matita/matita/nlibrary/re/re-setoids.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/pairs-setoids.ma".
  16 include "datatypes/bool-setoids.ma".
  17 include "datatypes/list-setoids.ma".
  18 include "sets/sets.ma".
  19
  20 (*
  21 ninductive Admit : CProp[0] ≝ .
  22 naxiom admit : Admit.
  23 *)
  24
  25 (* XXX move somewere else *)
  26 ndefinition if': ∀A,B:CPROP. A = B → A → B.
  27 #A B; *; /2/. nqed.
  28
  29 ncoercion if : ∀A,B:CPROP. ∀p:A = B. A → B ≝ if' on _p : eq_rel1 ? (eq1 CPROP) ?? to ∀_:?.?.
  30
  31 ndefinition ifs': ∀S.∀A,B:Ω^S. A = B → ∀x. x ∈ A → x ∈ B.
  32 #S A B; *; /2/. nqed.
  33
  34 ncoercion ifs : ∀S.∀A,B:Ω^S. ∀p:A = B.∀x. x ∈ A → x ∈ B ≝ ifs' on _p : eq_rel1 ? (eq1 (powerclass_setoid ?))?? to ∀_:?.?.
  35
  36 (* XXX move to list-setoids-theory.ma *)
  37
  38 ntheorem append_nil: ∀A:setoid.∀l:list A.l @ [] = l.
  39 #A;#l;nelim l;//; #a;#l1;#IH;nnormalize;/2/;nqed.
  40
  41 ndefinition associative ≝ λA:setoid.λf:A → A → A.∀x,y,z.f x (f y z) = f (f x y) z.
  42
  43 ntheorem associative_append: ∀A:setoid.associative (list A) (append A).
  44 #A;#x;#y;#z;nelim x[ napply (refl ???) |#a;#x1;#H;nnormalize;/2/]nqed.
  45
  46 (* end move to list *)
  47
  48
  49 (* XXX to undestand what I want inside Alpha
  50    the eqb part should be split away, but when available it should be
  51    possible to obtain a leibnitz equality on lemmas proved on setoids
  52 *)
  53 interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).
  54
  55 ninductive eq (A:Type[0]) (x:A) : A → CProp[0] ≝ erefl: eq A x x.
  56
  57 nlemma eq_rect_Type0_r':
  58  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (erefl A a) → P x p.
  59  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
  60 nqed.
  61
  62 nlemma eq_rect_Type0_r:
  63  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → Type[0]. P a (erefl A a) → ∀x.∀p:eq ? x a.P x p.
  64  #A; #a; #P; #p; #x0; #p0; napply (eq_rect_Type0_r' ??? p0); nassumption.
  65 nqed.
  66
  67 nlemma eq_rect_CProp0_r':
  68  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (erefl A a) → P x p.
  69  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
  70 nqed.
  71
  72 nlemma eq_rect_CProp0_r:
  73  ∀A.∀a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (erefl A a) → ∀x.∀p:eq ? x a.P x p.
  74  #A; #a; #P; #p; #x0; #p0; napply (eq_rect_CProp0_r' ??? p0); nassumption.
  75 nqed.
  76
  77 nrecord Alpha : Type[1] ≝ {
  78    acarr :> setoid;
  79    eqb: acarr → acarr → bool;
  80    eqb_true: ∀x,y. (eqb x y = true) = (x = y)
  81 }.
  82
  83 interpretation "eqb" 'eq_low a b = (eqb ? a b).
  84 (* end alpha *)
  85
  86 (* re *)
  87 ninductive re (S: Type[0]) : Type[0] ≝
  88    z: re S
  89  | e: re S
  90  | s: S → re S
  91  | c: re S → re S → re S
  92  | o: re S → re S → re S
  93  | k: re S → re S.
  94
  95 notation < "a \sup ⋇" non associative with precedence 90 for @{ 'pk $a}.
  96 notation > "a ^ *" non associative with precedence 75 for @{ 'pk $a}.
  97 interpretation "star" 'pk a = (k ? a).
  98 interpretation "or" 'plus a b = (o ? a b).
  99
 100 notation "a · b" non associative with precedence 65 for @{ 'pc $a $b}.
 101 interpretation "cat" 'pc a b = (c ? a b).
 102
 103 (* to get rid of \middot *)
 104 ncoercion c  : ∀S.∀p:re S.  re S →  re S   ≝ c  on _p : re ?  to ∀_:?.?.
 105
 106 notation < "a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 107 notation > "` term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'ps $a}.
 108 interpretation "atom" 'ps a = (s ? a).
 109
 110 notation "ϵ" non associative with precedence 90 for @{ 'epsilon }.
 111 interpretation "epsilon" 'epsilon = (e ?).
 112
 113 notation "0" non associative with precedence 90 for @{ 'empty_r }.
 114 interpretation "empty" 'empty_r = (z ?).
 115
 116 notation > "'lang' S" non associative with precedence 90 for @{ Ω^(list $S) }.
 117 notation > "'Elang' S" non associative with precedence 90 for @{ 𝛀^(LIST $S) }.
 118
 119 (* setoid support for re *)
 120
 121 nlet rec eq_re (S:Alpha) (a,b : re S) on a : CProp[0] ≝
 122   match a with
 123   [ z ⇒ match b with [ z ⇒ True | _ ⇒ False]
 124   | e ⇒ match b with [ e ⇒ True | _ ⇒ False]
 125   | s x ⇒ match b with [ s y ⇒ x = y | _ ⇒ False]
 126   | c r1 r2 ⇒ match b with [ c s1 s2 ⇒ eq_re ? r1 s1 ∧ eq_re ? r2 s2 | _ ⇒ False]
 127   | o r1 r2 ⇒ match b with [ o s1 s2  ⇒ eq_re ? r1 s1 ∧ eq_re ? r2 s2 | _ ⇒ False]
 128   | k r1 ⇒ match b with [ k r2 ⇒ eq_re ? r1 r2 | _ ⇒ False]].
 129
 130 interpretation "eq_re" 'eq_low a b = (eq_re ? a b).
 131
 132 ndefinition RE : Alpha → setoid.
 133 #A; @(re A); @(eq_re A);
 134 ##[ #p; nelim p; /2/;
 135 ##| #p1; nelim p1; ##[##1,2: #p2; ncases p2; /2/;
 136     ##|##2,3: #x p2; ncases p2; /2/;
 137     ##|##4,5: #e1 e2 H1 H2 p2; ncases p2; /3/; #e3 e4; *; #; @; /2/;
 138     ##|#r H p2; ncases p2; /2/;##]
 139 ##| #p1; nelim p1;
 140     ##[ ##1,2: #y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize; #; ncases (?:False); //;
 141     ##| ##3: #a; #y z; ncases y; ncases z; /2/; nnormalize; #; ncases (?:False); //;
 142     ##| ##4,5: #r1 r2 H1 H2 y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize;
 143         ##[##1,3,4,5,6,8: #; ncases (?:False); //;##]
 144         #r1 r2 r3 r4; nnormalize; *; #H1 H2; *; #H3 H4; /3/;
 145     ##| #r H y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize; ##[##1,2,3: #; ncases (?:False); //]
 146         #r2 r3; /3/; ##]##]
 147 nqed.
 148
 149 unification hint 0 ≔ A : Alpha;
 150   S ≟ acarr A,
 151   T ≟ carr S,
 152   P1 ≟ refl ? (eq0 (RE A)),
 153   P2 ≟ sym ? (eq0 (RE A)),
 154   P3 ≟ trans ? (eq0 (RE A)),
 155   X ≟ mk_setoid (re T) (mk_equivalence_relation ? (eq_re A) P1 P2 P3)
 156 (*-----------------------------------------------------------------------*) ⊢
 157      carr X ≡ re T.
 158
 159 unification hint 0 ≔ A:Alpha, a,b:re (carr (acarr A));
 160    R ≟ eq0 (RE A),
 161    L ≟ re (carr (acarr A))
 162 (* -------------------------------------------- *) ⊢
 163    eq_re A a b ≡ eq_rel L R a b.
 164
 165 nlemma c_is_morph : ∀A:Alpha.(re A) ⇒_0 (re A) ⇒_0 (re A).
 166 #A; napply (mk_binary_morphism … (λs1,s2:re A. s1 · s2));
 167 #a; nelim a;
 168 ##[##1,2: #a' b b'; ncases a'; nnormalize; /2/ by conj;
 169 ##|#x a' b b'; ncases a'; /2/ by conj;
 170 ##|##4,5: #r1 r2 IH1 IH2 a'; ncases a'; nnormalize; /2/ by conj;
 171 ##|#r IH a'; ncases a'; nnormalize; /2/ by conj; ##]
 172 nqed.
 173
 174 (* XXX This is the good format for hints about morphisms, fix the others *)
 175 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type0".
 176 unification hint 0 ≔ S:Alpha, A,B:re (carr (acarr S));
 177     SS ≟ carr (acarr S),
 178     MM ≟ mk_unary_morphism ?? (λA.
 179            mk_unary_morphism ??
 180              (λB.A · B) (prop1 ?? (fun1 ?? (c_is_morph S) A)))
 181            (prop1 ?? (c_is_morph S)),
 182     T ≟ RE S
 183 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 184    fun1 T T (fun1 T (unary_morph_setoid T T) MM A) B ≡ c SS A B.
 185
 186 nlemma o_is_morph : ∀A:Alpha.(re A) ⇒_0 (re A) ⇒_0 (re A).
 187 #A; napply (mk_binary_morphism … (λs1,s2:re A. s1 + s2));
 188 #a; nelim a;
 189 ##[##1,2: #a' b b'; ncases a'; nnormalize; /2/ by conj;
 190 ##|#x a' b b'; ncases a'; /2/ by conj;
 191 ##|##4,5: #r1 r2 IH1 IH2 a'; ncases a'; nnormalize; /2/ by conj;
 192 ##|#r IH a'; ncases a'; nnormalize; /2/ by conj; ##]
 193 nqed.
 194
 195 unification hint 0 ≔ S:Alpha, A,B:re (carr (acarr S));
 196     SS ≟ carr (acarr S),
 197     MM ≟ mk_unary_morphism ?? (λA.
 198            mk_unary_morphism ??
 199              (λB.A + B) (prop1 ?? (fun1 ?? (o_is_morph S) A)))
 200            (prop1 ?? (o_is_morph S)),
 201     T ≟ RE S
 202 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 203    fun1 T T (fun1 T (unary_morph_setoid T T) MM A) B ≡ o SS A B.
 204
 205 (* end setoids support for re *)
 206
 207 nlet rec conjunct S (l : list (list S)) (L : lang S) on l: CProp[0] ≝
 208 match l with [ nil ⇒ True | cons w tl ⇒ w ∈ L ∧ conjunct ? tl L ].
 209
 210 interpretation "subset construction with type" 'comprehension t \eta.x =
 211   (mk_powerclass t x).
 212
 213 ndefinition cat : ∀A:setoid.∀l1,l2:lang A.lang A ≝
 214   λS.λl1,l2.{ w ∈ list S | ∃w1,w2.w =_0 w1 @ w2 ∧ w1 ∈ l1 ∧ w2 ∈ l2}.
 215 interpretation "cat lang" 'pc a b = (cat ? a b).
 216
 217 (* hints for cat *)
 218 nlemma cat_is_morph : ∀A:setoid. (lang A) ⇒_1 (lang A) ⇒_1 (lang A).
 219 #X; napply (mk_binary_morphism1 … (λA,B:lang X.A · B));
 220 #A1 A2 B1 B2 EA EB; napply ext_set; #x;
 221 ncut (∀y,x:list X.(x ∈ B1) =_1 (x ∈ B2)); ##[
 222   #_; #y; ncases EA; ncases EB; #h1 h2 h3 h4; @; ##[ napply h1 | napply h2] ##] #YY;
 223 ncut (∀x,y:list X.(x ∈ A1) =_1 (x ∈ A2)); ##[
 224   #y; #y; ncases EA; ncases EB; #h1 h2 h3 h4; @; ##[ napply h3 | napply h4] ##] #XX;
 225 napply (.=_1 (∑w1, w2. XX w1 w2/ E ; (# ╪_1 E) ╪_1 #));
 226 napply (.=_1 (∑w1, w2. YY w1 w2/ E ; # ╪_1 E)); //;
 227 nqed.
 228
 229 nlemma cat_is_ext: ∀A:setoid. (Elang A) → (Elang A) → (Elang A).
 230  #S A B; @ (ext_carr … A · ext_carr … B); (* XXX coercion ext_carr che non funge *)
 231 #x y Exy;
 232 ncut (∀w1,w2.(x == w1@w2) = (y == w1@w2)); ##[
 233   #w1 w2; @; #H; ##[ napply (.= Exy^-1) | napply (.= Exy)] // ]
 234 #E; @; #H;
 235 ##[ napply (. (∑w1,w2. (E w1 w2)^-1 / E ; (E ╪_1 #) ╪_1 #)); napply H;
 236 ##| napply (. (∑w1,w2. E w1 w2 / E ; (E ╪_1 #) ╪_1 #)); napply H ]
 237 nqed.
 238
 239 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 240 unification hint 0 ≔ A : setoid, B,C : Elang A;
 241    AA ≟ LIST A,
 242    BB ≟ ext_carr AA B,
 243    CC ≟ ext_carr AA C,
 244    R ≟ mk_ext_powerclass AA
 245          (cat A (ext_carr AA B) (ext_carr AA C))
 246          (ext_prop AA (cat_is_ext A B C))
 247 (*----------------------------------------------------------*)  ⊢
 248     ext_carr AA R ≡ cat A BB CC.
 249
 250 unification hint 0 ≔ S:setoid, A,B:lang (carr S);
 251     T ≟ powerclass_setoid (list (carr S)),
 252     MM ≟ mk_unary_morphism1 T (unary_morphism1_setoid1 T T)
 253           (λA:lang (carr S).
 254              mk_unary_morphism1 T T
 255                (λB:lang (carr S).cat S A B)
 256                (prop11 T T (fun11 ?? (cat_is_morph S) A)))
 257           (prop11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) (cat_is_morph S))
 258 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 259    fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) MM A) B ≡ cat S A B.
 260
 261 nlemma cat_is_ext_morph:∀A:setoid.(Elang A) ⇒_1 (Elang A) ⇒_1 (Elang A).
 262 #A; napply (mk_binary_morphism1 …  (cat_is_ext …));
 263 #x1 x2 y1 y2 Ex Ey; napply (prop11 … (cat_is_morph A)); nassumption.
 264 nqed.
 265
 266 unification hint 1 ≔ AA : setoid, B,C : Elang AA;
 267   AAS ≟ LIST AA,
 268   T ≟ ext_powerclass_setoid AAS,
 269   R ≟ mk_unary_morphism1 T (unary_morphism1_setoid1 T T) (λX:Elang AA.
 270            mk_unary_morphism1 T T (λY:Elang AA.
 271              mk_ext_powerclass AAS
 272                (cat AA (ext_carr ? X) (ext_carr ? Y))
 273                (ext_prop AAS (cat_is_ext AA X Y)))
 274              (prop11 T T (fun11 ?? (cat_is_ext_morph AA) X)))
 275            (prop11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) (cat_is_ext_morph AA)),
 276    BB ≟ ext_carr ? B,
 277    CC ≟ ext_carr ? C
 278 (*------------------------------------------------------*) ⊢
 279    ext_carr AAS (fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) R B) C) ≡ cat AA BB CC.
 280
 281 (* end hints for cat *)
 282
 283 ndefinition star : ∀A:setoid.∀l:lang A.lang A ≝
 284   λS.λl.{ w ∈ list S | ∃lw.flatten ? lw = w ∧ conjunct ? lw l}.
 285 interpretation "star lang" 'pk l = (star ? l).
 286
 287 (* hints for star *)
 288 nlemma star_is_morph : ∀A:setoid. (lang A) ⇒_1 (lang A).
 289 #X; @(λA:lang X.A^* ); #a1 a2 E; @; #x; *; #wl; *; #defx Px; @wl; @; //;
 290 nelim wl in Px; //; #s tl IH; *; #a1s a1tl; /4/; nqed.
 291
 292 nlemma star_is_ext: ∀A:setoid. (Elang A) → (Elang A).
 293  #S A; @ ((ext_carr … A) ^* ); #w1 w2 E; @; *; #wl; *; #defw1 Pwl;
 294  @wl; @; //; napply (.=_0 defw1); /2/; nqed.
 295
 296 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 297 unification hint 0 ≔ A : setoid, B :  Elang A;
 298    AA ≟ LIST A,
 299    BB ≟ ext_carr AA B,
 300    R ≟ mk_ext_powerclass ?
 301          ((ext_carr ? B)^* ) (ext_prop ? (star_is_ext ? B))
 302 (*--------------------------------------------------------------------*)  ⊢
 303     ext_carr AA R ≡ star A BB.
 304
 305 unification hint 0 ≔ S:setoid, A:lang (carr S);
 306     T ≟ powerclass_setoid (list (carr S)),
 307     MM ≟ mk_unary_morphism1 T T
 308                (λB:lang (carr S).star S B) (prop11 T T (star_is_morph S))
 309 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 310    fun11 T T MM A ≡ star S A.
 311
 312 nlemma star_is_ext_morph:∀A:setoid.(Elang A) ⇒_1 (Elang A).
 313 #A; @(star_is_ext …);
 314 #x1 x2 Ex; napply (prop11 … (star_is_morph A)); nassumption.
 315 nqed.
 316
 317 unification hint 1 ≔ AA : setoid, B : Elang AA;
 318   AAS ≟ LIST AA,
 319   T ≟ ext_powerclass_setoid AAS,
 320   R ≟ mk_unary_morphism1 T T
 321             (λS:Elang AA.
 322               mk_ext_powerclass AAS (star AA (ext_carr ? S))
 323                 (ext_prop AAS (star_is_ext AA S)))
 324             (prop11 T T (star_is_ext_morph AA)),
 325    BB ≟ ext_carr ? B
 326 (*------------------------------------------------------*) ⊢
 327    ext_carr AAS (fun11 T T R B) ≡ star AA BB.
 328
 329 (* end hints for star *)
 330
 331 notation > "𝐋 term 70 E" non associative with precedence 75 for @{L_re ? $E}.
 332 nlet rec L_re (S : Alpha) (r : re S) on r : lang S ≝
 333 match r with
 334 [ z ⇒ ∅
 335 | e ⇒ { [ ] }
 336 | s x ⇒ { [x] }
 337 | c r1 r2 ⇒ 𝐋 r1 · 𝐋 r2
 338 | o r1 r2 ⇒  𝐋 r1 ∪ 𝐋 r2
 339 | k r1 ⇒ (𝐋 r1) ^*].
 340 notation "𝐋 term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_re $E}.
 341 interpretation "in_l" 'L_re E = (L_re ? E).
 342
 343 (* support for 𝐋 as an extensional set *)
 344 ndefinition L_re_is_ext : ∀S:Alpha.∀r:re S.Elang S.
 345 #S r; @(𝐋 r); #w1 w2 E; nelim r;
 346 ##[ ##1,2: /2/; @; #defw1; napply (.=_0 (defw1 : [ ] = ?)); //; napply (?^-1); //;
 347 ##| #x; @; #defw1; napply (.=_0 (defw1 : [x] = ?)); //; napply (?^-1); //;
 348 ##| #e1 e2 H1 H2; (* not shure I shoud Inline *)
 349     @; *; #s1; *; #s2; *; *; #defw1 s1L1 s2L2;
 350     ##[ nlapply (trans … E^-1 defw1); #defw2;
 351     ##| nlapply (trans … E defw1); #defw2; ##] @s1; @s2; /3/;
 352 ##| #e1 e2 H1 H2; napply (H1‡H2); (* good! *)
 353 ##| #e H; @; *; #l; *; #defw1 Pl; @l; @; //; napply (.=_1 defw1); /2/; ##]
 354 nqed.
 355
 356 unification hint 0 ≔ S : Alpha,e : re (carr (acarr S));
 357   SS ≟ LIST (acarr S),
 358   X ≟ mk_ext_powerclass SS (𝐋 e) (ext_prop SS (L_re_is_ext S e))
 359 (*-----------------------------------------------------------------*)⊢
 360   ext_carr SS X ≡ L_re S e.
 361
 362 nlemma L_re_is_morph:∀A:Alpha.(setoid1_of_setoid (re A)) ⇒_1 Ω^(list A).
 363 #A; @; ##[ napply (λr:re A.𝐋 r); ##] #r1; nelim r1;
 364 ##[##1,2: #r2; ncases r2; //; ##[##1,6: *|##2,7,5,12,10: #a; *|##3,4,8,9: #a1 a2; *]
 365 ##|#x r2; ncases r2; ##[##1,2: *|##4,5: #a1 a2; *|##6: #a; *] #y E; @; #z defz;
 366    ncases z in defz; ##[##1,3: *] #zh ztl; ncases ztl; ##[##2,4: #d dl; *; #_; *]
 367    *; #defx; #_; @; //; napply (?^-1); napply (.= defx^-1); //; napply (?^-1); //;
 368 ##|#e1 e2 IH1 IH2 r2; ncases r2; ##[##1,2: *|##5: #a1 a2; *|##3,6: #a1; *]
 369    #f1 f2; *; #E1 E2; nlapply (IH2 … E2); nlapply (IH1 … E1); #H1 H2;
 370    nchange in match (𝐋 (e1 · e2)) with (?·?);
 371    napply (.=_1 (H1 ╪_1 H2)); //;
 372 ##|#e1 e2 IH1 IH2 r2; ncases r2; ##[##1,2: *|##4: #a1 a2; *|##3,6: #a1; *]
 373    #f1 f2; *; #E1 E2; nlapply (IH2 … E2); nlapply (IH1 … E1); #H1 H2;
 374    napply (.=_1 H1╪_1H2); //;
 375 ##|#r IH r2; ncases r2; ##[##1,2: *|##4,5: #a1 a2; *|##3: #a1; *]
 376    #e; #defe; nlapply (IH e defe); #H;
 377    @; #x; *; #wl; *; #defx Px; @wl; @; //; nelim wl in Px; //; #l ls IH; *; #lr Pr;
 378    ##[ nlapply (ifs' … H … lr) | nlapply (ifs' … H^-1 … lr) ] #le;
 379    @; ##[##1,3: nassumption] /2/; ##]
 380 nqed.
 381
 382 unification hint 0 ≔ A:Alpha, a:re (carr (acarr A));
 383   T ≟ setoid1_of_setoid (RE A),
 384   T2 ≟ powerclass_setoid (list (carr (acarr A))),
 385   MM ≟ mk_unary_morphism1 ??
 386          (λa:carr1 (setoid1_of_setoid (RE A)).𝐋 a) (prop11 ?? (L_re_is_morph A))
 387 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 388    fun11 T T2 MM a ≡  L_re A a.
 389
 390 nlemma L_re_is_ext_morph:∀A:Alpha.(setoid1_of_setoid (re A)) ⇒_1 𝛀^(list A).
 391 #A; @; ##[ #a; napply (L_re_is_ext ? a); ##] #a b E;
 392 ncut (𝐋 b =  𝐋 a); ##[ napply (.=_1 (┼_1 E^-1)); // ] #EL;
 393 @; #x H; nchange in H ⊢ % with (x ∈ 𝐋 ?);
 394 ##[ napply (. (# ╪_1 ?)); ##[##3: napply H |##2: ##skip ] napply EL;
 395 ##| napply (. (# ╪_1 ?)); ##[##3: napply H |##2: ##skip ] napply (EL^-1)]
 396 nqed.
 397
 398 unification hint 1 ≔  AA : Alpha, a: re (carr (acarr AA));
 399   T ≟ RE AA, T1 ≟ LIST (acarr AA), T2 ≟ setoid1_of_setoid T,
 400   TT ≟ ext_powerclass_setoid T1,
 401   R ≟ mk_unary_morphism1 T2 TT
 402        (λa:carr1 (setoid1_of_setoid T).
 403          mk_ext_powerclass T1 (𝐋 a) (ext_prop T1 (L_re_is_ext AA a)))
 404             (prop11 T2 TT (L_re_is_ext_morph AA))
 405 (*------------------------------------------------------*) ⊢
 406    ext_carr T1 (fun11 (setoid1_of_setoid T) TT R a) ≡ L_re AA a.
 407
 408 (* end support for 𝐋 as an extensional set *)
 409
 410 ninductive pitem (S: Type[0]) : Type[0] ≝
 411    pz: pitem S
 412  | pe: pitem S
 413  | ps: S → pitem S
 414  | pp: S → pitem S
 415  | pc: pitem S → pitem S → pitem S
 416  | po: pitem S → pitem S → pitem S
 417  | pk: pitem S → pitem S.
 418
 419 interpretation "pstar" 'pk a = (pk ? a).
 420 interpretation "por" 'plus a b = (po ? a b).
 421 interpretation "pcat" 'pc a b = (pc ? a b).
 422 notation < ".a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 423 notation > "`. term 90 a" non associative with precedence 90 for @{ 'pp $a}.
 424 interpretation "ppatom" 'pp a = (pp ? a).
 425 (* to get rid of \middot *)
 426 ncoercion pc : ∀S.∀p:pitem S. pitem S → pitem S  ≝ pc on _p : pitem ? to ∀_:?.?.
 427 interpretation "patom" 'ps a = (ps ? a).
 428 interpretation "pepsilon" 'epsilon = (pe ?).
 429 interpretation "pempty" 'empty_r = (pz ?).
 430
 431 (* setoids for pitem *)
 432 nlet rec eq_pitem  (S : Alpha) (p1, p2 : pitem S) on p1 : CProp[0] ≝
 433  match p1 with
 434  [ pz ⇒ match p2 with [ pz ⇒ True | _ ⇒ False]
 435  | pe ⇒ match p2 with [ pe ⇒ True | _ ⇒ False]
 436  | ps x ⇒ match p2 with [ ps y ⇒ x = y | _ ⇒ False]
 437  | pp x ⇒ match p2 with [ pp y ⇒ x = y | _ ⇒ False]
 438  | pc a1 a2 ⇒ match p2 with [ pc b1 b2 ⇒ eq_pitem ? a1 b1 ∧ eq_pitem ? a2 b2| _ ⇒ False]
 439  | po a1 a2 ⇒ match p2 with [ po b1 b2 ⇒ eq_pitem ? a1 b1 ∧ eq_pitem ? a2 b2| _ ⇒ False]
 440  | pk a ⇒ match p2 with [ pk b ⇒ eq_pitem ? a b | _ ⇒ False]].
 441
 442 interpretation "eq_pitem" 'eq_low a b = (eq_pitem ? a b).
 443
 444 nlemma PITEM : ∀S:Alpha.setoid.
 445 #S; @(pitem S); @(eq_pitem …);
 446 ##[ #p; nelim p; //; nnormalize; #; @; //;
 447 ##| #p; nelim p; ##[##1,2: #y; ncases y; //; ##|##3,4: #x y; ncases y; //; #; napply (?^-1); nassumption;
 448     ##|##5,6: #r1 r2 H1 H2 p2; ncases p2; //; #s1 s2; nnormalize; *; #; @; /2/;
 449     ##| #r H y; ncases y; //; nnormalize; /2/;##]
 450 ##| #x; nelim x;
 451     ##[ ##1,2: #y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize; #; ncases (?:False); //;
 452     ##| ##3,4: #a; #y z; ncases y; ncases z; /2/; nnormalize; #; ncases (?:False); //;
 453     ##| ##5,6: #r1 r2 H1 H2 y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize;
 454         ##[##1,2,5,6,7,8,4,10: #; ncases (?:False); //;##]
 455         #r1 r2 r3 r4; nnormalize; *; #H1 H2; *; #H3 H4; /3/;
 456     ##| #r H y z; ncases y; ncases z; //; nnormalize; ##[##1,2,3,4: #; ncases (?:False); //]
 457         #r2 r3; /3/; ##]##]
 458 nqed.
 459
 460 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
 461 unification hint 0 ≔ SS:Alpha;
 462     S ≟ acarr SS,
 463     A ≟ carr S,
 464     P1 ≟ refl ? (eq0 (PITEM SS)),
 465     P2 ≟ sym ? (eq0 (PITEM SS)),
 466     P3 ≟ trans ? (eq0 (PITEM SS)),
 467     R ≟ mk_setoid (pitem (carr S))
 468          (mk_equivalence_relation (pitem A) (eq_pitem SS) P1 P2 P3)
 469 (*-----------------------------------------------------------------*)⊢
 470     carr R ≡ pitem A.
 471
 472 unification hint 0 ≔ S:Alpha,a,b:pitem (carr (acarr S));
 473    R ≟ PITEM S,  L ≟ pitem (carr (acarr S))
 474 (* -------------------------------------------- *) ⊢
 475    eq_pitem S a b ≡ eq_rel L (eq0 R) a b.
 476
 477 (* end setoids for pitem *)
 478
 479 ndefinition pre ≝ λS.pitem S × bool.
 480
 481 notation "\fst term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'fst $x}.
 482 interpretation "fst" 'fst x = (fst ? ? x).
 483 notation > "\snd term 90 x" non associative with precedence 90 for @{'snd $x}.
 484 interpretation "snd" 'snd x = (snd ? ? x).
 485
 486 notation > "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{forget ? $e}.
 487 nlet rec forget (S: Alpha) (l : pitem S) on l: re S ≝
 488  match l with
 489   [ pz ⇒ 0
 490   | pe ⇒ ϵ
 491   | ps x ⇒ `x
 492   | pp x ⇒ `x
 493   | pc E1 E2 ⇒ (|E1| · |E2|)
 494   | po E1 E2 ⇒ (|E1| + |E2|)
 495   | pk E ⇒ |E|^* ].
 496
 497 notation < "|term 19 e|" non associative with precedence 70 for @{'forget $e}.
 498 interpretation "forget" 'forget a = (forget ? a).
 499
 500 notation > "𝐋\p\ term 70 E" non associative with precedence 75 for @{L_pi ? $E}.
 501 nlet rec L_pi (S : Alpha) (r : pitem S) on r : lang S ≝
 502 match r with
 503 [ pz ⇒ ∅
 504 | pe ⇒ ∅
 505 | ps _ ⇒ ∅
 506 | pp x ⇒ { [x] }
 507 | pc r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 |r2| ∪ 𝐋\p\ r2
 508 | po r1 r2 ⇒ 𝐋\p\ r1 ∪ 𝐋\p\ r2
 509 | pk r1 ⇒ 𝐋\p\ r1 · 𝐋 (|r1|^* ) ].
 510 notation > "𝐋\p term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_pi $E}.
 511 notation "𝐋\sub(\p) term 70 E" non associative with precedence 75 for @{'L_pi $E}.
 512 interpretation "in_pl" 'L_pi E = (L_pi ? E).
 513
 514 (* set support for 𝐋\p *)
 515 ndefinition L_pi_ext : ∀S:Alpha.∀r:pitem S.Elang S.
 516 #S r; @(𝐋\p r); #w1 w2 E; nelim r;
 517 ##[ ##1,2: /2/;
 518 ##| #x; @; *;
 519 ##| #x; @; #H; nchange in H with ([?] =_0 ?); ##[ napply ((.=_0 H) E); ##]
 520     napply ((.=_0 H) E^-1);
 521 ##| #e1 e2 H1 H2;
 522     napply (.= (#‡H2));
 523     ncut (∀x1,x2. (w1 = (x1@x2)) = (w2 = (x1@x2)));##[
 524       #x1 x2; @; #X; ##[ napply ((.= E^-1) X) | napply ((.= E) X) ] ##] #X;
 525     napply ((∑w1,w2. X w1 w2 / H ; (H╪_1#)╪_1#) ╪_1 #);
 526 ##| #e1 e2 H1 H2; napply (H1‡H2);
 527 ##| #e H;
 528     ncut (∀x1,x2.(w1 = (x1@x2)) = (w2 = (x1@x2)));##[
 529       #x1 x2; @; #X; ##[ napply ((.= E^-1) X) | napply ((.= E) X) ] ##] #X;
 530     napply (∑w1,w2. X w1 w2 / H ; (H╪_1#)╪_1#);
 531 ##]
 532 nqed.
 533
 534 unification hint 0 ≔ S : Alpha,e : pitem (carr (acarr S));
 535   SS ≟ LIST (acarr S),
 536   X ≟ mk_ext_powerclass SS (𝐋\p e) (ext_prop SS (L_pi_ext S e))
 537 (*-----------------------------------------------------------------*)⊢
 538   ext_carr SS X ≡ 𝐋\p e.
 539
 540 (* end set support for 𝐋\p *)
 541
 542 ndefinition epsilon ≝
 543   λS:Alpha.λb.match b return λ_.lang S with [ true ⇒ { [ ] } | _ ⇒ ∅ ].
 544
 545 interpretation "epsilon" 'epsilon = (epsilon ?).
 546 notation < "ϵ b" non associative with precedence 90 for @{'app_epsilon $b}.
 547 interpretation "epsilon lang" 'app_epsilon b = (epsilon ? b).
 548
 549 (* hints for epsilon *)
 550 nlemma epsilon_is_morph : ∀A:Alpha. (setoid1_of_setoid bool) ⇒_1 (lang A).
 551 #X; @; ##[#b; napply(ϵ b)] #a1 a2; ncases a1; ncases a2; //; *; nqed.
 552
 553 nlemma epsilon_is_ext: ∀A:Alpha. (setoid1_of_setoid bool) → (Elang A).
 554  #S b; @(ϵ b); #w1 w2 E; ncases b; @; ##[##3,4:*]
 555 nchange in match (w1 ∈ ϵ true) with ([] =_0 w1);
 556 nchange in match (w2 ∈ ϵ true) with ([] =_0 w2); #H; napply (.= H); /2/;
 557 nqed.
 558
 559 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 560 unification hint 0 ≔ A : Alpha, B :  bool;
 561    AA ≟ LIST (acarr A),
 562    R ≟ mk_ext_powerclass ?
 563          (ϵ B) (ext_prop ? (epsilon_is_ext ? B))
 564 (*--------------------------------------------------------------------*)  ⊢
 565     ext_carr AA R ≡ epsilon A B.
 566
 567 unification hint 0 ≔ S:Alpha, A:bool;
 568     B ≟ setoid1_of_setoid BOOL,
 569     T ≟ powerclass_setoid (list (carr (acarr S))),
 570     MM ≟ mk_unary_morphism1 B T
 571                (λB.ϵ B) (prop11 B T (epsilon_is_morph S))
 572 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 573    fun11 B T MM A ≡ epsilon S A.
 574
 575 nlemma epsilon_is_ext_morph:∀A:Alpha. (setoid1_of_setoid bool) ⇒_1 (Elang A).
 576 #A; @(epsilon_is_ext …);
 577 #x1 x2 Ex; napply (prop11 … (epsilon_is_morph A)); nassumption.
 578 nqed.
 579
 580 unification hint 1 ≔ AA : Alpha, B : bool;
 581   AAS ≟ LIST (acarr AA),
 582   BB ≟ setoid1_of_setoid BOOL,
 583   T ≟ ext_powerclass_setoid AAS,
 584   R ≟ mk_unary_morphism1 BB T
 585             (λS.
 586               mk_ext_powerclass AAS (epsilon AA S)
 587                 (ext_prop AAS (epsilon_is_ext AA S)))
 588             (prop11 BB T (epsilon_is_ext_morph AA))
 589 (*------------------------------------------------------*) ⊢
 590    ext_carr AAS (fun11 BB T R B) ≡ epsilon AA B.
 591
 592 (* end hints for epsilon *)
 593
 594 ndefinition L_pr ≝ λS : Alpha.λp:pre S.  𝐋\p\ (\fst p) ∪ ϵ (\snd p).
 595
 596 interpretation "L_pr" 'L_pi E = (L_pr ? E).
 597
 598 nlemma append_eq_nil : ∀S:setoid.∀w1,w2:list S. [ ] = w1 @ w2 → w1 = [ ].
 599 #S w1; ncases w1; //. nqed.
 600
 601 (* lemma 12 *) (* XXX: a case where Leibnitz equality could be exploited for H *)
 602 nlemma epsilon_in_true : ∀S:Alpha.∀e:pre S. [ ] ∈ 𝐋\p e = (\snd e = true).
 603 #S r; ncases r; #e b; @; ##[##2: #H; ncases b in H; ##[##2:*] #; @2; /2/; ##]
 604 ncases b; //; *; ##[##2:*] nelim e;
 605 ##[ ##1,2: *; ##| #c; *; ##| #c; *| ##7: #p H;
 606 ##| #r1 r2 H G; *; ##[##2: nassumption; ##]
 607 ##| #r1 r2 H1 H2; *; /2/ by {}]
 608 *; #w1; *; #w2; *; *;
 609 ##[ #defw1 H1 foo; napply H;
 610     napply (. (append_eq_nil ? ?? defw1)^-1╪_1#);
 611     nassumption;
 612 ##| #defw1 H1 foo; napply H;
 613     napply (. (append_eq_nil ? ?? defw1)^-1╪_1#);
 614     nassumption;
 615 ##]
 616 nqed.
 617
 618 nlemma not_epsilon_lp : ∀S:Alpha.∀e:pitem S. ¬ ([ ] ∈ (𝐋\p e)).
 619 #S e; nelim e; ##[##1,2,3,4: nnormalize;/2/]
 620 ##[ #p1 p2 np1 np2; *; ##[##2: napply np2] *; #w1; *; #w2; *; *; #abs;
 621     nlapply (append_eq_nil ??? abs); # defw1; #; napply np1;
 622     napply (. defw1^-1╪_1#);
 623     nassumption;
 624 ##| #p1 p2 np1 np2; *; nchange with (¬?); //;
 625 ##| #r n; *; #w1; *; #w2; *; *; #abs; #; napply n;
 626     nlapply (append_eq_nil ??? abs); # defw1; #;
 627     napply (. defw1^-1╪_1#);
 628     nassumption;##]
 629 nqed.
 630
 631 ndefinition lo ≝ λS:Alpha.λa,b:pre S.〈\fst a + \fst b,\snd a || \snd b〉.
 632 notation "a ⊕ b" left associative with precedence 65 for @{'oplus $a $b}.
 633 interpretation "oplus" 'oplus a b = (lo ? a b).
 634
 635 ndefinition lc ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa,b:pre S.
 636    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 637    match b1 with
 638    [ false ⇒ 〈e1 · \fst b, \snd b〉
 639    | true ⇒ 〈e1 · \fst (bcast ? (\fst b)),\snd b || \snd (bcast ? (\fst b))〉]].
 640
 641 notation < "a ⊙ b" left associative with precedence 65 for @{'lc $op $a $b}.
 642 interpretation "lc" 'lc op a b = (lc ? op a b).
 643 notation > "a ⊙ b" left associative with precedence 65 for @{'lc eclose $a $b}.
 644
 645 ndefinition lk ≝ λS:Alpha.λbcast:∀S:Alpha.∀E:pitem S.pre S.λa:pre S.
 646    match a with [ mk_pair e1 b1 ⇒
 647    match b1 with
 648    [ false ⇒ 〈e1^*, false〉
 649    | true ⇒ 〈(\fst (bcast ? e1))^*, true〉]].
 650
 651 notation < "a \sup ⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $op $a}.
 652 interpretation "lk" 'lk op a = (lk ? op a).
 653 notation > "a ^ ⊛" non associative with precedence 75 for @{'lk eclose $a}.
 654
 655 notation > "•" non associative with precedence 65 for @{eclose ?}.
 656 nlet rec eclose (S: Alpha) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 657  match E with
 658   [ pz ⇒ 〈 0, false 〉
 659   | pe ⇒ 〈 ϵ,  true 〉
 660   | ps x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 661   | pp x ⇒ 〈 `.x, false 〉
 662   | po E1 E2 ⇒ •E1 ⊕ •E2
 663   | pc E1 E2 ⇒ •E1 ⊙ 〈 E2, false 〉
 664   | pk E ⇒ 〈(\fst (•E))^*,true〉].
 665 notation < "• x" non associative with precedence 65 for @{'eclose $x}.
 666 interpretation "eclose" 'eclose x = (eclose ? x).
 667 notation > "• x" non associative with precedence 65 for @{'eclose $x}.
 668
 669 ndefinition reclose ≝ λS:Alpha.λp:pre S.let p' ≝ •\fst p in 〈\fst p',\snd p || \snd p'〉.
 670 interpretation "reclose" 'eclose x = (reclose ? x).
 671
 672 nlemma epsilon_or : ∀S:Alpha.∀b1,b2. ϵ(b1 || b2) = ϵ b1 ∪ ϵ b2. ##[##2: napply S]
 673 #S b1 b2; ncases b1; ncases b2;
 674 nchange in match (true || true) with true;
 675 nchange in match (true || false) with true;
 676 nchange in match (ϵ true) with {[]};
 677 nchange in match (ϵ false) with ∅;
 678 ##[##1,4: napply ((cupID…)^-1);
 679 ##| napply ((cup0 ? {[]})^-1);
 680 ##| napply (.= (cup0 ? {[]})^-1); napply cupC; ##]
 681 nqed.
 682
 683 (* theorem 16: 2 *)
 684 nlemma oplus_cup : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pre S.𝐋\p (e1 ⊕ e2) = 𝐋\p e1 ∪ 𝐋\p e2.
 685 #S r1; ncases r1; #e1 b1 r2; ncases r2; #e2 b2;
 686 napply (.=_1 #╪_1 (epsilon_or ???));
 687 napply (.=_1 (cupA…)^-1);
 688 napply (.=_1 (cupA…)╪_1#);
 689 napply (.=_1 (#╪_1(cupC…))╪_1#);
 690 napply (.=_1 (cupA…)^-1╪_1#);
 691 napply (.=_1 (cupA…));
 692 //;
 693 nqed.
 694
 695
 696 (* XXX problem: auto does not find # (refl) when it has a concrete == *)
 697 nlemma odotEt : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pitem S.∀b2:bool.
 698   〈e1,true〉 ⊙ 〈e2,b2〉 = 〈e1 · \fst (•e2),b2 || \snd (•e2)〉.
 699 #S e1 e2 b2; ncases b2; @; /3/ by refl, conj, I; nqed.
 700
 701 (*
 702 nlemma LcatE : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pitem S.
 703   𝐋\p (e1 · e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋  |e2| ∪ 𝐋\p e2. //; nqed.
 704 *)
 705
 706 nlemma cup_dotD : ∀S:Alpha.∀p,q,r:lang S.(p ∪ q) · r = (p · r) ∪ (q · r).
 707 #S p q r; napply ext_set; #w; nnormalize; @;
 708 ##[ *; #x; *; #y; *; *; #defw; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj;
 709 ##| *; *; #x; *; #y; *; *; /7/ by or_introl, or_intror, ex_intro, conj; ##]
 710 nqed.
 711
 712
 713 nlemma erase_dot : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pitem S.𝐋 |e1 · e2| =  𝐋 |e1| · 𝐋 |e2|.
 714 #S e1 e2; napply ext_set; nnormalize; #w; @; *; #w1; *; #w2; *; *; /7/ by ex_intro, conj;
 715 nqed.
 716
 717 nlemma erase_plus : ∀S:Alpha.∀e1,e2:pitem S.𝐋 |e1 + e2| =  𝐋 |e1| ∪ 𝐋 |e2|.
 718 #S e1 e2; napply ext_set; nnormalize; #w; @; *; /4/ by or_introl, or_intror; nqed.
 719
 720 nlemma erase_star : ∀S:Alpha.∀e1:pitem S.𝐋 |e1|^* = 𝐋 |e1^*|. //; nqed.
 721
 722 nlemma mem_single : ∀S:setoid.∀a,b:S. a ∈ {(b)} → a = b.
 723 #S a b; nnormalize; /2/; nqed.
 724
 725 nlemma cup_sub: ∀S.∀A,B:𝛀^S.∀x. ¬ (x ∈ A) → A ∪ (B - {(x)}) = (A ∪ B) - {(x)}.
 726 #S A B x H; napply ext_set; #w; @;
 727 ##[ *; ##[ #wa; @; ##[@;//] #H2; napply H; napply (. (mem_single ??? H2)^-1╪_1#); //]
 728     *; #wb nwn; @; ##[@2;//] //;
 729 ##| *; *; ##[ #wa nwn; @; //] #wb nwn; @2; @; //;##]
 730 nqed.
 731
 732 nlemma sub0 : ∀S.∀a:Ω^S. a - ∅ = a.
 733 #S a; napply ext_set; #w; nnormalize; @; /3/; *; //; nqed.
 734
 735 nlemma subK : ∀S.∀a:Ω^S. a - a = ∅.
 736 #S a; napply ext_set; #w; nnormalize; @; *; /2/; nqed.
 737
 738 nlemma subW : ∀S.∀a,b:Ω^S.∀w.w ∈ (a - b) → w ∈ a.
 739 #S a b w; nnormalize; *; //; nqed.
 740
 741 nlemma erase_bull : ∀S:Alpha.∀a:pitem S. |\fst (•a)| = |a|.
 742 #S a; nelim a; // by {};
 743 ##[ #e1 e2 IH1 IH2;
 744     napply (?^-1);
 745     napply (.=_0 (IH1^-1)╪_0 (IH2^-1));
 746     nchange in match (•(e1 · ?)) with (?⊙?);
 747     ncases (•e1); #e3 b; ncases b; ##[ nnormalize; ncases (•e2); /3/ by refl, conj]
 748     napply (.=_0 #╪_0 (IH2)); //;
 749 ##| #e1 e2 IH1 IH2; napply (?^-1);
 750     napply (.=_0 (IH1^-1)╪_0(IH2^-1));
 751     nchange in match (•(e1+?)) with (?⊕?);
 752     ncases (•e1); ncases (•e2); //]
 753 nqed.
 754
 755 (*
 756 nlemma eta_lp : ∀S:Alpha.∀p:pre S. 𝐋\p p = 𝐋\p 〈\fst p, \snd p〉.
 757 #S p; ncases p; //; nqed.
 758 *)
 759
 760 (* XXX coercion ext_carr non applica *)
 761 nlemma epsilon_dot: ∀S:Alpha.∀p:Elang S. {[]} · (ext_carr ? p) = p.
 762 #S e; napply ext_set; #w; @; ##[##2: #Hw; @[]; @w; @; //; @; //; napply #; (* XXX auto *) ##]
 763 *; #w1; *; #w2; *; *; #defw defw1 Hw2;
 764 napply (. defw╪_1#);
 765 napply (. ((defw1 : [ ] = ?)^-1 ╪_0 #)╪_1#);
 766 napply Hw2;
 767 nqed.
 768
 769 (* XXX This seems to be a pattern for equations *)
 770 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_CProp2".
 771 unification hint 0 ≔ S : Alpha, x,y: re (carr (acarr S));
 772   SS ≟ RE S,
 773   TT ≟ setoid1_of_setoid SS,
 774   T ≟ carr1 TT
 775 (*-----------------------------------------*) ⊢
 776   eq_re S x y ≡ eq_rel1 T (eq1 TT) x y.
 777 (* XXX the previous hint does not work *)
 778
 779 (* theorem 16: 1 → 3 *)
 780 nlemma odot_dot_aux : ∀S:Alpha.∀e1,e2: pre S.
 781       𝐋\p (•(\fst e2)) =  𝐋\p (\fst e2) ∪ 𝐋 |\fst e2| →
 782          𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 |\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 783 #S e1 e2 th1; ncases e1; #e1' b1'; ncases b1';
 784 ##[ nchange in match (〈?,true〉⊙?) with 〈?,?〉;
 785     nletin e2' ≝ (\fst e2); nletin b2' ≝ (\snd e2);
 786     nletin e2'' ≝ (\fst (•(\fst e2))); nletin b2'' ≝ (\snd (•(\fst e2)));
 787     napply (.=_1 (# ╪_1 (epsilon_or …))); (* XXX … is too slow if combined with .= *)
 788     nchange in match b2'' with b2''; (* XXX some unfoldings happened *)
 789     nchange in match b2' with b2';
 790     napply (.=_1 (# ╪_1 (cupC …))); napply (.=_1 (cupA …));
 791     napply (.=_1 (# ╪_1 (cupA …)^-1)); (* XXX slow, but not because of disamb! *)
 792     ncut (𝐋\p e2'' ∪ ϵ b2'' =  𝐋\p e2' ∪ 𝐋  |e2'|); ##[
 793       napply (?^-1); napply (.=_1 th1^-1); //;##] #E;
 794     napply (.=_1 (# ╪_1 (E ╪_1 #)));
 795     napply (?^-1);
 796     napply (.=_1 (cup_dotD …) ╪_1 #);
 797     napply (.=_1 (# ╪_1 (epsilon_dot …)) ╪_1 #);
 798     napply (?^-1);
 799     napply (.=_1 # ╪_1 ((cupC …) ╪_1 #));
 800     napply (.=_1 (cupA …)^-1);
 801     napply (.=_1 (cupA …)^-1 ╪_1 #);
 802     napply (.=_1 (cupA …));
 803     nlapply (erase_bull S e2'); #XX;
 804     napply (.=_1 (((# ╪_1 (┼_1 ?) )╪_1 #)╪_1 #)); ##[##2: napply XX; ##| ##skip]
 805     //;
 806 ##| ncases e2; #e2' b2'; nchange in match (𝐋\p ?) with (?∪?∪?);
 807     napply (.=_1 (cupA…));
 808     napply (?^-1); nchange in match (𝐋\p 〈?,false〉) with (?∪?);
 809     napply (.=_1 ((cup0…)╪_1#)╪_1#);
 810     //]
 811 nqed.
 812
 813
 814
 815 nlemma sub_dot_star :
 816   ∀S:Alpha.∀X:Elang S.∀b. (X - ϵ b) · (ext_carr … X)^* ∪ {[]} = (ext_carr … X)^*.
 817 #S X b; napply ext_set; #w; @;
 818 ##[ *; ##[##2: #defw; @[]; @; //]
 819     *; #w1; *; #w2; *; *; #defw sube; *; #lw; *; #flx cj;
 820     @ (w1 :: lw); @; ##[ napply (.=_0 # ╪_0 flx); napply (?^-1); //]
 821     @; //; napply (subW … sube);
 822 ##| *; #wl; *; #defw Pwl; napply (. (defw^-1 ╪_1 #));
 823     nelim wl in Pwl; /2/;
 824     #s tl IH; *; #Xs Ptl; ncases s in Xs; ##[ #; napply IH; //] #x xs Xxxs;
 825     @; @(x :: xs); @(flatten ? tl); @;
 826       ##[ @; ##[ napply #] @; ##[nassumption] ncases b; *; ##]
 827     nelim tl in Ptl; ##[ #; @[]; /2/] #w ws IH; *; #Xw Pws; @(w :: ws); @; ##[ napply #]
 828     @; //;##]
 829 nqed.
 830
 831 (* theorem 16: 1 *)
 832 alias symbol "pc" (instance 13) = "cat lang".
 833 alias symbol "in_pl" (instance 23) = "in_pl".
 834 alias symbol "in_pl" (instance 5) = "in_pl".
 835 alias symbol "eclose" (instance 21) = "eclose".
 836 ntheorem bull_cup : ∀S:Alpha. ∀e:pitem S.  𝐋\p (•e) =  𝐋\p e ∪ 𝐋 |e|.
 837 #S e; nelim e; //;
 838   ##[ #a; napply ext_set; #w; @; *; /3/ by or_introl, or_intror;
 839   ##| #a; napply ext_set; #w; @; *; /3/ by or_introl; *;
 840   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 841       nchange in match (•(e1·e2)) with (•e1 ⊙ 〈e2,false〉);
 842       napply (.=_1 (odot_dot_aux ?? 〈e2,false〉 IH2));
 843       napply (.=_1 (IH1 ╪_1 #) ╪_1 #);
 844       napply (.=_1 (cup_dotD …) ╪_1 #);
 845       napply (.=_1 (cupA …));
 846       napply (.=_1 # ╪_1 ((erase_dot ???)^-1 ╪_1 (cup0 ??)));
 847       napply (.=_1 # ╪_1 (cupC…));
 848       napply (.=_1 (cupA …)^-1);
 849       //;
 850   ##| #e1 e2 IH1 IH2;
 851       nchange in match (•(?+?)) with (•e1 ⊕ •e2);
 852       napply (.=_1 (oplus_cup …));
 853       napply (.=_1 IH1 ╪_1 IH2);
 854       napply (.=_1 (cupA …));
 855       napply (.=_1 # ╪_1 (# ╪_1 (cupC…)));
 856       napply (.=_1 # ╪_1 (cupA ????)^-1);
 857       napply (.=_1 # ╪_1 (cupC…));
 858       napply (.=_1 (cupA ????)^-1);
 859       napply (.=_1 # ╪_1 (erase_plus ???)^-1);
 860       //;
 861   ##| #e; nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e)); #IH;
 862       nchange in match (𝐋\p ?) with (𝐋\p 〈e'^*,true〉);
 863       nchange in match (𝐋\p ?) with (𝐋\p (e'^* ) ∪ {[ ]});
 864 STOP
 865       nchange in match (𝐋\p (pk ? e')) with (𝐋\p e' · 𝐋  |e'|^* );
 866       nrewrite > (erase_bull…e);
 867       nrewrite > (erase_star …);
 868       nrewrite > (?: 𝐋\p e' =  𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b')); ##[##2:
 869         nchange in IH : (??%?) with (𝐋\p e' ∪ ϵ b'); ncases b' in IH;
 870         ##[ #IH; nrewrite > (cup_sub…); //; nrewrite < IH;
 871             nrewrite < (cup_sub…); //; nrewrite > (subK…); nrewrite > (cup0…);//;
 872         ##| nrewrite > (sub0 …); #IH; nrewrite < IH; nrewrite > (cup0 …);//; ##]##]
 873       nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);
 874       nrewrite > (?: ((?·?)∪{[]} = 𝐋 .|e^*|)); //;
 875       nchange in match (𝐋 .|e^*|) with ((𝐋. |e|)^* ); napply sub_dot_star;##]
 876 nqed.
 877
 878 (* theorem 16: 3 *)
 879 nlemma odot_dot:
 880   ∀S.∀e1,e2: pre S.  𝐋\p (e1 ⊙ e2) =  𝐋\p e1 · 𝐋 .|\fst e2| ∪ 𝐋\p e2.
 881 #S e1 e2; napply odot_dot_aux; napply (bull_cup S (\fst e2)); nqed.
 882
 883 nlemma dot_star_epsilon : ∀S.∀e:re S.𝐋 e · 𝐋 e^* ∪ {[]} =  𝐋 e^*.
 884 #S e; napply extP; #w; nnormalize; @;
 885 ##[ *; ##[##2: #H; nrewrite < H; @[]; /3/] *; #w1; *; #w2;
 886     *; *; #defw Hw1; *; #wl; *; #defw2 Hwl; @(w1 :: wl);
 887     nrewrite < defw; nrewrite < defw2; @; //; @;//;
 888 ##| *; #wl; *; #defw Hwl; ncases wl in defw Hwl; ##[#defw; #; @2; nrewrite < defw; //]
 889     #x xs defw; *; #Hx Hxs; @; @x; @(flatten ? xs); nrewrite < defw;
 890     @; /2/; @xs; /2/;##]
 891  nqed.
 892
 893 nlemma nil_star : ∀S.∀e:re S. [ ] ∈ e^*.
 894 #S e; @[]; /2/; nqed.
 895
 896 nlemma cupID : ∀S.∀l:word S → Prop.l ∪ l = l.
 897 #S l; napply extP; #w; @; ##[*]//; #; @; //; nqed.
 898
 899 nlemma cup_star_nil : ∀S.∀l:word S → Prop. l^* ∪ {[]} = l^*.
 900 #S a; napply extP; #w; @; ##[*; //; #H; nrewrite < H; @[]; @; //] #;@; //;nqed.
 901
 902 nlemma rcanc_sing : ∀S.∀A,C:word S → Prop.∀b:word S .
 903   ¬ (A b) → A ∪ { (b) } = C → A = C - { (b) }.
 904 #S A C b nbA defC; nrewrite < defC; napply extP; #w; @;
 905 ##[ #Aw; /3/| *; *; //; #H nH; ncases nH; #abs; nlapply (abs H); *]
 906 nqed.
 907
 908 (* theorem 16: 4 *)
 909 nlemma star_dot: ∀S.∀e:pre S. 𝐋\p (e^⊛) = 𝐋\p e · (𝐋 .|\fst e|)^*.
 910 #S p; ncases p; #e b; ncases b;
 911 ##[ nchange in match (〈e,true〉^⊛) with 〈?,?〉;
 912     nletin e' ≝ (\fst (•e)); nletin b' ≝ (\snd (•e));
 913     nchange in ⊢ (??%?) with (?∪?);
 914     nchange in ⊢ (??(??%?)?) with (𝐋\p e' · 𝐋 .|e'|^* );
 915     nrewrite > (?: 𝐋\p e' = 𝐋\p e ∪ (𝐋 .|e| - ϵ b' )); ##[##2:
 916       nlapply (bull_cup ? e); #bc;
 917       nchange in match (𝐋\p (•e)) in bc with (?∪?);
 918       nchange in match b' in bc with b';
 919       ncases b' in bc; ##[##2: nrewrite > (cup0…); nrewrite > (sub0…); //]
 920       nrewrite > (cup_sub…); ##[napply rcanc_sing] //;##]
 921     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (cupA…);nrewrite > (erase_bull…);
 922     nrewrite > (sub_dot_star…);
 923     nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 924     nrewrite > (cup_dotD…); nrewrite > (epsilon_dot…); //;
 925 ##| nwhd in match (〈e,false〉^⊛); nchange in match (𝐋\p 〈?,?〉) with (?∪?);
 926     nrewrite > (cup0…);
 927     nchange in ⊢ (??%?) with (𝐋\p e · 𝐋 .|e|^* );
 928     nrewrite < (cup0 ? (𝐋\p e)); //;##]
 929 nqed.
 930
 931 nlet rec pre_of_re (S : Alpha) (e : re S) on e : pitem S ≝
 932   match e with
 933   [ z ⇒ pz ?
 934   | e ⇒ pe ?
 935   | s x ⇒ ps ? x
 936   | c e1 e2 ⇒ pc ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 937   | o e1 e2 ⇒ po ? (pre_of_re ? e1) (pre_of_re ? e2)
 938   | k e1 ⇒ pk ? (pre_of_re ? e1)].
 939
 940 nlemma notFalse : ¬False. @; //; nqed.
 941
 942 nlemma dot0 : ∀S.∀A:word S → Prop. {} · A = {}.
 943 #S A; nnormalize; napply extP; #w; @; ##[##2: *]
 944 *; #w1; *; #w2; *; *; //; nqed.
 945
 946 nlemma Lp_pre_of_re : ∀S.∀e:re S. 𝐋\p (pre_of_re ? e) = {}.
 947 #S e; nelim e; ##[##1,2,3: //]
 948 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1 e2))) with (?∪?);
 949     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (dot0…); nrewrite > (cupID…);//
 950 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1+e2))) with (?∪?);
 951     nrewrite > H1; nrewrite > H2; nrewrite > (cupID…); //
 952 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋\p (pre_of_re S (e1^* ))) with (𝐋\p (pre_of_re ??) · ?);
 953     nrewrite > H1; napply dot0; ##]
 954 nqed.
 955
 956 nlemma erase_pre_of_reK : ∀S.∀e. 𝐋 .|pre_of_re S e| = 𝐋 e.
 957 #S A; nelim A; //;
 958 ##[ #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 · e2)) with (𝐋 e1·?);
 959     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 960 ##| #e1 e2 H1 H2; nchange in match (𝐋 (e1 + e2)) with (𝐋 e1 ∪ ?);
 961     nrewrite < H1; nrewrite < H2; //
 962 ##| #e1 H1; nchange in match (𝐋  (e1^* )) with ((𝐋 e1)^* );
 963     nrewrite < H1; //]
 964 nqed.
 965
 966 (* corollary 17 *)
 967 nlemma L_Lp_bull : ∀S.∀e:re S.𝐋 e = 𝐋\p (•pre_of_re ? e).
 968 #S e; nrewrite > (bull_cup…); nrewrite > (Lp_pre_of_re…);
 969 nrewrite > (cupC…); nrewrite > (cup0…); nrewrite > (erase_pre_of_reK…); //;
 970 nqed.
 971
 972 nlemma Pext : ∀S.∀f,g:word S → Prop. f = g → ∀w.f w → g w.
 973 #S f g H; nrewrite > H; //; nqed.
 974
 975 (* corollary 18 *)
 976 ntheorem bull_true_epsilon : ∀S.∀e:pitem S. \snd (•e) = true ↔ [ ] ∈ .|e|.
 977 #S e; @;
 978 ##[ #defsnde; nlapply (bull_cup ? e); nchange in match (𝐋\p (•e)) with (?∪?);
 979     nrewrite > defsnde; #H;
 980     nlapply (Pext ??? H [ ] ?); ##[ @2; //] *; //;
 981     E MO?
 982
 983 STOP
 984
 985 notation > "\move term 90 x term 90 E"
 986 non associative with precedence 65 for @{move ? $x $E}.
 987 nlet rec move (S: Alpha) (x:S) (E: pitem S) on E : pre S ≝
 988  match E with
 989   [ pz ⇒ 〈 ∅, false 〉
 990   | pe ⇒ 〈 ϵ, false 〉
 991   | ps y ⇒ 〈 `y, false 〉
 992   | pp y ⇒ 〈 `y, x == y 〉
 993   | po e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊕ \move x e2
 994   | pc e1 e2 ⇒ \move x e1 ⊙ \move x e2
 995   | pk e ⇒ (\move x e)^⊛ ].
 996 notation < "\move\shy x\shy E" non associative with precedence 65 for @{'move $x $E}.
 997 notation > "\move term 90 x term 90 E" non associative with precedence 65 for @{'move $x $E}.
 998 interpretation "move" 'move x E = (move ? x E).
 999
1000 ndefinition rmove ≝ λS:Alpha.λx:S.λe:pre S. \move x (\fst e).
1001 interpretation "rmove" 'move x E = (rmove ? x E).
1002
1003 nlemma XXz :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ∅ → False.
1004 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
1005 nqed.
1006
1007
1008 nlemma XXe :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ ϵ → False.
1009 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct;
1010 nqed.
1011
1012 nlemma XXze :  ∀S:Alpha.∀w:word S. w .∈ (∅ · ϵ)  → False.
1013 #S w abs; ninversion abs; #; ndestruct; /2/ by XXz,XXe;
1014 nqed.
1015
1016
1017 naxiom in_move_cat:
1018  ∀S.∀w:word S.∀x.∀E1,E2:pitem S. w .∈ \move x (E1 · E2) →
1019    (∃w1.∃w2. w = w1@w2 ∧ w1 .∈ \move x E1 ∧ w2 ∈ .|E2|) ∨ w .∈ \move x E2.
1020 #S w x e1 e2 H; nchange in H with (w .∈ \move x e1 ⊙ \move x e2);
1021 ncases e1 in H; ncases e2;
1022 ##[##1: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
1023    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
1024    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
1025 ##|##2: *; ##[*; nnormalize; #; ndestruct]
1026    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
1027    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz,XXze;
1028 ##| #r; *; ##[ *; nnormalize; #; ndestruct]
1029    #H; ninversion H; ##[##1,4,5,6: nnormalize; #; ndestruct]
1030    ##[##2: nnormalize; #; ndestruct; @2; @2; //.##]
1031    nnormalize; #; ndestruct; ncases (?:False); /2/ by XXz;
1032 ##| #y; *; ##[ *; nnormalize; #defw defx; ndestruct; @2; @1; /2/ by conj;##]
1033    #H; ninversion H; nnormalize; #; ndestruct;
1034    ##[ncases (?:False); /2/ by XXz] /3/ by or_intror;
1035 ##| #r1 r2; *; ##[ *; #defw]
1036     ...
1037 nqed.
1038
1039 ntheorem move_ok:
1040  ∀S:Alpha.∀E:pre S.∀a,w.w .∈ \move a E ↔ (a :: w) .∈ E.
1041 #S E; ncases E; #r b; nelim r;
1042 ##[##1,2: #a w; @;
1043    ##[##1,3: nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #abs; ncases (XXz … abs); ##]
1044       #H; ninversion H; #; ndestruct;
1045    ##|##*:nnormalize; *; ##[##1,3: *; #; ndestruct; ##| #H1; ncases (XXz … H1); ##]
1046        #H; ninversion H; #; ndestruct;##]
1047 ##|#a c w; @; nnormalize; ##[*; ##[*; #; ndestruct; ##] #abs; ninversion abs; #; ndestruct;##]
1048    *; ##[##2: #abs; ninversion abs; #; ndestruct; ##] *; #; ndestruct;
1049 ##|#a c w; @; nnormalize;
1050    ##[ *; ##[ *; #defw; nrewrite > defw; #ca; @2;  nrewrite > (eqb_t … ca); @; ##]
1051        #H; ninversion H; #; ndestruct;
1052    ##| *; ##[ *; #; ndestruct; ##] #H; ninversion H; ##[##2,3,4,5,6: #; ndestruct]
1053               #d defw defa; ndestruct; @1; @; //; nrewrite > (eqb_true S d d); //. ##]
1054 ##|#r1 r2 H1 H2 a w; @;
1055    ##[ #H; ncases (in_move_cat … H);
1056       ##[ *; #w1; *; #w2; *; *; #defw w1m w2m;
1057           ncases (H1 a w1); #H1w1; #_; nlapply (H1w1 w1m); #good;
1058           nrewrite > defw; @2; @2 (a::w1); //; ncases good; ##[ *; #; ndestruct] //.
1059       ##|
1060       ...
1061 ##|
1062 ##|
1063 ##]
1064 nqed.
1065
1066
1067 notation > "x ↦* E" non associative with precedence 65 for @{move_star ? $x $E}.
1068 nlet rec move_star (S : decidable) w E on w : bool × (pre S) ≝
1069  match w with
1070   [ nil ⇒ E
1071   | cons x w' ⇒ w' ↦* (x ↦ \snd E)].
1072
1073 ndefinition in_moves ≝ λS:decidable.λw.λE:bool × (pre S). \fst(w ↦* E).
1074
1075 ncoinductive equiv (S:decidable) : bool × (pre S) → bool × (pre S) → Prop ≝
1076  mk_equiv:
1077   ∀E1,E2: bool × (pre S).
1078    \fst E1  = \fst E2 →
1079     (∀x. equiv S (x ↦ \snd E1) (x ↦ \snd E2)) →
1080      equiv S E1 E2.
1081
1082 ndefinition NAT: decidable.
1083  @ nat eqb; /2/.
1084 nqed.
1085
1086 include "hints_declaration.ma".
1087
1088 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type1".
1089 unification hint 0 ≔ ; X ≟ NAT ⊢ carr X ≡ nat.
1090
1091 ninductive unit: Type[0] ≝ I: unit.
1092
1093 nlet corec foo_nop (b: bool):
1094  equiv ?
1095   〈 b, pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0))) 〉
1096   〈 b, pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0) 〉 ≝ ?.
1097  @; //; #x; ncases x
1098   [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
1099   | #y; ncases y
1100      [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false)
1101      | #w; nnormalize in ⊢ (??%%); napply (foo_nop false) ]##]
1102 nqed.
1103
1104 (*
1105 nlet corec foo (a: unit):
1106  equiv NAT
1107   (eclose NAT (pc ? (ps ? 0) (pk ? (pc ? (ps ? 1) (ps ? 0)))))
1108   (eclose NAT (pc ? (pk ? (pc ? (ps ? 0) (ps ? 1))) (ps ? 0)))
1109 ≝ ?.
1110  @;
1111   ##[ nnormalize; //
1112   ##| #x; ncases x
1113        [ nnormalize in ⊢ (??%%);
1114          nnormalize in foo: (? → ??%%);
1115          @; //; #y; ncases y
1116            [ nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
1117            | #y; ncases y
1118               [ nnormalize in ⊢ (??%%);
1119
1120             ##| #z; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop ]##]
1121      ##| #y; nnormalize in ⊢ (??%%); napply foo_nop
1122   ##]
1123 nqed.
1124 *)
1125
1126 ndefinition test1 : pre ? ≝ ❨ `0 | `1 ❩^* `0.
1127 ndefinition test2 : pre ? ≝ ❨ (`0`1)^* `0 | (`0`1)^* `1 ❩.
1128 ndefinition test3 : pre ? ≝ (`0 (`0`1)^* `1)^*.
1129
1130
1131 nlemma foo: in_moves ? [0;0;1;0;1;1] (ɛ test3) = true.
1132  nnormalize in match test3;
1133  nnormalize;
1134 //;
1135 nqed.
1136
1137 (**********************************************************)
1138
1139 ninductive der (S: Type[0]) (a: S) : re S → re S → CProp[0] ≝
1140    der_z: der S a (z S) (z S)
1141  | der_e: der S a (e S) (z S)
1142  | der_s1: der S a (s S a) (e ?)
1143  | der_s2: ∀b. a ≠ b → der S a (s S b) (z S)
1144  | der_c1: ∀e1,e2,e1',e2'. in_l S [] e1 → der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
1145             der S a (c ? e1 e2) (o ? (c ? e1' e2) e2')
1146  | der_c2: ∀e1,e2,e1'. Not (in_l S [] e1) → der S a e1 e1' →
1147             der S a (c ? e1 e2) (c ? e1' e2)
1148  | der_o: ∀e1,e2,e1',e2'. der S a e1 e1' → der S a e2 e2' →
1149     der S a (o ? e1 e2) (o ? e1' e2').
1150
1151 nlemma eq_rect_CProp0_r:
1152  ∀A.∀a,x.∀p:eq ? x a.∀P: ∀x:A. eq ? x a → CProp[0]. P a (refl A a) → P x p.
1153  #A; #a; #x; #p; ncases p; #P; #H; nassumption.
1154 nqed.
1155
1156 nlemma append1: ∀A.∀a:A.∀l. [a] @ l = a::l. //. nqed.
1157
1158 naxiom in_l1: ∀S,r1,r2,w. in_l S [ ] r1 → in_l S w r2 → in_l S w (c S r1 r2).
1159 (* #S; #r1; #r2; #w; nelim r1
1160   [ #K; ninversion K
1161   | #H1; #H2; napply (in_c ? []); //
1162   | (* tutti casi assurdi *) *)
1163
1164 ninductive in_l' (S: Type[0]) : word S → re S → CProp[0] ≝
1165    in_l_empty1: ∀E.in_l S [] E → in_l' S [] E
1166  | in_l_cons: ∀a,w,e,e'. in_l' S w e' → der S a e e' → in_l' S (a::w) e.
1167
1168 ncoinductive eq_re (S: Type[0]) : re S → re S → CProp[0] ≝
1169    mk_eq_re: ∀E1,E2.
1170     (in_l S [] E1 → in_l S [] E2) →
1171     (in_l S [] E2 → in_l S [] E1) →
1172     (∀a,E1',E2'. der S a E1 E1' → der S a E2 E2' → eq_re S E1' E2') →
1173       eq_re S E1 E2.
1174
1175 (* serve il lemma dopo? *)
1176 ntheorem eq_re_is_eq: ∀S.∀E1,E2. eq_re S E1 E2 → ∀w. in_l ? w E1 → in_l ? w E2.
1177  #S; #E1; #E2; #H1; #w; #H2; nelim H2 in E2 H1 ⊢ %
1178   [ #r; #K (* ok *)
1179   | #a; #w; #R1; #R2; #K1; #K2; #K3; #R3; #K4; @2 R2; //; ncases K4;
1180
1181 (* IL VICEVERSA NON VALE *)
1182 naxiom in_l_to_in_l: ∀S,w,E. in_l' S w E → in_l S w E.
1183 (* #S; #w; #E; #H; nelim H
1184   [ //
1185   | #a; #w'; #r; #r'; #H1; (* e si cade qua sotto! *)
1186   ]
1187 nqed. *)
1188
1189 ntheorem der1: ∀S,a,e,e',w. der S a e e' → in_l S w e' → in_l S (a::w) e.
1190  #S; #a; #E; #E'; #w; #H; nelim H
1191   [##1,2: #H1; ninversion H1
1192      [##1,8: #_; #K; (* non va ndestruct K; *) ncases (?:False); (* perche' due goal?*) /2/
1193      |##2,9: #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
1194      |##3,10: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
1195      |##4,11: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1196      |##5,12: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1197      |##6,13: #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
1198      |##7,14: #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/]
1199 ##| #H1; ninversion H1
1200      [ //
1201      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
1202      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
1203      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1204      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1205      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
1206      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
1207 ##| #H1; #H2; #H3; ninversion H3
1208      [ #_; #K; ncases (?:False); /2/
1209      | #X; #Y; #K; ncases (?:False); /2/
1210      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #e; #K; ncases (?:False); /2/
1211      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1212      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #K; ncases (?:False); /2/
1213      | #x; #y; #K; ncases (?:False); /2/
1214      | #x; #y; #z; #w; #a; #b; #c; #d; #K; ncases (?:False); /2/ ]
1215 ##| #r1; #r2; #r1'; #r2'; #H1; #H2; #H3; #H4; #H5; #H6;
1216