matita/matita/lib/turing/universal/universal.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12
  13 include "turing/universal/trans_to_tuples.ma".
  14 include "turing/universal/uni_step.ma".
  15
  16 (* definition zero : ∀n.initN n ≝ λn.mk_Sig ?? 0 (le_O_n n). *)
  17
  18 record normalTM : Type[0] ≝
  19 { no_states : nat;
  20   pos_no_states : (0 < no_states);
  21   ntrans : trans_source no_states → trans_target no_states;
  22   nhalt : initN no_states → bool
  23 }.
  24
  25 definition normalTM_to_TM ≝ λM:normalTM.
  26   mk_TM FinBool (initN (no_states M))
  27    (ntrans M) (mk_Sig ?? 0 (pos_no_states M)) (nhalt M).
  28
  29 coercion normalTM_to_TM.
  30
  31 definition nconfig ≝ λn. config FinBool (initN n).
  32
  33 (*
  34 definition normalTM ≝ λn,t,h.
  35   λk:0<n.mk_TM FinBool (initN n) t (mk_Sig ?? 0 k) h. *)
  36
  37 definition low_config: ∀M:normalTM.nconfig (no_states M) → tape STape ≝
  38 λM:normalTM.λc.
  39   let n ≝ no_states M in
  40   let h ≝ nhalt M in
  41   let t ≝ntrans M in
  42   let q ≝ cstate … c in
  43   let q_low ≝  m_bits_of_state n h q in
  44   let current_low ≝ match current … (ctape … c) with [ None ⇒ null | Some b ⇒ bit b] in
  45   let low_left ≝ map … (λb.〈bit b,false〉) (left … (ctape …c)) in
  46   let low_right ≝ map … (λb.〈bit b,false〉) (right … (ctape …c)) in
  47   let table ≝ flatten ? (tuples_of_pairs n h (graph_enum ?? t)) in
  48   let right ≝ q_low@〈current_low,false〉::〈grid,false〉::table@〈grid,false〉::low_right in
  49   mk_tape STape (〈grid,false〉::low_left) (option_hd … right) (tail … right).
  50
  51 lemma low_config_eq: ∀t,M,c. t = low_config M c →
  52   ∃low_left,low_right,table,q_low_hd,q_low_tl,c_low.
  53   low_left = map … (λb.〈bit b,false〉) (left … (ctape …c)) ∧
  54   low_right = map … (λb.〈bit b,false〉) (right … (ctape …c)) ∧
  55   table = flatten ? (tuples_of_pairs (no_states M) (nhalt M) (graph_enum ?? (ntrans M))) ∧
  56   〈q_low_hd,false〉::q_low_tl = m_bits_of_state (no_states M) (nhalt M) (cstate … c) ∧
  57   c_low =  match current … (ctape … c) with [ None ⇒ null| Some b ⇒ bit b] ∧
  58   t = midtape STape (〈grid,false〉::low_left) 〈q_low_hd,false〉 (q_low_tl@〈c_low,false〉::〈grid,false〉::table@〈grid,false〉::low_right).
  59 #t #M #c #eqt
  60   @(ex_intro … (map … (λb.〈bit b,false〉) (left … (ctape …c))))
  61   @(ex_intro … (map … (λb.〈bit b,false〉) (right … (ctape …c))))
  62   @(ex_intro … (flatten ? (tuples_of_pairs (no_states M) (nhalt M) (graph_enum ?? (ntrans M)))))
  63   @(ex_intro … (\fst (hd ? (m_bits_of_state (no_states M) (nhalt M) (cstate … c)) 〈bit true,false〉)))
  64   @(ex_intro … (tail ? (m_bits_of_state (no_states M) (nhalt M) (cstate … c))))
  65   @(ex_intro … (match current … (ctape … c) with [ None ⇒ null| Some b ⇒ bit b]))
  66 % [% [% [% [% // | // ] | // ] | // ] | >eqt //]
  67 qed.
  68
  69 let rec to_bool_list (l: list (unialpha×bool)) ≝
  70   match l with
  71   [ nil ⇒ nil ?
  72   | cons a tl ⇒
  73     match \fst a with
  74     [bit b ⇒ b::to_bool_list tl
  75     |_ ⇒ nil ?
  76     ]
  77   ].
  78
  79 definition high_c ≝ λc:unialpha×bool.
  80   match \fst c with
  81   [ null ⇒ None ?
  82   | bit b ⇒ Some ? b
  83   | _ ⇒ None ?].
  84
  85 definition high_tape ≝ λls,c,rs.
  86   mk_tape FinBool (to_bool_list ls) (high_c c) (to_bool_list rs).
  87
  88 lemma high_tape_eq : ∀ls,c,rs. high_tape ls c rs =
  89   mk_tape FinBool (to_bool_list ls) (high_c c) (to_bool_list rs).
  90 // qed.
  91
  92 definition high_tape_from_tape ≝ λt:tape STape.
  93   match t with
  94   [niltape ⇒ niltape ?
  95   |leftof a l ⇒ match \fst a with
  96      [bit b ⇒ leftof ? b (to_bool_list l)
  97      |_ ⇒ niltape ?
  98      ]
  99   |rightof a r ⇒ match \fst a with
 100      [bit b ⇒ rightof ? b (to_bool_list r)
 101      |_ ⇒ niltape ?
 102      ]
 103   |midtape l c r ⇒ high_tape l c r
 104   ].
 105
 106 lemma high_tape_of_lift : ∀ls,c,rs. legal_tape ls c rs →
 107   high_tape ls c rs =
 108     high_tape_from_tape (lift_tape ls c rs).
 109 #ls * #c #b #rs * #H cases c //
 110 >high_tape_eq
 111 * [ * [#H @False_ind /2/
 112       | #Heq >Heq cases rs // * #a #b1 #tl
 113         whd in match (lift_tape ???); cases a //
 114       ]
 115   |#Heq >Heq cases ls // * #a #b1 #tl
 116         whd in match (lift_tape ???); cases a //
 117   ]
 118 qed.
 119
 120 lemma bool_embedding: ∀l.
 121   to_bool_list (map ?? (λb.〈bit b,false〉) l) = l.
 122 #l elim l // #a #tl #Hind normalize @eq_f @Hind
 123 qed.
 124
 125 lemma current_embedding: ∀c.
 126   high_c (〈match c with [None ⇒ null | Some b ⇒ bit b],false〉) = c.
 127   * normalize // qed.
 128
 129 lemma tape_embedding: ∀ls,c,rs.
 130  high_tape
 131    (map ?? (λb.〈bit b,false〉) ls)
 132    (〈match c with [None ⇒ null | Some b ⇒ bit b],false〉)
 133    (map ?? (λb.〈bit b,false〉) rs) = mk_tape ? ls c rs.
 134 #ls #c #rs >high_tape_eq >bool_embedding >bool_embedding
 135 >current_embedding %
 136 qed.
 137
 138 definition high_move ≝ λc,mv.
 139   match c with
 140   [ bit b ⇒ Some ? 〈b,move_of_unialpha mv〉
 141   | _ ⇒ None ?
 142   ].
 143
 144 (* lemma high_of_lift ≝ ∀ls,c,rs.
 145   high_tape ls c rs = *)
 146
 147 definition map_move ≝
 148   λc,mv.match c with [ null ⇒ None ? | _ ⇒ Some ? 〈c,false,move_of_unialpha mv〉 ].
 149
 150 (* axiom high_tape_move : ∀t1,ls,c,rs, c1,mv.
 151   legal_tape ls c rs →
 152   t1 = lift_tape ls c rs →
 153   high_tape_from_tape (tape_move STape t1 (map_move c1 mv)) =
 154     tape_move FinBool (high_tape_from_tape t1) (high_move c1 mv). *)
 155
 156 definition low_step_R_true ≝ λt1,t2.
 157   ∀M:normalTM.
 158   ∀c: nconfig (no_states M).
 159     t1 = low_config M c →
 160     halt ? M (cstate … c) = false ∧
 161       t2 = low_config M (step ? M c).
 162
 163 definition low_tape_aux : ∀M:normalTM.tape FinBool → tape STape ≝
 164 λM:normalTM.λt.
 165   let current_low ≝ match current … t with
 166     [ None ⇒ None ? | Some b ⇒ Some ? 〈bit b,false〉] in
 167   let low_left ≝ map … (λb.〈bit b,false〉) (left … t) in
 168   let low_right ≝ map … (λb.〈bit b,false〉) (right … t) in
 169   mk_tape STape low_left current_low low_right.
 170
 171 lemma left_of_low_tape: ∀M,t.
 172   left ? (low_tape_aux M t) = map … (λb.〈bit b,false〉) (left … t).
 173 #M * //
 174 qed.
 175
 176 lemma right_of_low_tape: ∀M,t.
 177   right ? (low_tape_aux M t) = map … (λb.〈bit b,false〉) (right … t).
 178 #M * //
 179 qed.
 180
 181 definition low_move ≝ λaction:option (bool × move).
 182   match action with
 183   [None ⇒ None ?
 184   |Some act ⇒ Some ? (〈〈bit (\fst act),false〉,\snd act〉)].
 185
 186 (* simulation lemma *)
 187 lemma low_tape_move : ∀M,action,t.
 188   tape_move STape (low_tape_aux M t) (low_move action) =
 189   low_tape_aux M (tape_move FinBool t action).
 190 #M * // (* None *)
 191 * #b #mv #t cases mv cases t //
 192   [#ls #c #rs cases ls //|#ls #c #rs cases rs //]
 193 qed.
 194
 195 lemma left_of_lift: ∀ls,c,rs. left ? (lift_tape ls c rs) = ls.
 196 #ls * #c #b #rs cases c // cases ls // cases rs //
 197 qed.
 198
 199 lemma right_of_lift: ∀ls,c,rs. legal_tape ls c rs →
 200   right ? (lift_tape ls c rs) = rs.
 201 #ls * #c #b #rs * #_ cases c // cases ls cases rs // #a #tll #b #tlr
 202 #H @False_ind cases H [* [#H1 /2/ |#H1 destruct] |#H1 destruct]
 203 qed.
 204
 205
 206 lemma current_of_lift: ∀ls,c,b,rs. legal_tape ls 〈c,b〉 rs →
 207   current STape (lift_tape ls 〈c,b〉 rs) =
 208     match c with [null ⇒ None ? | _ ⇒ Some ? 〈c,b〉].
 209 #ls #c #b #rs cases c // whd in ⊢ (%→?); * #_
 210 * [* [#Hnull @False_ind /2/ | #Hls >Hls whd in ⊢ (??%%); cases rs //]
 211   |#Hrs >Hrs whd in ⊢ (??%%); cases ls //]
 212 qed.
 213
 214 lemma current_of_lift_None: ∀ls,c,b,rs. legal_tape ls 〈c,b〉 rs →
 215   current STape (lift_tape ls 〈c,b〉 rs) = None ? →
 216     c = null.
 217 #ls #c #b #rs #Hlegal >(current_of_lift … Hlegal) cases c normalize
 218   [#b #H destruct |// |3,4,5:#H destruct ]
 219 qed.
 220
 221 lemma current_of_lift_Some: ∀ls,c,c1,rs. legal_tape ls c rs →
 222   current STape (lift_tape ls c rs) = Some ? c1 →
 223     c = c1.
 224 #ls * #c #cb #b #rs #Hlegal >(current_of_lift … Hlegal) cases c normalize
 225  [#b1 #H destruct // |#H destruct |3,4,5:#H destruct //]
 226 qed.
 227
 228 lemma current_of_low_None: ∀M,t. current FinBool t = None ? →
 229   current STape (low_tape_aux M t) = None ?.
 230 #M #t cases t // #l #b #r whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct
 231 qed.
 232
 233 lemma current_of_low_Some: ∀M,t,b. current FinBool t = Some ? b →
 234   current STape (low_tape_aux M t) = Some ? 〈bit b,false〉.
 235 #M #t cases t
 236   [#b whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct
 237   |#b #l #b1 whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct
 238   |#b #l #b1 whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct
 239   |#c #c1 #l #r whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct %
 240   ]
 241 qed.
 242
 243 lemma current_of_low:∀M,tape,ls,c,rs. legal_tape ls c rs →
 244   lift_tape ls c rs = low_tape_aux M tape →
 245   c = 〈match current … tape  with
 246        [ None ⇒ null | Some b ⇒ bit b], false〉.
 247 #M #tape #ls * #c #cb #rs #Hlegal #Hlift
 248 cut (current ? (lift_tape ls 〈c,cb〉 rs) = current ? (low_tape_aux M tape))
 249   [@eq_f @Hlift] -Hlift #Hlift
 250 cut (current … tape = None ? ∨ ∃b.current … tape = Some ? b)
 251   [cases (current … tape) [%1 // | #b1 %2 /2/ ]] *
 252   [#Hcurrent >Hcurrent normalize
 253    >(current_of_low_None …Hcurrent) in Hlift; #Hlift
 254    >(current_of_lift_None … Hlegal Hlift)
 255    @eq_f cases Hlegal * * #Hmarks #_ #_ #_ @(Hmarks 〈c,cb〉) @memb_hd
 256   |* #b #Hcurrent >Hcurrent normalize
 257    >(current_of_low_Some …Hcurrent) in Hlift; #Hlift
 258    @(current_of_lift_Some … Hlegal Hlift)
 259   ]
 260 qed.
 261
 262 (*
 263 lemma current_of_low:∀M,tape,ls,c,rs. legal_tape ls c rs →
 264   lift_tape ls c rs = low_tape_aux M tape →
 265   c = 〈match current … tape  with
 266        [ None ⇒ null | Some b ⇒ bit b], false〉.
 267 #M #tape #ls * #c #cb #rs * * #_ #H cases (orb_true_l … H)
 268   [cases c [2,3,4,5: whd in ⊢ ((??%?)→?); #Hfalse destruct]
 269    #b #_ #_ cases tape
 270     [whd in ⊢ ((??%%)→?); #H destruct
 271     |#a #l whd in ⊢ ((??%%)→?); #H destruct
 272     |#a #l whd in ⊢ ((??%%)→?); #H destruct
 273     |#a #l #r whd in ⊢ ((??%%)→?); #H destruct //
 274     ]
 275   |cases c
 276     [#b whd in ⊢ ((??%?)→?); #Hfalse destruct
 277     |3,4,5:whd in ⊢ ((??%?)→?); #Hfalse destruct]
 278    #_ * [* [#Habs @False_ind /2/
 279            |#Hls >Hls whd in ⊢ ((??%%)→?); *)
 280
 281
 282 (* sufficent conditions to have a low_level_config *)
 283 lemma is_low_config: ∀ls,c,rs,M,s,tape,qhd,q_tl,table.
 284 legal_tape ls c rs →
 285 table = flatten ? (tuples_of_pairs (no_states M) (nhalt M) (graph_enum ?? (ntrans M))) →
 286 lift_tape ls c rs = low_tape_aux M tape →
 287 〈qhd,false〉::q_tl = m_bits_of_state (no_states M) (nhalt M) s →
 288 midtape STape (〈grid,false〉::ls)
 289   〈qhd,false〉
 290   (q_tl@c::〈grid,false〉::table@〈grid,false〉::rs) =
 291   low_config M (mk_config ?? s tape).
 292 #ls #c #rs #M #s #tape #qhd #q_tl #table #Hlegal #Htable
 293 #Hlift #Hstate whd in match (low_config ??); <Hstate
 294 @eq_f3
 295   [@eq_f <(left_of_lift ls c rs) >Hlift //
 296   | cut (∀A.∀a,b:A.∀l1,l2. a::l1 = b::l2 → a=b)
 297     [#A #a #b #l1 #l2 #H destruct (H) %] #Hcut
 298    @(Hcut …Hstate)
 299   |@eq_f <(current_of_low … Hlegal Hlift) @eq_f @eq_f <Htable @eq_f @eq_f
 300    <(right_of_lift ls c rs Hlegal) >Hlift @right_of_low_tape
 301   ]
 302 qed.
 303
 304 lemma unistep_to_low_step: ∀t1,t2.
 305   R_uni_step_true t1 t2 → low_step_R_true t1 t2.
 306 #t1 #t2 (* whd in ⊢ (%→%); *) #Huni_step * #n #posn #t #h * #qin #tape #eqt1
 307 cases (low_config_eq … eqt1)
 308 #low_left * #low_right * #table * #q_low_hd * #q_low_tl * #current_low
 309 ***** #Hlow_left #Hlow_right #Htable #Hq_low #Hcurrent_low #Ht1
 310 letin trg ≝ (t 〈qin,current ? tape〉)
 311 letin qout_low ≝ (m_bits_of_state n h (\fst trg))
 312 letin qout_low_hd ≝ (hd ? qout_low 〈bit true,false〉)
 313 letin qout_low_tl ≝ (tail ? qout_low)
 314 letin low_act ≝ (low_action (\snd (t 〈qin,current ? tape〉)))
 315 letin low_cout ≝ (\fst low_act)
 316 letin low_m ≝ (\snd low_act)
 317 lapply (Huni_step n table q_low_hd (\fst qout_low_hd)
 318        current_low low_cout low_left low_right q_low_tl qout_low_tl low_m … Ht1)
 319   [@daemon
 320   |>Htable
 321    @(trans_to_match n h t 〈qin,current ? tape〉 … (refl …))
 322    >Hq_low  >Hcurrent_low whd in match (mk_tuple ?????);
 323    >(eq_pair_fst_snd … (t …)) whd in ⊢ (??%?);
 324    >(eq_pair_fst_snd … (low_action …)) %
 325   |//
 326   |@daemon
 327   ]
 328 -Ht1 #Huni_step lapply (Huni_step ? (refl …)) -Huni_step *
 329 #q_low_head_false * #ls1 * #rs1 * #c2 * *
 330 #Ht2 #Hlift #Hlegal %
 331   [whd in ⊢ (??%?); >q_low_head_false in Hq_low;
 332    whd in ⊢ ((???%)→?); generalize in match (h qin);
 333    #x #H destruct (H) %
 334   |>Ht2 whd in match (step FinBool ??);
 335    whd in match (trans ???);
 336    >(eq_pair_fst_snd … (t ?))
 337    @is_low_config // >Hlift
 338    <low_tape_move @eq_f2
 339     [>Hlow_left >Hlow_right >Hcurrent_low whd in ⊢ (??%%);
 340      cases (current …tape) [%] #b whd in ⊢ (??%%); %
 341     |whd in match low_cout; whd in match low_m; whd in match low_act;
 342      generalize in match (\snd (t ?)); * [%] * #b #mv
 343      whd in  ⊢ (??(?(???%)?)%); cases mv %
 344     ]
 345   ]
 346 qed.
 347
 348 definition low_step_R_false ≝ λt1,t2.
 349   ∀M:normalTM.
 350   ∀c: nconfig (no_states M).
 351     t1 = low_config M c → halt ? M (cstate … c) = true  ∧ t1 = t2.
 352
 353 definition low_R ≝ λM,qstart,R,t1,t2.
 354     ∀tape1. t1 = low_config M (mk_config ?? qstart tape1) →
 355     ∃q,tape2.R tape1 tape2 ∧
 356     halt ? M q = true ∧ t2 = low_config M (mk_config ?? q tape2).
 357
 358 definition R_TM ≝ λsig.λM:TM sig.λq.λt1,t2.
 359 ∃i,outc.
 360   loop ? i (step sig M) (λc.halt sig M (cstate ?? c)) (mk_config ?? q t1) = Some ? outc ∧
 361   t2 = (ctape ?? outc).
 362
 363 (*
 364 definition universal_R ≝ λM,R,t1,t2.
 365     Realize ? M R →
 366     ∀tape1,tape2.
 367     R tape1 tape 2 ∧
 368     t1 = low_config M (initc ? M tape1) ∧
 369     ∃q.halt ? M q = true → t2 = low_config M (mk_config ?? q tape2).*)
 370
 371 axiom uni_step: TM STape.
 372 axiom us_acc: states ? uni_step.
 373
 374 axiom sem_uni_step: accRealize ? uni_step us_acc low_step_R_true low_step_R_false.
 375
 376 definition universalTM ≝ whileTM ? uni_step us_acc.
 377
 378 theorem sem_universal: ∀M:normalTM. ∀qstart.
 379   WRealize ? universalTM (low_R M qstart (R_TM FinBool M qstart)).
 380 #M #q #intape #i #outc #Hloop
 381 lapply (sem_while … sem_uni_step intape i outc Hloop)
 382   [@daemon] -Hloop
 383 * #ta * #Hstar generalize in match q; -q
 384 @(star_ind_l ??????? Hstar)
 385   [#tb #q0 whd in ⊢ (%→?); #Htb #tape1 #Htb1
 386    cases (Htb … Htb1) -Htb #Hhalt #Htb
 387    <Htb >Htb1 @ex_intro
 388    [|%{tape1} %
 389      [ %
 390        [ whd @(ex_intro … 1) @(ex_intro … (mk_config … q0 tape1))
 391         % [|%] whd in ⊢ (??%?); >Hhalt %
 392        | @Hhalt ]
 393      | % ]
 394    ]
 395   |#tb #tc #td whd in ⊢ (%→?); #Htc #Hstar1 #IH
 396    #q #Htd #tape1 #Htb
 397    lapply (IH (\fst (trans ? M 〈q,current ? tape1〉)) Htd) -IH
 398    #IH cases (Htc … Htb); -Htc #Hhaltq
 399    whd in match (step FinBool ??); >(eq_pair_fst_snd ?? (trans ???))
 400    #Htc change with (mk_config ????) in Htc:(???(??%));
 401    cases (IH ? Htc) #q1 * #tape2 * * #HRTM #Hhaltq1 #Houtc
 402    @(ex_intro … q1) @(ex_intro … tape2) %
 403     [%
 404       [cases HRTM #k * #outc1 * #Hloop #Houtc1
 405        @(ex_intro … (S k)) @(ex_intro … outc1) %
 406         [>loop_S_false [2://] whd in match (step FinBool ??);
 407          >(eq_pair_fst_snd ?? (trans ???)) @Hloop
 408         |@Houtc1
 409         ]
 410       |@Hhaltq1]
 411     |@Houtc
 412     ]
 413   ]
 414 qed.
 415
 416 lemma R_TM_to_R: ∀sig,M,R. ∀t1,t2.
 417   WRealize sig M R → R_TM ? M (start ? M) t1 t2 → R t1 t2.
 418 #sig #M #R #t1 #t2 whd in ⊢ (%→?); #HMR * #i * #outc *
 419 #Hloop #Ht2 >Ht2 @(HMR … Hloop)
 420 qed.
 421
 422 axiom WRealize_to_WRealize: ∀sig,M,R1,R2.
 423   (∀t1,t2.R1 t1 t2 → R2 t1 t2) → WRealize sig M R1 → WRealize ? M R2.
 424
 425 theorem sem_universal2: ∀M:normalTM. ∀R.
 426   WRealize ? M R → WRealize ? universalTM (low_R M (start ? M) R).
 427 #M #R #HMR lapply (sem_universal … M (start ? M)) @WRealize_to_WRealize
 428 #t1 #t2 whd in ⊢ (%→%); #H #tape1 #Htape1 cases (H ? Htape1)
 429 #q * #tape2 * * #HRTM #Hhalt #Ht2 @(ex_intro … q) @(ex_intro … tape2)
 430 % [% [@(R_TM_to_R … HRTM) @HMR | //] | //]
 431 qed.
 432