matita/matita/re_complete/lang.ma

   1 include "basics/list.ma".
   2 include "basics/sets.ma".
   3 include "basics/deqsets.ma".
   4
   5 definition word ≝ λS:DeqSet.list S.
   6
   7 notation "ϵ" non associative with precedence 90 for @{ 'epsilon }.
   8 interpretation "epsilon" 'epsilon = (nil ?).
   9
  10 (* concatenation *)
  11 definition cat : ∀S,l1,l2,w.Prop ≝
  12   λS.λl1,l2.λw:word S.∃w1,w2.w1 @ w2 = w ∧ l1 w1 ∧ l2 w2.
  13 notation "a · b" non associative with precedence 65 for @{ 'middot $a $b}.
  14 interpretation "cat lang" 'middot a b = (cat ? a b).
  15
  16 let rec flatten (S : DeqSet) (l : list (word S)) on l : word S ≝
  17 match l with [ nil ⇒ [ ] | cons w tl ⇒ w @ flatten ? tl ].
  18
  19 let rec conjunct (S : DeqSet) (l : list (word S)) (r : word S → Prop) on l: Prop ≝
  20 match l with [ nil ⇒ True | cons w tl ⇒ r w ∧ conjunct ? tl r ].
  21
  22 (* kleene's star *)
  23 definition star ≝ λS.λl.λw:word S.∃lw.flatten ? lw = w ∧ conjunct ? lw l.
  24 notation "a ^ *" non associative with precedence 90 for @{ 'star $a}.
  25 interpretation "star lang" 'star l = (star ? l).
  26
  27 lemma cat_ext_l: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
  28   A =1 C  → A · B =1 C · B.
  29 #S #A #B #C #H #w % * #w1 * #w2 * * #eqw #inw1 #inw2
  30 cases (H w1) /6/
  31 qed.
  32
  33 lemma cat_ext_r: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
  34   B =1 C → A · B =1 A · C.
  35 #S #A #B #C #H #w % * #w1 * #w2 * * #eqw #inw1 #inw2
  36 cases (H w2) /6/
  37 qed.
  38
  39 lemma cat_empty_l: ∀S.∀A:word S→Prop. ∅ · A =1 ∅.
  40 #S #A #w % [|*] * #w1 * #w2 * * #_ *
  41 qed.
  42
  43 lemma distr_cat_r: ∀S.∀A,B,C:word S →Prop.
  44   (A ∪ B) · C =1  A · C ∪ B · C.
  45 #S #A #B #C #w %
  46   [* #w1 * #w2 * * #eqw * /6/ |* * #w1 * #w2 * * /6/]
  47 qed.
  48
  49 (* derivative *)
  50
  51 definition deriv ≝ λS.λA:word S → Prop.λa,w. A (a::w).
  52
  53 lemma deriv_middot: ∀S,A,B,a. ¬ A ϵ →
  54   deriv S (A·B) a =1 (deriv S A a) · B.
  55 #S #A #B #a #noteps #w normalize %
  56   [* #w1 cases w1
  57     [* #w2 * * #_ #Aeps @False_ind /2/
  58     |#b #w2 * #w3 * * whd in ⊢ ((??%?)→?); #H destruct
  59      #H #H1 @(ex_intro … w2) @(ex_intro … w3) % // % //
  60     ]
  61   |* #w1 * #w2 * * #H #H1 #H2 @(ex_intro … (a::w1))
  62    @(ex_intro … w2) % // % normalize //
  63   ]
  64 qed.
  65
  66 (* star properties *)
  67 lemma espilon_in_star: ∀S.∀A:word S → Prop.
  68   A^* ϵ.
  69 #S #A @(ex_intro … [ ]) normalize /2/
  70 qed.
  71
  72 lemma cat_to_star:∀S.∀A:word S → Prop.
  73   ∀w1,w2. A w1 → A^* w2 → A^* (w1@w2).
  74 #S #A #w1 #w2 #Aw * #l * #H #H1 @(ex_intro … (w1::l))
  75 % normalize /2/
  76 qed.
  77
  78 lemma fix_star: ∀S.∀A:word S → Prop.
  79   A^* =1 A · A^* ∪ {ϵ}.
  80 #S #A #w %
  81   [* #l generalize in match w; -w cases l [normalize #w * /2/]
  82    #w1 #tl #w * whd in ⊢ ((??%?)→?); #eqw whd in ⊢ (%→?); *
  83    #w1A #cw1 %1 @(ex_intro … w1) @(ex_intro … (flatten S tl))
  84    % /2/ whd @(ex_intro … tl) /2/
  85   |* [2: whd in ⊢ (%→?); #eqw <eqw //]
  86    * #w1 * #w2 * * #eqw <eqw @cat_to_star
  87   ]
  88 qed.
  89
  90 lemma star_fix_eps : ∀S.∀A:word S → Prop.
  91   A^* =1 (A - {ϵ}) · A^* ∪ {ϵ}.
  92 #S #A #w %
  93   [* #l elim l
  94     [* whd in ⊢ ((??%?)→?); #eqw #_ %2 <eqw //
  95     |* [#tl #Hind * #H * #_ #H2 @Hind % [@H | //]
  96        |#a #w1 #tl #Hind * whd in ⊢ ((??%?)→?); #H1 * #H2 #H3 %1
  97         @(ex_intro … (a::w1)) @(ex_intro … (flatten S tl)) %
  98          [% [@H1 | normalize % /2/] |whd @(ex_intro … tl) /2/]
  99        ]
 100     ]
 101   |* [* #w1 * #w2 * * #eqw * #H1 #_ <eqw @cat_to_star //
 102      | whd in ⊢ (%→?); #H <H //
 103      ]
 104   ]
 105 qed.
 106
 107 lemma star_epsilon: ∀S:DeqSet.∀A:word S → Prop.
 108   A^* ∪ {ϵ} =1 A^*.
 109 #S #A #w % /2/ * //
 110 qed.
 111
 112 lemma epsilon_cat_r: ∀S.∀A:word S →Prop.
 113    A · {ϵ} =1  A.
 114 #S #A #w %
 115   [* #w1 * #w2 * * #eqw #inw1 normalize #eqw2 <eqw //
 116   |#inA @(ex_intro … w) @(ex_intro … [ ]) /3/
 117   ]
 118 qed.
 119
 120 lemma epsilon_cat_l: ∀S.∀A:word S →Prop.
 121    {ϵ} · A =1  A.
 122 #S #A #w %
 123   [* #w1 * #w2 * * #eqw normalize #eqw2 <eqw <eqw2 //
 124   |#inA @(ex_intro … ϵ) @(ex_intro … w) /3/
 125   ]
 126 qed.
 127
 128 lemma distr_cat_r_eps: ∀S.∀A,C:word S →Prop.
 129   (A ∪ {ϵ}) · C =1  A · C ∪ C.
 130 #S #A #C @eqP_trans [|@distr_cat_r |@eqP_union_l @epsilon_cat_l]
 131 qed.
 132