matita/matita/nlibrary/logic/connectives.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/pts.ma".
  16
  17 inductive True: CProp[0] ≝
  18   I : True.
  19
  20 inductive False: CProp[0] ≝.
  21
  22 definition Not: CProp[0] → CProp[0] ≝
  23   λA. A → False.
  24
  25 interpretation "logical ot" 'not x = (Not x).
  26
  27 inductive And (A,B:CProp[0]) : CProp[0] ≝
  28     conj : A → B → And A B.
  29
  30 interpretation "logical and" 'and x y = (And x y).
  31
  32 inductive Or (A,B:CProp[0]) : CProp[0] ≝
  33      or_introl : A → Or A B
  34    | or_intror : B → Or A B.
  35
  36 interpretation "logical or" 'or x y = (Or x y).
  37
  38 inductive Ex (A:Type[0]) (P:A → CProp[0]) : CProp[0] ≝
  39     ex_intro: ∀x:A. P x → Ex A P.
  40
  41
  42 inductive Ex1 (A:Type[1]) (P:A → CProp[0]) : CProp[1] ≝
  43     ex_intro1: ∀x:A. P x → Ex1 A P.
  44
  45 interpretation "exists1" 'exists x = (Ex1 ? x).
  46 interpretation "exists" 'exists x = (Ex ? x).
  47
  48 inductive sigma (A : Type[0]) (P : A → CProp[0]) : Type[0] ≝
  49  sig_intro : ∀x:A.P x → sigma A P.
  50
  51 interpretation "sigma" 'sigma \eta.p = (sigma ? p).
  52
  53 record iff (A,B: CProp[0]) : CProp[0] ≝
  54  { if: A → B;
  55    fi: B → A
  56  }.
  57
  58 notation > "hvbox(a break \liff b)"
  59   left associative with precedence 25
  60 for @{ 'iff $a $b }.
  61
  62 notation "hvbox(a break \leftrightarrow b)"
  63   left associative with precedence 25
  64 for @{ 'iff $a $b }.
  65
  66 interpretation "logical iff" 'iff x y = (iff x y).