]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/lib/tutorial/chapter5.ma
progress
[helm.git] / matita / matita / lib / tutorial / chapter5.ma
1 (* 
2 Effective searching
3
4 The fact of being able to decide, via a computable boolean function, the 
5 equality between elements of a given set is an essential prerequisite for 
6 effectively searching an element of that set inside a data structure. In this 
7 section we shall define several boolean functions acting on lists of elements in 
8 a DeqSet, and prove some of their properties.*)
9
10 include "basics/lists/list.ma". 
11 include "tutorial/chapter4.ma".
12
13 (* The first function we define is an effective version of the membership relation,
14 between an element x and a list l. Its definition is a straightforward recursion on
15 l.*)
16
17 let rec memb (S:DeqSet) (x:S) (l: list S) on l  ≝
18   match l with
19   [ nil ⇒ false
20   | cons a tl ⇒ (x == a) ∨ memb S x tl
21   ].
22
23 notation < "\memb x l" non associative with precedence 90 for @{'memb $x $l}.
24 interpretation "boolean membership" 'memb a l = (memb ? a l).
25
26 (* We can now prove several interesing properties for memb:
27 - memb_hd: x is a member of x::l
28 - memb_cons: if x is a member of l than x is a member of a::l
29 - memb_single: if x is a member of [a] then x=a
30 - memb_append: if x is a member of l1@l2 then either x is a member of l1
31   or x is a member of l2
32 - memb_append_l1: if x is a member of l1 then x is a member of l1@l2
33 - memb_append_l2: if x is a member of l2 then x is a member of l1@l2
34 - memb_exists: if x is a member of l, than l can decomposed as l1@(x::l2)
35 - not_memb_to_not_eq: if x is not a member of l and y is, then x≠y
36 - memb_map: if a is a member of l, then (f a) is a member of (map f l)
37 - memb_compose: if a is a member of l1 and b is a meber of l2 than
38   (op a b) is a member of (compose op l1 l2)
39 *)
40
41 lemma memb_hd: ∀S,a,l. memb S a (a::l) = true.
42 #S #a #l normalize >(proj2 … (eqb_true S …) (refl S a)) //
43 qed.
44
45 lemma memb_cons: ∀S,a,b,l. 
46   memb S a l = true → memb S a (b::l) = true.
47 #S #a #b #l normalize cases (a==b) normalize // 
48 qed.
49
50 lemma memb_single: ∀S,a,x. memb S a (x::[]) = true → a = x.
51 #S #a #x normalize cases (true_or_false … (a==x)) #H
52   [#_ >(\P H) // |>H normalize #abs @False_ind /2/]
53 qed.
54
55 lemma memb_append: ∀S,a,l1,l2. 
56 memb S a (l1@l2) = true → memb S a l1= true ∨ memb S a l2 = true.
57 #S #a #l1 elim l1 normalize [#l2 #H %2 //] 
58 #b #tl #Hind #l2 cases (a==b) normalize /2/ 
59 qed. 
60
61 lemma memb_append_l1: ∀S,a,l1,l2. 
62  memb S a l1= true → memb S a (l1@l2) = true.
63 #S #a #l1 elim l1 normalize
64   [normalize #le #abs @False_ind /2/
65   |#b #tl #Hind #l2 cases (a==b) normalize /2/ 
66   ]
67 qed. 
68
69 lemma memb_append_l2: ∀S,a,l1,l2. 
70  memb S a l2= true → memb S a (l1@l2) = true.
71 #S #a #l1 elim l1 normalize //
72 #b #tl #Hind #l2 cases (a==b) normalize /2/ 
73 qed. 
74
75 lemma memb_exists: ∀S,a,l.memb S a l = true → ∃l1,l2.l=l1@(a::l2).
76 #S #a #l elim l [normalize #abs @False_ind /2/]
77 #b #tl #Hind #H cases (orb_true_l … H)
78   [#eqba @(ex_intro … (nil S)) @(ex_intro … tl) >(\P eqba) //
79   |#mem_tl cases (Hind mem_tl) #l1 * #l2 #eqtl
80    @(ex_intro … (b::l1)) @(ex_intro … l2) >eqtl //
81   ]
82 qed.
83
84 lemma not_memb_to_not_eq: ∀S,a,b,l. 
85  memb S a l = false → memb S b l = true → a==b = false.
86 #S #a #b #l cases (true_or_false (a==b)) // 
87 #eqab >(\P eqab) #H >H #abs @False_ind /2/
88 qed. 
89  
90 lemma memb_map: ∀S1,S2,f,a,l. memb S1 a l= true → 
91   memb S2 (f a) (map … f l) = true.
92 #S1 #S2 #f #a #l elim l normalize [//]
93 #x #tl #memba cases (true_or_false (a==x))
94   [#eqx >eqx >(\P eqx) >(\b (refl … (f x))) normalize //
95   |#eqx >eqx cases (f a==f x) normalize /2/
96   ]
97 qed.
98
99 lemma memb_compose: ∀S1,S2,S3,op,a1,a2,l1,l2.   
100   memb S1 a1 l1 = true → memb S2 a2 l2 = true →
101   memb S3 (op a1 a2) (compose S1 S2 S3 op l1 l2) = true.
102 #S1 #S2 #S3 #op #a1 #a2 #l1 elim l1 [normalize //]
103 #x #tl #Hind #l2 #memba1 #memba2 cases (orb_true_l … memba1)
104   [#eqa1 >(\P eqa1) @memb_append_l1 @memb_map // 
105   |#membtl @memb_append_l2 @Hind //
106   ]
107 qed.
108
109 (* 
110 Unicity
111
112 If we are interested in representing finite sets as lists, is is convenient
113 to avoid duplications of elements. The following uniqueb check this property. 
114 *)
115
116 let rec uniqueb (S:DeqSet) l on l : bool ≝
117   match l with 
118   [ nil ⇒ true
119   | cons a tl ⇒ notb (memb S a tl) ∧ uniqueb S tl
120   ].
121
122 (* unique_append l1 l2 add l1 in fornt of l2, but preserving unicity *)
123
124 let rec unique_append (S:DeqSet) (l1,l2: list S) on l1 ≝
125   match l1 with
126   [ nil ⇒ l2
127   | cons a tl ⇒ 
128      let r ≝ unique_append S tl l2 in
129      if memb S a r then r else a::r
130   ].
131
132 lemma memb_unique_append: ∀S,a,l1,l2. 
133   memb S a (unique_append S l1 l2) = true → memb S a l1= true ∨ memb S a l2 = true.
134 #S #a #l1 elim l1 normalize [#l2 #H %2 //] 
135 #b #tl #Hind #l2 cases (true_or_false … (a==b)) #Hab >Hab normalize /2/
136 cases (memb S b (unique_append S tl l2)) normalize 
137   [@Hind | >Hab normalize @Hind]   
138 qed. 
139
140 lemma unique_append_elim: ∀S:DeqSet.∀P: S → Prop.∀l1,l2. 
141   (∀x. memb S x l1 = true → P x) → (∀x. memb S x l2 = true → P x) →
142     ∀x. memb S x (unique_append S l1 l2) = true → P x. 
143 #S #P #l1 #l2 #Hl1 #Hl2 #x #membx cases (memb_unique_append … membx) /2/ 
144 qed.
145
146 lemma unique_append_unique: ∀S,l1,l2. uniqueb S l2 = true →
147   uniqueb S (unique_append S l1 l2) = true.
148 #S #l1 elim l1 normalize // #a #tl #Hind #l2 #uniquel2
149 cases (true_or_false … (memb S a (unique_append S tl l2))) 
150 #H >H normalize [@Hind //] >H normalize @Hind //
151 qed.
152
153 (*
154 Sublists
155
156 *)
157 definition sublist ≝ 
158   λS,l1,l2.∀a. memb S a l1 = true → memb S a l2 = true.
159
160 lemma sublist_length: ∀S,l1,l2. 
161  uniqueb S l1 = true → sublist S l1 l2 → |l1| ≤ |l2|.
162 #S #l1 elim l1 // 
163 #a #tl #Hind #l2 #unique #sub
164 cut (∃l3,l4.l2=l3@(a::l4)) [@memb_exists @sub //]
165 * #l3 * #l4 #eql2 >eql2 >length_append normalize 
166 applyS le_S_S <length_append @Hind [@(andb_true_r … unique)]
167 >eql2 in sub; #sub #x #membx 
168 cases (memb_append … (sub x (orb_true_r2 … membx)))
169   [#membxl3 @memb_append_l1 //
170   |#membxal4 cases (orb_true_l … membxal4)
171     [#eqxa @False_ind lapply (andb_true_l … unique)
172      <(\P eqxa) >membx normalize /2/ |#membxl4 @memb_append_l2 //
173     ]
174   ]
175 qed.
176
177 lemma sublist_unique_append_l1: 
178   ∀S,l1,l2. sublist S l1 (unique_append S l1 l2).
179 #S #l1 elim l1 normalize [#l2 #S #abs @False_ind /2/]
180 #x #tl #Hind #l2 #a 
181 normalize cases (true_or_false … (a==x)) #eqax >eqax 
182 [<(\P eqax) cases (true_or_false (memb S a (unique_append S tl l2)))
183   [#H >H normalize // | #H >H normalize >(\b (refl … a)) //]
184 |cases (memb S x (unique_append S tl l2)) normalize 
185   [/2/ |>eqax normalize /2/]
186 ]
187 qed.
188
189 lemma sublist_unique_append_l2: 
190   ∀S,l1,l2. sublist S l2 (unique_append S l1 l2).
191 #S #l1 elim l1 [normalize //] #x #tl #Hind normalize 
192 #l2 #a cases (memb S x (unique_append S tl l2)) normalize
193 [@Hind | cases (a==x) normalize // @Hind]
194 qed.
195
196 lemma decidable_sublist:∀S,l1,l2. 
197   (sublist S l1 l2) ∨ ¬(sublist S l1 l2).
198 #S #l1 #l2 elim l1 
199   [%1 #a normalize in ⊢ (%→?); #abs @False_ind /2/
200   |#a #tl * #subtl 
201     [cases (true_or_false (memb S a l2)) #memba
202       [%1 whd #x #membx cases (orb_true_l … membx)
203         [#eqax >(\P eqax) // |@subtl]
204       |%2 @(not_to_not … (eqnot_to_noteq … true memba)) #H1 @H1 @memb_hd
205       ]
206     |%2 @(not_to_not … subtl) #H1 #x #H2 @H1 @memb_cons //
207     ] 
208   ]
209 qed.
210
211 (*
212 Filtering
213 *)
214
215 lemma memb_filter_true: ∀S,f,a,l. 
216   memb S a (filter S f l) = true → f a = true.
217 #S #f #a #l elim l [normalize #H @False_ind /2/]
218 #b #tl #Hind cases (true_or_false (f b)) #H
219 normalize >H normalize [2:@Hind]
220 cases (true_or_false (a==b)) #eqab
221   [#_ >(\P eqab) // | >eqab normalize @Hind]
222 qed. 
223   
224 lemma memb_filter_memb: ∀S,f,a,l. 
225   memb S a (filter S f l) = true → memb S a l = true.
226 #S #f #a #l elim l [normalize //]
227 #b #tl #Hind normalize (cases (f b)) normalize 
228 cases (a==b) normalize // @Hind
229 qed.
230   
231 lemma memb_filter: ∀S,f,l,x. memb S x (filter ? f l) = true → 
232 memb S x l = true ∧ (f x = true).
233 /3/ qed.
234
235 lemma memb_filter_l: ∀S,f,x,l. (f x = true) → memb S x l = true →
236 memb S x (filter ? f l) = true.
237 #S #f #x #l #fx elim l normalize //
238 #b #tl #Hind cases (true_or_false (x==b)) #eqxb
239   [<(\P eqxb) >(\b (refl … x)) >fx normalize >(\b (refl … x)) normalize //
240   |>eqxb cases (f b) normalize [>eqxb normalize @Hind| @Hind]
241   ]
242 qed. 
243
244 (*
245 Exists
246
247 *)
248
249 let rec exists (A:Type[0]) (p:A → bool) (l:list A) on l : bool ≝
250 match l with
251 [ nil ⇒ false
252 | cons h t ⇒ orb (p h) (exists A p t)
253 ].