matita/matita/lib/turing/wmono.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||
   8     \   /  This file is distributed under the terms of the
   9      \ /   GNU General Public License Version 2
  10       V_____________________________________________________________*)
  11
  12 include "basics/vectors.ma".
  13 (* include "basics/relations.ma". *)
  14
  15 record tape (sig:FinSet): Type[0] ≝
  16 { left : list sig;
  17   right: list sig
  18 }.
  19
  20 inductive move : Type[0] ≝
  21 | L : move
  22 | R : move
  23 .
  24
  25 (* We do not distinuish an input tape *)
  26
  27 record TM (sig:FinSet): Type[1] ≝
  28 { states : FinSet;
  29   trans : states × (option sig) → states × (option (sig × move));
  30   start: states;
  31   halt : states → bool
  32 }.
  33
  34 record config (sig,states:FinSet): Type[0] ≝
  35 { cstate : states;
  36   ctape: tape sig
  37 }.
  38
  39 definition option_hd ≝ λA.λl:list A.
  40   match l with
  41   [nil ⇒ None ?
  42   |cons a _ ⇒ Some ? a
  43   ].
  44
  45 definition tape_move ≝ λsig.λt: tape sig.λm:option (sig × move).
  46   match m with
  47   [ None ⇒ t
  48   | Some m1 ⇒
  49     match \snd m1 with
  50     [ R ⇒ mk_tape sig ((\fst m1)::(left ? t)) (tail ? (right ? t))
  51     | L ⇒ mk_tape sig (tail ? (left ? t)) ((\fst m1)::(right ? t))
  52     ]
  53   ].
  54
  55 definition step ≝ λsig.λM:TM sig.λc:config sig (states sig M).
  56   let current_char ≝ option_hd ? (right ? (ctape ?? c)) in
  57   let 〈news,mv〉 ≝ trans sig M 〈cstate ?? c,current_char〉 in
  58   mk_config ?? news (tape_move sig (ctape ?? c) mv).
  59
  60 let rec loop (A:Type[0]) n (f:A→A) p a on n ≝
  61   match n with
  62   [ O ⇒ None ?
  63   | S m ⇒ if p a then (Some ? a) else loop A m f p (f a)
  64   ].
  65
  66 lemma loop_incr : ∀A,f,p,k1,k2,a1,a2.
  67   loop A k1 f p a1 = Some ? a2 →
  68     loop A (k2+k1) f p a1 = Some ? a2.
  69 #A #f #p #k1 #k2 #a1 #a2 generalize in match a1; elim k1
  70 [normalize #a0 #Hfalse destruct
  71 |#k1' #IH #a0 <plus_n_Sm whd in ⊢ (??%? → ??%?);
  72  cases (true_or_false (p a0)) #Hpa0 >Hpa0 whd in ⊢ (??%? → ??%?); // @IH
  73 ]
  74 qed.
  75
  76 lemma loop_split : ∀A,f,p,q.(∀b. q b = true → p b = true) →
  77  ∀k,a1,a2.
  78    loop A k f q a1 = Some ? a2 →
  79    ∃k1,a3.
  80     loop A k1 f p a1 = Some ? a3 ∧
  81       loop A (S(k-k1)) f q a3 = Some ? a2.
  82 #A #f #p #q #Hpq #k elim k
  83   [#a1 #a2 normalize #Heq destruct
  84   |#i #Hind #a1 #a2 normalize
  85    cases (true_or_false (q a1)) #Hqa1 >Hqa1 normalize
  86     [ #Ha1a2 destruct
  87      @(ex_intro … 1) @(ex_intro … a2) %
  88        [normalize >(Hpq …Hqa1) // |>Hqa1 //]
  89     |#Hloop cases (true_or_false (p a1)) #Hpa1
  90        [@(ex_intro … 1) @(ex_intro … a1) %
  91          [normalize >Hpa1 // |>Hqa1 <Hloop normalize //]
  92        |cases (Hind …Hloop) #k2 * #a3 * #Hloop1 #Hloop2
  93         @(ex_intro … (S k2)) @(ex_intro … a3) %
  94          [normalize >Hpa1 normalize // | @Hloop2 ]
  95        ]
  96     ]
  97   ]
  98 qed.
  99
 100 (*
 101 lemma loop_split : ∀A,f,p,q.(∀b. p b = false → q b = false) →
 102  ∀k1,k2,a1,a2,a3,a4.
 103    loop A k1 f p a1 = Some ? a2 →
 104      f a2 = a3 → q a2 = false →
 105        loop A k2 f q a3 = Some ? a4 →
 106          loop A (k1+k2) f q a1 = Some ? a4.
 107 #Sig #f #p #q #Hpq #k1 elim k1
 108   [normalize #k2 #a1 #a2 #a3 #a4 #H destruct
 109   |#k1' #Hind #k2 #a1 #a2 #a3 #a4 normalize in ⊢ (%→?);
 110    cases (true_or_false (p a1)) #pa1 >pa1 normalize in ⊢ (%→?);
 111    [#eqa1a2 destruct #eqa2a3 #Hqa2 #H
 112     whd in ⊢ (??(??%???)?); >plus_n_Sm @loop_incr
 113     whd in ⊢ (??%?); >Hqa2 >eqa2a3 @H
 114    |normalize >(Hpq … pa1) normalize
 115     #H1 #H2 #H3 @(Hind … H2) //
 116    ]
 117  ]
 118 qed. *)
 119
 120 (*
 121 lemma loop_split : ∀A,f,p,q.(∀b. p b = false → q b = false) →
 122  ∀k1,k2,a1,a2,a3.
 123    loop A k1 f p a1 = Some ? a2 →
 124      loop A k2 f q a2 = Some ? a3 →
 125        loop A (k1+k2) f q a1 = Some ? a3.
 126 #Sig #f #p #q #Hpq #k1 elim k1
 127   [normalize #k2 #a1 #a2 #a3 #H destruct
 128   |#k1' #Hind #k2 #a1 #a2 #a3 normalize in ⊢ (%→?→?);
 129    cases (true_or_false (p a1)) #pa1 >pa1 normalize in ⊢ (%→?);
 130    [#eqa1a2 destruct #H @loop_incr //
 131    |normalize >(Hpq … pa1) normalize
 132     #H1 #H2 @(Hind … H2) //
 133    ]
 134  ]
 135 qed.
 136 *)
 137
 138 definition initc ≝ λsig.λM:TM sig.λt.
 139   mk_config sig (states sig M) (start sig M) t.
 140
 141 definition Realize ≝ λsig.λM:TM sig.λR:relation (tape sig).
 142 ∀t.∀i.∀outc.
 143   loop ? i (step sig M) (λc.halt sig M (cstate ?? c)) (initc sig M t) = Some ? outc →
 144   R t (ctape ?? outc).
 145
 146
 147 definition accRealize ≝ λsig.λM:TM sig.λacc:states sig M.λRtrue,Rfalse:relation (tape sig).
 148 ∀t.∃i.∃outc.
 149   loop ? i (step sig M) (λc.halt sig M (cstate ?? c)) (initc sig M t) = Some ? outc ∧
 150   (cstate ?? outc = acc → Rtrue t (ctape ?? outc)) ∧
 151   (cstate ?? outc ≠ acc → Rfalse t (ctape ?? outc)).
 152
 153 (* Compositions *)
 154
 155 definition seq_trans ≝ λsig. λM1,M2 : TM sig.
 156 λp. let 〈s,a〉 ≝ p in
 157   match s with
 158   [ inl s1 ⇒
 159       if halt sig M1 s1 then 〈inr … (start sig M2), None ?〉
 160       else
 161       let 〈news1,m〉 ≝ trans sig M1 〈s1,a〉 in
 162       〈inl … news1,m〉
 163   | inr s2 ⇒
 164       let 〈news2,m〉 ≝ trans sig M2 〈s2,a〉 in
 165       〈inr … news2,m〉
 166   ].
 167
 168 definition seq ≝ λsig. λM1,M2 : TM sig.
 169   mk_TM sig
 170     (FinSum (states sig M1) (states sig M2))
 171     (seq_trans sig M1 M2)
 172     (inl … (start sig M1))
 173     (λs.match s with
 174       [ inl _ ⇒ false | inr s2 ⇒ halt sig M2 s2]).
 175
 176 definition Rcomp ≝ λA.λR1,R2:relation A.λa1,a2.
 177   ∃am.R1 a1 am ∧ R2 am a2.
 178
 179 (*
 180 definition injectRl ≝ λsig.λM1.λM2.λR.
 181    λc1,c2. ∃c11,c12.
 182      inl … (cstate sig M1 c11) = cstate sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 183      inl … (cstate sig M1 c12) = cstate sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 184      ctape sig M1 c11 = ctape sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 185      ctape sig M1 c12 = ctape sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 186      R c11 c12.
 187
 188 definition injectRr ≝ λsig.λM1.λM2.λR.
 189    λc1,c2. ∃c21,c22.
 190      inr … (cstate sig M2 c21) = cstate sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 191      inr … (cstate sig M2 c22) = cstate sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 192      ctape sig M2 c21 = ctape sig (seq sig M1 M2) c1 ∧
 193      ctape sig M2 c22 = ctape sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 194      R c21 c22.
 195
 196 definition Rlink ≝ λsig.λM1,M2.λc1,c2.
 197   ctape sig (seq sig M1 M2) c1 = ctape sig (seq sig M1 M2) c2 ∧
 198   cstate sig (seq sig M1 M2) c1 = inl … (halt sig M1) ∧
 199   cstate sig (seq sig M1 M2) c2 = inr … (start sig M2). *)
 200
 201 interpretation "relation composition" 'compose R1 R2 = (Rcomp ? R1 R2).
 202
 203 definition lift_confL ≝
 204   λsig,S1,S2,c.match c with
 205   [ mk_config s t ⇒ mk_config sig (FinSum S1 S2) (inl … s) t ].
 206
 207 definition lift_confR ≝
 208   λsig,S1,S2,c.match c with
 209   [ mk_config s t ⇒ mk_config sig (FinSum S1 S2) (inr … s) t ].
 210
 211 definition halt_liftL ≝
 212   λS1,S2,halt.λs:FinSum S1 S2.
 213   match s with
 214   [ inl s1 ⇒ halt s1
 215   | inr _ ⇒ true ]. (* should be vacuous in all cases we use halt_liftL *)
 216
 217 definition halt_liftR ≝
 218   λS1,S2,halt.λs:FinSum S1 S2.
 219   match s with
 220   [ inl _ ⇒ false
 221   | inr s2 ⇒ halt s2 ].
 222
 223 lemma p_halt_liftL : ∀sig,S1,S2,halt,c.
 224   halt (cstate sig S1 c) =
 225      halt_liftL S1 S2 halt (cstate … (lift_confL … c)).
 226 #sig #S1 #S2 #halt #c cases c #s #t %
 227 qed.
 228
 229 lemma trans_liftL : ∀sig,M1,M2,s,a,news,move.
 230   halt ? M1 s = false →
 231   trans sig M1 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
 232   trans sig (seq sig M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inl … news,move〉.
 233 #sig (*#M1*) * #Q1 #T1 #init1 #halt1 #M2 #s #a #news #move
 234 #Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
 235 qed.
 236
 237 lemma trans_liftR : ∀sig,M1,M2,s,a,news,move.
 238   halt ? M2 s = false →
 239   trans sig M2 〈s,a〉 = 〈news,move〉 →
 240   trans sig (seq sig M1 M2) 〈inr … s,a〉 = 〈inr … news,move〉.
 241 #sig #M1 * #Q2 #T2 #init2 #halt2 #s #a #news #move
 242 #Hhalt #Htrans whd in ⊢ (??%?); >Hhalt >Htrans %
 243 qed.
 244
 245 lemma config_eq :
 246   ∀sig,M,c1,c2.
 247   cstate sig M c1 = cstate sig M c2 →
 248   ctape sig M c1 = ctape sig M c2 →  c1 = c2.
 249 #sig #M1 * #s1 #t1 * #s2 #t2 //
 250 qed.
 251
 252 lemma step_lift_confR : ∀sig,M1,M2,c0.
 253  halt ? M2 (cstate ?? c0) = false →
 254  step sig (seq sig M1 M2) (lift_confR sig (states ? M1) (states ? M2) c0) =
 255  lift_confR sig (states ? M1) (states ? M2) (step sig M2 c0).
 256 #sig #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 * #s * #lt
 257 #rs #Hhalt
 258 whd in ⊢ (???(????%));whd in ⊢ (???%);
 259 lapply (refl ? (trans ?? 〈s,option_hd sig rs〉))
 260 cases (trans ?? 〈s,option_hd sig rs〉) in ⊢ (???% → %);
 261 #s0 #m0 #Heq whd in ⊢ (???%);
 262 whd in ⊢ (??(???%)?); whd in ⊢ (??%?);
 263 >(trans_liftR … Heq)
 264 [% | //]
 265 qed.
 266
 267 lemma step_lift_confL : ∀sig,M1,M2,c0.
 268  halt ? M1 (cstate ?? c0) = false →
 269  step sig (seq sig M1 M2) (lift_confL sig (states ? M1) (states ? M2) c0) =
 270  lift_confL sig ?? (step sig M1 c0).
 271 #sig #M1 (* * #Q1 #T1 #init1 #halt1 *) #M2 * #s * #lt
 272 #rs #Hhalt
 273 whd in ⊢ (???(????%));whd in ⊢ (???%);
 274 lapply (refl ? (trans ?? 〈s,option_hd sig rs〉))
 275 cases (trans ?? 〈s,option_hd sig rs〉) in ⊢ (???% → %);
 276 #s0 #m0 #Heq whd in ⊢ (???%);
 277 whd in ⊢ (??(???%)?); whd in ⊢ (??%?);
 278 >(trans_liftL … Heq)
 279 [% | //]
 280 qed.
 281
 282 lemma loop_lift : ∀A,B,k,lift,f,g,h,hlift,c1,c2.
 283   (∀x.hlift (lift x) = h x) →
 284   (∀x.h x = false → lift (f x) = g (lift x)) →
 285   loop A k f h c1 = Some ? c2 →
 286   loop B k g hlift (lift c1) = Some ? (lift … c2).
 287 #A #B #k #lift #f #g #h #hlift #c1 #c2 #Hfg #Hhlift
 288 generalize in match c1; elim k
 289 [#c0 normalize in ⊢ (??%? → ?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 290 |#k0 #IH #c0 whd in ⊢ (??%? → ??%?);
 291  cases (true_or_false (h c0)) #Hc0 >Hfg >Hc0
 292  [ normalize #Heq destruct (Heq) %
 293  | normalize <Hhlift // @IH ]
 294 qed.
 295
 296 (*
 297 lemma loop_liftL : ∀sig,k,M1,M2,c1,c2.
 298   loop ? k (step sig M1) (λc.halt sig M1 (cstate ?? c)) c1 = Some ? c2 →
 299     loop ? k (step sig (seq sig M1 M2))
 300       (λc.halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate ?? c)) (lift_confL … c1) =
 301     Some ? (lift_confL … c2).
 302 #sig #k #M1 #M2 #c1 #c2 generalize in match c1;
 303 elim k
 304 [#c0 normalize in ⊢ (??%? → ?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 305 |#k0 #IH #c0 whd in ⊢ (??%? → ??%?);
 306  cases (true_or_false (halt ?? (cstate sig (states ? M1) c0))) #Hc0 >Hc0
 307  [ >(?: halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate sig ? (lift_confL … c0)) = true)
 308    [ whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 destruct (Hc2) %
 309    | <Hc0 cases c0 // ]
 310  | >(?: halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate ?? (lift_confL … c0)) = false)
 311    [whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 <(IH ? Hc2) @eq_f
 312     @step_lift_confL //
 313    | <Hc0 cases c0 // ]
 314 qed.
 315
 316 lemma loop_liftR : ∀sig,k,M1,M2,c1,c2.
 317   loop ? k (step sig M2) (λc.halt sig M2 (cstate ?? c)) c1 = Some ? c2 →
 318     loop ? k (step sig (seq sig M1 M2))
 319       (λc.halt sig (seq sig M1 M2) (cstate ?? c)) (lift_confR … c1) =
 320     Some ? (lift_confR … c2).
 321 #sig #k #M1 #M2 #c1 #c2 generalize in match c1;
 322 elim k
 323 [#c0 normalize in ⊢ (??%? → ?); #Hfalse destruct (Hfalse)
 324 |#k0 #IH #c0 whd in ⊢ (??%? → ??%?);
 325  cases (true_or_false (halt ?? (cstate sig ? c0))) #Hc0 >Hc0
 326  [ >(?: halt ? (seq sig M1 M2) (cstate sig ? (lift_confR … c0)) = true)
 327    [ whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 destruct (Hc2) %
 328    | <Hc0 cases c0 // ]
 329  | >(?: halt ? (seq sig M1 M2) (cstate sig ? (lift_confR … c0)) = false)
 330    [whd in ⊢ (??%? → ??%?); #Hc2 <(IH ? Hc2) @eq_f
 331     @step_lift_confR //
 332    | <Hc0 cases c0 // ]
 333  ]
 334 qed.
 335
 336 *)
 337
 338 lemma loop_Some :
 339   ∀A,k,f,p,a,b.loop A k f p a = Some ? b → p b = true.
 340 #A #k #f #p elim k
 341 [#a #b normalize #Hfalse destruct
 342 |#k0 #IH #a #b whd in ⊢ (??%? → ?); cases (true_or_false (p a)) #Hpa
 343  [ >Hpa normalize #H1 destruct //
 344  | >Hpa normalize @IH
 345  ]
 346 ]
 347 qed.
 348
 349 lemma trans_liftL_true : ∀sig,M1,M2,s,a.
 350   halt ? M1 s = true →
 351   trans sig (seq sig M1 M2) 〈inl … s,a〉 = 〈inr … (start ? M2),None ?〉.
 352 #sig #M1 #M2 #s #a
 353 #Hhalt whd in ⊢ (??%?); >Hhalt %
 354 qed.
 355
 356 lemma eq_ctape_lift_conf_L : ∀sig,S1,S2,outc.
 357   ctape sig (FinSum S1 S2) (lift_confL … outc) = ctape … outc.
 358 #sig #S1 #S2 #outc cases outc #s #t %
 359 qed.
 360
 361 lemma eq_ctape_lift_conf_R : ∀sig,S1,S2,outc.
 362   ctape sig (FinSum S1 S2) (lift_confR … outc) = ctape … outc.
 363 #sig #S1 #S2 #outc cases outc #s #t %
 364 qed.
 365
 366 theorem sem_seq: ∀sig,M1,M2,R1,R2.
 367   Realize sig M1 R1 → Realize sig M2 R2 →
 368     Realize sig (seq sig M1 M2) (R1 ∘ R2).
 369 #sig #M1 #M2 #R1 #R2 #HR1 #HR2 #t #i #outc #Hloop
 370 cases (HR1 t) #k1 * #outc1 * #Hloop1 #HM1
 371 cases (HR2 (ctape sig (states ? M1) outc1)) #k2 * #outc2 * #Hloop2 #HM2
 372 @(ex_intro … (k1+k2)) @(ex_intro … (lift_confR … outc2))
 373 %
 374 [@(loop_split ???????????
 375    (loop_lift ??? (lift_confL sig (states sig M1) (states sig M2))
 376    (step sig M1) (step sig (seq sig M1 M2))
 377    (λc.halt sig M1 (cstate … c))
 378    (λc.halt_liftL ?? (halt sig M1) (cstate … c)) … Hloop1))
 379   [ * *
 380    [ #sl #tl whd in ⊢ (??%? → ?); #Hl %
 381    | #sr #tr whd in ⊢ (??%? → ?); #Hr destruct (Hr) ]
 382   || #c0 #Hhalt <step_lift_confL //
 383   | #x <p_halt_liftL %
 384   |6:cases outc1 #s1 #t1 %
 385   |7:@(loop_lift … (initc ?? (ctape … outc1)) … Hloop2)
 386     [ * #s2 #t2 %
 387     | #c0 #Hhalt <step_lift_confR // ]
 388   |whd in ⊢ (??(???%)?);whd in ⊢ (??%?);
 389    generalize in match Hloop1; cases outc1 #sc1 #tc1 #Hloop10
 390    >(trans_liftL_true sig M1 M2 ??)
 391     [ whd in ⊢ (??%?); whd in ⊢ (???%);
 392       @config_eq whd in ⊢ (???%); //
 393     | @(loop_Some ?????? Hloop10) ]
 394  ]
 395 | @(ex_intro … (ctape ? (FinSum (states ? M1) (states ? M2)) (lift_confL … outc1)))
 396   % // >eq_ctape_lift_conf_L >eq_ctape_lift_conf_R //
 397 ]
 398 qed.
 399