::l4 → l1 = l3 ∧ l2 = l4.
 593
 594 axiom injective_append : ∀A,l.injective … (λx.append A x l).
 595
 596 lemma sem_match_tuple_step:
 597     accRealize ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … start_nop)))
 598     R_match_tuple_step_true R_match_tuple_step_false.
 599 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.¬ is_grid (\fst c))) …
 600   (sem_seq … sem_compare
 601     (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 602       (sem_nop …)
 603         (sem_seq … sem_mark_next_tuple
 604            (sem_if … (sem_test_char ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
 605              (sem_mark ?) (sem_seq … (sem_move_l …) (sem_init_current …))))))
 606   (sem_nop ?) …)
 607 [(* is_grid: termination case *)
 608  2:#t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→?); #H #H1 whd #ls #c #rs #Ht1
 609   cases (H c ?) [2: >Ht1 %] #Hgrid #Heq %
 610     [@injective_notb @Hgrid | <Heq @H1]
 611 |#tapea #tapeout #tapeb whd in ⊢ (%→?); #Hcur
 612  * #tapec * whd in ⊢ (%→?); #Hcompare #Hor
 613  #ls #cur #rs #Htapea >Htapea in Hcur; #Hcur cases (Hcur ? (refl ??))
 614  -Hcur #Hcur #Htapeb %
 615  [ % #Hfalse >Hfalse in Hcur; normalize #Hfalse1 destruct (Hfalse1)]
 616  #ls0 #c #l1 #l2 #c1 #l3 #l4 #rs0 #n #Hl1bitnull #Hl1marks #Hc #Hc1 #Hl3 #eqn
 617  #eqlen #Htable #Hls #Hcur #Hrs -Htapea >Hls in Htapeb; >Hcur >Hrs #Htapeb
 618  cases (Hcompare … Htapeb) -Hcompare -Htapeb * #_ #_ #Hcompare
 619  cases (Hcompare c c1 l1 l3 l2 (l4@〈grid,false〉::rs0) eqlen Hl1bitnull Hl3 Hl1marks … (refl …) Hc ?)
 620  -Hcompare
 621    [* #Htemp destruct (Htemp) #Htapec %1 % % [%]
 622     >Htapec in Hor; -Htapec *
 623      [2: * #t3 * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 624       cases (H … (refl …)) whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct (H)
 625      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #Htaped cases (Htaped ? (refl …)) -Htaped *
 626       #Htaped whd in ⊢ (%→?); #Htapeout >Htapeout >Htaped
 627       %
 628      ]
 629    |* #la * #c' * #d' * #lb * #lc * * * #H1 #H2 #H3 #Htapec
 630     cut (〈c,false〉::l1 ≠ 〈c1,false〉::l3)
 631       [>H2 >H3 elim la
 632         [@(not_to_not …H1) normalize #H destruct %
 633         |#x #tl @not_to_not normalize #H destruct //
 634         ]
 635       ] #Hnoteq
 636     cut (bit_or_null d' = true)
 637       [cases la in H3;
 638         [normalize in ⊢ (%→?); #H destruct //
 639         |#x #tl #H @(Hl3 〈d',false〉)
 640          normalize in H; destruct @memb_append_l2 @memb_hd
 641         ]
 642       ] #Hd'
 643     >Htapec in Hor; -Htapec *
 644      [* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H @False_ind
 645       cases (H … (refl …)) >(bit_or_null_not_grid ? Hd') #Htemp destruct (Htemp)
 646      |* #taped * whd in ⊢ (%→?); #H cases (H … (refl …)) -H #_
 647       #Htaped * #tapee * whd in ⊢ (%→?); #Htapee
 648       <(associative_append ? lc (〈comma,false〉::l4)) in Htaped; #Htaped
 649       cases (Htapee … Htaped ???) -Htaped -Htapee
 650        [* #rs3 * * (* we proceed by cases on rs4 *)
 651          [(* rs4 is empty : the case is absurd since the tape
 652             cannot end with a bar *)
 653           * #d * #b * * * #Heq1 @False_ind
 654           cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 655           >Hcut in Htable; >H3 >associative_append
 656           normalize >Heq1 <associative_append >Hcut
 657           <associative_append #Htable @(absurd … Htable)
 658           @last_of_table
 659          |(* rs4 not empty *)
 660           * #d2 #b2 #rs3' * #d  * #b * * * #Heq1 #Hnobars
 661           cut (memb STape 〈d2,b2〉 (l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4) = true)
 662             [@memb_append_l2
 663              cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut
 664              >Hcut >H3 >associative_append @memb_append_l2
 665              @memb_cons >Heq1 @memb_append_l2 @memb_cons @memb_hd] #d2intable
 666           cut (is_grid d2 = false)
 667             [@(no_grids_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hd2
 668           cut (b2 = false)
 669             [@(no_marks_in_table … Htable … 〈d2,b2〉 d2intable)] #Hb2
 670           >Hb2 in Heq1; #Heq1 -Hb2 -b2
 671           whd in ⊢ ((???%)→?); #Htemp destruct (Htemp) #Htapee >Htapee -Htapee *
 672            [(* we know current is not grid *)
 673             * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 674             cases (Htapef … (refl …)) >Hd2 #Htemp destruct (Htemp)
 675            |* #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 676             cases (Htapef … (refl …)) #_ -Htapef #Htapef
 677             * #tapeg >Htapef -Htapef *
 678             (* move_l *)
 679             whd in ⊢ (%→?);
 680             #H lapply (H … (refl …)) whd in ⊢ (???%→?); -H  #Htapeg
 681             >Htapeg -Htapeg
 682             (* init_current *)
 683              whd in ⊢ (%→?); #Htapeout
 684              cases (some_option_hd ? (reverse ? (reverse ? la)) 〈c',true〉)
 685              * #c00 #b00 #Hoption
 686              lapply
 687               (Htapeout (reverse ? rs3 @〈d',false〉::reverse ? la@reverse ? l2@(〈grid,false〉::reverse ? lb))
 688               c' (reverse ? la) false ls0 bar (〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0) c00 b00 ?????) -Htapeout
 689                [whd in ⊢ (??(??%??)?); @eq_f3 [2:%|3: %]
 690                 >associative_append
 691                  generalize in match (〈c',true〉::reverse ? la@〈grid,false〉::ls0); #l
 692                 whd in ⊢ (???(???%)); >associative_append >associative_append %
 693                |>reverse_cons @Hoption
 694                |cases la in H2;
 695                  [normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 696                   @bit_or_null_not_grid @Hc
 697                  |#x #tl normalize in ⊢ (%→?); #Htemp destruct (Htemp)
 698                   @bit_or_null_not_grid @(Hl1bitnull 〈c',false〉) @memb_append_l2 @memb_hd
 699                  ]
 700                |cut (only_bits_or_nulls (la@(〈c',false〉::lb)))
 701                  [<H2 whd #c0 #Hmemb cases (orb_true_l … Hmemb)
 702                    [#eqc0 >(\P eqc0) @Hc |@Hl1bitnull]
 703                  |#Hl1' #x #Hx @bit_or_null_not_grid @Hl1'
 704                   @memb_append_l1 @daemon
 705                  ]
 706                |@daemon] #Htapeout % %2 % //
 707             @(ex_intro … d2)
 708             cut (∃rs32.rs3 = lc@〈comma,false〉::rs32)
 709                  [ (*cases (tech_split STape (λc.c == 〈bar,false〉) l4)
 710                   [
 711                   | * #l41 * * #cbar #bfalse * #l42 * * #Hbar #Hl4 #Hl41
 712                     @(ex_intro ?? l41) >Hl4 in Heq1; #Heq1
 713
 714                 cut (sublist … lc l3)
 715                   [ #x #Hx cases la in H3;
 716                     [ normalize #H3 destruct (H3) @Hx
 717                     | #p #la' normalize #Hla' destruct (Hla')
 718                       @memb_append_l2 @memb_cons @Hx ] ] #Hsublist*)
 719                 @daemon]
 720                 * #rs32 #Hrs3
 721                 (* cut
 722                 (〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::l4= la@〈d',false〉::rs3@〈bar,false〉::〈d2,b2〉::rs3')
 723                 [@daemon] #Hcut *)
 724                 cut (l4=rs32@〈bar,false〉::〈d2,false〉::rs3')
 725                 [ >Hrs3 in Heq1; @daemon ] #Hl4
 726                 @(ex_intro … rs32) @(ex_intro … rs3') % [@Hl4]
 727                 >Htapeout @eq_f2
 728                    [@daemon
 729                    |(*>Hrs3 *)>append_cons
 730                     > (?:l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs
 731                         = (l1@〈grid,false〉::l2@〈c1,false〉::l3@〈comma,false〉::rs32@[〈bar,false〉])@〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs)
 732                     [|>associative_append normalize
 733                       >associative_append normalize
 734                       >associative_append normalize
 735                       >associative_append normalize
 736                        % ]
 737                     >reverse_append >reverse_append >reverse_cons
 738                     >reverse_reverse >reverse_cons >reverse_reverse
 739                     >reverse_append >reverse_append >reverse_cons
 740                     >reverse_reverse >reverse_reverse >reverse_reverse
 741                     >(?:(la@[〈c',false〉])@((((lb@[〈grid,false〉])@l2)@la)@[〈d',false〉])@rs3
 742                        =((la@〈c',false〉::lb)@([〈grid,false〉]@l2@la@[〈d',false〉]@rs3)))
 743                     [|>associative_append >associative_append
 744                       >associative_append >associative_append >associative_append
 745                       >associative_append % ]
 746                     <H2 normalize in ⊢ (??%?); >Hrs3
 747                     >associative_append >associative_append normalize
 748                     >associative_append >associative_append
 749                     @eq_f @eq_f @eq_f
 750                     >(?:la@(〈d',false〉::lc@〈comma,false〉::rs32)@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0 =
 751                         (la@〈d',false〉::lc)@〈comma,false〉::rs32@〈bar,false〉::〈d2,true〉::rs3'@〈grid,false〉::rs0 )
 752                     [| >associative_append normalize >associative_append % ]
 753                     <H3 %
 754                    ]
 755                  ]
 756               ]
 757        |* #Hnobars #Htapee >Htapee -Htapee *
 758          [whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 759           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef #_ #Htapef >Htapef -Htapef
 760           whd in ⊢ (%→?); #Htapeout %2 %
 761           [% [//] whd #x #Hx @Hnobars @memb_append_l2 @memb_cons //
 762           | >(Htapeout … (refl …)) % ]
 763          |whd in ⊢ (%→?); * #tapef * whd in ⊢ (%→?); #Htapef
 764           cases (Htapef … (refl …)) -Htapef
 765           whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)
 766          ]
 767        |(* no marks in table *)
 768         #x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 769         @memb_append_l2
 770         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 771         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 772        |(* no grids in table *)
 773         #x #membx @(no_grids_in_table … Htable)
 774         @memb_append_l2
 775         cut (∀A,l1,l2.∀a:A. a::l1@l2=(a::l1)@l2) [//] #Hcut >Hcut
 776         >H3 >associative_append @memb_append_l2 @memb_cons @membx
 777        |whd in ⊢ (??%?); >(bit_or_null_not_grid … Hd') >(bit_or_null_not_bar … Hd') %
 778        ]
 779      ]
 780    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 781     @memb_append_l2 @memb_cons @memb_append_l1 @membx
 782    |#x #membx @(no_marks_in_table … Htable)
 783     @memb_append_l1 @membx
 784    |%
 785    ]
 786  ]
 787 qed.
 788
 789 (*
 790   MATCH TUPLE
 791
 792   scrolls through the tuples in the transition table until one matching the
 793   current configuration is found
 794 *)
 795
 796 definition match_tuple ≝  whileTM ? match_tuple_step (inr … (inl … (inr … start_nop))).
 797
 798 lemma is_grid_true : ∀c.is_grid c = true → c = grid.
 799 * normalize [ #b ] #H // destruct (H)
 800 qed.
 801
 802 definition R_match_tuple ≝ λt1,t2.
 803   ∀ls,c,l1,c1,l2,rs,n.
 804   is_bit c = true → only_bits l1 → is_bit c1 = true → n = |l1| →
 805   table_TM (S n) (〈c1,false〉::l2) →
 806   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,true〉
 807          (l1@〈grid,false〉::〈c1,true〉::l2@〈grid,false〉::rs) →
 808   (* facciamo match *)
 809   (∃l3,newc,mv,l4.
 810    〈c1,false〉::l2 = l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4 ∧
 811    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 812         (l3@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4@〈grid,false〉::rs))
 813   ∨
 814   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 815      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 816      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 817   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 818    ∀l3,newc,mv,l4.
 819    〈c1,false〉::l2 ≠ l3@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv@l4).
 820
 821 (* possible variante ?
 822 definition weakR_match_tuple ≝ λt1,t2.
 823   (∀ls,cur,rs,b. t1 = midtape STape ls 〈grid,b〉 rs → t2 = t1) ∧
 824   (∀c,l1,c1,l2,l3,ls0,rs0,n.
 825   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls0) 〈bit c,true〉 rs
 826     (l1@〈grid,false〉::l2@〈bit c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0) →
 827   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 828   table_TM (S n) (l2@〈c1,false〉::l3) →
 829   (* facciamo match *)
 830   (∃l4,newc,mv,l5.
 831    〈c1,false〉::l3 = l4@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5 ∧
 832    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 833         (l2@l4@〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5@
 834         〈grid,false〉::rs0))
 835   ∨
 836   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 837      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 838      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 839   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 840    ∀l4,newc,mv,l5.
 841    〈c1,false〉::l3 ≠ l4@〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5)).
 842 *)
 843
 844 definition weakR_match_tuple ≝ λt1,t2.
 845   ∀ls,cur,rs.
 846   t1 = midtape STape ls cur rs →
 847   (is_grid (\fst cur) = true → t2 = t1) ∧
 848   (∀c,l1,c1,l2,l3,ls0,rs0,n.
 849   ls = 〈grid,false〉::ls0 →
 850   cur = 〈c,true〉 →
 851   rs = l1@〈grid,false〉::l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0 →
 852   is_bit c = true → is_bit c1 = true →
 853   only_bits_or_nulls l1 → no_marks l1 → S n = |l1| →
 854   table_TM (S n) (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3) →
 855   (* facciamo match *)
 856   (∃l4,newc,mv,l5.
 857    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3 = l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5 ∧
 858    t2 = midtape ? (reverse ? l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls0) 〈grid,false〉
 859         (l2@l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,true〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5@
 860         〈grid,false〉::rs0))
 861   ∨
 862   (* non facciamo match su nessuna tupla;
 863      non specifichiamo condizioni sul nastro di output, perché
 864      non eseguiremo altre operazioni, quindi il suo formato non ci interessa *)
 865   (current ? t2 = Some ? 〈grid,true〉 ∧
 866    ∀l4,newc,mv,l5.
 867    〈bar,false〉::〈c1,false〉::l3 ≠ l4@〈bar,false〉::〈c,false〉::l1@〈comma,false〉::newc@〈comma,false〉::mv::l5)).
 868
 869 axiom table_bit_after_bar :
 870   ∀n,l1,c,l2.table_TM n (l1@〈bar,false〉::〈c,false〉::l2) → is_bit c = true.
 871
 872 lemma wsem_match_tuple : WRealize ? match_tuple weakR_match_tuple.
 873 #intape #k #outc #Hloop
 874 lapply (sem_while … sem_match_tuple_step intape k outc Hloop) [%] -Hloop
 875 * #ta * #Hstar @(star_ind_l ??????? Hstar)
 876 [ #tb whd in ⊢ (%→?); #Hleft
 877   #ls #cur #rs #Htb cases (Hleft … Htb) #Hgrid #Houtc %
 878   [ #_ @Houtc
 879   | #c #l1 #c1 #l2 #l3 #ls0 #rs0 #n #Hls #Hcur #Hrs
 880     >Hcur in Hgrid; #Hgrid >(is_grid_true … Hgrid) normalize in ⊢ (%→?);
 881     #Hc destruct (Hc)
 882   ]
 883 | #tb #tc #td whd in ⊢ (%→?); #Htc
 884   #Hstar1 #IH whd in ⊢ (%→?); #Hright lapply (IH Hright) -IH whd in ⊢ (%→?); #IH
 885   #ls #cur #rs #Htb %
 886   [ #Hcur cases (Htc … Htb) * #Hfalse @False_ind @Hfalse @(is_grid_true … Hcur)
 887   |#c #l1 #c1 #l2 #l3 #ls0 #rs0 #n #Hls #Hcur #Hrs #Hc #Hc1 #Hl1bitnull #Hl1marks
 888    #Hl1len #Htable cases (Htc … Htb) -Htc -Htb * #_ #Htc
 889    cut (∃la,lb,mv,lc.l3 = la@〈comma,false〉::lb@〈comma,false〉::mv::lc ∧
 890          S n = |la| ∧ only_bits_or_nulls la)
 891    [@daemon] * #la * #lb * #mv * #lc * * #Hl3 #Hlalen #Hlabitnull
 892    >Hl3 in Htable; >append_cons #Htable
 893    >(?: l2@〈bar,false〉::〈c1,true〉::l3@〈grid,false〉::rs0
 894       = (l2@[〈bar,false〉])@〈c1,true〉::la@〈comma,false〉::(lb@〈comma,false〉::mv::
 895          lc)@〈grid,false〉::rs0) in Hrs;
 896    [| >associative_append normalize >Hl3
 897       >associative_append normalize % ] #Hrs
 898    cases (Htc ????????? Hl1bitnull Hl1marks ?? Hlabitnull Hl1len ? Htable Hls Hcur Hrs)
 899    [5: <Hl1len @Hlalen
 900    |4: whd in ⊢ (??%?); >Hc1 %
 901    |3: whd in ⊢ (??%?); >Hc %
 902    |-Htc *
 903      [ * #Heq #Htc % %{[]} %{lb} %{mv} %{lc} destruct (Heq) %
 904        [%
 905        | cases (IH … Htc) -IH #Houtc #_ >(Houtc (refl ??))
 906          >Htc @eq_f normalize >associative_append normalize
 907          >associative_append normalize %
 908        ]
 909      | * #Hdiff * #c2 * #l5 * #l6 * #Heqlblc #Htc
 910        cases (IH ??? … Htc) -IH #_ #IH
 911        lapply (IH ? l1 c2 (l2@〈bar,false〉::〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5) l6 ? rs0 n (refl ??) (refl ??) ???????)
 912        [ generalize in match Htable;
 913          >associative_append normalize
 914          >associative_append normalize >Heqlblc
 915          >associative_append normalize //
 916        | @Hl1len
 917        | @Hl1marks
 918        | @Hl1bitnull
 919        | (*???*) @daemon
 920        | @Hc
 921        | >associative_append normalize
 922          >associative_append normalize
 923          >associative_append %
 924        |-IH *
 925          [ * #l7 * #newc * #mv0 * #l8 * #Hl7l8 #Houtc %
 926            >Heqlblc @(ex_intro ?? (〈bar,false〉::〈c1,false〉::la@〈comma,false〉::l5@l7))
 927            %{newc} %{mv0} %{l8} %
 928            [ normalize >Hl7l8 >associative_append normalize
 929              >associative_append %
 930            | >Houtc @eq_f >associative_append normalize
 931              >associative_append normalize >associative_append
 932              normalize >associative_append %
 933            ]
 934          | * #Houtc #Hdiff %2 %
 935            [ @Houtc
 936            | #l50 #newc #mv0 #l51 >Heqlblc
 937              @daemon
 938            ]
 939          ]
 940        ]
 941      ]
 942    | * * #Hdiff #Hnobars generalize in match (refl ? tc);
 943      cases tc in ⊢ (???% → %);
 944      [ #_ normalize in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 945      |2,3: #x #xs #_ normalize in ⊢ (??%?→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 946      #ls1 #cur1 #rs1 #Htc normalize in ⊢ (??%?→?); #Hcur1
 947      cases (IH … Htc) -IH #IH #_ %2 %
 948      [ destruct (Hcur1) >IH [ >Htc % | % ]
 949      | #l4 #newc #mv0 #l5 (* difficile (sempre che sia dimostrabile)
 950           dobbiamo veramente considerare di fare la table in modo più
 951           strutturato
 952         *)
 953         @daemon
 954      ]
 955    ]
 956  ]
 957 qed.
 958