matita/matita/nlibrary/sets/partitions.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "sets/sets.ma".
  16 include "nat/plus.ma".
  17 include "nat/compare.ma".
  18 include "nat/minus.ma".
  19 include "datatypes/pairs.ma".
  20
  21 alias symbol "eq" (instance 7) = "setoid1 eq".
  22 nrecord partition (A: setoid) : Type[1] ≝
  23  { support: setoid;
  24    indexes: ext_powerclass support;
  25    class: unary_morphism1 (setoid1_of_setoid support) (ext_powerclass_setoid A);
  26    inhabited: ∀i. i ∈ indexes → class i ≬ class i;
  27    disjoint: ∀i,j. i ∈ indexes → j ∈ indexes → class i ≬ class j → i = j;
  28    covers: big_union support ? indexes (λx.class x) = full_set A
  29  }.
  30
  31 naxiom daemon: False.
  32
  33 nlet rec iso_nat_nat_union (s: nat → nat) m index on index : pair nat nat ≝
  34  match ltb m (s index) with
  35   [ true ⇒ mk_pair … index m
  36   | false ⇒
  37      match index with
  38       [ O ⇒ (* dummy value: it could be an elim False: *) mk_pair … O O
  39       | S index' ⇒ iso_nat_nat_union s (minus m (s index)) index']].
  40
  41 alias symbol "eq" = "leibnitz's equality".
  42 naxiom plus_n_O: ∀n. n + O = n.
  43 naxiom plus_n_S: ∀n,m. n + S m = S (n + m).
  44 naxiom ltb_t: ∀n,m. n < m → ltb n m = true.
  45 naxiom ltb_f: ∀n,m. ¬ (n < m) → ltb n m = false.
  46 naxiom ltb_cases: ∀n,m. (n < m ∧ ltb n m = true) ∨ (¬ (n < m) ∧ ltb n m = false).
  47 naxiom minus_canc: ∀n. minus n n = O.
  48 naxiom ad_hoc9: ∀a,b,c. a < b + c → a - b < c.
  49 naxiom ad_hoc10: ∀a,b,c. a - b = c → a = b + c.
  50 naxiom ad_hoc11: ∀a,b. a - b ≤ S a - b.
  51 naxiom ad_hoc12: ∀a,b. b ≤ a → S a - b - (a - b) = S O.
  52 naxiom ad_hoc13: ∀a,b. b ≤ a → (O + (a - b)) + b = a.
  53 naxiom ad_hoc14: ∀a,b,c,d,e. c ≤ a → a - c = b + d + e → a = b + (c + d) + e.
  54 naxiom ad_hoc15: ∀a,a',b,c. a=a' → b < c → a + b < c + a'.
  55 naxiom ad_hoc16: ∀a,b,c. a < c → a < b + c.
  56 naxiom not_lt_to_le: ∀a,b. ¬ (a < b) → b ≤ a.
  57 naxiom le_to_le_S_S: ∀a,b. a ≤ b → S a ≤ S b.
  58 naxiom minus_S: ∀n. S n - n = S O.
  59 naxiom ad_hoc17: ∀a,b,c,d,d'. a+c+d=b+c+d' → a+d=b+d'.
  60 naxiom split_big_plus:
  61   ∀n,m,f. m ≤ n →
  62    big_plus n f = big_plus m (λi,p.f i ?) + big_plus (n - m) (λi.λp.f (i + m) ?).
  63  nelim daemon.
  64 nqed.
  65 naxiom big_plus_preserves_ext:
  66  ∀n,f,f'. (∀i,p. f i p = f' i p) → big_plus n f = big_plus n f'.
  67
  68 ntheorem iso_nat_nat_union_char:
  69  ∀n:nat. ∀s: nat → nat. ∀m:nat. m < big_plus (S n) (λi.λ_.s i) →
  70   let p ≝ iso_nat_nat_union s m n in
  71    m = big_plus (n - fst … p) (λi.λ_.s (S (i + fst … p))) + snd … p ∧
  72     fst … p ≤ n ∧ snd … p < s (fst … p).
  73  #n; #s; nelim n
  74   [ #m; nwhd in ⊢ (??% → let p ≝ % in ?); nwhd in ⊢ (??(??%) → ?);
  75     nrewrite > (plus_n_O (s O)); #H; nrewrite > (ltb_t … H); nnormalize; @; /2/
  76 ##| #n'; #Hrec; #m; nwhd in ⊢ (??% → let p ≝ % in ?); #H;
  77     ncases (ltb_cases m (s (S n'))); *; #H1; #H2; nrewrite > H2;
  78     nwhd in ⊢ (let p ≝ % in ?); nwhd
  79      [ napply conj [napply conj; //;
  80        nwhd in ⊢ (???(?(?%(λ_.λ_:(??%).?))%)); nrewrite > (minus_canc n'); //
  81    ##| nnormalize; // ]
  82 ##| nchange in H with (m < s (S n') + big_plus (S n') (λi.λ_.s i));
  83     nlapply (Hrec (m - s (S n')) ?); /2/; *; *; #Hrec1; #Hrec2; #Hrec3; @; //; @; /2/;
  84     nrewrite > (split_big_plus …); ##[##2:napply ad_hoc11;##|##3:##skip]
  85     nrewrite > (ad_hoc12 …); //;
  86     nwhd in ⊢ (???(?(??%)?));
  87     nrewrite > (ad_hoc13 …); //;
  88     napply ad_hoc14; /2/;
  89     nwhd in ⊢ (???(?(??%)?));
  90     nrewrite > (plus_n_O …); // ##]##]
  91 nqed.
  92
  93 ntheorem iso_nat_nat_union_pre:
  94  ∀n:nat. ∀s: nat → nat.
  95   ∀i1,i2. i1 ≤ n → i2 < s i1 →
  96    big_plus (n - i1) (λi.λ_.s (S (i + i1))) + i2 < big_plus (S n) (λi.λ_.s i).
  97 /2/. nqed.
  98
  99 ntheorem iso_nat_nat_union_uniq:
 100  ∀n:nat. ∀s: nat → nat.
 101   ∀i1,i1',i2,i2'. i1 ≤ n → i1' ≤ n → i2 < s i1 → i2' < s i1' →
 102    big_plus (n - i1) (λi.λ_.s (S (i + i1))) + i2 = big_plus (n - i1') (λi.λ_.s (S (i + i1'))) + i2' →
 103     i1 = i1' ∧ i2 = i2'.
 104  #n; #s; #i1; #i1'; #i2; #i2'; #H1; #H1'; #H2; #H2'; #E;
 105  nelim daemon.
 106 nqed.
 107
 108 nlemma partition_splits_card:
 109  ∀A. ∀P:partition A. ∀n,s.
 110   ∀f:isomorphism ?? (Nat_ n) (indexes ? P).
 111    (∀i. isomorphism ?? (Nat_ (s i)) (class ? P (iso_f ???? f i))) →
 112     (isomorphism ?? (Nat_ (big_plus n (λi.λ_.s i))) (Full_set A)).
 113 #A; #P; #Sn; ncases Sn
 114   [ #s; #f; #fi;
 115     nlapply (covers ? P); *; #_; #H;
 116     (*
 117     nlapply
 118      (big_union_preserves_iso ??? (indexes A P) (Nat_ O) (λx.class ? P x) f);
 119      *; #K; #_; nwhd in K: (? → ? → %);*)
 120     nelim daemon (* impossibile *)
 121   | #n; #s; #f; #fi; @
 122   [ @
 123      [ napply (λm.let p ≝ (iso_nat_nat_union s m n) in iso_f ???? (fi (fst … p)) (snd … p))
 124      | #a; #a'; #H; nrewrite < H; napply refl ]
 125 ##| #x; #Hx; nwhd; napply I
 126 ##| #y; #_;
 127     nlapply (covers ? P); *; #_; #Hc;
 128     nlapply (Hc y I); *; #index; *; #Hi1; #Hi2;
 129     nlapply (f_sur ???? f ? Hi1); *; #nindex; *; #Hni1; #Hni2;
 130     nlapply (f_sur ???? (fi nindex) y ?)
 131      [ alias symbol "refl" (instance 3) = "refl".
 132 alias symbol "prop2" (instance 2) = "prop21".
 133 alias symbol "prop1" (instance 4) = "prop11".
 134 napply (. #‡(†?));##[##2: napply Hni2 |##1: ##skip | nassumption]##]
 135     *; #nindex2; *; #Hni21; #Hni22;
 136     nletin xxx ≝ (plus (big_plus (minus n nindex) (λi.λ_.s (S (plus i nindex)))) nindex2);
 137     @ xxx; @
 138      [ napply iso_nat_nat_union_pre [ napply le_S_S_to_le; nassumption | nassumption ]
 139    ##| nwhd in ⊢ (???%%); napply (.= ?) [##3: nassumption|##skip]
 140        nlapply (iso_nat_nat_union_char n s xxx ?)
 141         [napply iso_nat_nat_union_pre [ napply le_S_S_to_le; nassumption | nassumption]##]
 142        *; *; #K1; #K2; #K3;
 143        nlapply
 144         (iso_nat_nat_union_uniq n s nindex (fst … (iso_nat_nat_union s xxx n))
 145           nindex2 (snd … (iso_nat_nat_union s xxx n)) ?????); /2/
 146         [##2: *; #E1; #E2; nrewrite > E1; nrewrite > E2; //
 147         | nassumption ]##]
 148 ##| #x; #x'; nnormalize in ⊢ (? → ? → %); #Hx; #Hx'; #E;
 149     ncut(∀i1,i2,i1',i2'. i1 ∈ Nat_ (S n) → i1' ∈ Nat_ (S n) → i2 ∈ Nat_ (s i1) → i2' ∈ Nat_ (s i1') → eq_rel (carr A) (eq A) (fi i1 i2) (fi i1' i2') → i1=i1' ∧ i2=i2');
 150     ##[ #i1; #i2; #i1'; #i2'; #Hi1; #Hi1'; #Hi2; #Hi2'; #E;
 151        nlapply(disjoint … P (f i1) (f i1') ???)
 152        [##2,3: napply f_closed; //
 153        |##1: @ (fi i1 i2); @;
 154          ##[ napply f_closed; // ##| alias symbol "refl" = "refl1".
 155 napply (. E‡#);
 156              nwhd; napply f_closed; //]##]
 157       #E'; ncut(i1 = i1'); ##[ napply (f_inj … E'); // ##]
 158       #E''; nrewrite < E''; @; //;
 159       nrewrite < E'' in E; #E'''; napply (f_inj … E'''); //;
 160       nrewrite > E''; // ]##]
 161    ##] #K;
 162     nelim (iso_nat_nat_union_char n s x Hx); *; #i1x; #i2x; #i3x;
 163     nelim (iso_nat_nat_union_char n s x' Hx'); *; #i1x'; #i2x'; #i3x';
 164     nlapply (K … E)
 165      [##1,2: nassumption;
 166      ##|##3,4:napply le_to_le_S_S; nassumption; ##]
 167     *; #K1; #K2;
 168     napply (eq_rect_CProp0_r ?? (λX.λ_.? = X) ?? i1x');
 169     napply (eq_rect_CProp0_r ?? (λX.λ_.X = ?) ?? i1x);
 170     nrewrite > K1; nrewrite > K2; napply refl.
 171 nqed.
 172
 173 (************** equivalence relations vs partitions **********************)
 174
 175 ndefinition partition_of_compatible_equivalence_relation:
 176  ∀A:setoid. compatible_equivalence_relation A → partition A.
 177  #A; #R; napply mk_partition
 178   [ napply (quotient ? R)
 179   | napply Full_set
 180   | napply mk_unary_morphism1
 181      [ #a; napply mk_ext_powerclass
 182         [ napply {x | R x a}
 183         | #x; #x'; #H; nnormalize; napply mk_iff; #K; nelim daemon]
 184    ##| #a; #a'; #H; napply conj; #x; nnormalize; #K [ nelim daemon | nelim daemon]##]
 185 ##| #x; #_; nnormalize; /3/
 186   | #x; #x'; #_; #_; nnormalize; *; #x''; *; /3/
 187   | nnormalize; napply conj; /4/ ]
 188 nqed.