matita/matita/nlibrary/arithmetics/nat.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "hints_declaration.ma".
  16 include "basics/functions.ma".
  17 include "basics/eq.ma".
  18
  19 ninductive nat : Type ≝
  20   | O : nat
  21   | S : nat → nat.
  22
  23 interpretation "Natural numbers" 'N = nat.
  24
  25 alias num (instance 0) = "nnatural number".
  26
  27 (*
  28 nrecord pos : Type ≝
  29  {n:>nat; is_pos: n ≠ 0}.
  30
  31 ncoercion nat_to_pos: ∀n:nat. n ≠0 →pos ≝ mk_pos on
  32 *)
  33
  34 (* default "natural numbers" cic:/matita/ng/arithmetics/nat/nat.ind.
  35 *)
  36
  37 ndefinition pred ≝
  38  λn. match n with [ O ⇒ O | S p ⇒ p].
  39
  40 ntheorem pred_Sn : ∀n. n = pred (S n).
  41 //; nqed.
  42
  43 ntheorem injective_S : injective nat nat S.
  44 //; nqed.
  45
  46 (*
  47 ntheorem inj_S : \forall n,m:nat.(S n)=(S m) \to n=m.
  48 //. nqed. *)
  49
  50 ntheorem not_eq_S: ∀n,m:nat. n ≠ m → S n ≠ S m.
  51 /3/; nqed.
  52
  53 ndefinition not_zero: nat → Prop ≝
  54  λn: nat. match n with
  55   [ O ⇒ False | (S p) ⇒ True ].
  56
  57 ntheorem not_eq_O_S : ∀n:nat. O ≠ S n.
  58 #n; napply nmk; #eqOS; nchange with (not_zero O); nrewrite > eqOS; //.
  59 nqed.
  60
  61 ntheorem not_eq_n_Sn: ∀n:nat. n ≠ S n.
  62 #n; nelim n;/2/; nqed.
  63
  64 ntheorem nat_case:
  65  ∀n:nat.∀P:nat → Prop.
  66   (n=O → P O) → (∀m:nat. (n=(S m) → P (S m))) → P n.
  67 #n; #P; nelim n; /2/; nqed.
  68
  69 ntheorem nat_elim2 :
  70  ∀R:nat → nat → Prop.
  71   (∀n:nat. R O n)
  72   → (∀n:nat. R (S n) O)
  73   → (∀n,m:nat. R n m → R (S n) (S m))
  74   → ∀n,m:nat. R n m.
  75 #R; #ROn; #RSO; #RSS; #n; nelim n;//;
  76 #n0; #Rn0m; #m; ncases m;/2/; nqed.
  77
  78 ntheorem decidable_eq_nat : ∀n,m:nat.decidable (n=m).
  79 napply nat_elim2; #n;
  80  ##[ ncases n; /2/;
  81  ##| /3/;
  82  ##| #m; #Hind; ncases Hind;/3/;
  83  ##]
  84 nqed.
  85
  86 (*************************** plus ******************************)
  87
  88 nlet rec plus n m ≝
  89  match n with
  90  [ O ⇒ m
  91  | S p ⇒ S (plus p m) ].
  92
  93 interpretation "natural plus" 'plus x y = (plus x y).
  94
  95 ntheorem plus_O_n: ∀n:nat. n = 0+n.
  96 //; nqed.
  97
  98 (*
  99 ntheorem plus_Sn_m: ∀n,m:nat. S (n + m) = S n + m.
 100 //; nqed.
 101 *)
 102
 103 ntheorem plus_n_O: ∀n:nat. n = n+0.
 104 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 105
 106 ntheorem plus_n_Sm : ∀n,m:nat. S (n+m) = n + S m.
 107 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 108
 109 (*
 110 ntheorem plus_Sn_m1: ∀n,m:nat. S m + n = n + S m.
 111 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 112 *)
 113
 114 (* deleterio?
 115 ntheorem plus_n_1 : ∀n:nat. S n = n+1.
 116 //; nqed.
 117 *)
 118
 119 ntheorem symmetric_plus: symmetric ? plus.
 120 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 121
 122 ntheorem associative_plus : associative nat plus.
 123 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 124
 125 ntheorem assoc_plus1: ∀a,b,c. c + (b + a) = b + c + a.
 126 //; nqed.
 127
 128 ntheorem injective_plus_r: ∀n:nat.injective nat nat (λm.n+m).
 129 #n; nelim n; nnormalize; /3/; nqed.
 130
 131 (* ntheorem inj_plus_r: \forall p,n,m:nat. p+n = p+m \to n=m
 132 \def injective_plus_r.
 133
 134 ntheorem injective_plus_l: ∀m:nat.injective nat nat (λn.n+m).
 135 /2/; nqed. *)
 136
 137 (* ntheorem inj_plus_l: \forall p,n,m:nat. n+p = m+p \to n=m
 138 \def injective_plus_l. *)
 139
 140 (*************************** times *****************************)
 141
 142 nlet rec times n m ≝
 143  match n with
 144  [ O ⇒ O
 145  | S p ⇒ m+(times p m) ].
 146
 147 interpretation "natural times" 'times x y = (times x y).
 148
 149 ntheorem times_Sn_m: ∀n,m:nat. m+n*m = S n*m.
 150 //; nqed.
 151
 152 ntheorem times_O_n: ∀n:nat. O = O*n.
 153 //; nqed.
 154
 155 ntheorem times_n_O: ∀n:nat. O = n*O.
 156 #n; nelim n; //; nqed.
 157
 158 ntheorem times_n_Sm : ∀n,m:nat. n+(n*m) = n*(S m).
 159 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 160
 161 ntheorem symmetric_times : symmetric nat times.
 162 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 163
 164 (* variant sym_times : \forall n,m:nat. n*m = m*n \def
 165 symmetric_times. *)
 166
 167 ntheorem distributive_times_plus : distributive nat times plus.
 168 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 169
 170 ntheorem distributive_times_plus_r :
 171   ∀a,b,c:nat. (b+c)*a = b*a + c*a.
 172 //; nqed.
 173
 174 ntheorem associative_times: associative nat times.
 175 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 176
 177 nlemma times_times: ∀x,y,z. x*(y*z) = y*(x*z).
 178 //; nqed.
 179
 180 (* ci servono questi risultati?
 181 ntheorem times_O_to_O: ∀n,m:nat.n*m=O → n=O ∨ m=O.
 182 napply nat_elim2; /2/;
 183 #n; #m; #H; nnormalize; #H1; napply False_ind;napply not_eq_O_S;
 184 //; nqed.
 185
 186 ntheorem times_n_SO : ∀n:nat. n = n * S O.
 187 #n; //; nqed.
 188
 189 ntheorem times_SSO_n : ∀n:nat. n + n = (S(S O)) * n.
 190 nnormalize; //; nqed.
 191
 192 nlemma times_SSO: \forall n.(S(S O))*(S n) = S(S((S(S O))*n)).
 193 //; nqed.
 194
 195 ntheorem or_eq_eq_S: \forall n.\exists m.
 196 n = (S(S O))*m \lor n = S ((S(S O))*m).
 197 #n; nelim n;
 198   ##[@; /2/;
 199   ##|#a; #H; nelim H; #b;#or;nelim or;#aeq;
 200     ##[@ b; @ 2; //;
 201     ##|@ (S b); @ 1; /2/;
 202     ##]
 203 nqed.
 204 *)
 205
 206 (******************** ordering relations ************************)
 207
 208 ninductive le (n:nat) : nat → Prop ≝
 209   | le_n : le n n
 210   | le_S : ∀ m:nat. le n m → le n (S m).
 211
 212 interpretation "natural 'less or equal to'" 'leq x y = (le x y).
 213
 214 interpretation "natural 'neither less nor equal to'" 'nleq x y = (Not (le x y)).
 215
 216 ndefinition lt: nat → nat → Prop ≝
 217 λn,m:nat. S n ≤ m.
 218
 219 interpretation "natural 'less than'" 'lt x y = (lt x y).
 220
 221 interpretation "natural 'not less than'" 'nless x y = (Not (lt x y)).
 222
 223 (* nlemma eq_lt: ∀n,m. (n < m) = (S n ≤ m).
 224 //; nqed. *)
 225
 226 ndefinition ge: nat → nat → Prop ≝
 227 λn,m:nat.m ≤ n.
 228
 229 interpretation "natural 'greater or equal to'" 'geq x y = (ge x y).
 230
 231 ndefinition gt: nat → nat → Prop ≝
 232 λn,m:nat.m<n.
 233
 234 interpretation "natural 'greater than'" 'gt x y = (gt x y).
 235
 236 interpretation "natural 'not greater than'" 'ngtr x y = (Not (gt x y)).
 237
 238 ntheorem transitive_le : transitive nat le.
 239 #a; #b; #c; #leab; #lebc;nelim lebc;/2/;
 240 nqed.
 241
 242 (*
 243 ntheorem trans_le: \forall n,m,p:nat. n \leq m \to m \leq p \to n \leq p
 244 \def transitive_le. *)
 245
 246
 247 ntheorem transitive_lt: transitive nat lt.
 248 #a; #b; #c; #ltab; #ltbc;nelim ltbc;/2/;nqed.
 249
 250 (*
 251 theorem trans_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to lt m p \to lt n p
 252 \def transitive_lt. *)
 253
 254 ntheorem le_S_S: ∀n,m:nat. n ≤ m → S n ≤ S m.
 255 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /2/; nqed.
 256
 257 ntheorem le_O_n : ∀n:nat. O ≤ n.
 258 #n; nelim n; /2/; nqed.
 259
 260 ntheorem le_n_Sn : ∀n:nat. n ≤ S n.
 261 /2/; nqed.
 262
 263 ntheorem le_pred_n : ∀n:nat. pred n ≤ n.
 264 #n; nelim n; //; nqed.
 265
 266 (* XXX global problem
 267 nlemma my_trans_le : ∀x,y,z:nat.x ≤ y → y ≤ z → x ≤ z.
 268 napply transitive_le.
 269 nqed. *)
 270
 271 ntheorem monotonic_pred: monotonic ? le pred.
 272 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /2/;nqed.
 273
 274 ntheorem le_S_S_to_le: ∀n,m:nat. S n ≤ S m → n ≤ m.
 275 /2/; nqed.
 276
 277 (* this are instances of the le versions
 278 ntheorem lt_S_S_to_lt: ∀n,m. S n < S m → n < m.
 279 /2/; nqed.
 280
 281 ntheorem lt_to_lt_S_S: ∀n,m. n < m → S n < S m.
 282 /2/; nqed. *)
 283
 284 ntheorem lt_to_not_zero : ∀n,m:nat. n < m → not_zero m.
 285 #n; #m; #Hlt; nelim Hlt;//; nqed.
 286
 287 (* lt vs. le *)
 288 ntheorem not_le_Sn_O: ∀ n:nat. S n ≰ O.
 289 #n; napply nmk; #Hlen0; napply (lt_to_not_zero ?? Hlen0); nqed.
 290
 291 ntheorem not_le_to_not_le_S_S: ∀ n,m:nat. n ≰ m → S n ≰ S m.
 292 /3/; nqed.
 293
 294 ntheorem not_le_S_S_to_not_le: ∀ n,m:nat. S n ≰ S m → n ≰ m.
 295 /3/; nqed.
 296
 297 ntheorem decidable_le: ∀n,m. decidable (n≤m).
 298 napply nat_elim2; #n; /2/;
 299 #m; *; /3/; nqed.
 300
 301 ntheorem decidable_lt: ∀n,m. decidable (n < m).
 302 #n; #m; napply decidable_le ; nqed.
 303
 304 ntheorem not_le_Sn_n: ∀n:nat. S n ≰ n.
 305 #n; nelim n; /2/; nqed.
 306
 307 (* this is le_S_S_to_le
 308 ntheorem lt_S_to_le: ∀n,m:nat. n < S m → n ≤ m.
 309 /2/; nqed.
 310 *)
 311
 312 ntheorem not_le_to_lt: ∀n,m. n ≰ m → m < n.
 313 napply nat_elim2; #n;
 314  ##[#abs; napply False_ind;/2/;
 315  ##|/2/;
 316  ##|#m;#Hind;#HnotleSS; napply le_S_S;/3/;
 317  ##]
 318 nqed.
 319
 320 ntheorem lt_to_not_le: ∀n,m. n < m → m ≰ n.
 321 #n; #m; #Hltnm; nelim Hltnm;/3/; nqed.
 322
 323 ntheorem not_lt_to_le: ∀n,m:nat. n ≮ m → m ≤ n.
 324 /4/; nqed.
 325
 326 (*
 327 #n; #m; #Hnlt; napply le_S_S_to_le;/2/;
 328 (* something strange here: /2/ fails *)
 329 napply not_le_to_lt; napply Hnlt; nqed. *)
 330
 331 ntheorem le_to_not_lt: ∀n,m:nat. n ≤ m → m ≮ n.
 332 #n; #m; #H;napply lt_to_not_le; /2/; (* /3/ *) nqed.
 333
 334 (* lt and le trans *)
 335
 336 ntheorem lt_to_le_to_lt: ∀n,m,p:nat. n < m → m ≤ p → n < p.
 337 #n; #m; #p; #H; #H1; nelim H1; /2/; nqed.
 338
 339 ntheorem le_to_lt_to_lt: ∀n,m,p:nat. n ≤ m → m < p → n < p.
 340 #n; #m; #p; #H; nelim H; /3/; nqed.
 341
 342 ntheorem lt_S_to_lt: ∀n,m. S n < m → n < m.
 343 /2/; nqed.
 344
 345 ntheorem ltn_to_ltO: ∀n,m:nat. n < m → O < m.
 346 /2/; nqed.
 347
 348 (*
 349 theorem lt_SO_n_to_lt_O_pred_n: \forall n:nat.
 350 (S O) \lt n \to O \lt (pred n).
 351 intros.
 352 apply (ltn_to_ltO (pred (S O)) (pred n) ?).
 353  apply (lt_pred (S O) n);
 354  [ apply (lt_O_S O)
 355  | assumption
 356  ]
 357 qed. *)
 358
 359 ntheorem lt_O_n_elim: ∀n:nat. O < n →
 360   ∀P:nat → Prop.(∀m:nat.P (S m)) → P n.
 361 #n; nelim n; //; #abs; napply False_ind;/2/;
 362 nqed.
 363
 364 (*
 365 theorem lt_pred: \forall n,m.
 366   O < n \to n < m \to pred n < pred m.
 367 apply nat_elim2
 368   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 369   |intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H1)
 370   |intros.simplify.unfold.apply le_S_S_to_le.assumption
 371   ]
 372 qed.
 373
 374 theorem S_pred: \forall n:nat.lt O n \to eq nat n (S (pred n)).
 375 intro.elim n.apply False_ind.exact (not_le_Sn_O O H).
 376 apply eq_f.apply pred_Sn.
 377 qed.
 378
 379 theorem le_pred_to_le:
 380  ∀n,m. O < m → pred n ≤ pred m → n ≤ m.
 381 intros 2;
 382 elim n;
 383 [ apply le_O_n
 384 | simplify in H2;
 385   rewrite > (S_pred m);
 386   [ apply le_S_S;
 387     assumption
 388   | assumption
 389   ]
 390 ].
 391 qed.
 392
 393 *)
 394
 395 (* le to lt or eq *)
 396 ntheorem le_to_or_lt_eq: ∀n,m:nat. n ≤ m → n < m ∨ n = m.
 397 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /3/; nqed.
 398
 399 (* not eq *)
 400 ntheorem lt_to_not_eq : ∀n,m:nat. n < m → n ≠ m.
 401 #n; #m; #H; napply not_to_not;/2/; nqed.
 402
 403 (*not lt
 404 ntheorem eq_to_not_lt: ∀a,b:nat. a = b → a ≮ b.
 405 intros.
 406 unfold Not.
 407 intros.
 408 rewrite > H in H1.
 409 apply (lt_to_not_eq b b)
 410 [ assumption
 411 | reflexivity
 412 ]
 413 qed.
 414
 415 theorem lt_n_m_to_not_lt_m_Sn: ∀n,m. n < m → m ≮ S n.
 416 intros;
 417 unfold Not;
 418 intro;
 419 unfold lt in H;
 420 unfold lt in H1;
 421 generalize in match (le_S_S ? ? H);
 422 intro;
 423 generalize in match (transitive_le ? ? ? H2 H1);
 424 intro;
 425 apply (not_le_Sn_n ? H3).
 426 qed. *)
 427
 428 ntheorem not_eq_to_le_to_lt: ∀n,m. n≠m → n≤m → n<m.
 429 #n; #m; #Hneq; #Hle; ncases (le_to_or_lt_eq ?? Hle); //;
 430 #Heq; /3/; nqed.
 431 (*
 432 nelim (Hneq Heq); nqed. *)
 433
 434 (* le elimination *)
 435 ntheorem le_n_O_to_eq : ∀n:nat. n ≤ O → O=n.
 436 #n; ncases n; //; #a ; #abs;
 437 napply False_ind; /2/;nqed.
 438
 439 ntheorem le_n_O_elim: ∀n:nat. n ≤ O → ∀P: nat →Prop. P O → P n.
 440 #n; ncases n; //; #a; #abs;
 441 napply False_ind; /2/; nqed.
 442
 443 ntheorem le_n_Sm_elim : ∀n,m:nat.n ≤ S m →
 444 ∀P:Prop. (S n ≤ S m → P) → (n=S m → P) → P.
 445 #n; #m; #Hle; #P; nelim Hle; /3/; nqed.
 446
 447 (* le and eq *)
 448
 449 ntheorem le_to_le_to_eq: ∀n,m. n ≤ m → m ≤ n → n = m.
 450 napply nat_elim2; /4/;
 451 nqed.
 452
 453 ntheorem lt_O_S : ∀n:nat. O < S n.
 454 /2/; nqed.
 455
 456 (*
 457 (* other abstract properties *)
 458 theorem antisymmetric_le : antisymmetric nat le.
 459 unfold antisymmetric.intros 2.
 460 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.(n \leq m \to m \leq n \to n=m))).
 461 intros.apply le_n_O_to_eq.assumption.
 462 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H).
 463 intros.apply eq_f.apply H.
 464 apply le_S_S_to_le.assumption.
 465 apply le_S_S_to_le.assumption.
 466 qed.
 467
 468 theorem antisym_le: \forall n,m:nat. n \leq m \to m \leq n \to n=m
 469 \def antisymmetric_le.
 470
 471 theorem le_n_m_to_lt_m_Sn_to_eq_n_m: ∀n,m. n ≤ m → m < S n → n=m.
 472 intros;
 473 unfold lt in H1;
 474 generalize in match (le_S_S_to_le ? ? H1);
 475 intro;
 476 apply antisym_le;
 477 assumption.
 478 qed.
 479 *)
 480
 481 (* well founded induction principles *)
 482
 483 ntheorem nat_elim1 : ∀n:nat.∀P:nat → Prop.
 484 (∀m.(∀p. p < m → P p) → P m) → P n.
 485 #n; #P; #H;
 486 ncut (∀q:nat. q ≤ n → P q);/2/;
 487 nelim n;
 488  ##[#q; #HleO; (* applica male *)
 489     napply (le_n_O_elim ? HleO);
 490     napply H; #p; #ltpO;
 491     napply False_ind; /2/; (* 3 *)
 492  ##|#p; #Hind; #q; #HleS;
 493     napply H; #a; #lta; napply Hind;
 494     napply le_S_S_to_le;/2/;
 495  ##]
 496 nqed.
 497
 498 (* some properties of functions *)
 499 (*
 500 definition increasing \def \lambda f:nat \to nat.
 501 \forall n:nat. f n < f (S n).
 502
 503 theorem increasing_to_monotonic: \forall f:nat \to nat.
 504 increasing f \to monotonic nat lt f.
 505 unfold monotonic.unfold lt.unfold increasing.unfold lt.intros.elim H1.apply H.
 506 apply (trans_le ? (f n1)).
 507 assumption.apply (trans_le ? (S (f n1))).
 508 apply le_n_Sn.
 509 apply H.
 510 qed.
 511
 512 theorem le_n_fn: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 513 \to \forall n:nat. n \le (f n).
 514 intros.elim n.
 515 apply le_O_n.
 516 apply (trans_le ? (S (f n1))).
 517 apply le_S_S.apply H1.
 518 simplify in H. unfold increasing in H.unfold lt in H.apply H.
 519 qed.
 520
 521 theorem increasing_to_le: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 522 \to \forall m:nat. \exists i. m \le (f i).
 523 intros.elim m.
 524 apply (ex_intro ? ? O).apply le_O_n.
 525 elim H1.
 526 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 527 apply (trans_le ? (S (f a))).
 528 apply le_S_S.assumption.
 529 simplify in H.unfold increasing in H.unfold lt in H.
 530 apply H.
 531 qed.
 532
 533 theorem increasing_to_le2: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 534 \to \forall m:nat. (f O) \le m \to
 535 \exists i. (f i) \le m \land m <(f (S i)).
 536 intros.elim H1.
 537 apply (ex_intro ? ? O).
 538 split.apply le_n.apply H.
 539 elim H3.elim H4.
 540 cut ((S n1) < (f (S a)) \lor (S n1) = (f (S a))).
 541 elim Hcut.
 542 apply (ex_intro ? ? a).
 543 split.apply le_S. assumption.assumption.
 544 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 545 split.rewrite < H7.apply le_n.
 546 rewrite > H7.
 547 apply H.
 548 apply le_to_or_lt_eq.apply H6.
 549 qed.
 550 *)
 551
 552 (*********************** monotonicity ***************************)
 553 ntheorem monotonic_le_plus_r:
 554 ∀n:nat.monotonic nat le (λm.n + m).
 555 #n; #a; #b; nelim n; nnormalize; //;
 556 #m; #H; #leab;napply le_S_S; /2/; nqed.
 557
 558 (*
 559 ntheorem le_plus_r: ∀p,n,m:nat. n ≤ m → p + n ≤ p + m
 560 ≝ monotonic_le_plus_r. *)
 561
 562 ntheorem monotonic_le_plus_l:
 563 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n + m).
 564 /2/; nqed.
 565
 566 (*
 567 ntheorem le_plus_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n + p \le m + p
 568 \def monotonic_le_plus_l. *)
 569
 570 ntheorem le_plus: ∀n1,n2,m1,m2:nat. n1 ≤ n2  → m1 ≤ m2
 571 → n1 + m1 ≤ n2 + m2.
 572 #n1; #n2; #m1; #m2; #len; #lem; napply (transitive_le ? (n1+m2));
 573 /2/; nqed.
 574
 575 ntheorem le_plus_n :∀n,m:nat. m ≤ n + m.
 576 /2/; nqed.
 577
 578 nlemma le_plus_a: ∀a,n,m. n ≤ m → n ≤ a + m.
 579 /2/; nqed.
 580
 581 nlemma le_plus_b: ∀b,n,m. n + b ≤ m → n ≤ m.
 582 /2/; nqed.
 583
 584 ntheorem le_plus_n_r :∀n,m:nat. m ≤ m + n.
 585 /2/; nqed.
 586
 587 ntheorem eq_plus_to_le: ∀n,m,p:nat.n=m+p → m ≤ n.
 588 //; nqed.
 589
 590 ntheorem le_plus_to_le: ∀a,n,m. a + n ≤ a + m → n ≤ m.
 591 #a; nelim a; nnormalize; /3/; nqed.
 592
 593 ntheorem le_plus_to_le_r: ∀a,n,m. n + a ≤ m +a → n ≤ m.
 594 /2/; nqed.
 595
 596 (* plus & lt *)
 597
 598 ntheorem monotonic_lt_plus_r:
 599 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.n+m).
 600 /2/; nqed.
 601
 602 (*
 603 variant lt_plus_r: \forall n,p,q:nat. p < q \to n + p < n + q \def
 604 monotonic_lt_plus_r. *)
 605
 606 ntheorem monotonic_lt_plus_l:
 607 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.m+n).
 608 /2/; nqed.
 609
 610 (*
 611 variant lt_plus_l: \forall n,p,q:nat. p < q \to p + n < q + n \def
 612 monotonic_lt_plus_l. *)
 613
 614 ntheorem lt_plus: ∀n,m,p,q:nat. n < m → p < q → n + p < m + q.
 615 #n; #m; #p; #q; #ltnm; #ltpq;
 616 napply (transitive_lt ? (n+q));/2/; nqed.
 617
 618 ntheorem lt_plus_to_lt_l :∀n,p,q:nat. p+n < q+n → p<q.
 619 /2/; nqed.
 620
 621 ntheorem lt_plus_to_lt_r :∀n,p,q:nat. n+p < n+q → p<q.
 622 /2/; nqed.
 623
 624 (*
 625 ntheorem le_to_lt_to_lt_plus: ∀a,b,c,d:nat.
 626 a ≤ c → b < d → a + b < c+d.
 627 (* bello /2/ un po' lento *)
 628 #a; #b; #c; #d; #leac; #lebd;
 629 nnormalize; napplyS le_plus; //; nqed.
 630 *)
 631
 632 (* times *)
 633 ntheorem monotonic_le_times_r:
 634 ∀n:nat.monotonic nat le (λm. n * m).
 635 #n; #x; #y; #lexy; nelim n; nnormalize;//;(* lento /2/;*)
 636 #a; #lea; napply le_plus; //;
 637 nqed.
 638
 639 (*
 640 ntheorem le_times_r: \forall p,n,m:nat. n \le m \to p*n \le p*m
 641 \def monotonic_le_times_r. *)
 642
 643 (*
 644 ntheorem monotonic_le_times_l:
 645 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n*m).
 646 /2/; nqed.
 647 *)
 648
 649 (*
 650 theorem le_times_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n*p \le m*p
 651 \def monotonic_le_times_l. *)
 652
 653 ntheorem le_times: ∀n1,n2,m1,m2:nat.
 654 n1 ≤ n2  → m1 ≤ m2 → n1*m1 ≤ n2*m2.
 655 #n1; #n2; #m1; #m2; #len; #lem;
 656 napply (transitive_le ? (n1*m2)); (* /2/ slow *)
 657  ##[ napply monotonic_le_times_r;//;
 658  ##| napplyS monotonic_le_times_r;//;
 659  ##]
 660 nqed.
 661
 662 (* interesssante *)
 663 ntheorem lt_times_n: ∀n,m:nat. O < n → m ≤ n*m.
 664 #n; #m; #H; /2/; nqed.
 665
 666 ntheorem le_times_to_le:
 667 ∀a,n,m. O < a → a * n ≤ a * m → n ≤ m.
 668 #a; napply nat_elim2; nnormalize;
 669   ##[//;
 670   ##|#n; #H1; #H2;
 671      napply (transitive_le ? (a*S n));/2/;
 672   ##|#n; #m; #H; #lta; #le;
 673      napply le_S_S; napply H; /2/;
 674   ##]
 675 nqed.
 676
 677 ntheorem le_S_times_2: ∀n,m.O < m → n ≤ m → S n ≤ 2*m.
 678 #n; #m; #posm; #lenm;  (* interessante *)
 679 napplyS (le_plus n m); //; nqed.
 680
 681 (* times & lt *)
 682 (*
 683 ntheorem lt_O_times_S_S: ∀n,m:nat.O < (S n)*(S m).
 684 intros.simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 685 qed. *)
 686
 687 (*
 688 ntheorem lt_times_eq_O: \forall a,b:nat.
 689 O < a → a * b = O → b = O.
 690 intros.
 691 apply (nat_case1 b)
 692 [ intros.
 693   reflexivity
 694 | intros.
 695   rewrite > H2 in H1.
 696   rewrite > (S_pred a) in H1
 697   [ apply False_ind.
 698     apply (eq_to_not_lt O ((S (pred a))*(S m)))
 699     [ apply sym_eq.
 700       assumption
 701     | apply lt_O_times_S_S
 702     ]
 703   | assumption
 704   ]
 705 ]
 706 qed.
 707
 708 theorem O_lt_times_to_O_lt: \forall a,c:nat.
 709 O \lt (a * c) \to O \lt a.
 710 intros.
 711 apply (nat_case1 a)
 712 [ intros.
 713   rewrite > H1 in H.
 714   simplify in H.
 715   assumption
 716 | intros.
 717   apply lt_O_S
 718 ]
 719 qed.
 720
 721 lemma lt_times_to_lt_O: \forall i,n,m:nat. i < n*m \to O < m.
 722 intros.
 723 elim (le_to_or_lt_eq O ? (le_O_n m))
 724   [assumption
 725   |apply False_ind.
 726    rewrite < H1 in H.
 727    rewrite < times_n_O in H.
 728    apply (not_le_Sn_O ? H)
 729   ]
 730 qed. *)
 731
 732 (*
 733 ntheorem monotonic_lt_times_r:
 734 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.(S n)*m).
 735 /2/;
 736 simplify.
 737 intros.elim n.
 738 simplify.rewrite < plus_n_O.rewrite < plus_n_O.assumption.
 739 apply lt_plus.assumption.assumption.
 740 qed. *)
 741
 742 ntheorem monotonic_lt_times_l:
 743   ∀c:nat. O < c → monotonic nat lt (λt.(t*c)).
 744 #c; #posc; #n; #m; #ltnm;
 745 nelim ltnm; nnormalize;
 746   ##[/2/;
 747   ##|#a; #_; #lt1; napply (transitive_le ??? lt1);//;
 748   ##]
 749 nqed.
 750
 751 ntheorem monotonic_lt_times_r:
 752   ∀c:nat. O < c → monotonic nat lt (λt.(c*t)).
 753 /2/; nqed.
 754
 755 ntheorem lt_to_le_to_lt_times:
 756 ∀n,m,p,q:nat. n < m → p ≤ q → O < q → n*p < m*q.
 757 #n; #m; #p; #q; #ltnm; #lepq; #posq;
 758 napply (le_to_lt_to_lt ? (n*q));
 759   ##[napply monotonic_le_times_r;//;
 760   ##|napply monotonic_lt_times_l;//;
 761   ##]
 762 nqed.
 763
 764 ntheorem lt_times:∀n,m,p,q:nat. n<m → p<q → n*p < m*q.
 765 #n; #m; #p; #q; #ltnm; #ltpq;
 766 napply lt_to_le_to_lt_times;/2/;
 767 nqed.
 768
 769 ntheorem lt_times_n_to_lt_l:
 770 ∀n,p,q:nat. p*n < q*n → p < q.
 771 #n; #p; #q; #Hlt;
 772 nelim (decidable_lt p q);//;
 773 #nltpq; napply False_ind;
 774 napply (absurd ? ? (lt_to_not_le ? ? Hlt));
 775 napplyS monotonic_le_times_r;/2/;
 776 nqed.
 777
 778 ntheorem lt_times_n_to_lt_r:
 779 ∀n,p,q:nat. n*p < n*q → p < q.
 780 /2/; nqed.
 781
 782 (*
 783 theorem nat_compare_times_l : \forall n,p,q:nat.
 784 nat_compare p q = nat_compare ((S n) * p) ((S n) * q).
 785 intros.apply nat_compare_elim.intro.
 786 apply nat_compare_elim.
 787 intro.reflexivity.
 788 intro.absurd (p=q).
 789 apply (inj_times_r n).assumption.
 790 apply lt_to_not_eq. assumption.
 791 intro.absurd (q<p).
 792 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 793 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 794 intro.rewrite < H.rewrite > nat_compare_n_n.reflexivity.
 795 intro.apply nat_compare_elim.intro.
 796 absurd (p<q).
 797 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 798 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 799 intro.absurd (q=p).
 800 symmetry.
 801 apply (inj_times_r n).assumption.
 802 apply lt_to_not_eq.assumption.
 803 intro.reflexivity.
 804 qed. *)
 805
 806 (* times and plus
 807 theorem lt_times_plus_times: \forall a,b,n,m:nat.
 808 a < n \to b < m \to a*m + b < n*m.
 809 intros 3.
 810 apply (nat_case n)
 811   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 812   |intros.simplify.
 813    rewrite < sym_plus.
 814    unfold.
 815    change with (S b+a*m1 \leq m1+m*m1).
 816    apply le_plus
 817     [assumption
 818     |apply le_times
 819       [apply le_S_S_to_le.assumption
 820       |apply le_n
 821       ]
 822     ]
 823   ]
 824 qed. *)
 825
 826 (************************** minus ******************************)
 827
 828 nlet rec minus n m ≝
 829  match n with
 830  [ O ⇒ O
 831  | S p ⇒
 832         match m with
 833           [ O ⇒ S p
 834     | S q ⇒ minus p q ]].
 835
 836 interpretation "natural minus" 'minus x y = (minus x y).
 837
 838 ntheorem minus_S_S: ∀n,m:nat.S n - S m = n -m.
 839 //; nqed.
 840
 841 ntheorem minus_O_n: ∀n:nat.O=O-n.
 842 #n; ncases n; //; nqed.
 843
 844 ntheorem minus_n_O: ∀n:nat.n=n-O.
 845 #n; ncases n; //; nqed.
 846
 847 ntheorem minus_n_n: ∀n:nat.O=n-n.
 848 #n; nelim n; //; nqed.
 849
 850 ntheorem minus_Sn_n: ∀n:nat. S O = (S n)-n.
 851 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 852
 853 ntheorem minus_Sn_m: ∀m,n:nat. m ≤ n → S n -m = S (n-m).
 854 (* qualcosa da capire qui
 855 #n; #m; #lenm; nelim lenm; napplyS refl_eq. *)
 856 napply nat_elim2;
 857   ##[//
 858   ##|#n; #abs; napply False_ind; /2/
 859   ##|#n; #m; #Hind; #c; napplyS Hind; /2/;
 860   ##]
 861 nqed.
 862
 863 ntheorem not_eq_to_le_to_le_minus:
 864   ∀n,m.n ≠ m → n ≤ m → n ≤ m - 1.
 865 #n; #m; ncases m;//; #m; nnormalize;
 866 #H; #H1; napply le_S_S_to_le;
 867 napplyS (not_eq_to_le_to_lt n (S m) H H1);
 868 nqed.
 869
 870 ntheorem eq_minus_S_pred: ∀n,m. n - (S m) = pred(n -m).
 871 napply nat_elim2; nnormalize; //; nqed.
 872
 873 ntheorem plus_minus:
 874 ∀m,n,p:nat. m ≤ n → (n-m)+p = (n+p)-m.
 875 napply nat_elim2;
 876   ##[//
 877   ##|#n; #p; #abs; napply False_ind; /2/;
 878   ##|nnormalize;/3/;
 879   ##]
 880 nqed.
 881
 882 ntheorem minus_plus_m_m: ∀n,m:nat.n = (n+m)-m.
 883 #n; #m; napplyS (plus_minus m m n); //; nqed.
 884
 885 ntheorem plus_minus_m_m: ∀n,m:nat.
 886   m ≤ n → n = (n-m)+m.
 887 #n; #m; #lemn; napplyS sym_eq;
 888 napplyS (plus_minus m n m); //; nqed.
 889
 890 ntheorem le_plus_minus_m_m: ∀n,m:nat. n ≤ (n-m)+m.
 891 #n; nelim n;
 892   ##[//
 893   ##|#a; #Hind; #m; ncases m;//;
 894      nnormalize; #n;/2/;
 895   ##]
 896 nqed.
 897
 898 ntheorem minus_to_plus :∀n,m,p:nat.
 899   m ≤ n → n-m = p → n = m+p.
 900 #n; #m; #p; #lemn; #eqp; napplyS plus_minus_m_m; //;
 901 nqed.
 902
 903 ntheorem plus_to_minus :∀n,m,p:nat.n = m+p → n-m = p.
 904 (* /4/ done in 43.5 *)
 905 #n; #m; #p; #eqp;
 906 napply sym_eq;
 907 napplyS (minus_plus_m_m p m);
 908 nqed.
 909
 910 ntheorem minus_pred_pred : ∀n,m:nat. O < n → O < m →
 911 pred n - pred m = n - m.
 912 #n; #m; #posn; #posm;
 913 napply (lt_O_n_elim n posn);
 914 napply (lt_O_n_elim m posm);//.
 915 nqed.
 916
 917 (*
 918 theorem eq_minus_n_m_O: \forall n,m:nat.
 919 n \leq m \to n-m = O.
 920 intros 2.
 921 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.n \leq m \to n-m = O)).
 922 intros.simplify.reflexivity.
 923 intros.apply False_ind.
 924 apply not_le_Sn_O;
 925 [2: apply H | skip].
 926 intros.
 927 simplify.apply H.apply le_S_S_to_le. apply H1.
 928 qed.
 929
 930 theorem le_SO_minus: \forall n,m:nat.S n \leq m \to S O \leq m-n.
 931 intros.elim H.elim (minus_Sn_n n).apply le_n.
 932 rewrite > minus_Sn_m.
 933 apply le_S.assumption.
 934 apply lt_to_le.assumption.
 935 qed.
 936
 937 theorem minus_le_S_minus_S: \forall n,m:nat. m-n \leq S (m-(S n)).
 938 intros.
 939 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.m-n \leq S (m-(S n)))).
 940 intro.elim n1.simplify.apply le_n_Sn.
 941 simplify.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 942 intros.simplify.apply le_n_Sn.
 943 intros.simplify.apply H.
 944 qed.
 945
 946 theorem lt_minus_S_n_to_le_minus_n : \forall n,m,p:nat. m-(S n) < p \to m-n \leq p.
 947 intros 3.intro.
 948 (* autobatch *)
 949 (* end auto($Revision: 9739 $) proof: TIME=1.33 SIZE=100 DEPTH=100 *)
 950 apply (trans_le (m-n) (S (m-(S n))) p).
 951 apply minus_le_S_minus_S.
 952 assumption.
 953 qed.
 954
 955 theorem le_minus_m: \forall n,m:nat. n-m \leq n.
 956 intros.apply (nat_elim2 (\lambda m,n. n-m \leq n)).
 957 intros.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 958 intros.simplify.apply le_n.
 959 intros.simplify.apply le_S.assumption.
 960 qed.
 961
 962 theorem lt_minus_m: \forall n,m:nat. O < n \to O < m \to n-m \lt n.
 963 intros.apply (lt_O_n_elim n H).intro.
 964 apply (lt_O_n_elim m H1).intro.
 965 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_minus_m.
 966 qed.
 967
 968 theorem minus_le_O_to_le: \forall n,m:nat. n-m \leq O \to n \leq m.
 969 intros 2.
 970 apply (nat_elim2 (\lambda n,m:nat.n-m \leq O \to n \leq m)).
 971 intros.apply le_O_n.
 972 simplify.intros. assumption.
 973 simplify.intros.apply le_S_S.apply H.assumption.
 974 qed.
 975 *)
 976
 977 (* monotonicity and galois *)
 978
 979 ntheorem monotonic_le_minus_l:
 980 ∀p,q,n:nat. q ≤ p → q-n ≤ p-n.
 981 napply nat_elim2; #p; #q;
 982   ##[#lePO; napply (le_n_O_elim ? lePO);//;
 983   ##|//;
 984   ##|#Hind; #n; ncases n;
 985     ##[//;
 986     ##|#a; #leSS; napply Hind; /2/;
 987     ##]
 988   ##]
 989 nqed.
 990
 991 ntheorem le_minus_to_plus: ∀n,m,p. n-m ≤ p → n≤ p+m.
 992 #n; #m; #p; #lep;
 993 napply transitive_le;
 994   ##[##|napply le_plus_minus_m_m
 995   ##|napply monotonic_le_plus_l;//;
 996   ##]
 997 nqed.
 998
 999 ntheorem le_plus_to_minus: ∀n,m,p. n ≤ p+m → n-m ≤ p.
1000 #n; #m; #p; #lep;
1001 (* bello *)
1002 napplyS monotonic_le_minus_l;//;
1003 (* /2/; *)
1004 nqed.
1005
1006 ntheorem monotonic_le_minus_r:
1007 ∀p,q,n:nat. q ≤ p → n-p ≤ n-q.
1008 #p; #q; #n; #lepq;
1009 napply le_plus_to_minus;
1010 napply (transitive_le ??? (le_plus_minus_m_m ? q));/2/;
1011 nqed.
1012
1013 (*********************** boolean arithmetics ********************)
1014 include "basics/bool.ma".
1015
1016 nlet rec eqb n m ≝
1017 match n with
1018   [ O ⇒ match m with [ O ⇒ true | S q ⇒ false]
1019   | S p ⇒ match m with [ O ⇒ false | S q ⇒ eqb p q]
1020   ].
1021
1022 (*
1023 ntheorem eqb_to_Prop: ∀n,m:nat.
1024 match (eqb n m) with
1025 [ true  \Rightarrow n = m
1026 | false \Rightarrow n \neq m].
1027 intros.
1028 apply (nat_elim2
1029 (\lambda n,m:nat.match (eqb n m) with
1030 [ true  \Rightarrow n = m
1031 | false \Rightarrow n \neq m])).
1032 intro.elim n1.
1033 simplify.reflexivity.
1034 simplify.apply not_eq_O_S.
1035 intro.
1036 simplify.unfold Not.
1037 intro. apply (not_eq_O_S n1).apply sym_eq.assumption.
1038 intros.simplify.
1039 generalize in match H.
1040 elim ((eqb n1 m1)).
1041 simplify.apply eq_f.apply H1.
1042 simplify.unfold Not.intro.apply H1.apply inj_S.assumption.
1043 qed.
1044 *)
1045
1046 ntheorem eqb_elim : ∀ n,m:nat.∀ P:bool → Prop.
1047 (n=m → (P true)) → (n ≠ m → (P false)) → (P (eqb n m)).
1048 napply nat_elim2;
1049   ##[#n; ncases n; nnormalize; /3/;
1050   ##|nnormalize; /3/;
1051   ##|nnormalize; /4/;
1052   ##]
1053 nqed.
1054
1055 ntheorem eqb_n_n: ∀n. eqb n n = true.
1056 #n; nelim n; nnormalize; //.
1057 nqed.
1058
1059 ntheorem eqb_true_to_eq: ∀n,m:nat. eqb n m = true → n = m.
1060 #n; #m; napply (eqb_elim n m);//;
1061 #_; #abs; napply False_ind; /2/;
1062 nqed.
1063
1064 ntheorem eqb_false_to_not_eq: ∀n,m:nat. eqb n m = false → n ≠ m.
1065 #n; #m; napply (eqb_elim n m);/2/;
1066 nqed.
1067
1068 ntheorem eq_to_eqb_true: ∀n,m:nat.
1069   n = m → eqb n m = true.
1070 //; nqed.
1071
1072 ntheorem not_eq_to_eqb_false: ∀n,m:nat.
1073   n ≠  m → eqb n m = false.
1074 #n; #m; #noteq;
1075 napply eqb_elim;//;
1076 #Heq; napply False_ind; /2/;
1077 nqed.
1078
1079 nlet rec leb n m ≝
1080 match n with
1081     [ O ⇒ true
1082     | (S p) ⇒
1083         match m with
1084         [ O ⇒ false
1085               | (S q) ⇒ leb p q]].
1086
1087 ntheorem leb_elim: ∀n,m:nat. ∀P:bool → Prop.
1088 (n ≤ m → P true) → (n ≰ m → P false) → P (leb n m).
1089 napply nat_elim2; nnormalize;
1090   ##[/2/
1091   ##|/3/;
1092   ##|#n; #m; #Hind; #P; #Pt; #Pf; napply Hind;
1093     ##[#lenm; napply Pt; napply le_S_S;//;
1094     ##|#nlenm; napply Pf; /2/;
1095     ##]
1096   ##]
1097 nqed.
1098
1099 ntheorem leb_true_to_le:∀n,m.leb n m = true → n ≤ m.
1100 #n; #m; napply leb_elim;
1101   ##[//;
1102   ##|#_; #abs; napply False_ind; /2/;
1103   ##]
1104 nqed.
1105
1106 ntheorem leb_false_to_not_le:∀n,m.
1107   leb n m = false → n ≰ m.
1108 #n; #m; napply leb_elim;
1109   ##[#_; #abs; napply False_ind; /2/;
1110   ##|//;
1111   ##]
1112 nqed.
1113
1114 ntheorem le_to_leb_true: ∀n,m. n ≤ m → leb n m = true.
1115 #n; #m; napply leb_elim; //;
1116 #H; #H1; napply False_ind; /2/;
1117 nqed.
1118
1119 ntheorem not_le_to_leb_false: ∀n,m. n ≰ m → leb n m = false.
1120 #n; #m; napply leb_elim; //;
1121 #H; #H1; napply False_ind; /2/;
1122 nqed.
1123
1124 ntheorem lt_to_leb_false: ∀n,m. m < n → leb n m = false.
1125 /3/; nqed.
1126
1127 (* serve anche ltb?
1128 ndefinition ltb ≝λn,m. leb (S n) m.
1129
1130 ntheorem ltb_elim: ∀n,m:nat. ∀P:bool → Prop.
1131 (n < m → P true) → (n ≮ m → P false) → P (ltb n m).
1132 #n; #m; #P; #Hlt; #Hnlt;
1133 napply leb_elim; /3/; nqed.
1134
1135 ntheorem ltb_true_to_lt:∀n,m.ltb n m = true → n < m.
1136 #n; #m; #Hltb; napply leb_true_to_le; nassumption;
1137 nqed.
1138
1139 ntheorem ltb_false_to_not_lt:∀n,m.
1140   ltb n m = false → n ≮ m.
1141 #n; #m; #Hltb; napply leb_false_to_not_le; nassumption;
1142 nqed.
1143
1144 ntheorem lt_to_ltb_true: ∀n,m. n < m → ltb n m = true.
1145 #n; #m; #Hltb; napply le_to_leb_true; nassumption;
1146 nqed.
1147
1148 ntheorem le_to_ltb_false: ∀n,m. m \le n → ltb n m = false.
1149 #n; #m; #Hltb; napply lt_to_leb_false; /2/;
1150 nqed. *)
1151