]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/nlibrary/logic/cprop.ma
- we introduce stratified term equivalence to remove the parameter g from cpx
[helm.git] / matita / matita / nlibrary / logic / cprop.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "hints_declaration.ma".
16 include "sets/setoids1.ma".
17
18 ndefinition CPROP: setoid1.
19  napply mk_setoid1
20   [ napply CProp[0]
21   | napply (mk_equivalence_relation1 CProp[0])
22      [ napply iff
23      | #x; napply mk_iff; #H; nassumption
24      | #x; #y; *; #H1; #H2; napply mk_iff; nassumption
25      | #x; #y; #z; *; #H1; #H2; *; #H3; #H4; napply mk_iff; #w
26         [ napply (H3 (H1 w)) | napply (H2 (H4 w))]##]##]
27 nqed.
28
29 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_CProp2".
30 unification hint 0 ≔ ⊢ CProp[0] ≡ carr1 CPROP.
31
32 (*ndefinition CProp0_of_CPROP: carr1 CPROP → CProp[0] ≝ λx.x.
33 ncoercion CProp0_of_CPROP : ∀x: carr1 CPROP. CProp[0] ≝ CProp0_of_CPROP
34  on _x: carr1 CPROP to CProp[0].*)
35
36 alias symbol "eq" = "setoid1 eq".
37
38 ndefinition fi': ∀A,B:CPROP. A = B → B → A.
39  #A; #B; #H; napply (fi … H); nassumption.
40 nqed.
41
42 notation ". r" with precedence 55 for @{'fi $r}.
43 interpretation "fi" 'fi r = (fi' ?? r).
44
45 ndefinition and_morphism: unary_morphism1 CPROP (unary_morphism1_setoid1 CPROP CPROP).
46  napply (mk_binary_morphism1 … And);
47  #a; #a'; #b; #b'; #Ha; #Hb; @; *; #x; #y; @
48   [ napply (. Ha^-1) | napply (. Hb^-1) | napply (. Ha) | napply (. Hb)] //.
49 nqed.
50
51 unification hint 0 ≔ A,B:CProp[0];
52   T ≟ CPROP,
53   MM ≟ mk_unary_morphism1 ??
54        (λX.mk_unary_morphism1 ?? (And X) (prop11 ?? (fun11 ?? and_morphism X)))
55          (prop11 ?? and_morphism)
56 (*-------------------------------------------------------------*) ⊢
57   fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) MM A) B ≡ And A B.
58
59 (*
60 naxiom daemon: False.
61
62 nlemma test: ∀A,A',B: CProp[0]. A=A' → (B ∨ A) = B → (B ∧ A) ∧ B.
63  #A; #A'; #B; #H1; #H2; napply (. (#‡H1)‡H2^-1); nelim daemon.
64 nqed.
65
66 CSC: ugly proof term
67 ncheck test.
68 *)
69
70 ndefinition or_morphism: unary_morphism1 CPROP (unary_morphism1_setoid1 CPROP CPROP).
71  napply (mk_binary_morphism1 … Or);
72  #a; #a'; #b; #b'; #Ha; #Hb; @; *; #x
73   [ @1; napply (. Ha^-1) | @2; napply (. Hb^-1) | @1; napply (. Ha) | @2; napply (. Hb)] //.
74 nqed.
75
76 unification hint 0 ≔ A,B:CProp[0];
77   T ≟ CPROP,
78   MM ≟ mk_unary_morphism1 …
79        (λX.mk_unary_morphism1 … (Or X) (prop11 … (fun11 ?? or_morphism X)))
80          (prop11 … or_morphism)
81 (*-------------------------------------------------------------*) ⊢
82   fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) MM A) B ≡ Or A B.
83   
84 (* XXX always applied, generates hard unif problems  
85 ndefinition if_morphism: unary_morphism1 CPROP (unary_morphism1_setoid1 CPROP CPROP).
86  napply (mk_binary_morphism1 … (λA,B:CProp[0]. A → B));
87  #a; #a'; #b; #b'; #Ha; #Hb; @; #H; #x
88   [ napply (. Hb^-1); napply H; napply (. Ha) | napply (. Hb); napply H; napply (. Ha^-1)]
89  //.
90 nqed.
91
92 unification hint 0 ≔ A,B:CProp[0];
93   T ≟ CPROP,
94   R ≟ mk_unary_morphism1 …
95        (λX:CProp[0].mk_unary_morphism1 … 
96          (λY:CProp[0]. X → Y) (prop11 … (if_morphism X)))
97          (prop11 … if_morphism)
98 (*----------------------------------------------------------------------*) ⊢
99   fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) R A) B ≡ A → B.
100 *)
101
102 (* not as morphism *)
103 nlemma Not_morphism : CProp[0] ⇒_1 CProp[0].
104 @(λx:CProp[0].¬ x); #a b; *; #; @; /3/; nqed.
105
106 unification hint 0 ≔ P : CProp[0];
107    A ≟ CPROP, 
108    B ≟ CPROP,
109    M ≟ mk_unary_morphism1 ?? (λP.¬ P) (prop11 ?? Not_morphism)
110 (*------------------------*)⊢
111   fun11 A B M P ≡ ¬ P.
112
113 (* Ex setoid support *)
114
115 (* The caml, as some patches for it 
116 ncoercion setoid1_of_setoid : ∀s:setoid. setoid1 ≝ setoid1_of_setoid on _s: setoid to setoid1.
117 *)
118
119 (* simple case where the whole predicate can be rewritten *)
120 nlemma Ex_morphism : ∀S:setoid.((setoid1_of_setoid S) ⇒_1 CProp[0]) ⇒_1 CProp[0].
121 #S; @(λP: (setoid1_of_setoid S) ⇒_1 CProp[0].Ex S P); 
122 #P Q E; @; *; #x Px; @x; ncases (E x x #); /2/; nqed.
123
124 unification hint 0 ≔ S : setoid, P : (setoid1_of_setoid S) ⇒_1 CPROP;
125    A ≟ unary_morphism1_setoid1 (setoid1_of_setoid S) CPROP, 
126    B ≟ CPROP,
127    M ≟ mk_unary_morphism1 ?? 
128          (λP: (setoid1_of_setoid S) ⇒_1 CPROP.Ex (carr S) (fun11 ?? P)) 
129          (prop11 ?? (Ex_morphism S))
130 (*------------------------*)⊢
131   fun11 A B M P ≡ Ex (carr S) (fun11 (setoid1_of_setoid S) CPROP P).
132
133 nlemma Ex_morphism_eta : ∀S:setoid.((setoid1_of_setoid S) ⇒_1 CProp[0]) ⇒_1 CProp[0].
134 #S; @(λP: (setoid1_of_setoid S) ⇒_1 CProp[0].Ex S (λx.P x)); 
135 #P Q E; @; *; #x Px; @x; ncases (E x x #); /2/; nqed.
136
137 unification hint 0 ≔ S : setoid, P : (setoid1_of_setoid S) ⇒_1 CPROP;
138    A ≟ unary_morphism1_setoid1 (setoid1_of_setoid S) CPROP, 
139    B ≟ CPROP,
140    M ≟ mk_unary_morphism1 ?? 
141          (λP: (setoid1_of_setoid S) ⇒_1 CPROP.Ex (carr S) (λx.fun11 ?? P x)) 
142          (prop11 ?? (Ex_morphism_eta S))
143 (*------------------------*)⊢
144   fun11 A B M P ≡ Ex (carr S) (λx.fun11 (setoid1_of_setoid S) CPROP P x).
145
146 nlemma Ex_setoid : ∀S:setoid.((setoid1_of_setoid S) ⇒_1 CPROP) → setoid.
147 #T P; @ (Ex T (λx:T.P x)); @; ##[ #H1 H2; napply True |##*: //; ##] nqed.
148
149 unification hint 0 ≔ T : setoid,P ; 
150    S ≟ (Ex_setoid T P) 
151 (*---------------------------*) ⊢
152    Ex (carr T) (λx:carr T.fun11 ?? P x) ≡ carr S.
153
154 (* couts how many Ex we are traversing *)
155 ninductive counter : Type[0] ≝ 
156  | End : counter 
157  | Next : (Prop → Prop) → (* dummy arg please the notation mechanism *)
158           counter → counter. 
159
160 (* to rewrite terms (live in setoid) *)
161 nlet rec mk_P (S, T : setoid) (n : counter) on n ≝ 
162   match n with [ End ⇒ T → CProp[0] | Next _ m ⇒ S → (mk_P S T m) ].
163
164 nlet rec mk_F (S, T : setoid) (n : counter) on n ≝ 
165   match n with [ End ⇒ T | Next _ m ⇒ S → (mk_F S T m) ].
166   
167 nlet rec mk_E (S, T : setoid) (n : counter) on n : ∀f,g : mk_F S T n. CProp[0] ≝ 
168   match n with 
169   [ End ⇒ λf,g:T. f = g 
170   | Next q m ⇒ λf,g: mk_F S T (Next q m). ∀x:S.mk_E S T m (f x) (g x) ].
171
172 nlet rec mk_H (S, T : setoid) (n : counter) on n : 
173 ∀P1,P2: mk_P S T n.∀f,g : mk_F S T n. CProp[1] ≝ 
174   match n with 
175   [ End ⇒ λP1,P2:mk_P S T End.λf,g:T. f = g → P1 f =_1 P2 g 
176   | Next q m ⇒ λP1,P2: mk_P S T (Next q m).λf,g: mk_F S T (Next q m). 
177               ∀x:S.mk_H S T m (P1 x) (P2 x) (f x) (g x) ].
178
179 nlet rec mk_Ex (S, T : setoid) (n : counter) on n : 
180 ∀P: mk_P S T n.∀f : mk_F S T n. CProp[0] ≝ 
181   match n with 
182   [ End ⇒ λP:mk_P S T End.λf:T. P f 
183   | Next q m ⇒ λP: mk_P S T (Next q m).λf: mk_F S T (Next q m). 
184               ∃x:S.mk_Ex S T m (P x) (f x) ].
185
186 nlemma Sig_generic : ∀S,T.∀n:counter.∀P,f,g.
187   mk_E S T n f g → mk_H S T n P P f g → mk_Ex S T n P f =_1 mk_Ex S T n P g.
188 #S T n; nelim n; nnormalize;
189 ##[ #P f g E H; /2/;
190 ##| #q m IH P f g E H; @; *; #x Px; @x; ncases (IH … (E x) (H x)); /3/; ##]
191 nqed.
192
193 (* to rewrite propositions (live in setoid1) *)
194 nlet rec mk_P1 (S : setoid) (T : setoid1) (n : counter) on n ≝ 
195   match n with [ End ⇒ T → CProp[0] | Next _ m ⇒ S → (mk_P1 S T m) ].
196
197 nlet rec mk_F1 (S : setoid) (T : setoid1) (n : counter) on n ≝ 
198   match n with [ End ⇒ T | Next _ m ⇒ S → (mk_F1 S T m) ].
199   
200 nlet rec mk_E1 (S : setoid) (T : setoid1) (n : counter) on n : ∀f,g : mk_F1 S T n. CProp[1] ≝ 
201   match n with 
202   [ End ⇒ λf,g:T. f =_1 g 
203   | Next q m ⇒ λf,g: mk_F1 S T (Next q m). ∀x:S.mk_E1 S T m (f x) (g x) ].
204
205 nlet rec mk_H1 (S : setoid) (T : setoid1) (n : counter) on n : 
206 ∀P1,P2: mk_P1 S T n.∀f,g : mk_F1 S T n. CProp[1] ≝ 
207   match n with 
208   [ End ⇒ λP1,P2:mk_P1 S T End.λf,g:T. f = g → P1 f =_1 P2 g 
209   | Next q m ⇒ λP1,P2: mk_P1 S T (Next q m).λf,g: mk_F1 S T (Next q m). 
210               ∀x:S.mk_H1 S T m (P1 x) (P2 x) (f x) (g x) ].
211
212 nlet rec mk_Ex1 (S : setoid) (T : setoid1) (n : counter) on n : 
213 ∀P: mk_P1 S T n.∀f : mk_F1 S T n. CProp[0] ≝ 
214   match n with 
215   [ End ⇒ λP:mk_P1 S T End.λf:T. P f 
216   | Next q m ⇒ λP: mk_P1 S T (Next q m).λf: mk_F1 S T (Next q m). 
217               ∃x:S.mk_Ex1 S T m (P x) (f x) ].
218
219 nlemma Sig_generic1 : ∀S,T.∀n:counter.∀P,f,g.
220   mk_E1 S T n f g → mk_H1 S T n P P f g → mk_Ex1 S T n P f =_1 mk_Ex1 S T n P g.
221 #S T n; nelim n; nnormalize;
222 ##[ #P f g E H; /2/;
223 ##| #q m IH P f g E H; @; *; #x Px; @x; ncases (IH … (E x) (H x)); /3/; ##]
224 nqed.
225
226 (* notation "∑x1,...,xn. E / H ; P" were:
227    - x1...xn are bound in E and P, H is bound in P
228    - H is an identifier that will have the type of E in P
229    - P is the proof that the two existentially quantified predicates are equal*)
230 notation > "∑ list1 ident x sep , . term 61 E / ident nE ; term 19 H" with precedence 20 
231 for @{ 'Sig_gen 
232   ${ fold right @{ 'End }  rec acc @{ ('Next (λ${ident x}.${ident x}) $acc) } }
233   ${ fold right @{ $E }              rec acc @{ λ${ident x}.$acc } } 
234   ${ fold right @{ λ${ident nE}.$H } rec acc @{ λ${ident x}.$acc } }
235 }.
236
237 interpretation "next" 'Next x y = (Next x y).
238 interpretation "end" 'End = End.
239 interpretation "sig_gen" 'Sig_gen n E H = (Sig_generic  ?? n ??? E H).
240 interpretation "sig_gen1" 'Sig_gen n E H = (Sig_generic1 ?? n ??? E H).
241
242 (*
243 nlemma test0 : ∀S:setoid. ∀P: (setoid1_of_setoid S) ⇒_1 CPROP.∀f,g:S → S.
244  (∀x:S.f x = g x) → (Ex S (λw.P (f w))) =_1 (Ex S (λw.P (g w))).
245 #S P f g E; napply (∑w. E w / H ; ┼_1H); nqed.
246
247 nlemma test : ∀S:setoid. ∀P: (setoid1_of_setoid S) ⇒_1 CPROP.∀f,g:S → S.
248  (∀x:S.f x = g x) → (Ex S (λw.P (f w)∧ True)) =_1 (Ex S (λw.P (g w)∧ True)).
249 #S P f g E; napply (∑w. E w / H ; (┼_1H)╪_1#); nqed. 
250
251 nlemma test_bound : ∀S:setoid. ∀e,f: (setoid1_of_setoid S) ⇒_1 CPROP. e = f → 
252    (Ex S (λw.e w ∧ True)) =_1 (Ex S (λw.f w ∧ True)).
253 #S f g E; napply (.=_1 ∑x. E x x # / H ; (H ╪_1 #)); //; nqed.
254
255 nlemma test2 : ∀S:setoid. ∀ee: (setoid1_of_setoid S) ⇒_1 (setoid1_of_setoid S) ⇒_1 CPROP.
256  ∀x,y:setoid1_of_setoid S.x =_1 y → 
257    (True ∧ (Ex S (λw.ee x w ∧ True))) =_1 (True ∧ (Ex S (λw.ee y w ∧ True))).
258 #S m x y E; napply (.=_1 #╪_1(∑w. E / E ; ((E ╪_1 #) ╪_1 #))). //; nqed.
259
260 nlemma test3 : ∀S:setoid. ∀ee: (setoid1_of_setoid S) ⇒_1 (setoid1_of_setoid S) ⇒_1 CPROP.
261  ∀x,y:setoid1_of_setoid S.x =_1 y → 
262    ((Ex S (λw.ee x w ∧ True) ∨ True)) =_1 ((Ex S (λw.ee y w ∧ True) ∨ True)).
263 #S m x y E; napply (.=_1 (∑w. E / E ; ((E ╪_1 #) ╪_1 #)) ╪_1 #). //; nqed.
264 *)
265