matita/matita/lib/turing/universal/uni_step.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/copy.ma".
  18
  19 (*
  20
  21 step :
  22
  23 if is_true(current) (* current state is final *)
  24    then nop
  25    else
  26    (* init_match *)
  27    mark;
  28    adv_to_grid_r;
  29    move_r;
  30    mark;
  31    move_l;
  32    adv_to_mark_l
  33    (* /init_match *)
  34    match_tuple;
  35    if is_marked(current) = false (* match ok *)
  36       then
  37            (* init_copy *)
  38            move_l;
  39            init_current;
  40            move_r;
  41            adv_to_mark_r;
  42            adv_mark_r;
  43            (* /init_copy *)
  44            copy;
  45            move_r;
  46            (* move_tape *)
  47            by cases on current:
  48              case bit false: move_tape_l
  49              case bit true: move_tape_r
  50              case null: adv_to_grid_l; move_l; adv_to_grid_l;
  51            move_r;
  52            (* /move_tape *)
  53       else sink;
  54
  55 *)
  56
  57 definition init_match ≝
  58   seq ? (mark ?)
  59     (seq ? (adv_to_mark_r ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
  60       (seq ? (move_r ?)
  61         (seq ? (mark ?)
  62           (seq ? (move_l ?)
  63             (adv_to_mark_l ? (is_marked ?)))))).
  64
  65 definition R_init_match ≝ λt1,t2.
  66   ∀ls,l,rs,c,d. no_grids (〈c,false〉::l) → no_marks l →
  67   t1 = midtape STape ls 〈c,false〉 (l@〈grid,false〉::〈d,false〉::rs) →
  68   t2 = midtape STape ls 〈c,true〉 (l@〈grid,false〉::〈d,true〉::rs).
  69
  70 lemma sem_init_match : Realize ? init_match R_init_match.
  71 #intape
  72 cases (sem_seq ????? (sem_mark ?)
  73        (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_r ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
  74         (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
  75          (sem_seq ????? (sem_mark ?)
  76           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
  77            (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?)))))) intape)
  78 #k * #outc * #Hloop #HR
  79 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
  80 #ls #l #rs #c #d #Hnogrids #Hnomarks #Hintape
  81 cases HR -HR
  82 #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape #Hta
  83 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Htb -Hta
  84   [* #Hgridc @False_ind @(absurd … Hgridc) @eqnot_to_noteq
  85    @(Hnogrids 〈c,false〉) @memb_hd ]
  86 * #Hgrdic #Htb lapply (Htb l 〈grid,false〉 (〈d,false〉::rs) (refl …) (refl …) ?)
  87   [#x #membl @Hnogrids @memb_cons @membl] -Htb #Htb
  88 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb #Htc
  89 * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htd -Htc #Htd
  90 * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Hte -Htd #Hte
  91 whd in ⊢ (%→?); #Htf cases (Htf … Hte) -Htf -Hte
  92   [* whd in ⊢ ((??%?)→?); #Habs destruct (Habs)]
  93 * #_ #Htf lapply (Htf (reverse ? l) 〈c,true〉 ls (refl …) (refl …) ?)
  94   [#x #membl @Hnomarks @daemon] -Htf #Htf >Htf >reverse_reverse %
  95 qed.
  96
  97
  98 (* init_copy
  99
 100            init_current_on_match; (* no marks in current *)
 101            move_r;
 102            adv_to_mark_r;
 103            adv_mark_r;
 104
 105 *)
 106
 107 definition init_copy ≝
 108   seq ? init_current_on_match
 109     (seq ? (move_r ?)
 110       (seq ? (adv_to_mark_r ? (is_marked ?))
 111         (adv_mark_r ?))).
 112
 113 definition R_init_copy ≝ λt1,t2.
 114   ∀l1,l2,c,ls,d,rs.
 115   no_marks l1 → no_grids l1 →
 116   no_marks l2 → is_grid c = false →
 117   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉 (l2@〈comma,true〉::〈d,false〉::rs) →
 118   t2 = midtape STape (〈comma,false〉::(reverse ? l2)@〈grid,false〉::l1@〈c,true〉::〈grid,false〉::ls) 〈d,true〉 rs.
 119
 120 lemma list_last: ∀A.∀l:list A.
 121   l = [ ] ∨ ∃a,l1. l = l1@[a].
 122 #A #l <(reverse_reverse ? l) cases (reverse A l)
 123   [%1 //
 124   |#a #l1 %2 @(ex_intro ?? a) @(ex_intro ?? (reverse ? l1)) //
 125   ]
 126 qed.
 127
 128 lemma sem_init_copy : Realize ? init_copy R_init_copy.
 129 #intape
 130 cases (sem_seq ????? sem_init_current_on_match
 131         (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
 132           (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_r ? (is_marked ?))
 133             (sem_adv_mark_r ?))) intape)
 134 #k * #outc * #Hloop #HR
 135 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 136 #l1 #l2 #c #ls #d #rs #Hl1marks #Hl1grids #Hl2marks #Hc #Hintape
 137 cases HR -HR
 138 #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hl1grids Hc Hintape) -Hta -Hintape #Hta
 139 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb  … Hta) -Htb -Hta
 140 generalize in match Hl1marks; -Hl1marks cases (list_last ? l1)
 141   [#eql1 >eql1 #Hl1marks whd in ⊢ ((???%)→?); whd in ⊢ ((???(????%))→?); #Htb
 142    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc  … Htb) -Htc -Htb *
 143     [* whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 144    * #_ #Htc lapply (Htc … (refl …) (refl …) ?)
 145     [#x #membx @Hl2marks @membx]
 146    #Htc whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc -Htc #Houtc
 147    >Houtc %
 148   |* #c1 * #tl #eql1 >eql1 #Hl1marks >reverse_append >reverse_single
 149    whd in ⊢ ((???%)→?); whd in ⊢ ((???(????%))→?);
 150    >associative_append whd in ⊢ ((???(????%))→?); #Htb
 151    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc  … Htb) -Htc -Htb *
 152     [* >Hl1marks [#Htemp destruct (Htemp)] @memb_append_l2 @memb_hd]
 153    * #_ >append_cons <associative_append #Htc lapply (Htc … (refl …) (refl …) ?)
 154     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 155       [cases (memb_append … membx) -membx #membx
 156         [@Hl1marks @memb_append_l1 @daemon
 157         |>(memb_single … membx) %
 158         ]
 159       |@Hl2marks @membx
 160       ]]
 161   #Htc whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc -Htc #Houtc
 162   >Houtc >reverse_append >reverse_append >reverse_single
 163   >reverse_reverse >associative_append >associative_append
 164   >associative_append %
 165 qed.
 166
 167 (* OLD
 168 definition init_copy ≝
 169   seq ? (adv_mark_r ?)
 170     (seq ? init_current_on_match
 171       (seq ? (move_r ?)
 172         (adv_to_mark_r ? (is_marked ?)))).
 173
 174 definition R_init_copy ≝ λt1,t2.
 175   ∀l1,l2,c,l3,d,rs.
 176   no_marks l1 → no_grids l1 →
 177   no_marks l2 → no_grids l2 → is_grid c = false → is_grid d =false →
 178   t1 = midtape STape (l1@〈grid,false〉::l2@〈c,false〉::〈grid,false〉::l3) 〈comma,true〉 (〈d,false〉::rs) →
 179   t2 = midtape STape (〈comma,false〉::l1@〈grid,false〉::l2@〈c,true〉::〈grid,false〉::l3) 〈d,true〉 rs.
 180
 181 lemma list_last: ∀A.∀l:list A.
 182   l = [ ] ∨ ∃a,l1. l = l1@[a].
 183 #A #l <(reverse_reverse ? l) cases (reverse A l)
 184   [%1 //
 185   |#a #l1 %2 @(ex_intro ?? a) @(ex_intro ?? (reverse ? l1)) //
 186   ]
 187 qed.
 188
 189 lemma sem_init_copy : Realize ? init_copy R_init_copy.
 190 #intape
 191 cases (sem_seq ????? (sem_adv_mark_r ?)
 192        (sem_seq ????? sem_init_current_on_match
 193         (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
 194          (sem_adv_to_mark_r ? (is_marked ?)))) intape)
 195 #k * #outc * #Hloop #HR
 196 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 197 #l1 #l2 #c #l3 #d #rs #Hl1marks #Hl1grids #Hl2marks #Hl2grids #Hc #Hd #Hintape
 198 cases HR -HR
 199 #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape #Hta
 200 * #tb * whd in ⊢ (%→?);
 201 >append_cons #Htb lapply (Htb (〈comma,false〉::l1) l2 c … Hta)
 202   [@Hd |@Hc |@Hl2grids
 203    |#x #membx cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
 204      [>(\P membx) // | @Hl1grids @membx]
 205   ] -Htb #Htb
 206 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 207 >reverse_append >reverse_cons cases (list_last ? l2)
 208   [#Hl2 >Hl2 >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 209    whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd -Htc
 210     [* whd in ⊢ ((??%?)→?); #Habs destruct (Habs)]
 211    * #_ #Htf lapply (Htf … (refl …) (refl …) ?)
 212     [#x >reverse_cons #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 213       [@Hl1marks @daemon |>(memb_single … membx) //]
 214     -Htf
 215     |#Htf >Htf >reverse_reverse >associative_append %
 216     ]
 217   |* #a * #l21 #Heq >Heq >reverse_append >reverse_single
 218    >associative_append >associative_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 219    whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd -Htc
 220     [* >Hl2marks [#Habs destruct (Habs) |>Heq @memb_append_l2 @memb_hd]]
 221    * #_ <associative_append <associative_append #Htf lapply (Htf … (refl …) (refl …) ?)
 222     [#x >reverse_cons #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 223       [cases (memb_append … membx) -membx #membx
 224         [@Hl2marks >Heq @memb_append_l1 @daemon
 225         |>(memb_single … membx) //]
 226       |cases (memb_append … membx) -membx #membx
 227         [@Hl1marks @daemon |>(memb_single … membx) //]
 228       ]
 229     | #Htf >Htf >reverse_append >reverse_reverse
 230       >reverse_append >reverse_reverse >associative_append
 231       >reverse_single >associative_append >associative_append
 232       >associative_append %
 233     ]
 234   ]
 235 qed. *)
 236
 237 include "turing/universal/move_tape.ma".
 238
 239 definition exec_move ≝
 240   seq ? (adv_to_mark_r … (is_marked ?))
 241     (seq ? init_copy
 242       (seq ? copy
 243         (seq ? (move_r …)
 244           (seq ? move_tape (move_r …))))).
 245
 246 definition lift_tape ≝ λls,c,rs.
 247   let 〈c0,b〉 ≝ c in
 248   let c' ≝ match c0 with
 249   [ null ⇒ None ?
 250   | _ ⇒ Some ? c ]
 251   in
 252   mk_tape STape ls c' rs.
 253
 254 definition sim_current_of_tape ≝ λt.
 255   match current STape t with
 256   [ None ⇒ 〈null,false〉
 257   | Some c0 ⇒ c0 ].
 258
 259 (*
 260  t1 =  ls # cs c # table # rs
 261
 262  let simt ≝ lift_tape ls c rs in
 263  let simt' ≝ move_left simt' in
 264
 265  t2 = left simt'# cs (sim_current_of_tape simt') # table # right simt'
 266 *)
 267
 268 (*
 269 definition R_move
 270
 271 definition R_exec_move ≝ λt1,t2.
 272   ∀ls,current,table1,newcurrent,table2,rs.
 273   t1 = midtape STape (current@〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 274        (table1@〈comma,true〉::newcurrent@〈comma,false〉::move::table2@
 275         〈grid,false〉::rs) →
 276   table_TM (table1@〈comma,false〉::newcurrent@〈comma,false〉::move::table2) →
 277   t2 = midtape
 278 *)
 279
 280 (*
 281
 282 step :
 283
 284 if is_true(current) (* current state is final *)
 285    then nop
 286    else
 287    init_match;
 288    match_tuple;
 289    if is_marked(current) = false (* match ok *)
 290       then exec_move;
 291       else sink;
 292
 293 *)
 294
 295 definition mk_tuple ≝ λc,newc,mv.
 296   c @ 〈comma,false〉:: newc @ 〈comma,false〉 :: [〈mv,false〉].
 297
 298 inductive match_in_table (c,newc:list STape) (mv:unialpha) : list STape → Prop ≝
 299 | mit_hd :
 300    ∀tb.
 301    match_in_table c newc mv (mk_tuple c newc mv@〈bar,false〉::tb)
 302 | mit_tl :
 303    ∀c0,newc0,mv0,tb.
 304    match_in_table c newc mv tb →
 305    match_in_table c newc mv (mk_tuple c0 newc0 mv0@〈bar,false〉::tb).
 306
 307 definition move_of_unialpha ≝
 308   λc.match c with
 309   [ bit x ⇒ match x with [ true ⇒ R | false ⇒ L ]
 310   | _ ⇒ N ].
 311
 312 definition R_uni_step ≝ λt1,t2.
 313   ∀n,table,c,c1,ls,rs,curs,curc,news,newc,mv.
 314   table_TM n table →
 315   match_in_table (〈c,false〉::curs@[〈curc,false〉])
 316     (〈c1,false〉::news@[〈newc,false〉]) mv table →
 317   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,false〉
 318     (curs@〈curc,false〉::〈grid,false〉::table@〈grid,false〉::rs) →
 319   ∀t1',ls1,rs1.t1' = lift_tape ls 〈curc,false〉 rs →
 320   (t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls1) 〈c1,false〉
 321     (news@〈newc,false〉::〈grid,false〉::table@〈grid,false〉::rs1) ∧
 322    lift_tape ls1 〈newc,false〉 rs1 =
 323    tape_move STape t1' (Some ? 〈〈newc,false〉,move_of_unialpha mv〉)).
 324
 325 definition no_nulls ≝
 326  λl:list STape.∀x.memb ? x l = true → is_null (\fst x) = false.
 327
 328 definition R_move_tape_r_abstract ≝ λt1,t2.
 329   ∀rs,n,table,curc,curconfig,ls.
 330   bit_or_null curc = true → only_bits_or_nulls curconfig → table_TM n table →
 331   t1 = midtape STape (table@〈grid,false〉::〈curc,false〉::curconfig@〈grid,false〉::ls)
 332          〈grid,false〉 rs →
 333   no_nulls rs →
 334   ∀t1'.t1' = lift_tape ls 〈curc,false〉 rs →
 335   ∃ls1,rs1,newc.
 336   (t2 = midtape STape ls1 〈grid,false〉 (reverse ? curconfig@newc::
 337     〈grid,false〉::reverse ? table@〈grid,false〉::rs1) ∧
 338    lift_tape ls1 newc rs1 =
 339    tape_move_right STape ls 〈curc,false〉 rs).
 340
 341 lemma lift_tape_not_null :
 342   ∀ls,c,rs. is_null (\fst c) = false →
 343   lift_tape ls c rs = mk_tape STape ls (Some ? c) rs.
 344 #ls * #c0 #bc0 #rs cases c0
 345 [|normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 346 //
 347 qed.
 348
 349 lemma mtr_concrete_to_abstract :
 350   ∀t1,t2.R_move_tape_r t1 t2 → R_move_tape_r_abstract t1 t2.
 351 #t1 #t2 whd in ⊢(%→?); #Hconcrete
 352 #rs #n #table #curc #curconfig #ls #Hcurc #Hcurconfig #Htable #Ht1
 353 #Hrsnonulls #t1' #Ht1'
 354 cases (Hconcrete … Htable Ht1) //
 355 [ * #Hrs #Ht2
 356   @(ex_intro ?? (〈curc,false〉::ls)) @(ex_intro ?? [])
 357   @(ex_intro ?? 〈null,false〉) %
 358   [ >Ht2 %
 359   | >Hrs % ]
 360 | * #r0 * #rs0 * #Hrs #Ht2
 361   @(ex_intro ?? (〈curc,false〉::ls)) @(ex_intro ?? rs0)
 362   @(ex_intro ?? r0) %
 363   [ >Ht2 %
 364   | >Hrs >lift_tape_not_null
 365     [ %
 366     | @Hrsnonulls >Hrs @memb_hd ] ]
 367 qed.