matita/matita/library/logic/connectives.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 inductive True: Prop \def
  16 I : True.
  17
  18 default "true" cic:/matita/logic/connectives/True.ind.
  19
  20 inductive False: Prop \def .
  21
  22 default "false" cic:/matita/logic/connectives/False.ind.
  23
  24 definition Not: Prop \to Prop \def
  25 \lambda A. (A \to False).
  26
  27 interpretation "logical not" 'not x = (Not x).
  28
  29 theorem absurd : \forall A,C:Prop. A \to \lnot A \to C.
  30 intros. elim (H1 H).
  31 qed.
  32
  33 default "absurd" cic:/matita/logic/connectives/absurd.con.
  34
  35 theorem not_to_not : \forall A,B:Prop. (A → B) \to ¬B →¬A.
  36 intros.unfold.intro.apply H1.apply (H H2).
  37 qed.
  38
  39 default "absurd" cic:/matita/logic/connectives/absurd.con.
  40
  41 inductive And (A,B:Prop) : Prop \def
  42     conj : A \to B \to (And A B).
  43
  44 interpretation "logical and" 'and x y = (And x y).
  45
  46 theorem proj1: \forall A,B:Prop. A \land B \to A.
  47 intros. elim H. assumption.
  48 qed.
  49
  50 theorem proj2: \forall A,B:Prop. A \land B \to B.
  51 intros. elim H. assumption.
  52 qed.
  53
  54 inductive Or (A,B:Prop) : Prop \def
  55      or_introl : A \to (Or A B)
  56    | or_intror : B \to (Or A B).
  57
  58 interpretation "logical or" 'or x y = (Or x y).
  59
  60 theorem Or_ind':
  61  \forall A,B:Prop.
  62   \forall P: A \lor B \to Prop.
  63    (\forall p:A. P (or_introl ? ? p)) \to
  64    (\forall q:B. P (or_intror ? ? q)) \to
  65     \forall p:A \lor B. P p.
  66  intros.
  67  apply
  68   (match p return \lambda p.P p with
  69     [(or_introl p) \Rightarrow H p
  70     |(or_intror q) \Rightarrow H1 q]).
  71 qed.
  72
  73 definition decidable : Prop \to Prop \def \lambda A:Prop. A \lor \lnot A.
  74
  75 inductive ex (A:Type) (P:A \to Prop) : Prop \def
  76     ex_intro: \forall x:A. P x \to ex A P.
  77
  78 interpretation "exists" 'exists x = (ex ? x).
  79
  80 inductive ex2 (A:Type) (P,Q:A \to Prop) : Prop \def
  81     ex_intro2: \forall x:A. P x \to Q x \to ex2 A P Q.
  82
  83 definition iff :=
  84  \lambda A,B. (A -> B) \land (B -> A).