matita/matita/lib/turing/universal/uni_step.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/copy.ma".
  18
  19 (*
  20
  21 step :
  22
  23 if is_true(current) (* current state is final *)
  24    then nop
  25    else
  26    (* init_match *)
  27    mark;
  28    adv_to_grid_r;
  29    move_r;
  30    mark;
  31    move_l;
  32    adv_to_mark_l
  33    (* /init_match *)
  34    match_tuple;
  35    if is_marked(current) = false (* match ok *)
  36       then
  37            (* init_copy *)
  38            move_l;
  39            init_current;
  40            move_r;
  41            adv_to_mark_r;
  42            adv_mark_r;
  43            (* /init_copy *)
  44            copy;
  45            move_r;
  46            (* move_tape *)
  47            by cases on current:
  48              case bit false: move_tape_l
  49              case bit true: move_tape_r
  50              case null: adv_to_grid_l; move_l; adv_to_grid_l;
  51            move_r;
  52            (* /move_tape *)
  53       else sink;
  54
  55 *)
  56
  57 definition init_match ≝
  58   seq ? (mark ?)
  59     (seq ? (adv_to_mark_r ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
  60       (seq ? (move_r ?)
  61         (seq ? (mark ?)
  62           (seq ? (move_l ?)
  63             (adv_to_mark_l ? (is_marked ?)))))).
  64
  65 definition R_init_match ≝ λt1,t2.
  66   ∀ls,l,rs,c,d. no_grids (〈c,false〉::l) → no_marks l →
  67   t1 = midtape STape ls 〈c,false〉 (l@〈grid,false〉::〈d,false〉::rs) →
  68   t2 = midtape STape ls 〈c,true〉 (l@〈grid,false〉::〈d,true〉::rs).
  69
  70 lemma sem_init_match : Realize ? init_match R_init_match.
  71 #intape
  72 cases (sem_seq ????? (sem_mark ?)
  73        (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_r ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
  74         (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
  75          (sem_seq ????? (sem_mark ?)
  76           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
  77            (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?)))))) intape)
  78 #k * #outc * #Hloop #HR
  79 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
  80 #ls #l #rs #c #d #Hnogrids #Hnomarks #Hintape
  81 cases HR -HR
  82 #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape #Hta
  83 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Htb -Hta
  84   [* #Hgridc @False_ind @(absurd … Hgridc) @eqnot_to_noteq
  85    @(Hnogrids 〈c,false〉) @memb_hd ]
  86 * #Hgrdic #Htb lapply (Htb l 〈grid,false〉 (〈d,false〉::rs) (refl …) (refl …) ?)
  87   [#x #membl @Hnogrids @memb_cons @membl] -Htb #Htb
  88 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb #Htc
  89 * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htd -Htc #Htd
  90 * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Hte -Htd #Hte
  91 whd in ⊢ (%→?); #Htf cases (Htf … Hte) -Htf -Hte
  92   [* whd in ⊢ ((??%?)→?); #Habs destruct (Habs)]
  93 * #_ #Htf lapply (Htf (reverse ? l) 〈c,true〉 ls (refl …) (refl …) ?)
  94   [#x #membl @Hnomarks @daemon] -Htf #Htf >Htf >reverse_reverse %
  95 qed.
  96
  97
  98 (* init_copy
  99
 100            init_current_on_match; (* no marks in current *)
 101            move_r;
 102            adv_to_mark_r;
 103            adv_mark_r;
 104
 105 *)
 106
 107 definition init_copy ≝
 108   seq ? init_current_on_match
 109     (seq ? (move_r ?)
 110       (seq ? (adv_to_mark_r ? (is_marked ?))
 111         (adv_mark_r ?))).
 112
 113 definition R_init_copy ≝ λt1,t2.
 114   ∀l1,l2,c,ls,d,rs.
 115   no_marks l1 → no_grids l1 →
 116   no_marks l2 → is_grid c = false →
 117   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉 (l2@〈comma,true〉::〈d,false〉::rs) →
 118   t2 = midtape STape (〈comma,false〉::(reverse ? l2)@〈grid,false〉::l1@〈c,true〉::〈grid,false〉::ls) 〈d,true〉 rs.
 119
 120 lemma list_last: ∀A.∀l:list A.
 121   l = [ ] ∨ ∃a,l1. l = l1@[a].
 122 #A #l <(reverse_reverse ? l) cases (reverse A l)
 123   [%1 //
 124   |#a #l1 %2 @(ex_intro ?? a) @(ex_intro ?? (reverse ? l1)) //
 125   ]
 126 qed.
 127
 128 lemma sem_init_copy : Realize ? init_copy R_init_copy.
 129 #intape
 130 cases (sem_seq ????? sem_init_current_on_match
 131         (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
 132           (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_r ? (is_marked ?))
 133             (sem_adv_mark_r ?))) intape)
 134 #k * #outc * #Hloop #HR
 135 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 136 #l1 #l2 #c #ls #d #rs #Hl1marks #Hl1grids #Hl2marks #Hc #Hintape
 137 cases HR -HR
 138 #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hl1grids Hc Hintape) -Hta -Hintape #Hta
 139 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb  … Hta) -Htb -Hta
 140 generalize in match Hl1marks; -Hl1marks cases (list_last ? l1)
 141   [#eql1 >eql1 #Hl1marks whd in ⊢ ((???%)→?); whd in ⊢ ((???(????%))→?); #Htb
 142    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc  … Htb) -Htc -Htb *
 143     [* whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 144    * #_ #Htc lapply (Htc … (refl …) (refl …) ?)
 145     [#x #membx @Hl2marks @membx]
 146    #Htc whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc -Htc #Houtc
 147    >Houtc %
 148   |* #c1 * #tl #eql1 >eql1 #Hl1marks >reverse_append >reverse_single
 149    whd in ⊢ ((???%)→?); whd in ⊢ ((???(????%))→?);
 150    >associative_append whd in ⊢ ((???(????%))→?); #Htb
 151    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc  … Htb) -Htc -Htb *
 152     [* >Hl1marks [#Htemp destruct (Htemp)] @memb_append_l2 @memb_hd]
 153    * #_ >append_cons <associative_append #Htc lapply (Htc … (refl …) (refl …) ?)
 154     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 155       [cases (memb_append … membx) -membx #membx
 156         [@Hl1marks @memb_append_l1 @daemon
 157         |>(memb_single … membx) %
 158         ]
 159       |@Hl2marks @membx
 160       ]]
 161   #Htc whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc -Htc #Houtc
 162   >Houtc >reverse_append >reverse_append >reverse_single
 163   >reverse_reverse >associative_append >associative_append
 164   >associative_append %
 165 qed.
 166
 167 (* OLD
 168 definition init_copy ≝
 169   seq ? (adv_mark_r ?)
 170     (seq ? init_current_on_match
 171       (seq ? (move_r ?)
 172         (adv_to_mark_r ? (is_marked ?)))).
 173
 174 definition R_init_copy ≝ λt1,t2.
 175   ∀l1,l2,c,l3,d,rs.
 176   no_marks l1 → no_grids l1 →
 177   no_marks l2 → no_grids l2 → is_grid c = false → is_grid d =false →
 178   t1 = midtape STape (l1@〈grid,false〉::l2@〈c,false〉::〈grid,false〉::l3) 〈comma,true〉 (〈d,false〉::rs) →
 179   t2 = midtape STape (〈comma,false〉::l1@〈grid,false〉::l2@〈c,true〉::〈grid,false〉::l3) 〈d,true〉 rs.
 180
 181 lemma list_last: ∀A.∀l:list A.
 182   l = [ ] ∨ ∃a,l1. l = l1@[a].
 183 #A #l <(reverse_reverse ? l) cases (reverse A l)
 184   [%1 //
 185   |#a #l1 %2 @(ex_intro ?? a) @(ex_intro ?? (reverse ? l1)) //
 186   ]
 187 qed.
 188
 189 lemma sem_init_copy : Realize ? init_copy R_init_copy.
 190 #intape
 191 cases (sem_seq ????? (sem_adv_mark_r ?)
 192        (sem_seq ????? sem_init_current_on_match
 193         (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
 194          (sem_adv_to_mark_r ? (is_marked ?)))) intape)
 195 #k * #outc * #Hloop #HR
 196 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 197 #l1 #l2 #c #l3 #d #rs #Hl1marks #Hl1grids #Hl2marks #Hl2grids #Hc #Hd #Hintape
 198 cases HR -HR
 199 #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape #Hta
 200 * #tb * whd in ⊢ (%→?);
 201 >append_cons #Htb lapply (Htb (〈comma,false〉::l1) l2 c … Hta)
 202   [@Hd |@Hc |@Hl2grids
 203    |#x #membx cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
 204      [>(\P membx) // | @Hl1grids @membx]
 205   ] -Htb #Htb
 206 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 207 >reverse_append >reverse_cons cases (list_last ? l2)
 208   [#Hl2 >Hl2 >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 209    whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd -Htc
 210     [* whd in ⊢ ((??%?)→?); #Habs destruct (Habs)]
 211    * #_ #Htf lapply (Htf … (refl …) (refl …) ?)
 212     [#x >reverse_cons #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 213       [@Hl1marks @daemon |>(memb_single … membx) //]
 214     -Htf
 215     |#Htf >Htf >reverse_reverse >associative_append %
 216     ]
 217   |* #a * #l21 #Heq >Heq >reverse_append >reverse_single
 218    >associative_append >associative_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 219    whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd -Htc
 220     [* >Hl2marks [#Habs destruct (Habs) |>Heq @memb_append_l2 @memb_hd]]
 221    * #_ <associative_append <associative_append #Htf lapply (Htf … (refl …) (refl …) ?)
 222     [#x >reverse_cons #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 223       [cases (memb_append … membx) -membx #membx
 224         [@Hl2marks >Heq @memb_append_l1 @daemon
 225         |>(memb_single … membx) //]
 226       |cases (memb_append … membx) -membx #membx
 227         [@Hl1marks @daemon |>(memb_single … membx) //]
 228       ]
 229     | #Htf >Htf >reverse_append >reverse_reverse
 230       >reverse_append >reverse_reverse >associative_append
 231       >reverse_single >associative_append >associative_append
 232       >associative_append %
 233     ]
 234   ]
 235 qed. *)
 236
 237 include "turing/universal/move_tape.ma".
 238
 239 definition exec_move ≝
 240   seq ? init_copy
 241     (seq ? copy
 242       (seq ? (move_r …) move_tape)).
 243
 244 definition map_move ≝
 245   λc,mv.match c with [ null ⇒ None ? | _ ⇒ Some ? 〈c,false,move_of_unialpha mv〉 ].
 246
 247 (* - aggiungere a legal_tape le condizioni
 248        only_bits ls, rs; bit_or_null c
 249    - ci vuole un lemma che dimostri
 250        bit_or_null c1 = true    bit_or_null mv = true
 251        mv ≠ null → c1 ≠ null
 252      dal fatto che c1 e mv sono contenuti nella table
 253  *)
 254 definition R_exec_move ≝ λt1,t2.
 255   ∀n,curconfig,ls,rs,c0,c1,s0,s1,table1,newconfig,mv,table2.
 256   table_TM n (table1@〈comma,false〉::〈s1,false〉::newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2) →
 257   no_marks curconfig → only_bits (curconfig@[〈s0,false〉]) → only_bits (〈s1,false〉::newconfig) →
 258   |curconfig| = |newconfig| →
 259   no_nulls ls → no_nulls rs → no_marks ls → no_marks rs →
 260   legal_tape ls 〈c0,false〉 rs →
 261   t1 = midtape STape (〈c0,false〉::curconfig@〈s0,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 262     (table1@〈comma,true〉::〈s1,false〉::newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs) →
 263   ∀t1'.t1' = lift_tape ls 〈c0,false〉 rs →
 264   ∃ls1,rs1,c2.
 265   t2 = midtape STape ls1 〈grid,false〉
 266     (〈s1,false〉::newconfig@〈c2,false〉::〈grid,false〉::
 267      table1@〈comma,false〉::〈s1,false〉::newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs1) ∧
 268   lift_tape ls1 〈c2,false〉 rs1 =
 269   tape_move STape t1' (map_move c1 mv) ∧ legal_tape ls1 〈c2,false〉 rs1.
 270
 271 (* move the following 2 lemmata to mono.ma *)
 272 lemma tape_move_left_eq :
 273   ∀A.∀t:tape A.∀c.
 274   tape_move ? t (Some ? 〈c,L〉) =
 275   tape_move_left ? (left ? t) c (right ? t).
 276 //
 277 qed.
 278
 279 lemma tape_move_right_eq :
 280   ∀A.∀t:tape A.∀c.
 281   tape_move ? t (Some ? 〈c,R〉) =
 282   tape_move_right ? (left ? t) c (right ? t).
 283 //
 284 qed.
 285
 286 lemma lift_tape_not_null :
 287  ∀ls,c,bc,rs.c ≠ null → lift_tape ls 〈c,bc〉 rs = midtape ? ls 〈c,bc〉 rs.
 288 #ls #c #bc #rs cases c //
 289 #Hfalse @False_ind /2/
 290 qed.
 291
 292 lemma merge_char_not_null :
 293   ∀c1,c2.c1 ≠ null → merge_char c1 c2 ≠ null.
 294 #c1 #c2 @not_to_not cases c2
 295 [ #c1' normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 296 | normalize //
 297 | *: normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 298 ]
 299 qed.
 300
 301 lemma sem_exec_move : Realize ? exec_move R_exec_move.
 302 #intape
 303 cases (sem_seq … sem_init_copy
 304         (sem_seq … sem_copy
 305           (sem_seq … (sem_move_r …) sem_move_tape )) intape)
 306 #k * #outc * #Hloop #HR
 307 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [ @Hloop ] -Hloop
 308 #n #curconfig #ls #rs #c0 #c1 #s0 #s1 #table1 #newconfig #mv #table2
 309 #Htable #Hcurconfig1 #Hcurconfig2 #Hnewconfig #Hlen #Hls #Hrs #Hls1 #Hrs1 #Htape #Hintape #t1' #Ht1'
 310 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 311 lapply (Hta (〈c0,false〉::curconfig) table1 s0 ls s1
 312         (newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs) … Hintape) -Hta
 313 [ (*Hcurconfig2*) @daemon
 314 | (*Htable*) @daemon
 315 | (*bit_or_null c0 = true *) @daemon
 316 | (*Hcurconfig1*) @daemon
 317 | #Hta * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 318   lapply (Htb (〈grid,false〉::ls) s0 s1 c0 c1 (〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs) newconfig (〈comma,false〉::reverse ? table1) curconfig Hta ????????) -Htb
 319   [9:|*:(* bit_or_null c0,c1; |curconfig| = |newconfig|*) @daemon ]
 320   #Htb * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc whd in ⊢(???(??%%%)→?);#Htc
 321   whd in ⊢ (%→?); #Houtc whd in Htc:(???%); whd in Htc:(???(??%%%));
 322   lapply (Houtc rs n
 323     (〈comma,false〉::〈c1,false〉::reverse ? newconfig@〈s1,false〉::〈comma,false〉::reverse ? table1)
 324     mv table2 (merge_char c0 c1) (reverse ? newconfig@[〈s1,false〉]) ls ?????
 325     Hls Hrs Hls1 Hrs1 ???)
 326   [3: cases (true_or_false (c0 ==  null)) #Hc0
 327     [ >(\P Hc0) in Htape; #Htape cases (legal_tape_cases … Htape)
 328       [ * #Hfalse @False_ind /2/
 329       | * #_ *
 330         [ #Hlsnil @legal_tape_conditions % %2 //
 331         | #Hrsnil @legal_tape_conditions %2 //
 332         ]
 333       ]
 334     | @legal_tape_conditions % % @merge_char_not_null @(\Pf Hc0) ]
 335   |4:>Htc @(eq_f3 … (midtape ?))
 336     [ @eq_f @eq_f >associative_append >associative_append %
 337     | %
 338     | % ]
 339   | %
 340   || >reverse_cons >reverse_cons >reverse_append >reverse_reverse
 341      >reverse_cons >reverse_cons >reverse_reverse
 342      >associative_append >associative_append >associative_append
 343      >associative_append >associative_append
 344      @Htable
 345   | (* Hnewconfig *) @daemon
 346   | (* bit_or_null mv = true *) @daemon
 347   | (* bit_or_null c1,c2 → bit_or_null (merge_char c1 c2) *) @daemon
 348   | -Houtc * #ls1 * #rs1 * #newc * #Hnewtapelegal * #Houtc *
 349     [ *
 350       [ * #Hmv #Htapemove
 351         @(ex_intro ?? ls1) @(ex_intro ?? rs1) @(ex_intro ?? newc)
 352         %
 353         [ %
 354           [ >Houtc -Houtc >reverse_append
 355             >reverse_reverse >reverse_single @eq_f
 356             >reverse_cons >reverse_cons >reverse_append >reverse_cons
 357             >reverse_cons >reverse_reverse >reverse_reverse
 358             >associative_append >associative_append
 359             >associative_append >associative_append
 360             >associative_append >associative_append %
 361           | >Hmv >Ht1' >Htapemove
 362             (* mv = bit false -→ c1 = bit ? *)
 363             cut (∃c1'.c1 = bit c1') [ @daemon ] * #c1' #Hc1
 364             >Hc1 >tape_move_left_eq cases (legal_tape_cases … Htape)
 365             [ #Hc0 >lift_tape_not_null /2/
 366             | * #Hc0 *
 367               [ #Hls >Hc0 >Hls whd in ⊢ (??%%); cases rs;
 368                 [%| #r0 #rs0 %]
 369               | #Hrs >Hc0 >Hrs cases ls; [%| #l0 #ls0 %]
 370               ]
 371             ]
 372           ]
 373         | //
 374         ]
 375       | * #Hmv #Htapemove
 376         @(ex_intro ?? ls1) @(ex_intro ?? rs1) @(ex_intro ?? newc) %
 377         [ %
 378           [ >Houtc -Houtc >reverse_append
 379             >reverse_reverse >reverse_single @eq_f
 380             >reverse_cons >reverse_cons >reverse_append >reverse_cons
 381             >reverse_cons >reverse_reverse >reverse_reverse
 382             >associative_append >associative_append
 383             >associative_append >associative_append
 384             >associative_append >associative_append %
 385           |>Hmv >Ht1' >Htapemove
 386             cut (∃c1'.c1 = bit c1') [ @daemon ] * #c1' #Hc1
 387             >Hc1 >tape_move_right_eq cases (legal_tape_cases … Htape)
 388             [ #Hc0 >lift_tape_not_null /2/
 389             | * #Hc0 *
 390               [ #Hls >Hc0 >Hls whd in ⊢ (??%%); cases rs;
 391                 [%| #r0 #rs0 %]
 392               | #Hrs >Hc0 >Hrs cases ls; [%| #l0 #ls0 %]
 393             ]
 394           ]
 395         ]
 396       | //
 397       ]
 398     ]
 399   | * * * #Hmv #Hlseq #Hrseq #Hnewc
 400     @(ex_intro ?? ls1) @(ex_intro ?? rs1) @(ex_intro ?? newc) %
 401     [ %
 402       [ >Houtc -Houtc >reverse_append
 403         >reverse_reverse >reverse_single @eq_f
 404         >reverse_cons >reverse_cons >reverse_append >reverse_cons
 405         >reverse_cons >reverse_reverse >reverse_reverse
 406         >associative_append >associative_append
 407         >associative_append >associative_append
 408         >associative_append >associative_append %
 409       |>Hmv >Ht1' cases c1 in Hnewc;
 410         [ #c1' whd in ⊢ (??%?→?);#Hnewc <Hnewc
 411           >Hlseq >Hrseq cases Htape * #Hleft #Hright #_
 412           whd in ⊢ (??%%); >Hleft >Hright %
 413         | whd in ⊢ (??%?→?); #Hnewc >Hnewc >Hlseq >Hrseq %
 414         |*: whd in ⊢ (??%?→?);#Hnewc <Hnewc
 415          >Hlseq >Hrseq cases Htape * #Hleft #Hright #_
 416          whd in ⊢ (??%%); >Hleft >Hright % ]
 417       ]
 418     | //
 419     ]
 420   ]
 421 ]
 422 qed.
 423
 424 (*
 425 if is_false(current) (* current state is not final *)
 426    then init_match;
 427     match_tuple;
 428     if is_marked(current) = false (* match ok *)
 429       then
 430            exec_move
 431            move_r;
 432       else sink;
 433    else nop;
 434 *)
 435
 436 definition uni_step ≝
 437   ifTM ? (test_char STape (λc.\fst c == bit false))
 438     (single_finalTM ? (seq ? init_match
 439       (seq ? match_tuple
 440         (ifTM ? (test_char ? (λc.¬is_marked ? c))
 441           (seq ? exec_move (move_r …))
 442           (nop ?) (* sink *)
 443           tc_true))))
 444     (nop ?)
 445     tc_true.
 446
 447 definition R_uni_step_true ≝ λt1,t2.
 448   ∀n,t0,table,s0,s1,c0,c1,ls,rs,curconfig,newconfig,mv.
 449   table_TM (S n) (〈t0,false〉::table) →
 450   match_in_table (〈s0,false〉::curconfig@[〈c0,false〉])
 451     (〈s1,false〉::newconfig@[〈c1,false〉]) mv (〈t0,false〉::table) →
 452   legal_tape ls 〈c0,false〉 rs →
 453   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈s0,false〉
 454     (curconfig@〈c0,false〉::〈grid,false〉::〈t0,false〉::table@〈grid,false〉::rs) →
 455   ∀t1'.t1' = lift_tape ls 〈c0,false〉 rs →
 456   s0 = bit false ∧
 457   ∃ls1,rs1,c2.
 458   (t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls1) 〈s1,false〉
 459     (newconfig@〈c2,false〉::〈grid,false〉::〈t0,false〉::table@〈grid,false〉::rs1) ∧
 460    lift_tape ls1 〈c2,false〉 rs1 =
 461    tape_move STape t1' (map_move c1 mv) ∧ legal_tape ls1 〈c2,false〉 rs1).
 462
 463 definition R_uni_step_false ≝ λt1,t2.
 464   ∀b. current STape t1 = Some ? 〈bit b,false〉 → b = true ∧ t2 = t1.
 465
 466 axiom sem_match_tuple : Realize ? match_tuple R_match_tuple.
 467
 468 lemma sem_uni_step :
 469   accRealize ? uni_step (inr … (inl … (inr … 0)))
 470      R_uni_step_true R_uni_step_false.
 471 @(acc_sem_if_app … (sem_test_char ? (λc:STape.\fst c == bit false))
 472    (sem_seq … sem_init_match
 473      (sem_seq … sem_match_tuple
 474        (sem_if … (sem_test_char ? (λc.¬is_marked ? c))
 475           (sem_seq … sem_exec_move (sem_move_r …))
 476           (sem_nop …))))
 477    (sem_nop …)
 478    …)
 479 [ #intape #outtape
 480   #ta whd in ⊢ (%→?); #Hta #HR
 481   #n #t0 #table #s0 #s1 #c0 #c1 #ls #rs #curconfig #newconfig #mv
 482   #Htable #Hmatch #Htape #Hintape #t1' #Ht1'
 483   >Hintape in Hta; #Hta cases (Hta ? (refl ??)) -Hta
 484   #Hs0 lapply (\P Hs0) -Hs0 #Hs0 #Hta % //
 485   cases HR -HR
 486   #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 487   lapply (Htb (〈grid,false〉::ls) (curconfig@[〈c0,false〉]) (table@〈grid,false〉::rs) s0 t0 ???)
 488   [ >Hta >associative_append %
 489   | (* da decidere se aggiungere un'assunzione o utilizzare Hmatch *) @daemon
 490   | (* idem *) @daemon
 491   | -Hta -Htb #Htb *
 492     #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc cases (Htc … Htable … Htb) -Htb -Htc
 493     [| * #Hcurrent #Hfalse @False_ind
 494       (* absurd by Hmatch *) @daemon
 495     | >Hs0 %
 496     | (* da decidere se aggiungere un'assunzione o utilizzare Hmatch *) @daemon
 497     | (* Htable *) @daemon
 498     | (* Htable, Hmatch → |config| = n *) @daemon ]
 499     * #table1 * #newc * #mv1 * #table2 * #Htableeq #Htc *
 500     [ * #td * whd in ⊢ (%→?); >Htc -Htc #Htd
 501       cases (Htd ? (refl ??)) #_ -Htd
 502       cut (newc = 〈s1,false〉::newconfig@[〈c1,false〉]) [@daemon] #Hnewc
 503       >Hnewc #Htd
 504       cut (mv1 = 〈\fst mv1,false〉)
 505       [ >(eq_pair_fst_snd … mv1) @eq_f (*Htable, Htableeq*) @daemon ] #Hmv1
 506       * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte
 507       (* mv1 ha tipo lista ma dovrebbe avere tipo unialpha *)
 508       cut (td = midtape STape (〈c0,false〉::reverse STape curconfig@〈s0,false〉::〈grid,false〉::ls)
 509               〈grid,false〉
 510               ((table1@〈s0,false〉::curconfig@[〈c0,false〉])@〈comma,true〉::〈s1,false〉::
 511                newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈\fst mv1,false〉::table2@〈grid,false〉::rs))
 512       [ >Htd @eq_f3 //
 513         [ >reverse_append >reverse_single %
 514         | >associative_append >associative_append normalize
 515           >associative_append >associative_append <Hmv1 %
 516         ]
 517       ]
 518       -Htd #Htd lapply (Hte … (S n) … Htd … Ht1') -Htd -Hte
 519       [ //
 520       |2,3,4,5: (* dovrebbe scomparire (lo metteremo nel legal_tape) *) @daemon
 521       | (*|curconfig| = |newconfig|*) @daemon
 522       | (* only_bits (〈s1,false〉::newconfig) *) @daemon
 523       | (* only_bits (curconfig@[〈s0,false〉]) *) @daemon
 524       | (* no_marks (reverse ? curconfig) *) @daemon
 525       | <Hmv1 >Hnewc in Htableeq;
 526         >associative_append >associative_append normalize
 527         >associative_append >associative_append
 528         #Htableeq <Htableeq // ]
 529       * #ls1 * #rs1 * #c2 * * #Hte #Hliftte #Hlegalte
 530       whd in ⊢ (%→?); #Houttape lapply (Houttape … Hte) -Houttape #Houttape
 531       whd in Houttape:(???%); whd in Houttape:(???(??%%%));
 532       @ex_intro [| @(ex_intro ?? rs1) @ex_intro [| % [ %
 533       [ >Houttape @eq_f @eq_f @eq_f @eq_f
 534         change with ((〈t0,false〉::table)@?) in ⊢ (???%);
 535         >Htableeq >associative_append >associative_append
 536         >associative_append normalize >associative_append
 537         >associative_append normalize >Hnewc <Hmv1
 538         >associative_append normalize >associative_append %
 539       | >(?: mv = \fst mv1) [| (*Hmatch, Htableeq*) @daemon ]
 540         @Hliftte
 541       ]
 542      | //
 543      ]
 544     ]
 545    ]
 546   | * #td * whd in ⊢ (%→%→?); >Htc #Htd
 547     cases (Htd ? (refl ??)) normalize in ⊢ (%→?);
 548     #Hfalse destruct (Hfalse)
 549   ]
 550  ]
 551 | #t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→%→?); #Ht1 #Ht2
 552   #b #Hb cases (Ht1 ? Hb) #Hb' #Ht3 >Ht2 % //
 553   cases b in Hb'; normalize #H1 //
 554 ]
 555 qed.