matita/matita/nlibrary/sets/categories.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15
  16 include "sets/sets.ma".
  17
  18 nrecord category : Type[2] ≝
  19  { objs:> Type[1];
  20    arrows: objs → objs → setoid;
  21    id: ∀o:objs. arrows o o;
  22    comp: ∀o1,o2,o3. unary_morphism (arrows o2 o3) (unary_morph_setoid (arrows o1 o2) (arrows o1 o3));
  23    comp_assoc: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a34,a23,a12.
  24     comp o1 o3 o4 a34 (comp o1 o2 o3 a23 a12) = comp o1 o2 o4 (comp o2 o3 o4 a34 a23) a12;
  25    id_neutral_left: ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. comp ??? (id o2) a = a;
  26    id_neutral_right: ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. comp ??? a (id o1) = a
  27  }.
  28
  29 notation > "𝐈𝐝 term 90 A" non associative with precedence 90 for @{ 'id $A }.
  30 notation < "mpadded width -90% (𝐈) 𝐝 \sub term 90 A" non associative with precedence 90 for @{ 'id $A }.
  31
  32 interpretation "id" 'id A = (id ? A).
  33
  34 ndefinition SETOID : category.
  35 @;
  36 ##[ napply setoid;
  37 ##| napply unary_morph_setoid;
  38 ##| #o; @ (λx.x); #a; #b; #H; napply H;
  39 ##| napply comp_binary_morphisms; (*CSC: why not ∘?*)
  40 ##| #o1; #o2; #o3; #o4; #f; #g; #h; #x; #x'; #Hx; nnormalize; napply (†(†(†Hx)))
  41 ##|##6,7: #o1; #o2; #f; #x; #x'; #Hx; nnormalize; napply (†Hx) ]
  42 nqed.
  43
  44 unification hint 0 ≔ ;
  45    R ≟ (mk_category setoid unary_morph_setoid (id SETOID) (comp SETOID)
  46           (comp_assoc SETOID) (id_neutral_left SETOID)
  47           (id_neutral_right SETOID))
  48  (* -------------------------------------------------------------------- *) ⊢
  49                               objs R ≡ setoid.
  50
  51  unification hint 0 ≔ x,y ;
  52    R ≟ (mk_category setoid unary_morph_setoid (id SETOID) (comp SETOID)
  53           (comp_assoc SETOID) (id_neutral_left SETOID)
  54           (id_neutral_right SETOID))
  55  (* -------------------------------------------------------------------- *) ⊢
  56                   arrows R x y ≡ unary_morph_setoid x y.
  57
  58 unification hint 0 ≔ A,B ;
  59                   T ≟ (unary_morph_setoid A B)
  60            (* ----------------------------------- *) ⊢
  61                   unary_morphism A B ≡ carr T.
  62
  63
  64 ndefinition TYPE : setoid1.
  65 @ setoid; @;
  66 ##[ #T1; #T2;
  67     alias symbol "eq" = "setoid eq".
  68     napply (∃f:T1 ⇒_0 T2.∃g:T2 ⇒_0 T1. (∀x.f (g x) = x) ∧ (∀y.g (f y) = y));
  69 ##| #A; @ (𝐈𝐝 A); @ (𝐈𝐝 A); @; #x; napply #;
  70 ##| #A; #B; *; #f; *; #g; *; #Hfg; #Hgf; @g; @f; @; nassumption;
  71 ##| #A; #B; #C; *; #f; *; #f'; *; #Hf; #Hf'; *; #g; *; #g'; *; #Hg; #Hg';
  72     @; ##[ @(λx.g (f x)); #a; #b; #H; napply (.= (††H)); napply #;
  73        ##| @; ##[ @(λx.f'(g' x)); #a; #b; #H; napply (.= (††H)); napply #; ##]
  74     @; #x;
  75     ##[ napply (.= (†(Hf …))); napply Hg;
  76     ##| napply (.= (†(Hg' …))); napply Hf'; ##] ##]
  77 nqed.
  78
  79 unification hint 0 ≔ ;
  80           R ≟ (mk_setoid1 setoid (eq1 TYPE))
  81   (* -------------------------------------------- *) ⊢
  82                  carr1 R ≡ setoid.
  83
  84 nrecord unary_morphism01 (A : setoid) (B: setoid1) : Type[1] ≝
  85  { fun01:1> A → B;
  86    prop01: ∀a,a'. eq0 ? a a' → eq1 ? (fun01 a) (fun01 a')
  87  }.
  88
  89 interpretation "prop01" 'prop1 c  = (prop01 ????? c).