matita/matita/lib/turing/wmono.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12 include "basics/vectors.ma".
  13 include "basics/finset.ma".
  14 (* include "basics/relations.ma". *)
  15
  16 record tape (sig:FinSet): Type[0] ≝
  17 { left : list sig;
  18   right: list sig
  19 }.
  20
  21 inductive move : Type[0] ≝
  22 | L : move
  23 | R : move
  24 .
  25
  26 (* We do not distinuish an input tape *)
  27
  28 record TM (sig:FinSet): Type[1] ≝
  29 { states : FinSet;
  30   trans : states × (option sig) → states × (option (sig × move));
  31   start: states;
  32   halt : states → bool
  33 }.
  34
  35 record config (sig,states:FinSet): Type[0] ≝
  36 { cstate : states;
  37   ctape: tape sig
  38 }.
  39
  40 definition option_hd ≝ λA.λl:list A.
  41   match l with
  42   [nil ⇒ None ?
  43   |cons a _ ⇒ Some ? a
  44   ].
  45
  46 definition tape_move ≝ λsig.λt: tape sig.λm:option (sig × move).
  47   match m with
  48   [ None ⇒ t
  49   | Some m1 ⇒
  50     match \snd m1 with
  51     [ R ⇒ mk_tape sig ((\fst m1)::(left ? t)) (tail ? (right ? t))
  52     | L ⇒ mk_tape sig (tail ? (left ? t)) ((\fst m1)::(right ? t))
  53     ]
  54   ].
  55
  56 definition step ≝ λsig.λM:TM sig.λc:config sig (states sig M).
  57   let current_char ≝ option_hd ? (right ? (ctape ?? c)) in
  58   let 〈news,mv〉 ≝ trans sig M 〈cstate ?? c,current_char〉 in
  59   mk_config ?? news (tape_move sig (ctape ?? c) mv).
  60
  61 let rec loop (A:Type[0]) n (f:A→A) p a on n ≝
  62   match n with
  63   [ O ⇒ None ?
  64   | S m ⇒ if p a then (Some ? a) else loop A m f p (f a)
  65   ].
  66
  67 lemma loop_incr : ∀A,f,p,k1,k2,a1,a2.
  68   loop A k1 f p a1 = Some ? a2 →
  69     loop A (k2+k1) f p a1 = Some ? a2.
  70 #A #f #p #k1 #k2 #a1 #a2 generalize in match a1; elim k1
  71 [normalize #a0 #Hfalse destruct
  72 |#k1' #IH #a0 <plus_n_Sm whd in ⊢ (??%? → ??%?);
  73  cases (true_or_false (p a0)) #Hpa0 >Hpa0 whd in ⊢ (??%? → ??%?); // @IH
  74 ]
  75 qed.
  76
  77 lemma loop_split : ∀A,f,p,q.(∀b. q b = true → p b = true) →
  78  ∀k,a1,a2.
  79    loop A k f q a1 = Some ? a2 →
  80    ∃k1,a3.
  81     loop A k1 f p a1 = Some ? a3 ∧
  82       loop A (S(k-k1)) f q a3 = Some ? a2.
  83 #A #f #p #q #Hpq #k elim k
  84   [#a1 #a2 normalize #Heq destruct
  85   |#i #Hind #a1 #a2 normalize
  86    cases (true_or_false (q a1)) #Hqa1 >Hqa1 normalize
  87     [ #Ha1a2 destruct
  88      @(ex_intro … 1) @(ex_intro … a2) %
  89        [normalize >(Hpq …Hqa1) // |>Hqa1 //]
  90     |#Hloop cases (true_or_false (p a1)) #Hpa1
  91        [@(ex_intro … 1) @(ex_intro … a1) %
  92          [normalize >Hpa1 // |>Hqa1 <Hloop normalize //]
  93        |cases (Hind …Hloop) #k2 * #a3 * #Hloop1 #Hloop2
  94         @(ex_intro … (S k2)) @(ex_intro … a3) %
  95          [normalize >Hpa1 normalize // | @Hloop2 ]
  96        ]
  97     ]
  98   ]
  99 qed.
 100
 101 (*
 102 lemma loop_split : ∀A,f,p,q.(∀b. p b = false → q b = false) →
 103  ∀k1,k2,a1,a2,a3,a4.
 104    loop A k1 f p a1 = Some ? a2 →
 105      f a2 = a3 → q a2 = false →
 106        loop A k2 f q a3 = Some ? a4 →
 107          loop A (k1+k2) f q a1 = Some ? a4.
 108 #Sig #f #p #q #Hpq #k1 elim k1
 109   [normalize #k2 #a1 #a2 #a3 #a4 #H destruct
 110   |#k1' #Hind #k2 #a1 #a2 #a3 #a4 normalize in ⊢ (%→?);
 111    cases (true_or_false (p a1)) #pa1 >pa1 normalize in ⊢ (%→?);
 112    [#eqa1a2 destruct #eqa2a3 #Hqa2 #H
 113     whd in ⊢ (??(??%???)?); >plus_n_Sm @loop_incr
 114     whd in ⊢ (??%?); >Hqa2 >eqa2a3 @H
 115    |normalize >(Hpq … pa1) normalize
 116     #H1 #H2 #H3 @(Hind … H2) //
 117    ]
 118  ]
 119 qed. *)
 120
 121 (*
 122 lemma loop_split : ∀A,f,p,q.(∀b. p b = false → q b = false) →
 123  ∀k1,k2,a1,a2,a3.
 124    loop A k1 f p a1 = Some ? a2 →
 125      loop A k2 f q a2 = Some ? a3 →
 126        loop A (k1+k2) f q a1 = Some ? a3.
 127 #Sig #f #p #q #Hpq #k1 elim k1
 128   [normalize #k2 #a1 #a2 #a3 #H destruct
 129   |#k1' #Hind #k2 #a1 #a2 #a3 normalize in ⊢ (%→?→?);
 130    cases (true_or_false (p a1)) #pa1 >pa1 normalize in ⊢ (%→?);
 131    [#eqa1a2 destruct #H @loop_incr //
 132    |normalize >(Hpq … pa1) normalize
 133     #H1 #H2 @(Hind … H2) //
 134    ]
 135  ]
 136 qed.
 137 *)
 138
 139 definition initc ≝ λsig.λM:TM sig.λt.
 140   mk_config sig (states sig M) (start sig M) t.
 141
 142 definition Realize ≝ λsig.λM:TM sig.λR:relation (tape sig).
 143 ∀t.∀i.∀outc.
 144   loop ? i (step sig M) (λc.halt sig M (cstate ?? c)) (initc sig M t) = Some ? outc →
 145   R t (ctape ?? outc).
 146
 147
 148 definition accRealize ≝ λsig.λM:TM sig.λacc:states sig M.λRtrue,Rfalse:relation (tape sig).
 149 ∀t.∃i.∃outc.
 150   loop ? i (step sig M) (λc.halt sig M (cstate ?? c)) (initc sig M t) = Some ? outc ∧
 151   (cstate ?? outc = acc → Rtrue t (ctape ?? outc)) ∧
 152   (cstate ?? outc ≠ acc → Rfalse t (ctape ?? outc)).
 153
 154 (* Compositions *)
 155
 156 definition seq_trans ≝ λsig. λM1,M2 : TM sig.
 157 λp. let 〈s,a〉 ≝ p in
 158   match s with
 159   [ inl s1 ⇒
 160       if halt sig M1 s1 then 〈inr … (start sig M2), None ?〉
 161       else
 162       let 〈news1,m〉 ≝ trans sig M1 〈s1,a〉 in
 163       〈inl … news1,m〉
 164   | inr s2 ⇒
 165       let 〈news2,m〉 ≝ trans sig M2 〈s2,a〉 in
 166       〈inr … news2,m〉
 167   ].
 168
 169 definition seq ≝ λsig. λM1,M2 : TM sig.
 170   mk_TM sig
 171     (FinSum (states sig M1) (states sig M2))
 172     (seq_trans sig M1 M2)
 173     (inl … (start sig M1))
 174     (λs.match s with
 175       [ inl _ ⇒ false | inr s2 ⇒ halt sig M2 s2]).
 176
 177 definition Rcomp ≝ λA.λR1,R2:relation A.λa1,a2.
 178   ∃am.R1 a1 am ∧ R2 am a2.
 179
 180 (*
 181 definition injectRl ≝ λsig.λM1.λM2.λR.
 182    λc1,c2. ∃c11,c12.
 183      inl … (cstate sig M1 c11) = cstate sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 184      inl … (cstate sig M1 c12) = cstate sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 185      ctape sig M1 c11 = ctape sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 186      ctape sig M1 c12 = ctape sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 187      R c11 c12.
 188
 189 definition injectRr ≝ λsig.λM1.λM2.λR.
 190    λc1,c2. ∃c21,c22.
 191      inr … (cstate sig M2 c21) = cstate sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 192      inr … (cstate sig M2 c22) = cstate sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 193      ctape sig M2 c21 = ctape sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 194      ctape sig M2 c22 = ctape sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 195      R c21 c22.
 196
 197 definition Rlink ≝ λsig.λM1,M2.λc1,c2.
 198   ctape sig (seq sig M1 M2) c1 = ctape sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 199   cstate sig (seq sig M1 M2) c1 = inl … (halt sig M1) ∧
 200   cstate sig (seq sig M1 M2) c2 = inr … (start sig M2). *)
 201
 202 interpretation "relation composition" 'compose R1 R2 = (Rcomp ? R1 R2).
 203
 204 definition lift_confL ≝
 205   λsig,S1,S2,c.match c with
 206   [ mk_config s t ⇒ mk_config sig (FinSum S1 S2) (inl … s) t ].
 207
 208 definition lift_confR ≝
 209   λsig,S1,S2,c.match c with
 210   [ mk_config s t ⇒ mk_config sig (FinSum S1 S2) (inr … s) t ].
 211
 212 definition halt_liftL ≝
 213   λS1,S2,halt.λs:FinSum S1 S2.
 214   match s with
 215   [ inl s1 ⇒ halt s1
 216   | inr _ ⇒ true ]. (* should be vacuous in all cases we use halt_liftL *)
 217
 218 definition halt_liftR ≝
 219   λS1,S2,halt.λs:FinSum S1 S2.
 220   match s with
 221   [ inl _ ⇒ false
 222   | inr s2 ⇒ halt s2 ].
 223
 224 lemma p_halt_liftL : ∀sig,S1,S2,halt,c.
 225   halt (cstate sig S1 c) =
 226      halt_liftL S1 S2 halt (cstate … (lift_confL … c)).
 227 #sig #S1 #S2 #halt #c cases c #s #t %
 228 qed.
 229
 230 lemma trans_liftL : ∀sig,M1,M2,s,a,news,move.
 231   halt ? M1 s = false →
 232   trans sig M1 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
 233   trans sig (seq sig M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inl … news,move〉.
 234 #sig (*#M1*) * #Q1 #T1 #init1 #halt1 #M2 #s #a #news #move
 235 #Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
 236 qed.
 237
 238 lemma trans_liftR : ∀sig,M1,M2,s,a,news,move.
 239   halt ? M2 s = false →
 240   trans sig M2 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
 241   trans sig (seq sig M1 M2) 〈inr … s,a〉 = 〈inr … news,move〉.
 242 #sig #M1 * #Q2 #T2 #init2 #halt2 #s #a #news #move
 243 #Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
 244 qed.
 245
 246 lemma config_eq :
 247   ∀sig,M,c1,c2.
 248   cstate sig M c1 = cstate sig M c2 →
 249   ctape sig M c1 = ctape sig M c2 →  c1 = c2.
 250 #sig #M1 * #s1 #t1 * #s2 #t2 //
 251 qed.
 252
 253 lemma step_lift_confR : ∀sig,M1,M2,c0.
 254  halt ? M2 (cstate ?? c0) = false →
 255  step sig (seq sig M1 M2) (lift_confR sig (states ? M1) (states ? M2) c0) =
 256  lift_confR sig (states ? M1) (states ? M2) (step sig M2 c0).
 257 #sig #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 * #s * #lt
 258 #rs #Hhalt
 259 whd in ⊢ (???(????%));whd in ⊢ (???%);
 260 lapply (refl ? (trans ?? 〈s,option_hd sig rs〉))
 261 cases (trans ?? 〈s,option_hd sig rs〉) in ⊢ (???% → %);
 262 #s0 #m0 #Heq whd in ⊢ (???%);
 263 whd in ⊢ (??(???%)?); whd in ⊢ (??%?);
 264 >(trans_liftR … Heq)
 265 [% | //]
 266 qed.
 267
 268 lemma step_lift_confL : ∀sig,M1,M2,c0.
 269  halt ? M1 (cstate ?? c0) = false →
 270  step sig (seq sig M1 M2) (lift_confL sig (states ? M1) (states ? M2) c0) =
 271  lift_confL sig ?? (step sig M1 c0).
 272 #sig #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 * #s * #lt
 273 #rs #Hhalt
 274 whd in ⊢ (???(????%));whd in ⊢ (???%);
 275 lapply (refl ? (trans ?? 〈s,option_hd sig rs〉))
 276 cases (trans ?? 〈s,option_hd sig rs〉) in ⊢ (???% → %);
 277 #s0 #m0 #Heq whd in ⊢ (???%);
 278 whd in ⊢ (??(???%)?); whd in ⊢ (??%?);
 279 >(trans_liftL … Heq)
 280 [% | //]
 281 qed.
 282
 283 lemma loop_lift : ∀A,B,k,lift,f,g,h,hlift,c1,c2.
 284   (∀x.hlift (lift x) = h x) →
 285   (∀x.h x = false → lift (f x) = g (lift x)) →
 286   loop A k f h c1 = Some ? c2 →
 287   loop B k g hlift (lift c1) = Some ? (lift … c2).
 288 #A #B #k #lift #f #g #h #hlift #c1 #c2 #Hfg #Hhlift
 289 generalize in match c1; elim k
 290 [#c0 normalize in ⊢ (??%? → ?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 291 |#k0 #IH #c0 whd in ⊢ (??%? → ??%?);
 292  cases (true_or_false (h c0)) #Hc0 >Hfg >Hc0
 293  [ normalize #Heq destruct (Heq) %
 294  | normalize <Hhlift // @IH ]
 295 qed.
 296
 297 (*
 298 lemma loop_liftL : ∀sig,k,M1,M2,c1,c2.
 299   loop ? k (step sig M1) (λc.halt sig M1 (cstate ?? c)) c1 = Some ? c2 →
 300     loop ? k (step sig (seq sig M1 M2))
 301       (λc.halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate ?? c)) (lift_confL … c1) =
 302     Some ? (lift_confL … c2).
 303 #sig #k #M1 #M2 #c1 #c2 generalize in match c1;
 304 elim k
 305 [#c0 normalize in ⊢ (??%? → ?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 306 |#k0 #IH #c0 whd in ⊢ (??%? → ??%?);
 307  cases (true_or_false (halt ?? (cstate sig (states ? M1) c0))) #Hc0 >Hc0
 308  [ >(?: halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate sig ? (lift_confL … c0)) = true)
 309    [ whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 destruct (Hc2) %
 310    | <Hc0 cases c0 // ]
 311  | >(?: halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate ?? (lift_confL … c0)) = false)
 312    [whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 <(IH ? Hc2) @eq_f
 313     @step_lift_confL //
 314    | <Hc0 cases c0 // ]
 315 qed.
 316
 317 lemma loop_liftR : ∀sig,k,M1,M2,c1,c2.
 318   loop ? k (step sig M2) (λc.halt sig M2 (cstate ?? c)) c1 = Some ? c2 →
 319     loop ? k (step sig (seq sig M1 M2))
 320       (λc.halt sig (seq sig M1 M2) (cstate ?? c)) (lift_confR … c1) =
 321     Some ? (lift_confR … c2).
 322 #sig #k #M1 #M2 #c1 #c2 generalize in match c1;
 323 elim k
 324 [#c0 normalize in ⊢ (??%? → ?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 325 |#k0 #IH #c0 whd in ⊢ (??%? → ??%?);
 326  cases (true_or_false (halt ?? (cstate sig ? c0))) #Hc0 >Hc0
 327  [ >(?: halt ? (seq sig M1 M2) (cstate sig ? (lift_confR … c0)) = true)
 328    [ whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 destruct (Hc2) %
 329    | <Hc0 cases c0 // ]
 330  | >(?: halt ? (seq sig M1 M2) (cstate sig ? (lift_confR … c0)) = false)
 331    [whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 <(IH ? Hc2) @eq_f
 332     @step_lift_confR //
 333    | <Hc0 cases c0 // ]
 334  ]
 335 qed.
 336
 337 *)
 338
 339 lemma loop_Some :
 340   ∀A,k,f,p,a,b.loop A k f p a = Some ? b → p b = true.
 341 #A #k #f #p elim k
 342 [#a #b normalize #Hfalse destruct
 343 |#k0 #IH #a #b whd in ⊢ (??%? → ?); cases (true_or_false (p a)) #Hpa
 344  [ >Hpa normalize #H1 destruct //
 345  | >Hpa normalize @IH
 346  ]
 347 ]
 348 qed.
 349
 350 lemma trans_liftL_true : ∀sig,M1,M2,s,a.
 351   halt ? M1 s = true →
 352   trans sig (seq sig M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inr … (start ? M2),None ?〉.
 353 #sig #M1 #M2 #s #a
 354 #Hhalt whd in ⊢ (??%?); >Hhalt %
 355 qed.
 356
 357 lemma eq_ctape_lift_conf_L : ∀sig,S1,S2,outc.
 358   ctape sig (FinSum S1 S2) (lift_confL … outc) = ctape … outc.
 359 #sig #S1 #S2 #outc cases outc #s #t %
 360 qed.
 361
 362 lemma eq_ctape_lift_conf_R : ∀sig,S1,S2,outc.
 363   ctape sig (FinSum S1 S2) (lift_confR … outc) = ctape … outc.
 364 #sig #S1 #S2 #outc cases outc #s #t %
 365 qed.
 366
 367 axiom daemon :∀P:Prop.P.
 368
 369 theorem sem_seq: ∀sig,M1,M2,R1,R2.
 370   Realize sig M1 R1 → Realize sig M2 R2 →
 371     Realize sig (seq sig M1 M2) (R1 ∘ R2).
 372 @daemon (* this no longer works: TODO *) (*
 373 #sig #M1 #M2 #R1 #R2 #HR1 #HR2 #t #i #outc #Hloop
 374 cases (HR1 t) #k1 * #outc1 * #Hloop1 #HM1
 375 cases (HR2 (ctape sig (states ? M1) outc1)) #k2 * #outc2 * #Hloop2 #HM2
 376 @(ex_intro … (k1+k2)) @(ex_intro … (lift_confR … outc2))
 377 %
 378 [@(loop_split ???????????
 379    (loop_lift ??? (lift_confL sig (states sig M1) (states sig M2))
 380    (step sig M1) (step sig (seq sig M1 M2))
 381    (λc.halt sig M1 (cstate … c))
 382    (λc.halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate … c)) … Hloop1))
 383   [ * *
 384    [ #sl #tl whd in ⊢ (??%? → ?); #Hl %
 385    | #sr #tr whd in ⊢ (??%? → ?); #Hr destruct (Hr) ]
 386   || #c0 #Hhalt <step_lift_confL //
 387   | #x <p_halt_liftL %
 388   |6:cases outc1 #s1 #t1 %
 389   |7:@(loop_lift … (initc ?? (ctape … outc1)) … Hloop2)
 390     [ * #s2 #t2 %
 391     | #c0 #Hhalt <step_lift_confR // ]
 392   |whd in ⊢ (??(???%)?);whd in ⊢ (??%?);
 393    generalize in match Hloop1; cases outc1 #sc1 #tc1 #Hloop10
 394    >(trans_liftL_true sig M1 M2 ??)
 395     [ whd in ⊢ (??%?); whd in ⊢ (???%);
 396       @config_eq whd in ⊢ (???%); //
 397     | @(loop_Some ?????? Hloop10) ]
 398  ]
 399 | @(ex_intro … (ctape ? (FinSum (states ? M1) (states ? M2)) (lift_confL … outc1)))
 400   % // >eq_ctape_lift_conf_L >eq_ctape_lift_conf_R //
 401 ]
 402 *)
 403 qed.
 404