matita/matita/lib/turing/universal/uni_step.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 (* COMPARE BIT
  14
  15 *)
  16
  17 include "turing/universal/copy.ma".
  18 include "turing/universal/move_tape.ma".
  19
  20 (*
  21
  22 step :
  23
  24 if is_true(current) (* current state is final *)
  25    then nop
  26    else
  27    (* init_match *)
  28    mark;
  29    adv_to_grid_r;
  30    move_r;
  31    mark;
  32    move_l;
  33    adv_to_mark_l
  34    (* /init_match *)
  35    match_tuple;
  36    if is_marked(current) = false (* match ok *)
  37       then
  38            (* init_copy *)
  39            move_l;
  40            init_current;
  41            move_r;
  42            adv_to_mark_r;
  43            adv_mark_r;
  44            (* /init_copy *)
  45            copy;
  46            move_r;
  47            (* move_tape *)
  48            by cases on current:
  49              case bit false: move_tape_l
  50              case bit true: move_tape_r
  51              case null: adv_to_grid_l; move_l; adv_to_grid_l;
  52            move_r;
  53            (* /move_tape *)
  54       else sink;
  55
  56 *)
  57
  58 definition init_match ≝
  59   seq ? (mark ?)
  60     (seq ? (adv_to_mark_r ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
  61       (seq ? (move_r ?)
  62         (seq ? (move_r ?)
  63           (seq ? (mark ?)
  64             (seq ? (move_l ?)
  65               (adv_to_mark_l ? (is_marked ?))))))).
  66
  67 definition R_init_match ≝ λt1,t2.
  68   ∀ls,l,rs,c,d. no_grids (〈c,false〉::l) → no_marks l →
  69   t1 = midtape STape ls 〈c,false〉 (l@〈grid,false〉::〈bar,false〉::〈d,false〉::rs) →
  70   t2 = midtape STape ls 〈c,true〉 (l@〈grid,false〉::〈bar,false〉::〈d,true〉::rs).
  71
  72 lemma sem_init_match : Realize ? init_match R_init_match.
  73 #intape
  74 cases (sem_seq ????? (sem_mark ?)
  75        (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_r ? (λc:STape.is_grid (\fst c)))
  76         (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
  77          (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
  78           (sem_seq ????? (sem_mark ?)
  79            (sem_seq ????? (sem_move_l ?)
  80             (sem_adv_to_mark_l ? (is_marked ?))))))) intape)
  81 #k * #outc * #Hloop #HR
  82 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
  83 #ls #l #rs #c #d #Hnogrids #Hnomarks #Hintape
  84 cases HR -HR
  85 #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape #Hta
  86 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb cases (Htb … Hta) -Htb -Hta
  87   [* #Hgridc @False_ind @(absurd … Hgridc) @eqnot_to_noteq
  88    @(Hnogrids 〈c,false〉) @memb_hd ]
  89 * #Hgrdic #Htb lapply (Htb l 〈grid,false〉 (〈bar,false〉::〈d,false〉::rs) (refl …) (refl …) ?)
  90   [#x #membl @Hnogrids @memb_cons @membl] -Htb #Htb
  91 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb #Htc
  92 * #td * whd in ⊢ (%→?); #Htd lapply (Htd … Htc) -Htd -Htc #Htd
  93 * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte lapply (Hte … Htd) -Hte -Htd #Hte
  94 * #tf * whd in ⊢ (%→?); #Htf lapply (Htf … Hte) -Htf -Hte #Htf
  95 whd in ⊢ (%→?); #Htg cases (Htg … Htf) -Htg -Htf
  96   [* whd in ⊢ ((??%?)→?); #Habs destruct (Habs)]
  97 * #_ #Htg lapply (Htg (〈grid,false〉::reverse ? l) 〈c,true〉 ls (refl …) (refl …) ?)
  98   [#x #membl @Hnomarks @daemon] -Htg #Htg >Htg >reverse_cons >reverse_reverse
  99    >associative_append %
 100 qed.
 101
 102
 103 (* init_copy
 104
 105            init_current_on_match; (* no marks in current *)
 106            move_r;
 107            adv_to_mark_r;
 108            adv_mark_r;
 109
 110 *)
 111
 112 definition init_copy ≝
 113   seq ? init_current_on_match
 114     (seq ? (move_r ?)
 115       (seq ? (adv_to_mark_r ? (is_marked ?))
 116         (adv_mark_r ?))).
 117
 118 definition R_init_copy ≝ λt1,t2.
 119   ∀l1,l2,c,ls,d,rs.
 120   no_marks l1 → no_grids l1 →
 121   no_marks l2 → is_grid c = false →
 122   t1 = midtape STape (l1@〈c,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉 (l2@〈comma,true〉::〈d,false〉::rs) →
 123   t2 = midtape STape (〈comma,false〉::(reverse ? l2)@〈grid,false〉::l1@〈c,true〉::〈grid,false〉::ls) 〈d,true〉 rs.
 124
 125 lemma list_last: ∀A.∀l:list A.
 126   l = [ ] ∨ ∃a,l1. l = l1@[a].
 127 #A #l <(reverse_reverse ? l) cases (reverse A l)
 128   [%1 //
 129   |#a #l1 %2 @(ex_intro ?? a) @(ex_intro ?? (reverse ? l1)) //
 130   ]
 131 qed.
 132
 133 lemma sem_init_copy : Realize ? init_copy R_init_copy.
 134 #intape
 135 cases (sem_seq ????? sem_init_current_on_match
 136         (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
 137           (sem_seq ????? (sem_adv_to_mark_r ? (is_marked ?))
 138             (sem_adv_mark_r ?))) intape)
 139 #k * #outc * #Hloop #HR
 140 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 141 #l1 #l2 #c #ls #d #rs #Hl1marks #Hl1grids #Hl2marks #Hc #Hintape
 142 cases HR -HR
 143 #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hl1grids Hc Hintape) -Hta -Hintape #Hta
 144 * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb lapply (Htb  … Hta) -Htb -Hta
 145 generalize in match Hl1marks; -Hl1marks cases (list_last ? l1)
 146   [#eql1 >eql1 #Hl1marks whd in ⊢ ((???%)→?); whd in ⊢ ((???(????%))→?); #Htb
 147    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc  … Htb) -Htc -Htb *
 148     [* whd in ⊢ ((??%?)→?); #Htemp destruct (Htemp)]
 149    * #_ #Htc lapply (Htc … (refl …) (refl …) ?)
 150     [#x #membx @Hl2marks @membx]
 151    #Htc whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc -Htc #Houtc
 152    >Houtc %
 153   |* #c1 * #tl #eql1 >eql1 #Hl1marks >reverse_append >reverse_single
 154    whd in ⊢ ((???%)→?); whd in ⊢ ((???(????%))→?);
 155    >associative_append whd in ⊢ ((???(????%))→?); #Htb
 156    * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc  … Htb) -Htc -Htb *
 157     [* >Hl1marks [#Htemp destruct (Htemp)] @memb_append_l2 @memb_hd]
 158    * #_ >append_cons <associative_append #Htc lapply (Htc … (refl …) (refl …) ?)
 159     [#x #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 160       [cases (memb_append … membx) -membx #membx
 161         [@Hl1marks @memb_append_l1 @daemon
 162         |>(memb_single … membx) %
 163         ]
 164       |@Hl2marks @membx
 165       ]]
 166   #Htc whd in ⊢ (%→?); #Houtc lapply (Houtc … Htc) -Houtc -Htc #Houtc
 167   >Houtc >reverse_append >reverse_append >reverse_single
 168   >reverse_reverse >associative_append >associative_append
 169   >associative_append %
 170 qed.
 171
 172 (* OLD
 173 definition init_copy ≝
 174   seq ? (adv_mark_r ?)
 175     (seq ? init_current_on_match
 176       (seq ? (move_r ?)
 177         (adv_to_mark_r ? (is_marked ?)))).
 178
 179 definition R_init_copy ≝ λt1,t2.
 180   ∀l1,l2,c,l3,d,rs.
 181   no_marks l1 → no_grids l1 →
 182   no_marks l2 → no_grids l2 → is_grid c = false → is_grid d =false →
 183   t1 = midtape STape (l1@〈grid,false〉::l2@〈c,false〉::〈grid,false〉::l3) 〈comma,true〉 (〈d,false〉::rs) →
 184   t2 = midtape STape (〈comma,false〉::l1@〈grid,false〉::l2@〈c,true〉::〈grid,false〉::l3) 〈d,true〉 rs.
 185
 186 lemma list_last: ∀A.∀l:list A.
 187   l = [ ] ∨ ∃a,l1. l = l1@[a].
 188 #A #l <(reverse_reverse ? l) cases (reverse A l)
 189   [%1 //
 190   |#a #l1 %2 @(ex_intro ?? a) @(ex_intro ?? (reverse ? l1)) //
 191   ]
 192 qed.
 193
 194 lemma sem_init_copy : Realize ? init_copy R_init_copy.
 195 #intape
 196 cases (sem_seq ????? (sem_adv_mark_r ?)
 197        (sem_seq ????? sem_init_current_on_match
 198         (sem_seq ????? (sem_move_r ?)
 199          (sem_adv_to_mark_r ? (is_marked ?)))) intape)
 200 #k * #outc * #Hloop #HR
 201 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [@Hloop] -Hloop
 202 #l1 #l2 #c #l3 #d #rs #Hl1marks #Hl1grids #Hl2marks #Hl2grids #Hc #Hd #Hintape
 203 cases HR -HR
 204 #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta lapply (Hta … Hintape) -Hta -Hintape #Hta
 205 * #tb * whd in ⊢ (%→?);
 206 >append_cons #Htb lapply (Htb (〈comma,false〉::l1) l2 c … Hta)
 207   [@Hd |@Hc |@Hl2grids
 208    |#x #membx cases (orb_true_l … membx) -membx #membx
 209      [>(\P membx) // | @Hl1grids @membx]
 210   ] -Htb #Htb
 211 * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc -Htb
 212 >reverse_append >reverse_cons cases (list_last ? l2)
 213   [#Hl2 >Hl2 >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 214    whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd -Htc
 215     [* whd in ⊢ ((??%?)→?); #Habs destruct (Habs)]
 216    * #_ #Htf lapply (Htf … (refl …) (refl …) ?)
 217     [#x >reverse_cons #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 218       [@Hl1marks @daemon |>(memb_single … membx) //]
 219     -Htf
 220     |#Htf >Htf >reverse_reverse >associative_append %
 221     ]
 222   |* #a * #l21 #Heq >Heq >reverse_append >reverse_single
 223    >associative_append >associative_append >associative_append whd in ⊢ ((???(??%%%))→?); #Htc
 224    whd in ⊢ (%→?); #Htd cases (Htd … Htc) -Htd -Htc
 225     [* >Hl2marks [#Habs destruct (Habs) |>Heq @memb_append_l2 @memb_hd]]
 226    * #_ <associative_append <associative_append #Htf lapply (Htf … (refl …) (refl …) ?)
 227     [#x >reverse_cons #membx cases (memb_append … membx) -membx #membx
 228       [cases (memb_append … membx) -membx #membx
 229         [@Hl2marks >Heq @memb_append_l1 @daemon
 230         |>(memb_single … membx) //]
 231       |cases (memb_append … membx) -membx #membx
 232         [@Hl1marks @daemon |>(memb_single … membx) //]
 233       ]
 234     | #Htf >Htf >reverse_append >reverse_reverse
 235       >reverse_append >reverse_reverse >associative_append
 236       >reverse_single >associative_append >associative_append
 237       >associative_append %
 238     ]
 239   ]
 240 qed. *)
 241
 242 definition exec_move ≝
 243   seq ? init_copy
 244     (seq ? copy
 245       (seq ? (move_r …) move_tape)).
 246
 247 definition map_move ≝
 248   λc,mv.match c with [ null ⇒ None ? | _ ⇒ Some ? 〈c,false,move_of_unialpha mv〉 ].
 249
 250 (* - aggiungere a legal_tape le condizioni
 251        only_bits ls, rs; bit_or_null c
 252    - ci vuole un lemma che dimostri
 253        bit_or_null c1 = true    bit_or_null mv = true
 254        mv ≠ null → c1 ≠ null
 255      dal fatto che c1 e mv sono contenuti nella table
 256  *)
 257 definition R_exec_move ≝ λt1,t2.
 258   ∀n,curconfig,ls,rs,c0,c1,s0,s1,table1,newconfig,mv,table2.
 259   table_TM n (table1@〈comma,false〉::〈s1,false〉::newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2) →
 260   no_marks curconfig → only_bits (curconfig@[〈s0,false〉]) →
 261   only_bits (〈s1,false〉::newconfig) → bit_or_null c1 = true →
 262   |curconfig| = |newconfig| →
 263   legal_tape ls 〈c0,false〉 rs →
 264   t1 = midtape STape (〈c0,false〉::curconfig@〈s0,false〉::〈grid,false〉::ls) 〈grid,false〉
 265     (table1@〈comma,true〉::〈s1,false〉::newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs) →
 266   ∀t1'.t1' = lift_tape ls 〈c0,false〉 rs →
 267   ∃ls1,rs1,c2.
 268   t2 = midtape STape ls1 〈grid,false〉
 269     (〈s1,false〉::newconfig@〈c2,false〉::〈grid,false〉::
 270      table1@〈comma,false〉::〈s1,false〉::newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs1) ∧
 271   lift_tape ls1 〈c2,false〉 rs1 =
 272   tape_move STape t1' (map_move c1 mv) ∧ legal_tape ls1 〈c2,false〉 rs1.
 273
 274 (* move the following 2 lemmata to mono.ma *)
 275 lemma tape_move_left_eq :
 276   ∀A.∀t:tape A.∀c.
 277   tape_move ? t (Some ? 〈c,L〉) =
 278   tape_move_left ? (left ? t) c (right ? t).
 279 //
 280 qed.
 281
 282 lemma tape_move_right_eq :
 283   ∀A.∀t:tape A.∀c.
 284   tape_move ? t (Some ? 〈c,R〉) =
 285   tape_move_right ? (left ? t) c (right ? t).
 286 //
 287 qed.
 288
 289 lemma lift_tape_not_null :
 290  ∀ls,c,bc,rs.c ≠ null → lift_tape ls 〈c,bc〉 rs = midtape ? ls 〈c,bc〉 rs.
 291 #ls #c #bc #rs cases c //
 292 #Hfalse @False_ind /2/
 293 qed.
 294
 295 lemma merge_char_not_null :
 296   ∀c1,c2.c1 ≠ null → merge_char c1 c2 ≠ null.
 297 #c1 #c2 @not_to_not cases c2
 298 [ #c1' normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 299 | normalize //
 300 | *: normalize #Hfalse destruct (Hfalse)
 301 ]
 302 qed.
 303
 304 lemma merge_char_null : ∀c.merge_char null c = c.
 305 * //
 306 qed.
 307
 308 lemma merge_char_cases : ∀c1,c2.merge_char c1 c2 = c1 ∨ merge_char c1 c2 = c2.
 309 #c1 *
 310 [ #c1' %2 %
 311 | % %
 312 | *: %2 % ]
 313 qed.
 314
 315 (* lemma merge_char_c_bit :
 316   ∀c1,c2.is_bit c2 = true → merge_char c1 c2 = c2.
 317 #c1 *
 318 [ #c2' #_ %
 319 |*: normalize #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 320 qed.
 321
 322 lemma merge_char_c_bit :
 323   ∀c1,c2.is_null c2 = true → merge_char c1 c2 = c1.
 324 #c1 *
 325 [ #c2' #_ %
 326 |*: normalize #Hfalse destruct (Hfalse) ]
 327 qed.
 328
 329 *)
 330
 331 lemma sem_exec_move : Realize ? exec_move R_exec_move.
 332 #intape
 333 cases (sem_seq … sem_init_copy
 334         (sem_seq … sem_copy
 335           (sem_seq … (sem_move_r …) sem_move_tape )) intape)
 336 #k * #outc * #Hloop #HR
 337 @(ex_intro ?? k) @(ex_intro ?? outc) % [ @Hloop ] -Hloop
 338 #n #curconfig #ls #rs #c0 #c1 #s0 #s1 #table1 #newconfig #mv #table2
 339 #Htable #Hcurconfig1 #Hcurconfig2 #Hnewconfig #Hc1 #Hlen #Htape #Hintape #t1' #Ht1'
 340 cases HR -HR #ta * whd in ⊢ (%→?); #Hta
 341 lapply (Hta (〈c0,false〉::curconfig) table1 s0 ls s1
 342         (newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs) … Hintape) -Hta
 343 [ (*Hcurconfig2*) @daemon
 344 | (*Htable*) @daemon
 345 | (*bit_or_null c0 = true *) @daemon
 346 | (*Hcurconfig1*) @daemon
 347 | #Hta * #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 348   lapply (Htb (〈grid,false〉::ls) s0 s1 c0 c1 (〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs) newconfig (〈comma,false〉::reverse ? table1) curconfig Hta ????????) -Htb
 349   [9:|*:(* bit_or_null c0,c1; |curconfig| = |newconfig|*) @daemon ]
 350   #Htb * #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc lapply (Htc … Htb) -Htc whd in ⊢(???(??%%%)→?);#Htc
 351   whd in ⊢ (%→?); #Houtc whd in Htc:(???%); whd in Htc:(???(??%%%));
 352   lapply (Houtc rs n
 353     (〈comma,false〉::〈c1,false〉::reverse ? newconfig@〈s1,false〉::〈comma,false〉::reverse ? table1)
 354     mv table2 (merge_char c0 c1) (reverse ? newconfig@[〈s1,false〉]) ls ????????)
 355   [3: cases Htape -Htape * * #Hnomarks #Hbits #Hc0 #Hlsrs % [ % [ %
 356     [ #x #Hx cases (orb_true_l … Hx) #Hx'
 357       [ >(\P Hx') %
 358       | @Hnomarks @memb_cons // ]
 359     | @Hbits ]
 360     | cases (merge_char_cases c0 c1) #Hmerge >Hmerge // ]
 361     | cases (true_or_false (c0 == null)) #Hc0'
 362       [ cases Hlsrs -Hlsrs
 363         [ *
 364           [ >(\P Hc0') * #Hfalse @False_ind /2/
 365           | #Hlsnil % %2 // ]
 366         | #Hrsnil %2 // ]
 367       | % % @merge_char_not_null @(\Pf Hc0') ] ]
 368   |4:>Htc @(eq_f3 … (midtape ?))
 369     [ @eq_f @eq_f >associative_append >associative_append %
 370     | %
 371     | % ]
 372   | %
 373   || >reverse_cons >reverse_cons >reverse_append >reverse_reverse
 374      >reverse_cons >reverse_cons >reverse_reverse
 375      >associative_append >associative_append >associative_append
 376      >associative_append >associative_append
 377      @Htable
 378   | (* well formedness of table *) @daemon
 379   | (* Hnewconfig *) @daemon
 380   | (* bit_or_null mv = true (well formedness of table) *) @daemon
 381   | -Houtc * #ls1 * #rs1 * #newc * #Hnewtapelegal * #Houtc *
 382     [ *
 383       [ * #Hmv #Htapemove
 384         @(ex_intro ?? ls1) @(ex_intro ?? rs1) @(ex_intro ?? newc)
 385         %
 386         [ %
 387           [ >Houtc -Houtc >reverse_append
 388             >reverse_reverse >reverse_single @eq_f
 389             >reverse_cons >reverse_cons >reverse_append >reverse_cons
 390             >reverse_cons >reverse_reverse >reverse_reverse
 391             >associative_append >associative_append
 392             >associative_append >associative_append
 393             >associative_append >associative_append %
 394           | >Hmv >Ht1' >Htapemove
 395             (* mv = bit false -→ c1 = bit ? *)
 396             cut (∃c1'.c1 = bit c1') [ @daemon ] * #c1' #Hc1
 397             >Hc1 >tape_move_left_eq >(legal_tape_left … Htape)
 398             >(legal_tape_right … Htape) %
 399           ]
 400         | //
 401         ]
 402       | * #Hmv #Htapemove
 403         @(ex_intro ?? ls1) @(ex_intro ?? rs1) @(ex_intro ?? newc) %
 404         [ %
 405           [ >Houtc -Houtc >reverse_append
 406             >reverse_reverse >reverse_single @eq_f
 407             >reverse_cons >reverse_cons >reverse_append >reverse_cons
 408             >reverse_cons >reverse_reverse >reverse_reverse
 409             >associative_append >associative_append
 410             >associative_append >associative_append
 411             >associative_append >associative_append %
 412           |>Hmv >Ht1' >Htapemove
 413             cut (∃c1'.c1 = bit c1') [ @daemon ] * #c1' #Hc1
 414             >Hc1 >tape_move_right_eq >(legal_tape_left … Htape)
 415             >(legal_tape_right … Htape) %
 416           ]
 417         | //
 418         ]
 419       ]
 420     | * * * #Hmv #Hlseq #Hrseq #Hnewc
 421       @(ex_intro ?? ls1) @(ex_intro ?? rs1) @(ex_intro ?? newc) %
 422       [ %
 423         [ >Houtc -Houtc >reverse_append
 424           >reverse_reverse >reverse_single @eq_f
 425           >reverse_cons >reverse_cons >reverse_append >reverse_cons
 426           >reverse_cons >reverse_reverse >reverse_reverse
 427           >associative_append >associative_append
 428           >associative_append >associative_append
 429           >associative_append >associative_append %
 430         |>Hmv >Ht1' cases c1 in Hnewc;
 431           [ #c1' whd in ⊢ (??%?→?);#Hnewc <Hnewc
 432             >Hlseq >Hrseq whd in ⊢ (??%%);
 433             >(legal_tape_left … Htape) >(legal_tape_right … Htape) %
 434           | whd in ⊢ (??%?→?); #Hnewc >Hnewc >Hlseq >Hrseq %
 435           |*: whd in ⊢ (??%?→?);#Hnewc <Hnewc
 436             >Hlseq >Hrseq whd in ⊢ (??%%);
 437             >(legal_tape_left … Htape) >(legal_tape_right … Htape) %
 438           ]
 439         ]
 440       | //
 441       ]
 442     ]
 443   ]
 444 ]
 445 qed.
 446
 447 (*
 448 if is_false(current) (* current state is not final *)
 449    then init_match;
 450     match_tuple;
 451     if is_marked(current) = false (* match ok *)
 452       then
 453            exec_move
 454            move_r;
 455       else sink;
 456    else nop;
 457 *)
 458
 459 definition uni_step ≝
 460   ifTM ? (test_char STape (λc.\fst c == bit false))
 461     (single_finalTM ? (seq ? init_match
 462       (seq ? match_tuple
 463         (ifTM ? (test_char ? (λc.¬is_marked ? c))
 464           (seq ? exec_move (move_r …))
 465           (nop ?) (* sink *)
 466           tc_true))))
 467     (nop ?)
 468     tc_true.
 469
 470 definition R_uni_step_true ≝ λt1,t2.
 471   ∀n,table,s0,s1,c0,c1,ls,rs,curconfig,newconfig,mv.
 472   0 < |table| → table_TM (S n) table →
 473   match_in_table (S n) (〈s0,false〉::curconfig) 〈c0,false〉
 474     (〈s1,false〉::newconfig) 〈c1,false〉 〈mv,false〉 table →
 475   legal_tape ls 〈c0,false〉 rs →
 476   t1 = midtape STape (〈grid,false〉::ls) 〈s0,false〉
 477     (curconfig@〈c0,false〉::〈grid,false〉::table@〈grid,false〉::rs) →
 478   ∀t1'.t1' = lift_tape ls 〈c0,false〉 rs →
 479   s0 = bit false ∧
 480   ∃ls1,rs1,c2.
 481   (t2 = midtape STape (〈grid,false〉::ls1) 〈s1,false〉
 482     (newconfig@〈c2,false〉::〈grid,false〉::table@〈grid,false〉::rs1) ∧
 483    lift_tape ls1 〈c2,false〉 rs1 =
 484    tape_move STape t1' (map_move c1 mv) ∧ legal_tape ls1 〈c2,false〉 rs1).
 485
 486 definition R_uni_step_false ≝ λt1,t2.
 487   ∀b. current STape t1 = Some ? 〈bit b,false〉 → b = true ∧ t2 = t1.
 488
 489 axiom sem_match_tuple : Realize ? match_tuple R_match_tuple.
 490
 491 lemma sem_uni_step :
 492   accRealize ? uni_step (inr … (inl … (inr … start_nop)))
 493      R_uni_step_true R_uni_step_false.
 494 @(acc_sem_if_app STape … (sem_test_char ? (λc:STape.\fst c == bit false))
 495    (sem_seq … sem_init_match
 496      (sem_seq … sem_match_tuple
 497        (sem_if … (* ????????? (sem_test_char …  (λc.¬is_marked FSUnialpha c)) *)
 498           (sem_seq … sem_exec_move (sem_move_r …))
 499           (sem_nop …))))
 500    (sem_nop …)
 501    …)
 502 [@sem_test_char||]
 503 [ #intape #outtape
 504   #ta whd in ⊢ (%→?); #Hta #HR
 505   #n #fulltable #s0 #s1 #c0 #c1 #ls #rs #curconfig #newconfig #mv
 506   #Htable_len cut (∃t0,table. fulltable =〈bar,false〉::〈t0,false〉::table) [(* 0 < |table| *) @daemon]
 507   * #t0 * #table #Hfulltable >Hfulltable -fulltable
 508   #Htable #Hmatch #Htape #Hintape #t1' #Ht1'
 509   >Hintape in Hta; #Hta cases (Hta ? (refl ??)) -Hta
 510   #Hs0 lapply (\P Hs0) -Hs0 #Hs0 #Hta % //
 511   cases HR -HR
 512   #tb * whd in ⊢ (%→?); #Htb
 513   lapply (Htb (〈grid,false〉::ls) (curconfig@[〈c0,false〉]) (table@〈grid,false〉::rs) s0 t0 ???)
 514   [ >Hta >associative_append %
 515   | @daemon
 516   | @daemon
 517   | -Hta -Htb #Htb *
 518     #tc * whd in ⊢ (%→?); #Htc cases (Htc … Htable … Htb) -Htb -Htc
 519     [| * #Hcurrent #Hfalse @False_ind
 520       (* absurd by Hmatch *) @daemon
 521     | >Hs0 %
 522     | (* Htable (con lemma) *) @daemon
 523     | (* Hmatch *) @daemon
 524     | (* Htable *) @daemon
 525     | (* Htable, Hmatch → |config| = n
 526        necessaria modifica in R_match_tuple, le dimensioni non corrispondono
 527       *) @daemon
 528     ]
 529     * #table1 * #newc * #mv1 * #table2 * #Htableeq #Htc *
 530     [ * #td * whd in ⊢ (%→?); >Htc -Htc #Htd
 531       cases (Htd ? (refl ??)) #_ -Htd
 532       cut (newc = 〈s1,false〉::newconfig@[〈c1,false〉]) [@daemon] #Hnewc
 533       >Hnewc #Htd cut (mv1 = 〈mv,false〉)
 534       [@daemon] #Hmv1
 535       * #te * whd in ⊢ (%→?); #Hte
 536       cut (td = midtape STape (〈c0,false〉::reverse STape curconfig@〈s0,false〉::〈grid,false〉::ls)
 537               〈grid,false〉
 538               ((table1@〈bar,false〉::〈s0,false〉::curconfig@[〈c0,false〉])@〈comma,true〉::〈s1,false〉::
 539                newconfig@〈c1,false〉::〈comma,false〉::〈mv,false〉::table2@〈grid,false〉::rs))
 540       [ >Htd @eq_f3 //
 541         [ >reverse_append >reverse_single %
 542         | >associative_append >associative_append normalize
 543           >associative_append >associative_append >Hmv1 %
 544         ]
 545       ]
 546       -Htd #Htd lapply (Hte … (S n) … Htd … Ht1') -Htd -Hte
 547       [ //
 548       | (*|curconfig| = |newconfig|*) @daemon
 549       | (* Htable → bit_or_null c1 = true *) @daemon
 550       | (* only_bits (〈s1,false〉::newconfig) *) @daemon
 551       | (* only_bits (curconfig@[〈s0,false〉]) *) @daemon
 552       | (* no_marks (reverse ? curconfig) *) @daemon
 553       | >Hmv1 in Htableeq; >Hnewc
 554         >associative_append >associative_append normalize
 555         >associative_append >associative_append
 556         #Htableeq <Htableeq // ]
 557       * #ls1 * #rs1 * #c2 * * #Hte #Hliftte #Hlegalte
 558       whd in ⊢ (%→?); #Houttape lapply (Houttape … Hte) -Houttape #Houttape
 559       whd in Houttape:(???%); whd in Houttape:(???(??%%%));
 560       @ex_intro [| @(ex_intro ?? rs1) @ex_intro [| % [ %
 561       [ >Houttape @eq_f @eq_f @eq_f @eq_f
 562         change with ((〈bar,false〉::〈t0,false〉::table)@?) in ⊢ (???%);
 563         >Htableeq >associative_append >associative_append
 564         >associative_append normalize >associative_append
 565         >associative_append normalize >Hnewc <Hmv1
 566         >associative_append normalize >associative_append
 567         >Hmv1 %
 568       | @Hliftte
 569       ]
 570      | //
 571      ]
 572     ]
 573    ]
 574   | * #td * whd in ⊢ (%→%→?); >Htc #Htd
 575     cases (Htd ? (refl ??)) normalize in ⊢ (%→?);
 576     #Hfalse destruct (Hfalse)
 577   ]
 578  ]
 579 | #t1 #t2 #t3 whd in ⊢ (%→%→?); #Ht1 #Ht2
 580   #b #Hb cases (Ht1 ? Hb) #Hb' #Ht3 >Ht2 % //
 581   cases b in Hb'; normalize #H1 //
 582 ]
 583 qed.