matita/matita/library/logic/cprop_connectives.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/connectives.ma".
  16
  17 inductive Or (A,B:CProp) : CProp ≝
  18  | Left : A → Or A B
  19  | Right : B → Or A B.
  20
  21 interpretation "constructive or" 'or x y = (Or x y).
  22
  23 inductive Or3 (A,B,C:CProp) : CProp ≝
  24  | Left3 : A → Or3 A B C
  25  | Middle3 : B → Or3 A B C
  26  | Right3 : C → Or3 A B C.
  27
  28 interpretation "constructive ternary or" 'or3 x y z= (Or3 x y z).
  29
  30 notation < "hvbox(a break ∨ b break ∨ c)" with precedence 35 for @{'or3 $a $b $c}.
  31
  32 inductive Or4 (A,B,C,D:CProp) : CProp ≝
  33  | Left3 : A → Or4 A B C D
  34  | Middle3 : B → Or4 A B C D
  35  | Right3 : C → Or4 A B C D
  36  | Extra3: D → Or4 A B C D.
  37
  38 interpretation "constructive ternary or" 'or4 x y z t = (Or4 x y z t).
  39
  40 notation < "hvbox(a break ∨ b break ∨ c break ∨ d)" with precedence 35 for @{'or4 $a $b $c $d}.
  41
  42 inductive And (A,B:CProp) : CProp ≝
  43  | Conj : A → B → And A B.
  44
  45 interpretation "constructive and" 'and x y = (And x y).
  46
  47 inductive And3 (A,B,C:CProp) : CProp ≝
  48  | Conj3 : A → B → C → And3 A B C.
  49
  50 notation < "hvbox(a break ∧ b break ∧ c)" with precedence 35 for @{'and3 $a $b $c}.
  51
  52 interpretation "constructive ternary and" 'and3 x y z = (And3 x y z).
  53
  54 inductive And4 (A,B,C,D:CProp) : CProp ≝
  55  | Conj4 : A → B → C → D → And4 A B C D.
  56
  57 notation < "hvbox(a break ∧ b break ∧ c break ∧ d)" with precedence 35 for @{'and4 $a $b $c $d}.
  58
  59 interpretation "constructive quaternary and" 'and4 x y z t = (And4 x y z t).
  60
  61 record Iff (A,B:CProp) : CProp ≝
  62  { if: A → B;
  63    fi: B → A
  64  }.
  65
  66 record Iff1 (A,B:CProp) : CProp ≝
  67  { if1: A → B;
  68    fi1: B → A
  69  }.
  70
  71 interpretation "logical iff" 'iff x y = (Iff x y).
  72
  73 notation "hvbox(a break ⇔ b)" right associative with precedence 25 for @{'iff1 $a $b}.
  74 interpretation "logical iff type1" 'iff1 x y = (Iff1 x y).
  75
  76 inductive exT (A:Type) (P:A→CProp) : CProp ≝
  77   ex_introT: ∀w:A. P w → exT A P.
  78
  79 interpretation "CProp exists" 'exists x = (exT ? x).
  80
  81 notation "\ll term 19 a, break term 19 b \gg"
  82 with precedence 90 for @{'dependent_pair $a $b}.
  83 interpretation "dependent pair" 'dependent_pair a b = (ex_introT ?? a b).
  84
  85 definition pi1exT ≝ λA,P.λx:exT A P.match x with [ex_introT x _ ⇒ x].
  86
  87 interpretation "exT \fst" 'pi1 = (pi1exT ? ?).
  88 interpretation "exT \fst" 'pi1a x = (pi1exT ? ? x).
  89 interpretation "exT \fst" 'pi1b x y = (pi1exT ? ? x y).
  90
  91 definition pi2exT ≝
  92   λA,P.λx:exT A P.match x return λx.P (pi1exT ? ? x) with [ex_introT _ p ⇒ p].
  93
  94 interpretation "exT \snd" 'pi2 = (pi2exT ? ?).
  95 interpretation "exT \snd" 'pi2a x = (pi2exT ? ? x).
  96 interpretation "exT \snd" 'pi2b x y = (pi2exT ? ? x y).
  97
  98 inductive exP (A:Type) (P:A→Prop) : CProp ≝
  99   ex_introP: ∀w:A. P w → exP A P.
 100
 101 interpretation "dependent pair for Prop" 'dependent_pair a b =
 102   (ex_introP ?? a b).
 103
 104 interpretation "CProp exists for Prop" 'exists x = (exP ? x).
 105
 106 definition pi1exP ≝ λA,P.λx:exP A P.match x with [ex_introP x _ ⇒ x].
 107
 108 interpretation "exP \fst" 'pi1 = (pi1exP ? ?).
 109 interpretation "exP \fst" 'pi1a x = (pi1exP ? ? x).
 110 interpretation "exP \fst" 'pi1b x y = (pi1exP ? ? x y).
 111
 112 definition pi2exP ≝
 113   λA,P.λx:exP A P.match x return λx.P (pi1exP ?? x) with [ex_introP _ p ⇒ p].
 114
 115 interpretation "exP \snd" 'pi2 = (pi2exP ? ?).
 116 interpretation "exP \snd" 'pi2a x = (pi2exP ? ? x).
 117 interpretation "exP \snd" 'pi2b x y = (pi2exP ? ? x y).
 118
 119 inductive exT23 (A:Type) (P:A→CProp) (Q:A→CProp) (R:A→A→CProp) : CProp ≝
 120   ex_introT23: ∀w,p:A. P w → Q p → R w p → exT23 A P Q R.
 121
 122 definition pi1exT23 ≝
 123   λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 x _ _ _ _ ⇒ x].
 124
 125 interpretation "exT2 \fst" 'pi1 = (pi1exT23 ? ? ? ?).
 126 interpretation "exT2 \fst" 'pi1a x = (pi1exT23 ? ? ? ? x).
 127 interpretation "exT2 \fst" 'pi1b x y = (pi1exT23 ? ? ? ? x y).
 128
 129 definition pi2exT23 ≝
 130   λA,P,Q,R.λx:exT23 A P Q R.match x with [ex_introT23 _ x _ _ _ ⇒ x].
 131
 132 interpretation "exT2 \snd" 'pi2 = (pi2exT23 ? ? ? ?).
 133 interpretation "exT2 \snd" 'pi2a x = (pi2exT23 ? ? ? ? x).
 134 interpretation "exT2 \snd" 'pi2b x y = (pi2exT23 ? ? ? ? x y).
 135
 136 inductive exT2 (A:Type) (P,Q:A→CProp) : CProp ≝
 137   ex_introT2: ∀w:A. P w → Q w → exT2 A P Q.
 138
 139 definition Not : CProp → Prop ≝ λx:CProp.x → False.
 140
 141 interpretation "constructive not" 'not x = (Not x).
 142
 143 definition cotransitive ≝
 144  λC:Type.λlt:C→C→CProp.∀x,y,z:C. lt x y → lt x z ∨ lt z y.
 145
 146 definition coreflexive ≝ λC:Type.λlt:C→C→CProp. ∀x:C. ¬ (lt x x).
 147
 148 definition symmetric ≝ λC:Type.λlt:C→C→CProp. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
 149
 150 definition antisymmetric ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.λeq:A→A→Prop.∀x:A.∀y:A.R x y→R y x→eq x y.
 151
 152 definition reflexive ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.∀x:A.R x x.
 153
 154 definition transitive ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
 155