matita/matita/lib/turing/universal/uni_step.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/copy.ma".
  18 include "turing/universal/move_tape.ma".
  19 include "turing/universal/match_machines.ma".
  20
  21 (*
  22
  23 step :
  24
  25 if is_true(current) (* current state is final *)
  26    then nop
  27    else
  28    (* init_match *)
  29    mark;
  30    adv_to_grid_r;
  31    move_r;
  32    mark;
  33    move_l;
  34    adv_to_mark_l
  35    (* /init_match *)
  36    match_tuple;
  37    if is_marked(current) = false (* match ok *)
  38       then
  39            (* init_copy *)
  40            move_l;
  41            init_current;
  42            move_r;
  43            adv_to_mark_r;
  44            adv_mark_r;
  45            (* /init_copy *)
  46            copy;
  47            move_r;
  48            (* move_tape *)
  49            by cases on current:
  50              case bit false: move_tape_l
  51              case bit true: move_tape_r
  52              case null: adv_to_grid_l; move_l; adv_to_grid_l;
  53            move_r;
  54            (* /move_tape *)
  55       else sink;
  56
  57 *)
  58
  59 definition init_match ≝
  60   mark ? · adv_to_mark_r ? (λc:STape.is_grid (\fst c)) · move_r ? ·
  61     move_r ? · mark ? · move_l ? · adv_to_mark_l ? (is_marked ?).
  62
  63 definition R_init_match ≝ λt1,t2.
  64   ∀ls,l,rs,c,d. no_grids (〈c,false〉::l) → no_marks l →
  65   t1 = midtape STape ls 〈c,false〉 (l@〈grid,false〉::〈bar,false〉::〈d,false〉::rs) →
  66   t2 = midtape STape ls 〈c,true〉 (l@〈grid,false〉::〈bar,false〉::〈d,true〉::rs).
  67
  68 lemma sem_init_match : Realize ? init_match R_init_match.
  69 #intape
  70 cases (sem_seq ????? (sem_mark ?)
  71        (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_r ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
  72         (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
  73          (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
  74           (sem_seq ????? (sem_mark ?)
  75            (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
  76             (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))))))) intape)
  77 #k * #outc * #Hloop #HR
  78 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
  79 #ls #l #rs #c #d #Hnogrids #Hnomarks #Hintape
  80 cases HR -HR
  81 #ta * whd in ⊢ (%→?); * #Hta #_ lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape #Hta
  82 * #tb * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htb cases (Htb … Hta) -Htb -Hta
  83   [* #Hgridc @False_ind @(absurd … Hgridc) @eqnot_to_noteq
  84    @(Hnogrids 〈c,false〉) @memb_hd ]
  85 * * #Hgrdic #Htb #_ lapply (Htb l 〈grid,false〉 (〈bar,false〉::〈d,false〉::rs) (refl …) (refl …) ?)
  86   [#x #membl @Hnogrids @memb_cons @membl] -Htb #Htb
  87 * #tc * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb #Htc
  88 * #td * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htd lapply (Htd … Htc) -Htd -Htc #Htd
  89 * #te * whd in ⊢ (%→?); * #Hte #_ lapply (Hte … Htd) -Hte -Htd #Hte
  90 * #tf * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htf lapply (Htf … Hte) -Htf -Hte #Htf
  91 whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htg cases (Htg … Htf) -Htg -Htf
  92 #_ #Htg cases (Htg (refl …)) -Htg #Htg #_
  93 lapply (Htg (〈grid,false〉::reverse ? l) 〈c,true〉 ls (refl …) (refl …) ?)
  94   [#x #membl @Hnomarks @daemon] -Htg #Htg >Htg >reverse_cons >reverse_reverse
  95    >associative_append %
  96 qed.
  97
  98 (* init_copy
  99
 100            init_current_on_match; (* no marks in current *)
 101            move_r;
 102            adv_to_mark_r;
 103            adv_mark_r;
 104
 105 *)
 106
 107 definition init_copy ≝
 108   init_current_on_match · move_r ? ·
 109     adv_to_mark_r ? (is_marked ?) · adv_mark_r ?.
 110
 111 definition R_init_copy ≝ λt1,t2.
 112   ∀l1,l2,c,ls,d,rs.
 113   no_marks l1 → no_grids l1 →
 114   no_marks l2 → is_grid c = false →
 115   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉 (l2@〈comma,true〉::〈d,false〉::rs) →
 116   t2 = midtape STape (〈comma,false〉::(reverse ? l2)@〈grid,false〉::l1@〈c,true〉::〈grid,false〉::ls) 〈d,true〉 rs.
 117
 118 lemma list_last: ∀A.∀l:list A.
 119   l = [ ] ∨ ∃a,l1. l = l1@[a].
 120 #A #l <(reverse_reverse ? l) cases (reverse A l)
 121   [%1 //
 122   |#a #l1 %2 @(ex_intro ?? a) @(ex_intro ?? (reverse ? l1)) //
 123   ]
 124 qed.
 125
 126 lemma sem_init_copy : Realize ? init_copy R_init_copy.
 127 #intape
 128 cases (sem_seq ????? sem_init_current_on_match
 129         (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
 130           (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_r ? (is_marked ?))
 131             (sem_adv_mark_r ?))) intape)
 132 #k * #outc * #Hloop #HR
 133 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 134 #l1 #l2 #c #ls #d #rs #Hl1marks #Hl1grids #Hl2marks #Hc #Hintape
 135 cases HR -HR
 136 #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hl1grids Hc Hintape) -Hta -Hintape #Hta
 137 * #tb * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htb lapply (Htb  … Hta) -Htb -Hta
 138 generalize in match Hl1marks; -Hl1marks cases (list_last ? l1)
 139   [#eql1 >eql1 #Hl1marks whd in ⊢ ((???%)→?); whd in ⊢ ((???(????%))→?); #Htb
 140    * #tc * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htc lapply (Htc  … Htb) -Htc -Htb *
 141     [* whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 142    * * #_ #Htc #_ lapply (Htc … (refl …) (refl …) ?)
 143     [#x #membx @Hl2marks @membx]
 144    #Htc whd in ⊢ (%→?); * #Houtc #_ cases (Houtc (reverse ? l2@〈grid,false〉::〈c,true〉::〈grid,false〉::ls) comma)
 145    -Houtc #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc -Htc #Houtc #_
 146    >Houtc %
 147   |* #c1 * #tl #eql1 >eql1 #Hl1marks >reverse_append >reverse_single
 148    whd in ⊢ ((???%)→?); whd in ⊢ ((???(????%))→?);
 149    >associative_append whd in ⊢ ((???(????%))→?); #Htb
 150    * #tc * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htc lapply (Htc  … Htb) -Htc -Htb *
 151     [* >Hl1marks [#Htemp destruct (Htemp)] @memb_append_l2 @memb_hd]
 152    * * #_ >append_cons <associative_append #Htc lapply (Htc … (refl …) (refl …) ?)
 153     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 154       [cases (memb_append … membx) -membx #membx
 155         [@Hl1marks @memb_append_l1 @daemon
 156         |>(memb_single … membx) %
 157         ]
 158       |@Hl2marks @membx
 159       ]]
 160   -Htc #Htc #_ whd in ⊢ (%→?); * #Houtc #_ cases (Houtc (reverse (FinProd FSUnialpha FinBool) ((reverse STape tl@[〈grid,false〉])@l2)
 161      @c1::〈c,true〉::〈grid,false〉::ls) comma)
 162   -Houtc #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc -Htc #Houtc #_
 163   >Houtc >reverse_append >reverse_append >reverse_single
 164   >reverse_reverse >associative_append >associative_append
 165   >associative_append %
 166 qed.
 167
 168 (* OLD
 169 definition init_copy ≝
 170   seq ? (adv_mark_r ?)
 171     (seq ? init_current_on_match
 172       (seq ? (move_r ?)
 173         (adv_to_mark_r ? (is_marked ?)))).
 174
 175 definition R_init_copy ≝ λt1,t2.
 176   ∀l1,l2,c,l3,d,rs.
 177   no_marks l1 → no_grids l1 →
 178   no_marks l2 → no_grids l2 → is_grid c = false → is_grid d =false →
 179   t1 = midtape STape (l1@〈grid,false〉::l2@〈c,false〉::〈grid,false〉::l3) 〈comma,true〉 (〈d,false〉::rs) →
 180   t2 = midtape STape (〈comma,false〉::l1@〈grid,false〉::l2@〈c,true〉::〈grid,false〉::l3) 〈d,true〉 rs.
 181
 182 lemma list_last: ∀A.∀l:list A.
 183   l = [ ] ∨ ∃a,l1. l = l1@[a].
 184 #A #l <(reverse_reverse ? l) cases (reverse A l)
 185   [%1 //
 186   |#a #l1 %2 @(ex_intro ?? a) @(ex_intro ?? (reverse ? l1)) //
 187   ]
 188 qed.
 189
 190 lemma sem_init_copy : Realize ? init_copy R_init_copy.
 191 #intape
 192 cases (sem_seq ????? (sem_adv_mark_r ?)
 193        (sem_seq ????? sem_init_current_on_match
 194         (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
 195          (sem_adv_to_mark_r ? (is_marked ?)))) intape)
 196 #k * #outc * #Hloop #HR
 197 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 198 #l1 #l2 #c #l3 #d #rs #Hl1marks #Hl1grids #Hl2marks #Hl2grids #Hc #Hd #Hintape
 199 cases HR -HR
 200 #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape #Hta
 201 * #tb * whd in ⊢ (%→?);
 202 >append_cons #Htb lapply (Htb (〈comma,false〉::l1) l2 c … Hta)
 203   [@Hd |@Hc |@Hl2grids
 204    |#x #membx cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
 205      [>(\P membx) // | @Hl1grids @membx]
 206   ] -Htb #Htb
 207 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 208 >reverse_append >reverse_cons cases (list_last ? l2)
 209   [#Hl2 >Hl2 >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 210    whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd -Htc
 211     [* whd in ⊢ ((??%?)→?); #Habs destruct (Habs)]
 212    * #_ #Htf lapply (Htf … (refl …) (refl …) ?)
 213     [#x >reverse_cons #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 214       [@Hl1marks @daemon |>(memb_single … membx) //]
 215     -Htf
 216     |#Htf >Htf >reverse_reverse >associative_append %
 217     ]
 218   |* #a * #l21 #Heq >Heq >reverse_append >reverse_single
 219    >associative_append >associative_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 220    whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd -Htc
 221     [* >Hl2marks [#Habs destruct (Habs) |>Heq @memb_append_l2 @memb_hd]]
 222    * #_ <associative_append <associative_append #Htf lapply (Htf … (refl …) (refl …) ?)
 223     [#x >reverse_cons #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 224       [cases (memb_append … membx) -membx #membx
 225         [@Hl2marks >Heq @memb_append_l1 @daemon
 226         |>(memb_single … membx) //]
 227       |cases (memb_append … membx) -membx #membx
 228         [@Hl1marks @daemon |>(memb_single … membx) //]
 229       ]
 230     | #Htf >Htf >reverse_append >reverse_reverse
 231       >reverse_append >reverse_reverse >associative_append
 232       >reverse_single >associative_append >associative_append
 233       >associative_append %
 234     ]
 235   ]
 236 qed. *)
 237
 238 definition exec_action ≝
 239   init_copy · copy · move_r … · move_tape.
 240
 241 definition map_move ≝
 242   λc,mv.match c with [ null ⇒ None ? | _ ⇒ Some ? 〈c,false,move_of_unialpha mv〉 ].
 243
 244 (* - aggiungere a legal_tape le condizioni
 245        only_bits ls, rs; bit_or_null c
 246    - ci vuole un lemma che dimostri
 247        bit_or_null c1 = true    bit_or_null mv = true
 248        mv ≠ null → c1 ≠ null
 249      dal fatto che c1 e mv sono contenuti nella table
 250  *)
 251 definition R_exec_action ≝ λt1,t2.
 252   ∀n,curconfig,ls,rs,c0,c1,s0,s1,table1,newconfig,mv,table2.
 253   table_TM n (table1@〈comma,false〉::〈s1,false〉::newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2) →
 254   no_marks curconfig → only_bits (curconfig@[〈s0,false〉]) →
 255   only_bits (〈s1,false〉::newconfig) → bit_or_null c1 = true →
 256   |curconfig| = |newconfig| →
 257   legal_tape ls 〈c0,false〉 rs →
 258   t1 = midtape STape (〈c0,false〉::curconfig@〈s0,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 259     (table1@〈comma,true〉::〈s1,false〉::newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs) →
 260   ∀t1'.t1' = lift_tape ls 〈c0,false〉 rs →
 261   ∃ls1,rs1,c2.
 262   t2 = midtape STape ls1 〈grid,false〉
 263     (〈s1,false〉::newconfig@〈c2,false〉::〈grid,false〉::
 264      table1@〈comma,false〉::〈s1,false〉::newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs1) ∧
 265   lift_tape ls1 〈c2,false〉 rs1 =
 266   tape_move STape t1' (map_move c1 mv) ∧ legal_tape ls1 〈c2,false〉 rs1.
 267
 268 (* move the following 2 lemmata to mono.ma *)
 269 lemma tape_move_left_eq :
 270   ∀A.∀t:tape A.∀c.
 271   tape_move ? t (Some ? 〈c,L〉) =
 272   tape_move_left ? (left ? t) c (right ? t).
 273 //
 274 qed.
 275
 276 lemma tape_move_right_eq :
 277   ∀A.∀t:tape A.∀c.
 278   tape_move ? t (Some ? 〈c,R〉) =
 279   tape_move_right ? (left ? t) c (right ? t).
 280 //
 281 qed.
 282
 283 lemma lift_tape_not_null :
 284  ∀ls,c,bc,rs.c ≠ null → lift_tape ls 〈c,bc〉 rs = midtape ? ls 〈c,bc〉 rs.
 285 #ls #c #bc #rs cases c //
 286 #Hfalse @False_ind /2/
 287 qed.
 288
 289 lemma merge_char_not_null :
 290   ∀c1,c2.c1 ≠ null → merge_char c1 c2 ≠ null.
 291 #c1 #c2 @not_to_not cases c2
 292 [ #c1' normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 293 | normalize //
 294 | *: normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 295 ]
 296 qed.
 297
 298 lemma merge_char_null : ∀c.merge_char null c = c.
 299 * //
 300 qed.
 301
 302 lemma merge_char_cases : ∀c1,c2.merge_char c1 c2 = c1 ∨ merge_char c1 c2 = c2.
 303 #c1 *
 304 [ #c1' %2 %
 305 | % %
 306 | *: %2 % ]
 307 qed.
 308
 309 (* lemma merge_char_c_bit :
 310   ∀c1,c2.is_bit c2 = true → merge_char c1 c2 = c2.
 311 #c1 *
 312 [ #c2' #_ %
 313 |*: normalize #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 314 qed.
 315
 316 lemma merge_char_c_bit :
 317   ∀c1,c2.is_null c2 = true → merge_char c1 c2 = c1.
 318 #c1 *
 319 [ #c2' #_ %
 320 |*: normalize #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 321 qed.
 322
 323 *)
 324
 325 lemma sem_exec_action : Realize ? exec_action R_exec_action.
 326 #intape
 327 cases (sem_seq … sem_init_copy
 328         (sem_seq … sem_copy
 329           (sem_seq … (sem_move_r …) sem_move_tape )) intape)
 330 #k * #outc * #Hloop #HR
 331 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [ @Hloop ] -Hloop
 332 #n #curconfig #ls #rs #c0 #c1 #s0 #s1 #table1 #newconfig #mv #table2
 333 #Htable #Hcurconfig1 #Hcurconfig2 #Hnewconfig #Hc1 #Hlen #Htape #Hintape #t1' #Ht1'
 334 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 335 lapply (Hta (〈c0,false〉::curconfig) table1 s0 ls s1
 336         (newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs) … Hintape) -Hta
 337 [ (*Hcurconfig2*) @daemon
 338 | (*Htable*) @daemon
 339 | (*bit_or_null c0 = true *) @daemon
 340 | (*Hcurconfig1*) @daemon
 341 | #Hta * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 342   lapply (Htb (〈grid,false〉::ls) s0 s1 c0 c1 (〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs) newconfig (〈comma,false〉::reverse ? table1) curconfig Hta ????????) -Htb
 343   [9:|*:(* bit_or_null c0,c1; |curconfig| = |newconfig|*) @daemon ]
 344   #Htb * #tc * whd in ⊢ (%→?); * #_ #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc whd in ⊢(???(??%%%)→?);#Htc
 345   whd in ⊢ (%→?); #Houtc whd in Htc:(???%); whd in Htc:(???(??%%%));
 346   lapply (Houtc rs n
 347     (〈comma,false〉::〈c1,false〉::reverse ? newconfig@〈s1,false〉::〈comma,false〉::reverse ? table1)
 348     mv table2 (merge_char c0 c1) (reverse ? newconfig@[〈s1,false〉]) ls ????????)
 349   [3: cases Htape -Htape * * #Hnomarks #Hbits #Hc0 #Hlsrs % [ % [ %
 350     [ #x #Hx cases (orb_true_l … Hx) #Hx'
 351       [ >(\P Hx') %
 352       | @Hnomarks @memb_cons // ]
 353     | @Hbits ]
 354     | cases (merge_char_cases c0 c1) #Hmerge >Hmerge // ]
 355     | cases (true_or_false (c0 == null)) #Hc0'
 356       [ cases Hlsrs -Hlsrs
 357         [ *
 358           [ >(\P Hc0') * #Hfalse @False_ind /2/
 359           | #Hlsnil % %2 // ]
 360         | #Hrsnil %2 // ]
 361       | % % @merge_char_not_null @(\Pf Hc0') ] ]
 362   |4:>Htc @(eq_f3 … (midtape ?))
 363     [ @eq_f @eq_f >associative_append >associative_append %
 364     | %
 365     | % ]
 366   | %
 367   || >reverse_cons >reverse_cons >reverse_append >reverse_reverse
 368      >reverse_cons >reverse_cons >reverse_reverse
 369      >associative_append >associative_append >associative_append
 370      >associative_append >associative_append
 371      @Htable
 372   | (* well formedness of table *) @daemon
 373   | (* Hnewconfig *) @daemon
 374   | (* bit_or_null mv = true (well formedness of table) *) @daemon
 375   | -Houtc * #ls1 * #rs1 * #newc * #Hnewtapelegal * #Houtc *
 376     [ *
 377       [ * #Hmv #Htapemove
 378         @(ex_intro ?? ls1) @(ex_intro ?? rs1) @(ex_intro ?? newc)
 379         %
 380         [ %
 381           [ >Houtc -Houtc >reverse_append
 382             >reverse_reverse >reverse_single @eq_f
 383             >reverse_cons >reverse_cons >reverse_append >reverse_cons
 384             >reverse_cons >reverse_reverse >reverse_reverse
 385             >associative_append >associative_append
 386             >associative_append >associative_append
 387             >associative_append >associative_append %
 388           | >Hmv >Ht1' >Htapemove
 389             (* mv = bit false -→ c1 = bit ? *)
 390             cut (∃c1'.c1 = bit c1') [ @daemon ] * #c1' #Hc1
 391             >Hc1 >tape_move_left_eq >(legal_tape_left … Htape)
 392             >(legal_tape_right … Htape) %
 393           ]
 394         | //
 395         ]
 396       | * #Hmv #Htapemove
 397         @(ex_intro ?? ls1) @(ex_intro ?? rs1) @(ex_intro ?? newc) %
 398         [ %
 399           [ >Houtc -Houtc >reverse_append
 400             >reverse_reverse >reverse_single @eq_f
 401             >reverse_cons >reverse_cons >reverse_append >reverse_cons
 402             >reverse_cons >reverse_reverse >reverse_reverse
 403             >associative_append >associative_append
 404             >associative_append >associative_append
 405             >associative_append >associative_append %
 406           |>Hmv >Ht1' >Htapemove
 407             cut (∃c1'.c1 = bit c1') [ @daemon ] * #c1' #Hc1
 408             >Hc1 >tape_move_right_eq >(legal_tape_left … Htape)
 409             >(legal_tape_right … Htape) %
 410           ]
 411         | //
 412         ]
 413       ]
 414     | * * * #Hmv #Hlseq #Hrseq #Hnewc
 415       @(ex_intro ?? ls1) @(ex_intro ?? rs1) @(ex_intro ?? newc) %
 416       [ %
 417         [ >Houtc -Houtc >reverse_append
 418           >reverse_reverse >reverse_single @eq_f
 419           >reverse_cons >reverse_cons >reverse_append >reverse_cons
 420           >reverse_cons >reverse_reverse >reverse_reverse
 421           >associative_append >associative_append
 422           >associative_append >associative_append
 423           >associative_append >associative_append %
 424         |>Hmv >Ht1' cases c1 in Hnewc;
 425           [ #c1' whd in ⊢ (??%?→?);#Hnewc <Hnewc
 426             >Hlseq >Hrseq whd in ⊢ (??%%);
 427             >(legal_tape_left … Htape) >(legal_tape_right … Htape) %
 428           | whd in ⊢ (??%?→?); #Hnewc >Hnewc >Hlseq >Hrseq %
 429           |*: whd in ⊢ (??%?→?);#Hnewc <Hnewc
 430             >Hlseq >Hrseq whd in ⊢ (??%%);
 431             >(legal_tape_left … Htape) >(legal_tape_right … Htape) %
 432           ]
 433         ]
 434       | //
 435       ]
 436     ]
 437   ]
 438 ]
 439 qed.
 440
 441 (*
 442 if is_false(current) (* current state is not final *)
 443    then init_match;
 444     match_tuple;
 445     if is_marked(current) = false (* match ok *)
 446       then
 447            exec_action
 448            move_r;
 449       else sink;
 450    else nop;
 451 *)
 452
 453 definition uni_step ≝
 454   ifTM ? (test_char STape (λc.\fst c == bit false))
 455     (single_finalTM ?
 456       (init_match · match_tuple ·
 457         (ifTM ? (test_char ? (λc.¬is_marked ? c))
 458           (exec_action · move_r …)
 459           (nop ?) tc_true)))
 460     (nop ?) tc_true.
 461
 462 definition R_uni_step_true ≝ λt1,t2.
 463   ∀n,table,s0,s1,c0,c1,ls,rs,curconfig,newconfig,mv.
 464   0 < |table| → table_TM (S n) table →
 465   match_in_table (S n) (〈s0,false〉::curconfig) 〈c0,false〉
 466     (〈s1,false〉::newconfig) 〈c1,false〉 〈mv,false〉 table →
 467   legal_tape ls 〈c0,false〉 rs →
 468   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈s0,false〉
 469     (curconfig@〈c0,false〉::〈grid,false〉::table@〈grid,false〉::rs) →
 470   ∀t1'.t1' = lift_tape ls 〈c0,false〉 rs →
 471   s0 = bit false ∧
 472   ∃ls1,rs1,c2.
 473   (t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls1) 〈s1,false〉
 474     (newconfig@〈c2,false〉::〈grid,false〉::table@〈grid,false〉::rs1) ∧
 475    lift_tape ls1 〈c2,false〉 rs1 =
 476    tape_move STape t1' (map_move c1 mv) ∧ legal_tape ls1 〈c2,false〉 rs1).
 477
 478 definition R_uni_step_false ≝ λt1,t2.
 479   ∀b. current STape t1 = Some ? 〈bit b,false〉 → b = true ∧ t2 = t1.
 480
 481 (*axiom sem_match_tuple : Realize ? match_tuple R_match_tuple.*)
 482
 483 definition us_acc : states ? uni_step ≝ (inr … (inl … (inr … start_nop))).
 484
 485 definition Pre_uni_step ≝ λt1.
 486   ∃n,table,s0,s1,c0,c1,ls,rs,curconfig,newconfig,mv.
 487   0 < |table| ∧ table_TM (S n) table ∧
 488   match_in_table (S n) (〈s0,false〉::curconfig) 〈c0,false〉
 489     (〈s1,false〉::newconfig) 〈c1,false〉 〈mv,false〉 table ∧
 490   legal_tape ls 〈c0,false〉 rs ∧
 491   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈s0,false〉
 492     (curconfig@〈c0,false〉::〈grid,false〉::table@〈grid,false〉::rs).
 493
 494 lemma sem_uni_step :
 495   accGRealize ? uni_step us_acc Pre_uni_step
 496      R_uni_step_true R_uni_step_false.
 497 @(acc_sem_if_app_guarded STape … (sem_test_char ? (λc:STape.\fst c == bit false))
 498   ? (test_char_inv …) (sem_nop …) …)
 499 [| @(sem_seq_app_guarded … (Realize_to_GRealize … sem_init_match) ???)
 500   [ 5: @sub_reflexive
 501   | 3: @(sem_seq_app_guarded … sem_match_tuple
 502          (Realize_to_GRealize … (sem_if ????????? (sem_test_char …  (λc.¬is_marked FSUnialpha c))
 503           (sem_seq … sem_exec_action (sem_move_r …))
 504           (sem_nop …))))
 505      [@(λx.True)
 506      |//
 507      |@sub_reflexive]
 508   ||| #t1 #t2 * #n * #table * #s0 * #s1 * #c0 * #c1 * #ls * #rs * #curconfig
 509       * #newconfig * #mv * * * *
 510       #Hlen1 #Htable #Hmatch #Hlegal #Ht1
 511       whd in ⊢ (%→?);
 512       cut (∃tup,table0.table = tup@table0 ∧ tuple_TM (S n) tup)
 513       [@daemon]
 514       * #tup * #table0 * #Htableeq * #qin * #cin * #qout * #cout * #mv0
 515       * * * * * * * * * *
 516       #Hqinnomarks #_ #Hqinbits #_ #_ #_ #_ #_ #Hqinlen #_ #Htupeq
 517       cut (∃d,qin0.qin = 〈d,false〉::qin0)
 518       [ lapply Hqinlen lapply Hqinnomarks -Hqinlen -Hqinnomarks cases qin
 519         [ #_ normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 520         | * #d #bd #qin0 #Hqinnomarks #_ %{d} %{qin0}
 521           >(?:bd=false) [%]
 522           @(Hqinnomarks 〈d,bd〉) @memb_hd ] ]
 523       * #d * #qin0 #Hqineq
 524       #Ht2
 525       lapply (Ht2 (〈grid,false〉::ls) (curconfig@[〈c0,false〉])
 526                (qin0@〈cin,false〉::〈comma,false〉::qout@〈cout,false〉::〈comma,false〉::〈mv0,false〉::table0@〈grid,false〉::rs) s0 d ???)
 527       [ >Ht1 @eq_f >associative_append @eq_f @eq_f @eq_f
 528         >Htableeq >Htupeq >associative_append whd in ⊢ (??%?);
 529         @eq_f >Hqineq >associative_append @eq_f whd in ⊢ (??%?);
 530         @eq_f whd in ⊢ (??%?); @eq_f
 531         >associative_append %
 532       | @daemon
 533       | @daemon
 534       ]
 535       #Ht2 % [| % [| % [| % [ @Ht2 ]
 536         %2
 537         (* ls0 = ls
 538            c = s0
 539            l1 = curconfig@[〈c0,false〉]
 540            l2 = [〈bar,false〉]
 541            c10 = d
 542            l3 = qin0@[〈cin,false〉]
 543            l4 = qout@〈cout,false〉::〈comma,false〉::〈mv0,false〉::table0
 544            rs00 = rs
 545            n0 = S n ?
 546          *)
 547         %{ls} %{s0} %{(curconfig@[〈c0,false〉])}
 548         %{([〈bar,false〉])} %{d} %{(qin0@[〈cin,false〉])}
 549         %{(qout@〈cout,false〉::〈comma,false〉::〈mv0,false〉::table0)}
 550         %{rs} %{n} @daemon (* TODO *)
 551       ]
 552      ]
 553     ]
 554    ]
 555  | #intape #outtape
 556   #ta whd in ⊢ (%→?); #Hta #HR
 557   #n #fulltable #s0 #s1 #c0 #c1 #ls #rs #curconfig #newconfig #mv
 558   #Htable_len cut (∃t0,table. fulltable =〈bar,false〉::〈t0,false〉::table) [(* 0 < |table| *) @daemon]
 559   * #t0 * #table #Hfulltable >Hfulltable -fulltable
 560   #Htable #Hmatch #Htape #Hintape #t1' #Ht1'
 561   >Hintape in Hta; * * * #c #bc *
 562   whd in ⊢ (??%?→?); #HSome destruct (HSome) #Hc #Hta % [@(\P Hc)]
 563   cases HR -HR
 564   #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 565   lapply (Htb (〈grid,false〉::ls) (curconfig@[〈c0,false〉]) (table@〈grid,false〉::rs) c t0 ???)
 566   [ >Hta >associative_append %
 567   | @daemon
 568   | @daemon
 569   | -Hta -Htb #Htb *
 570     #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc cases (Htc … Htable … Htb) -Htb -Htc
 571     [| * #Hcurrent #Hfalse @False_ind
 572       (* absurd by Hmatch *) @daemon
 573     | >(\P Hc) %
 574     | (* Htable (con lemma) *) @daemon
 575     | (* Hmatch *) @daemon
 576     | (* Htable *) @daemon
 577     | (* Htable, Hmatch → |config| = n
 578        necessaria modifica in R_match_tuple, le dimensioni non corrispondono
 579       *) @daemon
 580     ]
 581     * #table1 * #newc * #mv1 * #table2 * #Htableeq #Htc *
 582     [ * #td * whd in ⊢ (%→?); >Htc -Htc * * #c2 * whd in ⊢ (??%?→?); #Hc2 destruct (Hc2)
 583       #_ #Htd
 584       cut (newc = 〈s1,false〉::newconfig@[〈c1,false〉]) [@daemon] #Hnewc
 585       >Hnewc cut (mv1 = 〈mv,false〉)
 586       [@daemon] #Hmv1
 587       * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte
 588       cut (td = midtape STape (〈c0,false〉::reverse STape curconfig@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls)
 589               〈grid,false〉
 590               ((table1@〈bar,false〉::〈c,false〉::curconfig@[〈c0,false〉])@〈comma,true〉::〈s1,false〉::
 591                newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs))
 592       [ >Htd @eq_f3 //
 593         [ >reverse_append >reverse_single %
 594         | >associative_append >associative_append normalize
 595           >associative_append >Hmv1 >Hnewc @eq_f @eq_f @eq_f @eq_f @eq_f @eq_f
 596           whd in ⊢ (??%?); >associative_append %
 597         ]
 598       ]
 599       -Htd #Htd lapply (Hte … (S n) … Htd … Ht1') -Htd -Hte
 600       [ //
 601       | (*|curconfig| = |newconfig|*) @daemon
 602       | (* Htable → bit_or_null c1 = true *) @daemon
 603       | (* only_bits (〈s1,false〉::newconfig) *) @daemon
 604       | (* only_bits (curconfig@[〈s0,false〉]) *) @daemon
 605       | (* no_marks (reverse ? curconfig) *) @daemon
 606       | >Hmv1 in Htableeq; >Hnewc
 607         >associative_append >associative_append normalize
 608         >associative_append >associative_append
 609         #Htableeq <Htableeq // ]
 610       * #ls1 * #rs1 * #c2 * * #Hte #Hliftte #Hlegalte
 611       whd in ⊢ (%→?); * #_ #Houttape lapply (Houttape … Hte) -Houttape #Houttape
 612       whd in Houttape:(???%); whd in Houttape:(???(??%%%));
 613       @ex_intro [| @(ex_intro ?? rs1) @ex_intro [| % [ %
 614       [ >Houttape @eq_f @eq_f @eq_f @eq_f
 615         change with ((〈bar,false〉::〈t0,false〉::table)@?) in ⊢ (???%);
 616         >Htableeq >associative_append >associative_append
 617         >associative_append normalize >associative_append
 618         >associative_append normalize >Hnewc <Hmv1
 619         >associative_append normalize >associative_append
 620         >Hmv1 %
 621       | @Hliftte
 622       ]
 623      | //
 624      ]
 625     ]
 626    ]
 627   | * #td * whd in ⊢ (%→%→?); >Htc * #Htd
 628     lapply (Htd ? (refl ??)) normalize in ⊢ (%→?);
 629     #Hfalse destruct (Hfalse)
 630   ]
 631  ]
 632 | #t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→%→?); #Ht1 #Ht2
 633   #b #Hb >Hb in Ht1; * #Hc #Ht1 lapply (Hc ? (refl ??)) -Hc #Hb' %
 634   // cases b in Hb'; normalize #H1 //
 635 ]
 636 qed.
 637
 638 (*
 639 @(acc_sem_if_app STape … (sem_test_char ? (λc:STape.\fst c == bit false))
 640    (sem_seq … sem_init_match
 641      (sem_seq … sem_match_tuple
 642        (sem_if … (* ????????? (sem_test_char …  (λc.¬is_marked FSUnialpha c)) *)
 643           (sem_seq … sem_exec_action (sem_move_r …))
 644           (sem_nop …))))
 645    (sem_nop …)
 646    …)
 647 [@sem_test_char||]
 648 [ #intape #outtape
 649   #ta whd in ⊢ (%→?); #Hta #HR
 650   #n #fulltable #s0 #s1 #c0 #c1 #ls #rs #curconfig #newconfig #mv
 651   #Htable_len cut (∃t0,table. fulltable =〈bar,false〉::〈t0,false〉::table) [(* 0 < |table| *) @daemon]
 652   * #t0 * #table #Hfulltable >Hfulltable -fulltable
 653   #Htable #Hmatch #Htape #Hintape #t1' #Ht1'
 654   >Hintape in Hta; * * * #c #bc *
 655   whd in ⊢ (??%?→?); #HSome destruct (HSome) #Hc #Hta % [@(\P Hc)]
 656   cases HR -HR
 657   #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 658   lapply (Htb (〈grid,false〉::ls) (curconfig@[〈c0,false〉]) (table@〈grid,false〉::rs) c t0 ???)
 659   [ >Hta >associative_append %
 660   | @daemon
 661   | @daemon
 662   | -Hta -Htb #Htb *
 663     #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc cases (Htc … Htable … Htb) -Htb -Htc
 664     [| * #Hcurrent #Hfalse @False_ind
 665       (* absurd by Hmatch *) @daemon
 666     | >(\P Hc) %
 667     | (* Htable (con lemma) *) @daemon
 668     | (* Hmatch *) @daemon
 669     | (* Htable *) @daemon
 670     | (* Htable, Hmatch → |config| = n
 671        necessaria modifica in R_match_tuple, le dimensioni non corrispondono
 672       *) @daemon
 673     ]
 674     * #table1 * #newc * #mv1 * #table2 * #Htableeq #Htc *
 675     [ * #td * whd in ⊢ (%→?); >Htc -Htc * * #c2 * whd in ⊢ (??%?→?); #Hc2 destruct (Hc2)
 676       #_ #Htd
 677       cut (newc = 〈s1,false〉::newconfig@[〈c1,false〉]) [@daemon] #Hnewc
 678       >Hnewc cut (mv1 = 〈mv,false〉)
 679       [@daemon] #Hmv1
 680       * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte
 681       cut (td = midtape STape (〈c0,false〉::reverse STape curconfig@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls)
 682               〈grid,false〉
 683               ((table1@〈bar,false〉::〈c,false〉::curconfig@[〈c0,false〉])@〈comma,true〉::〈s1,false〉::
 684                newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs))
 685       [ >Htd @eq_f3 //
 686         [ >reverse_append >reverse_single %
 687         | >associative_append >associative_append normalize
 688           >associative_append >Hmv1 >Hnewc @eq_f @eq_f @eq_f @eq_f @eq_f @eq_f
 689           whd in ⊢ (??%?); >associative_append %
 690         ]
 691       ]
 692       -Htd #Htd lapply (Hte … (S n) … Htd … Ht1') -Htd -Hte
 693       [ //
 694       | (*|curconfig| = |newconfig|*) @daemon
 695       | (* Htable → bit_or_null c1 = true *) @daemon
 696       | (* only_bits (〈s1,false〉::newconfig) *) @daemon
 697       | (* only_bits (curconfig@[〈s0,false〉]) *) @daemon
 698       | (* no_marks (reverse ? curconfig) *) @daemon
 699       | >Hmv1 in Htableeq; >Hnewc
 700         >associative_append >associative_append normalize
 701         >associative_append >associative_append
 702         #Htableeq <Htableeq // ]
 703       * #ls1 * #rs1 * #c2 * * #Hte #Hliftte #Hlegalte
 704       whd in ⊢ (%→?); * #_ #Houttape lapply (Houttape … Hte) -Houttape #Houttape
 705       whd in Houttape:(???%); whd in Houttape:(???(??%%%));
 706       @ex_intro [| @(ex_intro ?? rs1) @ex_intro [| % [ %
 707       [ >Houttape @eq_f @eq_f @eq_f @eq_f
 708         change with ((〈bar,false〉::〈t0,false〉::table)@?) in ⊢ (???%);
 709         >Htableeq >associative_append >associative_append
 710         >associative_append normalize >associative_append
 711         >associative_append normalize >Hnewc <Hmv1
 712         >associative_append normalize >associative_append
 713         >Hmv1 %
 714       | @Hliftte
 715       ]
 716      | //
 717      ]
 718     ]
 719    ]
 720   | * #td * whd in ⊢ (%→%→?); >Htc * #Htd
 721     lapply (Htd ? (refl ??)) normalize in ⊢ (%→?);
 722     #Hfalse destruct (Hfalse)
 723   ]
 724  ]
 725 | #t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→%→?); #Ht1 #Ht2
 726   #b #Hb >Hb in Ht1; * #Hc #Ht1 lapply (Hc ? (refl ??)) -Hc #Hb' %
 727   // cases b in Hb'; normalize #H1 //
 728 ]
 729 qed.
 730 *)