]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/nlibrary/sets/sets.ma
- lambdadelta: minor corrections
[helm.git] / matita / matita / nlibrary / sets / sets.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 (******************* SETS OVER TYPES *****************)
16
17 include "logic/connectives.ma".
18
19 nrecord powerclass (A: Type[0]) : Type[1] ≝ { mem: A → CProp[0] }.
20
21 interpretation "mem" 'mem a S = (mem ? S a).
22 interpretation "powerclass" 'powerset A = (powerclass A).
23 interpretation "subset construction" 'subset \eta.x = (mk_powerclass ? x).
24
25 ndefinition subseteq ≝ λA.λU,V.∀a:A. a ∈ U → a ∈ V.
26 interpretation "subseteq" 'subseteq U V = (subseteq ? U V).
27
28 ndefinition overlaps ≝ λA.λU,V.∃x:A.x ∈ U ∧ x ∈ V.
29 interpretation "overlaps" 'overlaps U V = (overlaps ? U V).
30
31 ndefinition intersect ≝ λA.λU,V:Ω^A.{ x | x ∈ U ∧ x ∈ V }.
32 interpretation "intersect" 'intersects U V = (intersect ? U V).
33
34 ndefinition union ≝ λA.λU,V:Ω^A.{ x | x ∈ U ∨ x ∈ V }.
35 interpretation "union" 'union U V = (union ? U V).
36
37 ndefinition substract ≝ λA.λU,V:Ω^A.{ x | x ∈ U ∧ ¬ x ∈ V }.
38 interpretation "substract" 'minus U V = (substract ? U V).
39
40
41 ndefinition big_union ≝ λA,B.λT:Ω^A.λf:A → Ω^B.{ x | ∃i. i ∈ T ∧ x ∈ f i }.
42
43 ndefinition big_intersection ≝ λA,B.λT:Ω^A.λf:A → Ω^B.{ x | ∀i. i ∈ T → x ∈ f i }.
44
45 ndefinition full_set: ∀A. Ω^A ≝ λA.{ x | True }.
46
47 nlemma subseteq_refl: ∀A.∀S: Ω^A. S ⊆ S.
48 //.nqed.
49
50 nlemma subseteq_trans: ∀A.∀S,T,U: Ω^A. S ⊆ T → T ⊆ U → S ⊆ U.
51 /3/.nqed.
52
53 include "properties/relations1.ma".
54
55 ndefinition seteq: ∀A. equivalence_relation1 (Ω^A).
56 #A; @(λS,S'. S ⊆ S' ∧ S' ⊆ S); /2/; ##[ #A B; *; /3/]
57 #S T U; *; #H1 H2; *; /4/;
58 nqed.
59
60 include "sets/setoids1.ma".
61
62 ndefinition singleton ≝ λA:setoid.λa:A.{ x | a = x }.
63 interpretation "singl" 'singl a = (singleton ? a).
64
65 (* this has to be declared here, so that it is combined with carr *)
66 ncoercion full_set : ∀A:Type[0]. Ω^A ≝ full_set on A: Type[0] to (Ω^?).
67
68 ndefinition powerclass_setoid: Type[0] → setoid1.
69  #A; @(Ω^A);//.
70 nqed.
71
72 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type2".
73 unification hint 0 ≔ A;
74   R ≟ (mk_setoid1 (Ω^A) (eq1 (powerclass_setoid A)))
75 (*--------------------------------------------------*)⊢ 
76      carr1 R ≡ Ω^A.
77
78 (************ SETS OVER SETOIDS ********************)
79
80 include "logic/cprop.ma".
81
82 nrecord ext_powerclass (A: setoid) : Type[1] ≝ { 
83    ext_carr:> Ω^A; (* qui pc viene dichiarato con un target preciso... 
84                       forse lo si vorrebbe dichiarato con un target più lasco 
85                       ma la sintassi :> non lo supporta *)
86    ext_prop: ∀x,x':A. x=x' → (x ∈ ext_carr) = (x' ∈ ext_carr) 
87 }.
88  
89 notation > "𝛀 ^ term 90 A" non associative with precedence 70 
90 for @{ 'ext_powerclass $A }.
91
92 notation < "Ω term 90 A \atop ≈" non associative with precedence 90 
93 for @{ 'ext_powerclass $A }.
94
95 interpretation "extensional powerclass" 'ext_powerclass a = (ext_powerclass a).
96
97 ndefinition Full_set: ∀A. 𝛀^A.
98  #A; @[ napply A | #x; #x'; #H; napply refl1]
99 nqed.
100 ncoercion Full_set: ∀A. ext_powerclass A ≝ Full_set on A: setoid to ext_powerclass ?.
101
102 ndefinition ext_seteq: ∀A. equivalence_relation1 (𝛀^A).
103  #A; @ [ napply (λS,S'. S = S') ] /2/.
104 nqed.
105
106 ndefinition ext_powerclass_setoid: setoid → setoid1.
107  #A; @ (ext_seteq A).
108 nqed.
109               
110 unification hint 0 ≔ A;
111       R ≟ (mk_setoid1 (𝛀^A) (eq1 (ext_powerclass_setoid A)))
112   (* ----------------------------------------------------- *) ⊢  
113                  carr1 R ≡ ext_powerclass A.
114
115 nlemma mem_ext_powerclass_setoid_is_morph: 
116  ∀A. (setoid1_of_setoid A) ⇒_1 ((𝛀^A) ⇒_1 CPROP).
117 #A; napply (mk_binary_morphism1 … (λx:setoid1_of_setoid A.λS: 𝛀^A. x ∈ S));
118 #a; #a'; #b; #b'; #Ha; *; #Hb1; #Hb2; @; #H
119 [ napply (. (ext_prop … Ha^-1)) | napply (. (ext_prop … Ha)) ] /2/.
120 nqed.
121
122 unification hint 0 ≔  AA : setoid, S : 𝛀^AA, x : carr AA;  
123      A ≟ carr AA,
124      SS ≟ (ext_carr ? S),
125      TT ≟ (mk_unary_morphism1 ?? 
126              (λx:carr1 (setoid1_of_setoid ?).
127                mk_unary_morphism1 ??
128                  (λS:carr1 (ext_powerclass_setoid ?). x ∈ (ext_carr ? S))
129                  (prop11 ?? (fun11 ?? (mem_ext_powerclass_setoid_is_morph AA) x)))
130              (prop11 ?? (mem_ext_powerclass_setoid_is_morph AA))),
131      T2 ≟ (ext_powerclass_setoid AA)
132 (*---------------------------------------------------------------------------*) ⊢ 
133     fun11 T2 CPROP (fun11 (setoid1_of_setoid AA) (unary_morphism1_setoid1 T2 CPROP) TT x) S ≡ mem A SS x.
134
135 nlemma set_ext : ∀S.∀A,B:Ω^S.A =_1 B → ∀x:S.(x ∈ A) =_1 (x ∈ B).
136 #S A B; *; #H1 H2 x; @; ##[ napply H1 | napply H2] nqed.
137
138 nlemma ext_set : ∀S.∀A,B:Ω^S.(∀x:S. (x ∈ A) = (x ∈ B)) → A = B.
139 #S A B H; @; #x; ncases (H x); #H1 H2; ##[ napply H1 | napply H2] nqed.
140
141 nlemma subseteq_is_morph: ∀A.  𝛀^A ⇒_1 𝛀^A ⇒_1 CPROP.
142  #A; napply (mk_binary_morphism1 … (λS,S':𝛀^A. S ⊆ S'));
143  #a; #a'; #b; #b'; *; #H1; #H2; *; /5/ by mk_iff, sym1, subseteq_trans;
144 nqed.
145
146 (* hints for ∩ *)
147 nlemma intersect_is_ext: ∀A. 𝛀^A → 𝛀^A → 𝛀^A.
148 #S A B; @ (A ∩ B); #x y Exy; @; *; #H1 H2; @;
149 ##[##1,2: napply (. Exy^-1╪_1#); nassumption;
150 ##|##3,4: napply (. Exy‡#); nassumption]
151 nqed.
152
153 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
154 unification hint 0 ≔ A : setoid, B,C : 𝛀^A;
155   AA ≟ carr A,
156   BB ≟ ext_carr ? B,
157   CC ≟ ext_carr ? C,
158   R ≟ (mk_ext_powerclass ? 
159         (ext_carr ? B ∩ ext_carr ? C) 
160         (ext_prop ? (intersect_is_ext ? B C))) 
161   (* ------------------------------------------*)  ⊢ 
162     ext_carr A R ≡ intersect AA BB CC.
163     
164 nlemma intersect_is_morph: ∀A. Ω^A ⇒_1 Ω^A ⇒_1 Ω^A.
165 #A; napply (mk_binary_morphism1 … (λS,S'. S ∩ S'));
166 #a; #a'; #b; #b'; *; #Ha1; #Ha2; *; #Hb1; #Hb2; @; #x; nnormalize; *;/3/.
167 nqed.
168
169 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
170 unification hint 0 ≔ A : Type[0], B,C : Ω^A;
171   T ≟ powerclass_setoid A,
172   R ≟ mk_unary_morphism1 ??
173        (λX. mk_unary_morphism1 ?? 
174          (λY.X ∩ Y) (prop11 ?? (fun11 ?? (intersect_is_morph A) X))) 
175        (prop11 ?? (intersect_is_morph A))
176 (*------------------------------------------------------------------------*) ⊢ 
177     fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) R B) C  ≡ intersect A B C.
178
179 interpretation "prop21 ext" 'prop2 l r =
180  (prop11 (ext_powerclass_setoid ?)
181   (unary_morphism1_setoid1 (ext_powerclass_setoid ?) ?) ? ?? l ?? r).
182
183 nlemma intersect_is_ext_morph: ∀A. 𝛀^A ⇒_1 𝛀^A ⇒_1 𝛀^A.
184  #A; napply (mk_binary_morphism1 … (intersect_is_ext …));
185  #a; #a'; #b; #b'; #Ha; #Hb; napply (prop11 … (intersect_is_morph A)); nassumption.
186 nqed.
187
188 unification hint 1 ≔ 
189       AA : setoid, B,C : 𝛀^AA;
190       A ≟ carr AA,
191       T ≟ ext_powerclass_setoid AA,
192       R ≟ (mk_unary_morphism1 ?? (λX:𝛀^AA.
193                mk_unary_morphism1 ?? (λY:𝛀^AA.
194                   mk_ext_powerclass AA 
195                     (ext_carr ? X ∩ ext_carr ? Y) 
196                     (ext_prop AA (intersect_is_ext ? X Y)))
197                 (prop11 ?? (fun11 ?? (intersect_is_ext_morph AA) X))) 
198               (prop11 ?? (intersect_is_ext_morph AA))) ,
199        BB ≟ (ext_carr ? B),
200        CC ≟ (ext_carr ? C)
201    (* ---------------------------------------------------------------------------------------*) ⊢ 
202       ext_carr AA (fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) R B) C) ≡ intersect A BB CC.
203
204
205 (* hints for ∪ *)
206 nlemma union_is_morph : ∀A. Ω^A ⇒_1 (Ω^A ⇒_1 Ω^A).
207 #X; napply (mk_binary_morphism1 … (λA,B.A ∪ B));
208 #A1 A2 B1 B2 EA EB; napply ext_set; #x;
209 nchange in match (x ∈ (A1 ∪ B1)) with (?∨?);
210 napply (.= (set_ext ??? EA x)‡#);
211 napply (.= #‡(set_ext ??? EB x)); //;
212 nqed.
213
214 nlemma union_is_ext: ∀A. 𝛀^A → 𝛀^A → 𝛀^A.
215  #S A B; @ (A ∪ B); #x y Exy; @; *; #H1; 
216 ##[##1,3: @; ##|##*: @2 ]
217 ##[##1,3: napply (. (Exy^-1)╪_1#) 
218 ##|##2,4: napply (. Exy╪_1#)]
219 nassumption;
220 nqed.
221
222 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
223 unification hint 0 ≔ A : setoid, B,C :  𝛀^A;
224    AA ≟ carr A,
225    BB ≟ ext_carr ? B,
226    CC ≟ ext_carr ? C,
227    R ≟ mk_ext_powerclass ? 
228          (ext_carr ? B ∪ ext_carr ? C) (ext_prop ? (union_is_ext ? B C))
229 (*-------------------------------------------------------------------------*)  ⊢
230     ext_carr A R ≡ union AA BB CC.
231
232 unification hint 0 ≔ S:Type[0], A,B:Ω^S;
233   T ≟ powerclass_setoid S,
234   MM ≟ mk_unary_morphism1 ??
235         (λA.mk_unary_morphism1 ?? 
236           (λB.A ∪ B) (prop11 ?? (fun11 ?? (union_is_morph S) A)))
237         (prop11 ?? (union_is_morph S))
238 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
239    fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) MM A) B ≡ A ∪ B.
240    
241 nlemma union_is_ext_morph:∀A.𝛀^A ⇒_1 𝛀^A ⇒_1 𝛀^A.
242 #A; napply (mk_binary_morphism1 …  (union_is_ext …));
243 #x1 x2 y1 y2 Ex Ey; napply (prop11 … (union_is_morph A)); nassumption.
244 nqed.
245             
246 unification hint 1 ≔
247   AA : setoid, B,C : 𝛀^AA;
248   A ≟ carr AA,
249   T ≟ ext_powerclass_setoid AA,  
250   R ≟ mk_unary_morphism1 ?? (λX:𝛀^AA.
251            mk_unary_morphism1 ?? (λY:𝛀^AA.
252               mk_ext_powerclass AA 
253                (ext_carr ? X ∪ ext_carr ? Y) (ext_prop AA (union_is_ext ? X Y)))
254             (prop11 ?? (fun11 ?? (union_is_ext_morph AA) X)))
255           (prop11 ?? (union_is_ext_morph AA)),
256    BB ≟ (ext_carr ? B),
257    CC ≟ (ext_carr ? C)
258 (*------------------------------------------------------*) ⊢
259    ext_carr AA (fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) R B) C) ≡ union A BB CC.
260
261
262 (* hints for - *)
263 nlemma substract_is_morph : ∀A. Ω^A ⇒_1 (Ω^A ⇒_1 Ω^A).
264 #X; napply (mk_binary_morphism1 … (λA,B.A - B));
265 #A1 A2 B1 B2 EA EB; napply ext_set; #x;
266 nchange in match (x ∈ (A1 - B1)) with (?∧?);
267 napply (.= (set_ext ??? EA x)‡#); @; *; #H H1; @; //; #H2; napply H1;
268 ##[ napply (. (set_ext ??? EB x)); ##| napply (. (set_ext ??? EB^-1 x)); ##] //;
269 nqed.
270
271 nlemma substract_is_ext: ∀A. 𝛀^A → 𝛀^A → 𝛀^A.
272  #S A B; @ (A - B); #x y Exy; @; *; #H1 H2; @; ##[##2,4: #H3; napply H2]
273 ##[##1,4: napply (. Exy╪_1#); // ##|##2,3: napply (. Exy^-1╪_1#); //]
274 nqed.
275
276 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
277 unification hint 0 ≔ A : setoid, B,C :  𝛀^A;
278    AA ≟ carr A,
279    BB ≟ ext_carr ? B,
280    CC ≟ ext_carr ? C,
281    R ≟ mk_ext_powerclass ? 
282          (ext_carr ? B - ext_carr ? C) 
283          (ext_prop ? (substract_is_ext ? B C))
284 (*---------------------------------------------------*)  ⊢
285     ext_carr A R ≡ substract AA BB CC.
286
287 unification hint 0 ≔ S:Type[0], A,B:Ω^S;
288   T ≟ powerclass_setoid S,  
289   MM ≟ mk_unary_morphism1 ??
290         (λA.mk_unary_morphism1 ?? 
291           (λB.A - B) (prop11 ?? (fun11 ?? (substract_is_morph S) A)))
292         (prop11 ?? (substract_is_morph S))
293 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
294    fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) MM A) B ≡ A - B.
295    
296 nlemma substract_is_ext_morph:∀A.𝛀^A ⇒_1 𝛀^A ⇒_1 𝛀^A.
297 #A; napply (mk_binary_morphism1 …  (substract_is_ext …));
298 #x1 x2 y1 y2 Ex Ey; napply (prop11 … (substract_is_morph A)); nassumption.
299 nqed.
300             
301 unification hint 1 ≔
302   AA : setoid, B,C : 𝛀^AA;
303   A ≟ carr AA,
304   T ≟ ext_powerclass_setoid AA,    
305   R ≟ mk_unary_morphism1 ?? (λX:𝛀^AA.
306            mk_unary_morphism1 ?? (λY:𝛀^AA.
307               mk_ext_powerclass AA 
308                 (ext_carr ? X - ext_carr ? Y) 
309                 (ext_prop AA (substract_is_ext ? X Y)))
310             (prop11 ?? (fun11 ?? (substract_is_ext_morph AA) X)))
311           (prop11 ?? (substract_is_ext_morph AA)),
312    BB ≟ (ext_carr ? B),
313    CC ≟ (ext_carr ? C)
314 (*------------------------------------------------------*) ⊢
315    ext_carr AA (fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) R B) C) ≡ substract A BB CC.
316
317 (* hints for {x} *)
318 nlemma single_is_morph : ∀A:setoid. (setoid1_of_setoid A) ⇒_1 Ω^A.
319 #X; @; ##[ napply (λx.{(x)}); ##] 
320 #a b E; napply ext_set; #x; @; #H; /3/; nqed.
321
322 nlemma single_is_ext: ∀A:setoid. A → 𝛀^A.
323 #X a; @; ##[ napply ({(a)}); ##] #x y E; @; #H; /3/; nqed. 
324
325 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
326 unification hint 0 ≔ A : setoid, a : carr A;
327    R ≟ (mk_ext_powerclass ? {(a)} (ext_prop ? (single_is_ext ? a)))
328 (*-------------------------------------------------------------------------*)  ⊢
329     ext_carr A R ≡ singleton A a.
330
331 unification hint 0 ≔ A:setoid, a : carr A;
332   T ≟ setoid1_of_setoid A,
333   AA ≟ carr A,
334   MM ≟ mk_unary_morphism1 ?? 
335          (λa:carr1 (setoid1_of_setoid A).{(a)}) (prop11 ?? (single_is_morph A))
336 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
337    fun11 T (powerclass_setoid AA) MM a ≡ {(a)}.
338    
339 nlemma single_is_ext_morph:∀A:setoid.(setoid1_of_setoid A) ⇒_1 𝛀^A.
340 #A; @; ##[ #a; napply (single_is_ext ? a); ##] #a b E; @; #x; /3/; nqed.
341             
342 unification hint 1 ≔ AA : setoid, a: carr AA;
343   T ≟ ext_powerclass_setoid AA,
344   R ≟ mk_unary_morphism1 ??
345        (λa:carr1 (setoid1_of_setoid AA).
346          mk_ext_powerclass AA {(a)} (ext_prop ? (single_is_ext AA a)))
347             (prop11 ?? (single_is_ext_morph AA))
348 (*------------------------------------------------------*) ⊢
349    ext_carr AA (fun11 (setoid1_of_setoid AA) T R a) ≡ singleton AA a.
350
351
352 (*
353 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type2".
354 unification hint 0 ≔
355   A : setoid, B,C : 𝛀^A ;
356   CC ≟ (ext_carr ? C),
357   BB ≟ (ext_carr ? B),
358   C1 ≟ (carr1 (powerclass_setoid (carr A))),
359   C2 ≟ (carr1 (ext_powerclass_setoid A))
360   ⊢ 
361      eq_rel1 C1 (eq1 (powerclass_setoid (carr A))) BB CC ≡ 
362           eq_rel1 C2 (eq1 (ext_powerclass_setoid A)) B C.
363           
364 unification hint 0 ≔
365   A, B : CPROP ⊢ iff A B ≡ eq_rel1 ? (eq1 CPROP) A B.    
366     
367 nlemma test: ∀U.∀A,B:𝛀^U. A ∩ B = A →
368  ∀x,y. x=y → x ∈ A → y ∈ A ∩ B.
369  #U; #A; #B; #H; #x; #y; #K; #K2;
370   alias symbol "prop2" = "prop21 mem".
371   alias symbol "invert" = "setoid1 symmetry".
372   napply (. K^-1‡H);
373   nassumption;
374 nqed. 
375
376
377 nlemma intersect_ok: ∀A. binary_morphism1 (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A).
378  #A; @
379   [ #S; #S'; @
380      [ napply (S ∩ S')
381      | #a; #a'; #Ha;
382         nwhd in ⊢ (? ? ? % %); @; *; #H1; #H2; @
383         [##1,2: napply (. Ha^-1‡#); nassumption;
384       ##|##3,4: napply (. Ha‡#); nassumption]##]
385  ##| #a; #a'; #b; #b'; #Ha; #Hb; nwhd; @; #x; nwhd in ⊢ (% → %); #H
386       [ alias symbol "invert" = "setoid1 symmetry".
387         alias symbol "refl" = "refl".
388 alias symbol "prop2" = "prop21".
389 napply (. ((#‡Ha^-1)‡(#‡Hb^-1))); nassumption
390       | napply (. ((#‡Ha)‡(#‡Hb))); nassumption ]##]
391 nqed.
392
393 (* unfold if intersect, exposing fun21 *)
394 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
395 unification hint 0 ≔ 
396   A : setoid, B,C : ext_powerclass A ⊢ 
397     pc A (fun21 …
398             (mk_binary_morphism1 …
399               (λS,S':qpowerclass_setoid A.mk_qpowerclass ? (S ∩ S') (mem_ok' ? (intersect_ok ? S S'))) 
400               (prop21 … (intersect_ok A))) 
401             B
402             C) 
403     ≡ intersect ? (pc ? B) (pc ? C).
404
405 nlemma test: ∀A:setoid. ∀U,V:qpowerclass A. ∀x,x':setoid1_of_setoid A. x=x' → x ∈ U ∩ V → x' ∈ U ∩ V.
406  #A; #U; #V; #x; #x'; #H; #p; napply (. (H^-1‡#)); nassumption.
407 nqed.
408 *)
409
410 ndefinition image: ∀A,B. (carr A → carr B) → Ω^A → Ω^B ≝
411  λA,B:setoid.λf:carr A → carr B.λSa:Ω^A.
412   {y | ∃x. x ∈ Sa ∧ eq_rel (carr B) (eq0 B) (f x) y}.
413
414 ndefinition counter_image: ∀A,B. (carr A → carr B) → Ω^B → Ω^A ≝
415  λA,B,f,Sb. {x | ∃y. y ∈ Sb ∧ f x = y}.
416
417 (******************* compatible equivalence relations **********************)
418
419 nrecord compatible_equivalence_relation (A: setoid) : Type[1] ≝
420  { rel:> equivalence_relation A;
421    compatibility: ∀x,x':A. x=x' → rel x x'
422  }.
423
424 ndefinition quotient: ∀A. compatible_equivalence_relation A → setoid.
425  #A; #R; @ A R; 
426 nqed.
427
428 (******************* first omomorphism theorem for sets **********************)
429
430 ndefinition eqrel_of_morphism:
431  ∀A,B. A ⇒_0 B → compatible_equivalence_relation A.
432  #A; #B; #f; @
433   [ @ [ napply (λx,y. f x = f y) ] /2/;
434 ##| #x; #x'; #H; nwhd; alias symbol "prop1" = "prop1".
435 napply (.= (†H)); // ]
436 nqed.
437
438 ndefinition canonical_proj: ∀A,R. A ⇒_0 (quotient A R).
439  #A; #R; @
440   [ napply (λx.x) |  #a; #a'; #H; napply (compatibility … R … H) ]
441 nqed.
442
443 ndefinition quotiented_mor:
444  ∀A,B.∀f:A ⇒_0 B.(quotient … (eqrel_of_morphism … f)) ⇒_0 B.
445  #A; #B; #f; @ [ napply f ] //.
446 nqed.
447
448 nlemma first_omomorphism_theorem_functions1:
449  ∀A,B.∀f: unary_morphism A B.
450   ∀x. f x = quotiented_mor … (canonical_proj … (eqrel_of_morphism … f) x).
451 //. nqed.
452
453 alias symbol "eq" = "setoid eq".
454 ndefinition surjective ≝
455  λA,B.λS: ext_powerclass A.λT: ext_powerclass B.λf:A ⇒_0 B.
456   ∀y. y ∈ T → ∃x. x ∈ S ∧ f x = y.
457
458 ndefinition injective ≝
459  λA,B.λS: ext_powerclass A.λf:A ⇒_0 B.
460   ∀x,x'. x ∈ S → x' ∈ S → f x = f x' → x = x'.
461
462 nlemma first_omomorphism_theorem_functions2:
463  ∀A,B.∀f:A ⇒_0 B. 
464    surjective … (Full_set ?) (Full_set ?) (canonical_proj ? (eqrel_of_morphism … f)).
465 /3/. nqed.
466
467 nlemma first_omomorphism_theorem_functions3:
468  ∀A,B.∀f:A ⇒_0 B. 
469    injective … (Full_set ?) (quotiented_mor … f).
470  #A; #B; #f; nwhd; #x; #x'; #Hx; #Hx'; #K; nassumption.
471 nqed.
472
473 nrecord isomorphism (A, B : setoid) (S: ext_powerclass A) (T: ext_powerclass B) : Type[0] ≝
474  { iso_f:> A ⇒_0 B;
475    f_closed: ∀x. x ∈ S → iso_f x ∈ T;
476    f_sur: surjective … S T iso_f;
477    f_inj: injective … S iso_f
478  }.
479
480
481 (*
482 nrecord isomorphism (A, B : setoid) (S: qpowerclass A) (T: qpowerclass B) : CProp[0] ≝
483  { iso_f:> unary_morphism A B;
484    f_closed: ∀x. x ∈ pc A S → fun1 ?? iso_f x ∈ pc B T}.
485    
486    
487 ncheck (λA:?.
488    λB:?.
489     λS:?.
490      λT:?.
491       λxxx:isomorphism A B S T.
492        match xxx
493        return λxxx:isomorphism A B S T.
494                ∀x: carr A.
495                 ∀x_72: mem (carr A) (pc A S) x.
496                  mem (carr B) (pc B T) (fun1 A B ((λ_.?) A B S T xxx) x)
497         with [ mk_isomorphism _ yyy ⇒ yyy ] ).   
498    
499    ;
500  }.
501 *)
502
503 (* Set theory *)
504
505 nlemma subseteq_intersection_l: ∀A.∀U,V,W:Ω^A.U ⊆ W ∨ V ⊆ W → U ∩ V ⊆ W.
506 #A; #U; #V; #W; *; #H; #x; *; /2/.
507 nqed.
508
509 nlemma subseteq_union_l: ∀A.∀U,V,W:Ω^A.U ⊆ W → V ⊆ W → U ∪ V ⊆ W.
510 #A; #U; #V; #W; #H; #H1; #x; *; /2/.
511 nqed.
512
513 nlemma subseteq_intersection_r: ∀A.∀U,V,W:Ω^A.W ⊆ U → W ⊆ V → W ⊆ U ∩ V.
514 /3/. nqed.
515
516 nlemma cupC : ∀S. ∀a,b:Ω^S.a ∪ b = b ∪ a.
517 #S a b; @; #w; *; nnormalize; /2/; nqed.
518
519 nlemma cupID : ∀S. ∀a:Ω^S.a ∪ a = a.
520 #S a; @; #w; ##[*; //] /2/; nqed.
521
522 (* XXX Bug notazione \cup, niente parentesi *)
523 nlemma cupA : ∀S.∀a,b,c:Ω^S.a ∪ b ∪ c = a ∪ (b ∪ c).
524 #S a b c; @; #w; *; /3/; *; /3/; nqed.
525
526 ndefinition Empty_set : ∀A.Ω^A ≝ λA.{ x | False }.
527
528 notation "∅" non associative with precedence 90 for @{ 'empty }.
529 interpretation "empty set" 'empty = (Empty_set ?).
530
531 nlemma cup0 :∀S.∀A:Ω^S.A ∪ ∅ = A.
532 #S p; @; #w; ##[*; //| #; @1; //] *; nqed.
533