matita/matita/lib/turing/universal/uni_step.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/copy.ma".
  18
  19 (*
  20
  21 step :
  22
  23 if is_true(current) (* current state is final *)
  24    then nop
  25    else
  26    (* init_match *)
  27    mark;
  28    adv_to_grid_r;
  29    move_r;
  30    mark;
  31    move_l;
  32    adv_to_mark_l
  33    (* /init_match *)
  34    match_tuple;
  35    if is_marked(current) = false (* match ok *)
  36       then
  37            (* init_copy *)
  38            move_l;
  39            init_current;
  40            move_r;
  41            adv_to_mark_r;
  42            adv_mark_r;
  43            (* /init_copy *)
  44            copy;
  45            move_r;
  46            (* move_tape *)
  47            by cases on current:
  48              case bit false: move_tape_l
  49              case bit true: move_tape_r
  50              case null: adv_to_grid_l; move_l; adv_to_grid_l;
  51            move_r;
  52            (* /move_tape *)
  53       else sink;
  54
  55 *)
  56
  57 definition init_match ≝
  58   seq ? (mark ?)
  59     (seq ? (adv_to_mark_r ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
  60       (seq ? (move_r ?)
  61         (seq ? (mark ?)
  62           (seq ? (move_l ?)
  63             (adv_to_mark_l ? (is_marked ?)))))).
  64
  65 definition R_init_match ≝ λt1,t2.
  66   ∀ls,l,rs,c,d. no_grids (〈c,false〉::l) → no_marks l →
  67   t1 = midtape STape ls 〈c,false〉 (l@〈grid,false〉::〈d,false〉::rs) →
  68   t2 = midtape STape ls 〈c,true〉 (l@〈grid,false〉::〈d,true〉::rs).
  69
  70 lemma sem_init_match : Realize ? init_match R_init_match.
  71 #intape
  72 cases (sem_seq ????? (sem_mark ?)
  73        (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_r ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
  74         (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
  75          (sem_seq ????? (sem_mark ?)
  76           (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
  77            (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?)))))) intape)
  78 #k * #outc * #Hloop #HR
  79 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
  80 #ls #l #rs #c #d #Hnogrids #Hnomarks #Hintape
  81 cases HR -HR
  82 #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape #Hta
  83 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Htb -Hta
  84   [* #Hgridc @False_ind @(absurd … Hgridc) @eqnot_to_noteq
  85    @(Hnogrids 〈c,false〉) @memb_hd ]
  86 * #Hgrdic #Htb lapply (Htb l 〈grid,false〉 (〈d,false〉::rs) (refl …) (refl …) ?)
  87   [#x #membl @Hnogrids @memb_cons @membl] -Htb #Htb
  88 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb #Htc
  89 * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htd -Htc #Htd
  90 * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Hte -Htd #Hte
  91 whd in ⊢ (%→?); #Htf cases (Htf … Hte) -Htf -Hte
  92   [* whd in ⊢ ((??%?)→?); #Habs destruct (Habs)]
  93 * #_ #Htf lapply (Htf (reverse ? l) 〈c,true〉 ls (refl …) (refl …) ?)
  94   [#x #membl @Hnomarks @daemon] -Htf #Htf >Htf >reverse_reverse %
  95 qed.
  96
  97
  98 (* init_copy
  99
 100            init_current_on_match; (* no marks in current *)
 101            move_r;
 102            adv_to_mark_r;
 103            adv_mark_r;
 104
 105 *)
 106
 107 definition init_copy ≝
 108   seq ? init_current_on_match
 109     (seq ? (move_r ?)
 110       (seq ? (adv_to_mark_r ? (is_marked ?))
 111         (adv_mark_r ?))).
 112
 113 definition R_init_copy ≝ λt1,t2.
 114   ∀l1,l2,c,ls,d,rs.
 115   no_marks l1 → no_grids l1 →
 116   no_marks l2 → is_grid c = false →
 117   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉 (l2@〈comma,true〉::〈d,false〉::rs) →
 118   t2 = midtape STape (〈comma,false〉::(reverse ? l2)@〈grid,false〉::l1@〈c,true〉::〈grid,false〉::ls) 〈d,true〉 rs.
 119
 120 lemma list_last: ∀A.∀l:list A.
 121   l = [ ] ∨ ∃a,l1. l = l1@[a].
 122 #A #l <(reverse_reverse ? l) cases (reverse A l)
 123   [%1 //
 124   |#a #l1 %2 @(ex_intro ?? a) @(ex_intro ?? (reverse ? l1)) //
 125   ]
 126 qed.
 127
 128 lemma sem_init_copy : Realize ? init_copy R_init_copy.
 129 #intape
 130 cases (sem_seq ????? sem_init_current_on_match
 131         (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
 132           (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_r ? (is_marked ?))
 133             (sem_adv_mark_r ?))) intape)
 134 #k * #outc * #Hloop #HR
 135 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 136 #l1 #l2 #c #ls #d #rs #Hl1marks #Hl1grids #Hl2marks #Hc #Hintape
 137 cases HR -HR
 138 #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hl1grids Hc Hintape) -Hta -Hintape #Hta
 139 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb  … Hta) -Htb -Hta
 140 generalize in match Hl1marks; -Hl1marks cases (list_last ? l1)
 141   [#eql1 >eql1 #Hl1marks whd in ⊢ ((???%)→?); whd in ⊢ ((???(????%))→?); #Htb
 142    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc  … Htb) -Htc -Htb *
 143     [* whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 144    * #_ #Htc lapply (Htc … (refl …) (refl …) ?)
 145     [#x #membx @Hl2marks @membx]
 146    #Htc whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc -Htc #Houtc
 147    >Houtc %
 148   |* #c1 * #tl #eql1 >eql1 #Hl1marks >reverse_append >reverse_single
 149    whd in ⊢ ((???%)→?); whd in ⊢ ((???(????%))→?);
 150    >associative_append whd in ⊢ ((???(????%))→?); #Htb
 151    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc  … Htb) -Htc -Htb *
 152     [* >Hl1marks [#Htemp destruct (Htemp)] @memb_append_l2 @memb_hd]
 153    * #_ >append_cons <associative_append #Htc lapply (Htc … (refl …) (refl …) ?)
 154     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 155       [cases (memb_append … membx) -membx #membx
 156         [@Hl1marks @memb_append_l1 @daemon
 157         |>(memb_single … membx) %
 158         ]
 159       |@Hl2marks @membx
 160       ]]
 161   #Htc whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc -Htc #Houtc
 162   >Houtc >reverse_append >reverse_append >reverse_single
 163   >reverse_reverse >associative_append >associative_append
 164   >associative_append %
 165 qed.
 166
 167 (* OLD
 168 definition init_copy ≝
 169   seq ? (adv_mark_r ?)
 170     (seq ? init_current_on_match
 171       (seq ? (move_r ?)
 172         (adv_to_mark_r ? (is_marked ?)))).
 173
 174 definition R_init_copy ≝ λt1,t2.
 175   ∀l1,l2,c,l3,d,rs.
 176   no_marks l1 → no_grids l1 →
 177   no_marks l2 → no_grids l2 → is_grid c = false → is_grid d =false →
 178   t1 = midtape STape (l1@〈grid,false〉::l2@〈c,false〉::〈grid,false〉::l3) 〈comma,true〉 (〈d,false〉::rs) →
 179   t2 = midtape STape (〈comma,false〉::l1@〈grid,false〉::l2@〈c,true〉::〈grid,false〉::l3) 〈d,true〉 rs.
 180
 181 lemma list_last: ∀A.∀l:list A.
 182   l = [ ] ∨ ∃a,l1. l = l1@[a].
 183 #A #l <(reverse_reverse ? l) cases (reverse A l)
 184   [%1 //
 185   |#a #l1 %2 @(ex_intro ?? a) @(ex_intro ?? (reverse ? l1)) //
 186   ]
 187 qed.
 188
 189 lemma sem_init_copy : Realize ? init_copy R_init_copy.
 190 #intape
 191 cases (sem_seq ????? (sem_adv_mark_r ?)
 192        (sem_seq ????? sem_init_current_on_match
 193         (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
 194          (sem_adv_to_mark_r ? (is_marked ?)))) intape)
 195 #k * #outc * #Hloop #HR
 196 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 197 #l1 #l2 #c #l3 #d #rs #Hl1marks #Hl1grids #Hl2marks #Hl2grids #Hc #Hd #Hintape
 198 cases HR -HR
 199 #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape #Hta
 200 * #tb * whd in ⊢ (%→?);
 201 >append_cons #Htb lapply (Htb (〈comma,false〉::l1) l2 c … Hta)
 202   [@Hd |@Hc |@Hl2grids
 203    |#x #membx cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
 204      [>(\P membx) // | @Hl1grids @membx]
 205   ] -Htb #Htb
 206 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 207 >reverse_append >reverse_cons cases (list_last ? l2)
 208   [#Hl2 >Hl2 >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 209    whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd -Htc
 210     [* whd in ⊢ ((??%?)→?); #Habs destruct (Habs)]
 211    * #_ #Htf lapply (Htf … (refl …) (refl …) ?)
 212     [#x >reverse_cons #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 213       [@Hl1marks @daemon |>(memb_single … membx) //]
 214     -Htf
 215     |#Htf >Htf >reverse_reverse >associative_append %
 216     ]
 217   |* #a * #l21 #Heq >Heq >reverse_append >reverse_single
 218    >associative_append >associative_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 219    whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd -Htc
 220     [* >Hl2marks [#Habs destruct (Habs) |>Heq @memb_append_l2 @memb_hd]]
 221    * #_ <associative_append <associative_append #Htf lapply (Htf … (refl …) (refl …) ?)
 222     [#x >reverse_cons #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 223       [cases (memb_append … membx) -membx #membx
 224         [@Hl2marks >Heq @memb_append_l1 @daemon
 225         |>(memb_single … membx) //]
 226       |cases (memb_append … membx) -membx #membx
 227         [@Hl1marks @daemon |>(memb_single … membx) //]
 228       ]
 229     | #Htf >Htf >reverse_append >reverse_reverse
 230       >reverse_append >reverse_reverse >associative_append
 231       >reverse_single >associative_append >associative_append
 232       >associative_append %
 233     ]
 234   ]
 235 qed. *)
 236
 237 include "turing/universal/move_tape.ma".
 238
 239 definition exec_move ≝
 240   seq ? init_copy
 241     (seq ? copy
 242       (seq ? (move_r …) move_tape)).
 243
 244 definition map_move ≝
 245   λc,mv.match c with [ null ⇒ None ? | _ ⇒ Some ? 〈c,false,move_of_unialpha mv〉 ].
 246
 247 definition current_of_alpha ≝ λc:STape.
 248   match \fst c with [ null ⇒ None ? | _ ⇒ Some ? c ].
 249
 250 definition legal_tape ≝ λls,c,rs.
 251  let t ≝ mk_tape STape ls (current_of_alpha c) rs in
 252  left ? t = ls ∧ right ? t = rs ∧ current ? t = current_of_alpha c.
 253
 254 lemma legal_tape_cases :
 255   ∀ls,c,rs.legal_tape ls c rs →
 256   \fst c ≠ null ∨ (\fst c = null ∧ ls = []) ∨ (\fst c = null ∧ rs = []).
 257 #ls #c #rs cases c #c0 #bc0 cases c0
 258 [ #c1 normalize #_ % % % #Hfalse destruct (Hfalse)
 259 | cases ls
 260   [ #_ % %2 % %
 261   | #l0 #ls0 cases rs
 262     [ #_ %2 % %
 263     | #r0 #rs0 normalize * * #Hls #Hrs destruct (Hrs) ]
 264   ]
 265 |*: #_ % % % #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 266 qed.
 267
 268 definition R_exec_move ≝ λt1,t2.
 269   ∀n,curconfig,ls,rs,c0,c1,s0,s1,table1,newconfig,mv,table2.
 270   table_TM n (table1@〈comma,false〉::〈s1,false〉::newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2) →
 271   no_marks curconfig → only_bits (curconfig@[〈s0,false〉]) → only_bits (〈s1,false〉::newconfig) →
 272   no_nulls ls → no_nulls rs → no_marks ls → no_marks rs →
 273   legal_tape ls 〈c0,false〉 rs →
 274   t1 = midtape STape (〈c0,false〉::curconfig@〈s0,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 275     (table1@〈comma,true〉::〈s1,false〉::newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs) →
 276   ∀t1'.t1' = lift_tape ls 〈c0,false〉 rs →
 277   ∃ls1,rs1,c2.
 278   t2 = midtape STape ls1 〈grid,false〉
 279     (〈s1,false〉::newconfig@〈c2,false〉::〈grid,false〉::
 280      table1@〈comma,false〉::〈s1,false〉::newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs1) ∧
 281   lift_tape ls1 〈c2,false〉 rs1 =
 282   tape_move STape t1' (map_move c1 mv).
 283
 284 (* move the following 2 lemmata to mono.ma *)
 285 lemma tape_move_left_eq :
 286   ∀A.∀t:tape A.∀c.
 287   tape_move ? t (Some ? 〈c,L〉) =
 288   tape_move_left ? (left ? t) c (right ? t).
 289 //
 290 qed.
 291
 292 lemma tape_move_right_eq :
 293   ∀A.∀t:tape A.∀c.
 294   tape_move ? t (Some ? 〈c,R〉) =
 295   tape_move_right ? (left ? t) c (right ? t).
 296 //
 297 qed.
 298
 299 lemma sem_exec_move : Realize ? exec_move R_exec_move.
 300 #intape
 301 cases (sem_seq … sem_init_copy
 302         (sem_seq … sem_copy
 303           (sem_seq … (sem_move_r …) sem_move_tape )) intape)
 304 #k * #outc * #Hloop #HR
 305 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [ @Hloop ] -Hloop
 306 #n #curconfig #ls #rs #c0 #c1 #s0 #s1 #table1 #newconfig #mv #table2
 307 #Htable #Hcurconfig1 #Hcurconfig2 #Hnewconfig #Hls #Hrs #Hls1 #Hrs1 #Htape #Hintape #t1' #Ht1'
 308 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 309 lapply (Hta (〈c0,false〉::curconfig) table1 s0 ls s1
 310         (newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs) … Hintape) -Hta
 311 [ (*Hcurconfig2*) @daemon
 312 | (*Htable*) @daemon
 313 | (*FIXME*) @daemon
 314 | (*FIXME*) @daemon
 315 | #Hta * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 316   lapply (Htb (〈grid,false〉::ls) s0 s1 c0 c1 (〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs) newconfig (〈comma,false〉::reverse ? table1) curconfig Hta ????????) -Htb
 317   [9:|*:(* rivedere le precondizioni *) @daemon ]
 318   #Htb * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc whd in ⊢(???(??%%%)→?);#Htc
 319   whd in ⊢ (%→?); #Houtc whd in Htc:(???%); whd in Htc:(???(??%%%));
 320   lapply (Houtc rs n
 321     (〈comma,false〉::〈c1,false〉::reverse ? newconfig@〈s1,false〉::〈comma,false〉::reverse ? table1)
 322     mv table2 (merge_char c0 c1) (reverse ? newconfig@[〈s1,false〉]) ls ?????
 323     Hls Hrs Hls1 Hrs1 ??)
 324   [3: >Htc @(eq_f3 … (midtape ?))
 325     [ @eq_f @eq_f >associative_append >associative_append %
 326     | %
 327     | % ]
 328   | %
 329   || >reverse_cons >reverse_cons >reverse_append >reverse_reverse
 330      >reverse_cons >reverse_cons >reverse_reverse
 331      >associative_append >associative_append >associative_append
 332      >associative_append >associative_append
 333      @Htable
 334   | (* only bits or nulls c1,c2 → only bits or nulls (merge c1 c2) *) @daemon
 335   | (* add to hyps? *) @daemon
 336   | (* bit_or_null c1,c2 → bit_or_null (merge_char c1 c2) *) @daemon
 337   | -Houtc * #ls1 * #rs1 * #newc * #Houtc *
 338     [ *
 339       [ * #Hmv #Htapemove
 340         @(ex_intro ?? ls1) @(ex_intro ?? rs1) @(ex_intro ?? newc)
 341         %
 342         [ >Houtc -Houtc >reverse_append
 343           >reverse_reverse >reverse_single @eq_f
 344           >reverse_cons >reverse_cons >reverse_append >reverse_cons
 345           >reverse_cons >reverse_reverse >reverse_reverse
 346           >associative_append >associative_append
 347           >associative_append >associative_append
 348           >associative_append >associative_append %
 349         | >Hmv >Ht1' >Htapemove
 350           (* mv = bit false -→ c1 = bit ?
 351           whd in Htapemove:(???%); whd in ⊢ (???%);
 352           whd in match (lift_tape ???) in ⊢ (???%);
 353           >Htapemove *)
 354           cut (∃c1'.c1 = bit c1') [ @daemon ] * #c1' #Hc1
 355           >Hc1 >tape_move_left_eq cases c0
 356           [ #c0' %
 357           | cases ls
 358             [ cases rs
 359               [ %
 360               | #r0 #rs0 % ]
 361             | #l0 #ls0 cases rs
 362               [ %
 363               | #r0 #rs0
 364
 365               ls #... null # ... # rs
 366               ls #... c # ... # rs
 367
 368               ∃t.left ? t = ls, right ? t = rs, current t = [[ c ]]
 369
 370               % ]
 371
 372
 373            @eq_f3
 374           [
 375
 376            whd in match (merge_char ??);
 377           whd in match (map_move ??);
 378
 379         ]
 380       |
 381
 382
 383
 384    >Heqcurconfig
 385 >append_cons in Hintape; >associative_append
 386 cases (Hta
 387
 388  cases (Hta … Hintape) -Hta
 389 [ * normalize in ⊢ (%→?); #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 390 * #_ #Hta lapply (Hta ? 〈comma,true〉 … (refl ??) (refl ??) ?)
 391 [ @daemon ] -Hta #Hta
 392 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb … Hta)
 393
 394 definition move_of_unialpha ≝
 395   λc.match c with
 396   [ bit x ⇒ match x with [ true ⇒ R | false ⇒ L ]
 397   | _ ⇒ N ].
 398
 399 definition R_uni_step ≝ λt1,t2.
 400   ∀n,table,c,c1,ls,rs,curs,curc,news,newc,mv.
 401   table_TM n table →
 402   match_in_table (〈c,false〉::curs@[〈curc,false〉])
 403     (〈c1,false〉::news@[〈newc,false〉]) mv table →
 404   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈c,false〉
 405     (curs@〈curc,false〉::〈grid,false〉::table@〈grid,false〉::rs) →
 406   ∀t1',ls1,rs1.t1' = lift_tape ls 〈curc,false〉 rs →
 407   (t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls1) 〈c1,false〉
 408     (news@〈newc,false〉::〈grid,false〉::table@〈grid,false〉::rs1) ∧
 409    lift_tape ls1 〈newc,false〉 rs1 =
 410    tape_move STape t1' (Some ? 〈〈newc,false〉,move_of_unialpha mv〉)).
 411
 412 definition no_nulls ≝
 413  λl:list STape.∀x.memb ? x l = true → is_null (\fst x) = false.
 414