matita/matita/lib/turing/universal/uni_step.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/copy.ma".
  18
  19 (*
  20
  21 step :
  22
  23 if is_true(current) (* current state is final *)
  24    then nop
  25    else
  26    (* init_match *)
  27    mark;
  28    adv_to_grid_r;
  29    move_r;
  30    mark;
  31    move_l;
  32    adv_to_mark_l
  33    (* /init_match *)
  34    match_tuple;
  35    if is_marked(current) = false (* match ok *)
  36       then
  37            (* init_copy *)
  38            move_l;
  39            init_current;
  40            move_r;
  41            adv_to_mark_r;
  42            adv_mark_r;
  43            (* /init_copy *)
  44            copy;
  45            move_r;
  46            (* move_tape *)
  47            by cases on current:
  48              case bit false: move_tape_l
  49              case bit true: move_tape_r
  50              case null: adv_to_grid_l; move_l; adv_to_grid_l;
  51            move_r;
  52            (* /move_tape *)
  53       else sink;
  54
  55 *)
  56
  57 definition init_match ≝
  58   seq ? (mark ?)
  59     (seq ? (adv_to_mark_r ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
  60       (seq ? (move_r ?)
  61         (seq ? (mark ?)
  62           (seq ? (move_l ?)
  63             (adv_to_mark_l ? (is_marked ?)))))).
  64
  65 definition R_init_match ≝ λt1,t2.
  66   ∀ls,l,rs,c,d. no_grids (〈c,false〉::l) → no_marks l →
  67   t1 = midtape STape ls 〈c,false〉 (l@〈grid,false〉::〈d,false〉::rs) →
  68   t2 = midtape STape ls 〈c,true〉 (l@〈grid,false〉::〈d,true〉::rs).
  69
  70 lemma sem_init_match : Realize ? init_match R_init_match.
  71 #intape
  72 cases (sem_seq ????? (sem_mark ?)
  73        (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_r ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
  74         (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
  75          (sem_seq ????? (sem_mark ?)
  76           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
  77            (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?)))))) intape)
  78 #k * #outc * #Hloop #HR
  79 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
  80 #ls #l #rs #c #d #Hnogrids #Hnomarks #Hintape
  81 cases HR -HR
  82 #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape #Hta
  83 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Htb -Hta
  84   [* #Hgridc @False_ind @(absurd … Hgridc) @eqnot_to_noteq
  85    @(Hnogrids 〈c,false〉) @memb_hd ]
  86 * #Hgrdic #Htb lapply (Htb l 〈grid,false〉 (〈d,false〉::rs) (refl …) (refl …) ?)
  87   [#x #membl @Hnogrids @memb_cons @membl] -Htb #Htb
  88 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb #Htc
  89 * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htd -Htc #Htd
  90 * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Hte -Htd #Hte
  91 whd in ⊢ (%→?); #Htf cases (Htf … Hte) -Htf -Hte
  92   [* whd in ⊢ ((??%?)→?); #Habs destruct (Habs)]
  93 * #_ #Htf lapply (Htf (reverse ? l) 〈c,true〉 ls (refl …) (refl …) ?)
  94   [#x #membl @Hnomarks @daemon] -Htf #Htf >Htf >reverse_reverse %
  95 qed.
  96
  97 (* init_copy
  98
  99            adv_mark_r;
 100            init_current_on_match; (* no marks in current *)
 101            move_r;
 102            adv_to_mark_r;
 103 *)
 104
 105 definition init_copy ≝
 106   seq ? (adv_mark_r ?)
 107     (seq ? init_current_on_match
 108       (seq ? (move_r ?)
 109         (adv_to_mark_r ? (is_marked ?)))).
 110
 111 definition R_init_copy ≝ λt1,t2.
 112   ∀l1,l2,c,l3,d,rs.
 113   no_marks l1 → no_grids l1 →
 114   no_marks l2 → no_grids l2 → is_grid c = false → is_grid d =false →
 115   t1 = midtape STape (l1@〈grid,false〉::l2@〈c,false〉::〈grid,false〉::l3) 〈comma,true〉 (〈d,false〉::rs) →
 116   t2 = midtape STape (〈comma,false〉::l1@〈grid,false〉::l2@〈c,true〉::〈grid,false〉::l3) 〈d,true〉 rs.
 117
 118 lemma list_last: ∀A.∀l:list A.
 119   l = [ ] ∨ ∃a,l1. l = l1@[a].
 120 #A #l <(reverse_reverse ? l) cases (reverse A l)
 121   [%1 //
 122   |#a #l1 %2 @(ex_intro ?? a) @(ex_intro ?? (reverse ? l1)) //
 123   ]
 124 qed.
 125
 126 lemma sem_init_copy : Realize ? init_copy R_init_copy.
 127 #intape
 128 cases (sem_seq ????? (sem_adv_mark_r ?)
 129        (sem_seq ????? sem_init_current_on_match
 130         (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
 131          (sem_adv_to_mark_r ? (is_marked ?)))) intape)
 132 #k * #outc * #Hloop #HR
 133 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 134 #l1 #l2 #c #l3 #d #rs #Hl1marks #Hl1grids #Hl2marks #Hl2grids #Hc #Hd #Hintape
 135 cases HR -HR
 136 #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape #Hta
 137 * #tb * whd in ⊢ (%→?);
 138 >append_cons #Htb lapply (Htb (〈comma,false〉::l1) l2 c … Hta)
 139   [@Hd |@Hc |@Hl2grids
 140    |#x #membx cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
 141      [>(\P membx) // | @Hl1grids @membx]
 142   ] -Htb #Htb
 143 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 144 >reverse_append >reverse_cons cases (list_last ? l2)
 145   [#Hl2 >Hl2 >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 146    whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd -Htc
 147     [* whd in ⊢ ((??%?)→?); #Habs destruct (Habs)]
 148    * #_ #Htf lapply (Htf … (refl …) (refl …) ?)
 149     [#x >reverse_cons #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 150       [@Hl1marks @daemon |>(memb_single … membx) //]
 151     -Htf
 152     |#Htf >Htf >reverse_reverse >associative_append %
 153     ]
 154   |* #a * #l21 #Heq >Heq >reverse_append >reverse_single
 155    >associative_append >associative_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 156    whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd -Htc
 157     [* >Hl2marks [#Habs destruct (Habs) |>Heq @memb_append_l2 @memb_hd]]
 158    * #_ <associative_append <associative_append #Htf lapply (Htf … (refl …) (refl …) ?)
 159     [#x >reverse_cons #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 160       [cases (memb_append … membx) -membx #membx
 161         [@Hl2marks >Heq @memb_append_l1 @daemon
 162         |>(memb_single … membx) //]
 163       |cases (memb_append … membx) -membx #membx
 164         [@Hl1marks @daemon |>(memb_single … membx) //]
 165       ]
 166     | #Htf >Htf >reverse_append >reverse_reverse
 167       >reverse_append >reverse_reverse >associative_append
 168       >reverse_single >associative_append >associative_append
 169       >associative_append %
 170     ]
 171   ]
 172 qed.
 173
 174 include "turing/universal/move_tape.ma".
 175
 176 definition exec_move ≝
 177   seq ? (adv_to_mark_r … (is_marked ?))
 178     (seq ? init_copy
 179       (seq ? copy
 180         (seq ? (move_r …)
 181           (seq ? move_tape (move_r …))))).
 182
 183 definition lift_tape ≝ λls,c,rs.
 184   let 〈c0,b〉 ≝ c in
 185   let c' ≝ match c0 with
 186   [ null ⇒ None ?
 187   | _ ⇒ Some ? c ]
 188   in
 189   mk_tape STape ls c' rs.
 190
 191 definition sim_current_of_tape ≝ λt.
 192   match current STape t with
 193   [ None ⇒ 〈null,false〉
 194   | Some c0 ⇒ c0 ].
 195
 196 (*
 197  t1 =  ls # cs c # table # rs
 198
 199  let simt ≝ lift_tape ls c rs in
 200  let simt' ≝ move_left simt' in
 201
 202  t2 = left simt'# cs (sim_current_of_tape simt') # table # right simt'
 203 *)
 204
 205 (*
 206 definition R_move
 207
 208 definition R_exec_move ≝ λt1,t2.
 209   ∀ls,current,table1,newcurrent,table2,rs.
 210   t1 = midtape STape (current@〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 211        (table1@〈comma,true〉::newcurrent@〈comma,false〉::move::table2@
 212         〈grid,false〉::rs) →
 213   table_TM (table1@〈comma,false〉::newcurrent@〈comma,false〉::move::table2) →
 214   t2 = midtape
 215 *)
 216
 217 (*
 218
 219 step :
 220
 221 if is_true(current) (* current state is final *)
 222    then nop
 223    else
 224    init_match;
 225    match_tuple;
 226    if is_marked(current) = false (* match ok *)
 227       then exec_move;
 228       else sink;
 229
 230 *)
 231
 232 definition mk_tuple ≝ λc,newc,mv.
 233   c @ 〈comma,false〉:: newc @ 〈comma,false〉 :: [〈mv,false〉].
 234
 235 inductive match_in_table (c,newc:list STape) (mv:unialpha) : list STape → Prop ≝
 236 | mit_hd :
 237    ∀tb.
 238    match_in_table c newc mv (mk_tuple c newc mv@〈bar,false〉::tb)
 239 | mit_tl :
 240    ∀c0,newc0,mv0,tb.
 241    match_in_table c newc mv tb →
 242    match_in_table c newc mv (mk_tuple c0 newc0 mv0@〈bar,false〉::tb).
 243
 244 definition move_of_unialpha ≝
 245   λc.match c with
 246   [ bit x ⇒ match x with [ true ⇒ R | false ⇒ L ]
 247   | _ ⇒ N ].
 248
 249 definition R_uni_step ≝ λt1,t2.
 250   ∀n,table,c,c1,ls,rs,curs,curc,news,newc,mv.
 251   table_TM n table →
 252   match_in_table (〈c,false〉::curs@[〈curc,false〉])
 253     (〈c1,false〉::news@[〈newc,false〉]) mv table →
 254   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,false〉
 255     (curs@〈curc,false〉::〈grid,false〉::table@〈grid,false〉::rs) →
 256   ∀t1',ls1,rs1.t1' = lift_tape ls 〈curc,false〉 rs →
 257   (t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls1) 〈c1,false〉
 258     (news@〈newc,false〉::〈grid,false〉::table@〈grid,false〉::rs1) ∧
 259    lift_tape ls1 〈newc,false〉 rs1 =
 260    tape_move STape t1' (Some ? 〈〈newc,false〉,move_of_unialpha mv〉)).
 261
 262