matita/matita/nlibrary/sets/sets.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (******************* SETS OVER TYPES *****************)
  16
  17 include "logic/connectives.ma".
  18
  19 nrecord powerclass (A: Type[0]) : Type[1] ≝ { mem: A → CProp[0] }.
  20
  21 interpretation "mem" 'mem a S = (mem ? S a).
  22 interpretation "powerclass" 'powerset A = (powerclass A).
  23 interpretation "subset construction" 'subset \eta.x = (mk_powerclass ? x).
  24
  25 ndefinition subseteq ≝ λA.λU,V.∀a:A. a ∈ U → a ∈ V.
  26 interpretation "subseteq" 'subseteq U V = (subseteq ? U V).
  27
  28 ndefinition overlaps ≝ λA.λU,V.∃x:A.x ∈ U ∧ x ∈ V.
  29 interpretation "overlaps" 'overlaps U V = (overlaps ? U V).
  30
  31 ndefinition intersect ≝ λA.λU,V:Ω^A.{ x | x ∈ U ∧ x ∈ V }.
  32 interpretation "intersect" 'intersects U V = (intersect ? U V).
  33
  34 ndefinition union ≝ λA.λU,V:Ω^A.{ x | x ∈ U ∨ x ∈ V }.
  35 interpretation "union" 'union U V = (union ? U V).
  36
  37 ndefinition substract ≝ λA.λU,V:Ω^A.{ x | x ∈ U ∧ ¬ x ∈ V }.
  38 interpretation "substract" 'minus U V = (substract ? U V).
  39
  40
  41 ndefinition big_union ≝ λA,B.λT:Ω^A.λf:A → Ω^B.{ x | ∃i. i ∈ T ∧ x ∈ f i }.
  42
  43 ndefinition big_intersection ≝ λA,B.λT:Ω^A.λf:A → Ω^B.{ x | ∀i. i ∈ T → x ∈ f i }.
  44
  45 ndefinition full_set: ∀A. Ω^A ≝ λA.{ x | True }.
  46
  47 nlemma subseteq_refl: ∀A.∀S: Ω^A. S ⊆ S.
  48 //.nqed.
  49
  50 nlemma subseteq_trans: ∀A.∀S,T,U: Ω^A. S ⊆ T → T ⊆ U → S ⊆ U.
  51 /3/.nqed.
  52
  53 include "properties/relations1.ma".
  54
  55 ndefinition seteq: ∀A. equivalence_relation1 (Ω^A).
  56 #A; @(λS,S'. S ⊆ S' ∧ S' ⊆ S); /2/; ##[ #A B; *; /3/]
  57 #S T U; *; #H1 H2; *; /4/;
  58 nqed.
  59
  60 include "sets/setoids1.ma".
  61
  62 ndefinition singleton ≝ λA:setoid.λa:A.{ x | a = x }.
  63 interpretation "singl" 'singl a = (singleton ? a).
  64
  65 (* this has to be declared here, so that it is combined with carr *)
  66 ncoercion full_set : ∀A:Type[0]. Ω^A ≝ full_set on A: Type[0] to (Ω^?).
  67
  68 ndefinition powerclass_setoid: Type[0] → setoid1.
  69  #A; @(Ω^A);//.
  70 nqed.
  71
  72 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type2".
  73 unification hint 0 ≔ A;
  74   R ≟ (mk_setoid1 (Ω^A) (eq1 (powerclass_setoid A)))
  75 (*--------------------------------------------------*)⊢
  76      carr1 R ≡ Ω^A.
  77
  78 (************ SETS OVER SETOIDS ********************)
  79
  80 include "logic/cprop.ma".
  81
  82 nrecord ext_powerclass (A: setoid) : Type[1] ≝ {
  83    ext_carr:> Ω^A; (* qui pc viene dichiarato con un target preciso...
  84                       forse lo si vorrebbe dichiarato con un target più lasco
  85                       ma la sintassi :> non lo supporta *)
  86    ext_prop: ∀x,x':A. x=x' → (x ∈ ext_carr) = (x' ∈ ext_carr)
  87 }.
  88
  89 notation > "𝛀 ^ term 90 A" non associative with precedence 70
  90 for @{ 'ext_powerclass $A }.
  91
  92 notation < "Ω term 90 A \atop ≈" non associative with precedence 90
  93 for @{ 'ext_powerclass $A }.
  94
  95 interpretation "extensional powerclass" 'ext_powerclass a = (ext_powerclass a).
  96
  97 ndefinition Full_set: ∀A. 𝛀^A.
  98  #A; @[ napply A | #x; #x'; #H; napply refl1]
  99 nqed.
 100 ncoercion Full_set: ∀A. ext_powerclass A ≝ Full_set on A: setoid to ext_powerclass ?.
 101
 102 ndefinition ext_seteq: ∀A. equivalence_relation1 (𝛀^A).
 103  #A; @ [ napply (λS,S'. S = S') ] /2/.
 104 nqed.
 105
 106 ndefinition ext_powerclass_setoid: setoid → setoid1.
 107  #A; @ (ext_seteq A).
 108 nqed.
 109
 110 unification hint 0 ≔ A;
 111       R ≟ (mk_setoid1 (𝛀^A) (eq1 (ext_powerclass_setoid A)))
 112   (* ----------------------------------------------------- *) ⊢
 113                  carr1 R ≡ ext_powerclass A.
 114
 115 nlemma mem_ext_powerclass_setoid_is_morph:
 116  ∀A. (setoid1_of_setoid A) ⇒_1 ((𝛀^A) ⇒_1 CPROP).
 117 #A; napply (mk_binary_morphism1 … (λx:setoid1_of_setoid A.λS: 𝛀^A. x ∈ S));
 118 #a; #a'; #b; #b'; #Ha; *; #Hb1; #Hb2; @; #H
 119 [ napply (. (ext_prop … Ha^-1)) | napply (. (ext_prop … Ha)) ] /2/.
 120 nqed.
 121
 122 unification hint 0 ≔  AA : setoid, S : 𝛀^AA, x : carr AA;
 123      A ≟ carr AA,
 124      SS ≟ (ext_carr ? S),
 125      TT ≟ (mk_unary_morphism1 ??
 126              (λx:carr1 (setoid1_of_setoid ?).
 127                mk_unary_morphism1 ??
 128                  (λS:carr1 (ext_powerclass_setoid ?). x ∈ (ext_carr ? S))
 129                  (prop11 ?? (fun11 ?? (mem_ext_powerclass_setoid_is_morph AA) x)))
 130              (prop11 ?? (mem_ext_powerclass_setoid_is_morph AA))),
 131      T2 ≟ (ext_powerclass_setoid AA)
 132 (*---------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 133     fun11 T2 CPROP (fun11 (setoid1_of_setoid AA) (unary_morphism1_setoid1 T2 CPROP) TT x) S ≡ mem A SS x.
 134
 135 nlemma set_ext : ∀S.∀A,B:Ω^S.A =_1 B → ∀x:S.(x ∈ A) =_1 (x ∈ B).
 136 #S A B; *; #H1 H2 x; @; ##[ napply H1 | napply H2] nqed.
 137
 138 nlemma ext_set : ∀S.∀A,B:Ω^S.(∀x:S. (x ∈ A) = (x ∈ B)) → A = B.
 139 #S A B H; @; #x; ncases (H x); #H1 H2; ##[ napply H1 | napply H2] nqed.
 140
 141 nlemma subseteq_is_morph: ∀A.  𝛀^A ⇒_1 𝛀^A ⇒_1 CPROP.
 142  #A; napply (mk_binary_morphism1 … (λS,S':𝛀^A. S ⊆ S'));
 143  #a; #a'; #b; #b'; *; #H1; #H2; *; /5/ by mk_iff, sym1, subseteq_trans;
 144 nqed.
 145
 146 (* hints for ∩ *)
 147 nlemma intersect_is_ext: ∀A. 𝛀^A → 𝛀^A → 𝛀^A.
 148 #S A B; @ (A ∩ B); #x y Exy; @; *; #H1 H2; @;
 149 ##[##1,2: napply (. Exy^-1╪_1#); nassumption;
 150 ##|##3,4: napply (. Exy‡#); nassumption]
 151 nqed.
 152
 153 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 154 unification hint 0 ≔ A : setoid, B,C : 𝛀^A;
 155   AA ≟ carr A,
 156   BB ≟ ext_carr ? B,
 157   CC ≟ ext_carr ? C,
 158   R ≟ (mk_ext_powerclass ?
 159         (ext_carr ? B ∩ ext_carr ? C)
 160         (ext_prop ? (intersect_is_ext ? B C)))
 161   (* ------------------------------------------*)  ⊢
 162     ext_carr A R ≡ intersect AA BB CC.
 163
 164 nlemma intersect_is_morph: ∀A. Ω^A ⇒_1 Ω^A ⇒_1 Ω^A.
 165 #A; napply (mk_binary_morphism1 … (λS,S'. S ∩ S'));
 166 #a; #a'; #b; #b'; *; #Ha1; #Ha2; *; #Hb1; #Hb2; @; #x; nnormalize; *;/3/.
 167 nqed.
 168
 169 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 170 unification hint 0 ≔ A : Type[0], B,C : Ω^A;
 171   T ≟ powerclass_setoid A,
 172   R ≟ mk_unary_morphism1 ??
 173        (λX. mk_unary_morphism1 ??
 174          (λY.X ∩ Y) (prop11 ?? (fun11 ?? (intersect_is_morph A) X)))
 175        (prop11 ?? (intersect_is_morph A))
 176 (*------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 177     fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) R B) C  ≡ intersect A B C.
 178
 179 interpretation "prop21 ext" 'prop2 l r =
 180  (prop11 (ext_powerclass_setoid ?)
 181   (unary_morphism1_setoid1 (ext_powerclass_setoid ?) ?) ? ?? l ?? r).
 182
 183 nlemma intersect_is_ext_morph: ∀A. 𝛀^A ⇒_1 𝛀^A ⇒_1 𝛀^A.
 184  #A; napply (mk_binary_morphism1 … (intersect_is_ext …));
 185  #a; #a'; #b; #b'; #Ha; #Hb; napply (prop11 … (intersect_is_morph A)); nassumption.
 186 nqed.
 187
 188 unification hint 1 ≔
 189       AA : setoid, B,C : 𝛀^AA;
 190       A ≟ carr AA,
 191       T ≟ ext_powerclass_setoid AA,
 192       R ≟ (mk_unary_morphism1 ?? (λX:𝛀^AA.
 193                mk_unary_morphism1 ?? (λY:𝛀^AA.
 194                   mk_ext_powerclass AA
 195                     (ext_carr ? X ∩ ext_carr ? Y)
 196                     (ext_prop AA (intersect_is_ext ? X Y)))
 197                 (prop11 ?? (fun11 ?? (intersect_is_ext_morph AA) X)))
 198               (prop11 ?? (intersect_is_ext_morph AA))) ,
 199        BB ≟ (ext_carr ? B),
 200        CC ≟ (ext_carr ? C)
 201    (* ---------------------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 202       ext_carr AA (fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) R B) C) ≡ intersect A BB CC.
 203
 204
 205 (* hints for ∪ *)
 206 nlemma union_is_morph : ∀A. Ω^A ⇒_1 (Ω^A ⇒_1 Ω^A).
 207 #X; napply (mk_binary_morphism1 … (λA,B.A ∪ B));
 208 #A1 A2 B1 B2 EA EB; napply ext_set; #x;
 209 nchange in match (x ∈ (A1 ∪ B1)) with (?∨?);
 210 napply (.= (set_ext ??? EA x)‡#);
 211 napply (.= #‡(set_ext ??? EB x)); //;
 212 nqed.
 213
 214 nlemma union_is_ext: ∀A. 𝛀^A → 𝛀^A → 𝛀^A.
 215  #S A B; @ (A ∪ B); #x y Exy; @; *; #H1;
 216 ##[##1,3: @; ##|##*: @2 ]
 217 ##[##1,3: napply (. (Exy^-1)╪_1#)
 218 ##|##2,4: napply (. Exy╪_1#)]
 219 nassumption;
 220 nqed.
 221
 222 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 223 unification hint 0 ≔ A : setoid, B,C :  𝛀^A;
 224    AA ≟ carr A,
 225    BB ≟ ext_carr ? B,
 226    CC ≟ ext_carr ? C,
 227    R ≟ mk_ext_powerclass ?
 228          (ext_carr ? B ∪ ext_carr ? C) (ext_prop ? (union_is_ext ? B C))
 229 (*-------------------------------------------------------------------------*)  ⊢
 230     ext_carr A R ≡ union AA BB CC.
 231
 232 unification hint 0 ≔ S:Type[0], A,B:Ω^S;
 233   T ≟ powerclass_setoid S,
 234   MM ≟ mk_unary_morphism1 ??
 235         (λA.mk_unary_morphism1 ??
 236           (λB.A ∪ B) (prop11 ?? (fun11 ?? (union_is_morph S) A)))
 237         (prop11 ?? (union_is_morph S))
 238 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 239    fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) MM A) B ≡ A ∪ B.
 240
 241 nlemma union_is_ext_morph:∀A.𝛀^A ⇒_1 𝛀^A ⇒_1 𝛀^A.
 242 #A; napply (mk_binary_morphism1 …  (union_is_ext …));
 243 #x1 x2 y1 y2 Ex Ey; napply (prop11 … (union_is_morph A)); nassumption.
 244 nqed.
 245
 246 unification hint 1 ≔
 247   AA : setoid, B,C : 𝛀^AA;
 248   A ≟ carr AA,
 249   T ≟ ext_powerclass_setoid AA,
 250   R ≟ mk_unary_morphism1 ?? (λX:𝛀^AA.
 251            mk_unary_morphism1 ?? (λY:𝛀^AA.
 252               mk_ext_powerclass AA
 253                (ext_carr ? X ∪ ext_carr ? Y) (ext_prop AA (union_is_ext ? X Y)))
 254             (prop11 ?? (fun11 ?? (union_is_ext_morph AA) X)))
 255           (prop11 ?? (union_is_ext_morph AA)),
 256    BB ≟ (ext_carr ? B),
 257    CC ≟ (ext_carr ? C)
 258 (*------------------------------------------------------*) ⊢
 259    ext_carr AA (fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) R B) C) ≡ union A BB CC.
 260
 261
 262 (* hints for - *)
 263 nlemma substract_is_morph : ∀A. Ω^A ⇒_1 (Ω^A ⇒_1 Ω^A).
 264 #X; napply (mk_binary_morphism1 … (λA,B.A - B));
 265 #A1 A2 B1 B2 EA EB; napply ext_set; #x;
 266 nchange in match (x ∈ (A1 - B1)) with (?∧?);
 267 napply (.= (set_ext ??? EA x)‡#); @; *; #H H1; @; //; #H2; napply H1;
 268 ##[ napply (. (set_ext ??? EB x)); ##| napply (. (set_ext ??? EB^-1 x)); ##] //;
 269 nqed.
 270
 271 nlemma substract_is_ext: ∀A. 𝛀^A → 𝛀^A → 𝛀^A.
 272  #S A B; @ (A - B); #x y Exy; @; *; #H1 H2; @; ##[##2,4: #H3; napply H2]
 273 ##[##1,4: napply (. Exy╪_1#); // ##|##2,3: napply (. Exy^-1╪_1#); //]
 274 nqed.
 275
 276 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 277 unification hint 0 ≔ A : setoid, B,C :  𝛀^A;
 278    AA ≟ carr A,
 279    BB ≟ ext_carr ? B,
 280    CC ≟ ext_carr ? C,
 281    R ≟ mk_ext_powerclass ?
 282          (ext_carr ? B - ext_carr ? C)
 283          (ext_prop ? (substract_is_ext ? B C))
 284 (*---------------------------------------------------*)  ⊢
 285     ext_carr A R ≡ substract AA BB CC.
 286
 287 unification hint 0 ≔ S:Type[0], A,B:Ω^S;
 288   T ≟ powerclass_setoid S,
 289   MM ≟ mk_unary_morphism1 ??
 290         (λA.mk_unary_morphism1 ??
 291           (λB.A - B) (prop11 ?? (fun11 ?? (substract_is_morph S) A)))
 292         (prop11 ?? (substract_is_morph S))
 293 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 294    fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) MM A) B ≡ A - B.
 295
 296 nlemma substract_is_ext_morph:∀A.𝛀^A ⇒_1 𝛀^A ⇒_1 𝛀^A.
 297 #A; napply (mk_binary_morphism1 …  (substract_is_ext …));
 298 #x1 x2 y1 y2 Ex Ey; napply (prop11 … (substract_is_morph A)); nassumption.
 299 nqed.
 300
 301 unification hint 1 ≔
 302   AA : setoid, B,C : 𝛀^AA;
 303   A ≟ carr AA,
 304   T ≟ ext_powerclass_setoid AA,
 305   R ≟ mk_unary_morphism1 ?? (λX:𝛀^AA.
 306            mk_unary_morphism1 ?? (λY:𝛀^AA.
 307               mk_ext_powerclass AA
 308                 (ext_carr ? X - ext_carr ? Y)
 309                 (ext_prop AA (substract_is_ext ? X Y)))
 310             (prop11 ?? (fun11 ?? (substract_is_ext_morph AA) X)))
 311           (prop11 ?? (substract_is_ext_morph AA)),
 312    BB ≟ (ext_carr ? B),
 313    CC ≟ (ext_carr ? C)
 314 (*------------------------------------------------------*) ⊢
 315    ext_carr AA (fun11 T T (fun11 T (unary_morphism1_setoid1 T T) R B) C) ≡ substract A BB CC.
 316
 317 (* hints for {x} *)
 318 nlemma single_is_morph : ∀A:setoid. (setoid1_of_setoid A) ⇒_1 Ω^A.
 319 #X; @; ##[ napply (λx.{(x)}); ##]
 320 #a b E; napply ext_set; #x; @; #H; /3/; nqed.
 321
 322 nlemma single_is_ext: ∀A:setoid. A → 𝛀^A.
 323 #X a; @; ##[ napply ({(a)}); ##] #x y E; @; #H; /3/; nqed.
 324
 325 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 326 unification hint 0 ≔ A : setoid, a : carr A;
 327    R ≟ (mk_ext_powerclass ? {(a)} (ext_prop ? (single_is_ext ? a)))
 328 (*-------------------------------------------------------------------------*)  ⊢
 329     ext_carr A R ≡ singleton A a.
 330
 331 unification hint 0 ≔ A:setoid, a : carr A;
 332   T ≟ setoid1_of_setoid A,
 333   AA ≟ carr A,
 334   MM ≟ mk_unary_morphism1 ??
 335          (λa:carr1 (setoid1_of_setoid A).{(a)}) (prop11 ?? (single_is_morph A))
 336 (*--------------------------------------------------------------------------*) ⊢
 337    fun11 T (powerclass_setoid AA) MM a ≡ {(a)}.
 338
 339 nlemma single_is_ext_morph:∀A:setoid.(setoid1_of_setoid A) ⇒_1 𝛀^A.
 340 #A; @; ##[ #a; napply (single_is_ext ? a); ##] #a b E; @; #x; /3/; nqed.
 341
 342 unification hint 1 ≔ AA : setoid, a: carr AA;
 343   T ≟ ext_powerclass_setoid AA,
 344   R ≟ mk_unary_morphism1 ??
 345        (λa:carr1 (setoid1_of_setoid AA).
 346          mk_ext_powerclass AA {(a)} (ext_prop ? (single_is_ext AA a)))
 347             (prop11 ?? (single_is_ext_morph AA))
 348 (*------------------------------------------------------*) ⊢
 349    ext_carr AA (fun11 (setoid1_of_setoid AA) T R a) ≡ singleton AA a.
 350
 351
 352 (*
 353 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type2".
 354 unification hint 0 ≔
 355   A : setoid, B,C : 𝛀^A ;
 356   CC ≟ (ext_carr ? C),
 357   BB ≟ (ext_carr ? B),
 358   C1 ≟ (carr1 (powerclass_setoid (carr A))),
 359   C2 ≟ (carr1 (ext_powerclass_setoid A))
 360   ⊢
 361      eq_rel1 C1 (eq1 (powerclass_setoid (carr A))) BB CC ≡
 362           eq_rel1 C2 (eq1 (ext_powerclass_setoid A)) B C.
 363
 364 unification hint 0 ≔
 365   A, B : CPROP ⊢ iff A B ≡ eq_rel1 ? (eq1 CPROP) A B.
 366
 367 nlemma test: ∀U.∀A,B:𝛀^U. A ∩ B = A →
 368  ∀x,y. x=y → x ∈ A → y ∈ A ∩ B.
 369  #U; #A; #B; #H; #x; #y; #K; #K2;
 370   alias symbol "prop2" = "prop21 mem".
 371   alias symbol "invert" = "setoid1 symmetry".
 372   napply (. K^-1‡H);
 373   nassumption;
 374 nqed.
 375
 376
 377 nlemma intersect_ok: ∀A. binary_morphism1 (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A) (ext_powerclass_setoid A).
 378  #A; @
 379   [ #S; #S'; @
 380      [ napply (S ∩ S')
 381      | #a; #a'; #Ha;
 382         nwhd in ⊢ (? ? ? % %); @; *; #H1; #H2; @
 383         [##1,2: napply (. Ha^-1‡#); nassumption;
 384       ##|##3,4: napply (. Ha‡#); nassumption]##]
 385  ##| #a; #a'; #b; #b'; #Ha; #Hb; nwhd; @; #x; nwhd in ⊢ (% → %); #H
 386       [ alias symbol "invert" = "setoid1 symmetry".
 387         alias symbol "refl" = "refl".
 388 alias symbol "prop2" = "prop21".
 389 napply (. ((#‡Ha^-1)‡(#‡Hb^-1))); nassumption
 390       | napply (. ((#‡Ha)‡(#‡Hb))); nassumption ]##]
 391 nqed.
 392
 393 (* unfold if intersect, exposing fun21 *)
 394 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type1".
 395 unification hint 0 ≔
 396   A : setoid, B,C : ext_powerclass A ⊢
 397     pc A (fun21 …
 398             (mk_binary_morphism1 …
 399               (λS,S':qpowerclass_setoid A.mk_qpowerclass ? (S ∩ S') (mem_ok' ? (intersect_ok ? S S')))
 400               (prop21 … (intersect_ok A)))
 401             B
 402             C)
 403     ≡ intersect ? (pc ? B) (pc ? C).
 404
 405 nlemma test: ∀A:setoid. ∀U,V:qpowerclass A. ∀x,x':setoid1_of_setoid A. x=x' → x ∈ U ∩ V → x' ∈ U ∩ V.
 406  #A; #U; #V; #x; #x'; #H; #p; napply (. (H^-1‡#)); nassumption.
 407 nqed.
 408 *)
 409
 410 ndefinition image: ∀A,B. (carr A → carr B) → Ω^A → Ω^B ≝
 411  λA,B:setoid.λf:carr A → carr B.λSa:Ω^A.
 412   {y | ∃x. x ∈ Sa ∧ eq_rel (carr B) (eq0 B) (f x) y}.
 413
 414 ndefinition counter_image: ∀A,B. (carr A → carr B) → Ω^B → Ω^A ≝
 415  λA,B,f,Sb. {x | ∃y. y ∈ Sb ∧ f x = y}.
 416
 417 (******************* compatible equivalence relations **********************)
 418
 419 nrecord compatible_equivalence_relation (A: setoid) : Type[1] ≝
 420  { rel:> equivalence_relation A;
 421    compatibility: ∀x,x':A. x=x' → rel x x'
 422  }.
 423
 424 ndefinition quotient: ∀A. compatible_equivalence_relation A → setoid.
 425  #A; #R; @ A R;
 426 nqed.
 427
 428 (******************* first omomorphism theorem for sets **********************)
 429
 430 ndefinition eqrel_of_morphism:
 431  ∀A,B. A ⇒_0 B → compatible_equivalence_relation A.
 432  #A; #B; #f; @
 433   [ @ [ napply (λx,y. f x = f y) ] /2/;
 434 ##| #x; #x'; #H; nwhd; alias symbol "prop1" = "prop1".
 435 napply (.= (†H)); // ]
 436 nqed.
 437
 438 ndefinition canonical_proj: ∀A,R. A ⇒_0 (quotient A R).
 439  #A; #R; @
 440   [ napply (λx.x) |  #a; #a'; #H; napply (compatibility … R … H) ]
 441 nqed.
 442
 443 ndefinition quotiented_mor:
 444  ∀A,B.∀f:A ⇒_0 B.(quotient … (eqrel_of_morphism … f)) ⇒_0 B.
 445  #A; #B; #f; @ [ napply f ] //.
 446 nqed.
 447
 448 nlemma first_omomorphism_theorem_functions1:
 449  ∀A,B.∀f: unary_morphism A B.
 450   ∀x. f x = quotiented_mor … (canonical_proj … (eqrel_of_morphism … f) x).
 451 //. nqed.
 452
 453 alias symbol "eq" = "setoid eq".
 454 ndefinition surjective ≝
 455  λA,B.λS: ext_powerclass A.λT: ext_powerclass B.λf:A ⇒_0 B.
 456   ∀y. y ∈ T → ∃x. x ∈ S ∧ f x = y.
 457
 458 ndefinition injective ≝
 459  λA,B.λS: ext_powerclass A.λf:A ⇒_0 B.
 460   ∀x,x'. x ∈ S → x' ∈ S → f x = f x' → x = x'.
 461
 462 nlemma first_omomorphism_theorem_functions2:
 463  ∀A,B.∀f:A ⇒_0 B.
 464    surjective … (Full_set ?) (Full_set ?) (canonical_proj ? (eqrel_of_morphism … f)).
 465 /3/. nqed.
 466
 467 nlemma first_omomorphism_theorem_functions3:
 468  ∀A,B.∀f:A ⇒_0 B.
 469    injective … (Full_set ?) (quotiented_mor … f).
 470  #A; #B; #f; nwhd; #x; #x'; #Hx; #Hx'; #K; nassumption.
 471 nqed.
 472
 473 nrecord isomorphism (A, B : setoid) (S: ext_powerclass A) (T: ext_powerclass B) : Type[0] ≝
 474  { iso_f:> A ⇒_0 B;
 475    f_closed: ∀x. x ∈ S → iso_f x ∈ T;
 476    f_sur: surjective … S T iso_f;
 477    f_inj: injective … S iso_f
 478  }.
 479
 480
 481 (*
 482 nrecord isomorphism (A, B : setoid) (S: qpowerclass A) (T: qpowerclass B) : CProp[0] ≝
 483  { iso_f:> unary_morphism A B;
 484    f_closed: ∀x. x ∈ pc A S → fun1 ?? iso_f x ∈ pc B T}.
 485
 486
 487 ncheck (λA:?.
 488    λB:?.
 489     λS:?.
 490      λT:?.
 491       λxxx:isomorphism A B S T.
 492        match xxx
 493        return λxxx:isomorphism A B S T.
 494                ∀x: carr A.
 495                 ∀x_72: mem (carr A) (pc A S) x.
 496                  mem (carr B) (pc B T) (fun1 A B ((λ_.?) A B S T xxx) x)
 497         with [ mk_isomorphism _ yyy ⇒ yyy ] ).
 498
 499    ;
 500  }.
 501 *)
 502
 503 (* Set theory *)
 504
 505 nlemma subseteq_intersection_l: ∀A.∀U,V,W:Ω^A.U ⊆ W ∨ V ⊆ W → U ∩ V ⊆ W.
 506 #A; #U; #V; #W; *; #H; #x; *; /2/.
 507 nqed.
 508
 509 nlemma subseteq_union_l: ∀A.∀U,V,W:Ω^A.U ⊆ W → V ⊆ W → U ∪ V ⊆ W.
 510 #A; #U; #V; #W; #H; #H1; #x; *; /2/.
 511 nqed.
 512
 513 nlemma subseteq_intersection_r: ∀A.∀U,V,W:Ω^A.W ⊆ U → W ⊆ V → W ⊆ U ∩ V.
 514 /3/. nqed.
 515
 516 nlemma cupC : ∀S. ∀a,b:Ω^S.a ∪ b = b ∪ a.
 517 #S a b; @; #w; *; nnormalize; /2/; nqed.
 518
 519 nlemma cupID : ∀S. ∀a:Ω^S.a ∪ a = a.
 520 #S a; @; #w; ##[*; //] /2/; nqed.
 521
 522 (* XXX Bug notazione \cup, niente parentesi *)
 523 nlemma cupA : ∀S.∀a,b,c:Ω^S.a ∪ b ∪ c = a ∪ (b ∪ c).
 524 #S a b c; @; #w; *; /3/; *; /3/; nqed.
 525
 526 ndefinition Empty_set : ∀A.Ω^A ≝ λA.{ x | False }.
 527
 528 notation "∅" non associative with precedence 90 for @{ 'empty }.
 529 interpretation "empty set" 'empty = (Empty_set ?).
 530
 531 nlemma cup0 :∀S.∀A:Ω^S.A ∪ ∅ = A.
 532 #S p; @; #w; ##[*; //| #; @1; //] *; nqed.
 533