]> matita.cs.unibo.it Git - helm.git/blob - matita/matita/re_complete/moves.ma
initial properies of the "same top term constructor" predicate
[helm.git] / matita / matita / re_complete / moves.ma
1 include "re.ma".
2 include "basics/listb.ma".
3
4 let rec move (S: DeqSet) (x:S) (E: pitem S) on E : pre S ≝
5  match E with
6   [ pz ⇒ 〈 `∅, false 〉
7   | pe ⇒ 〈 ϵ, false 〉
8   | ps y ⇒ 〈 `y, false 〉
9   | pp y ⇒ 〈 `y, x == y 〉
10   | po e1 e2 ⇒ (move ? x e1) ⊕ (move ? x e2) 
11   | pc e1 e2 ⇒ (move ? x e1) ⊙ (move ? x e2)
12   | pk e ⇒ (move ? x e)^⊛ ].
13   
14 lemma move_plus: ∀S:DeqSet.∀x:S.∀i1,i2:pitem S.
15   move S x (i1 + i2) = (move ? x i1) ⊕ (move ? x i2).
16 // qed.
17
18 lemma move_cat: ∀S:DeqSet.∀x:S.∀i1,i2:pitem S.
19   move S x (i1 · i2) = (move ? x i1) ⊙ (move ? x i2).
20 // qed.
21
22 lemma move_star: ∀S:DeqSet.∀x:S.∀i:pitem S.
23   move S x i^* = (move ? x i)^⊛.
24 // qed.
25
26 definition pmove ≝ λS:DeqSet.λx:S.λe:pre S. move ? x (\fst e).
27
28 lemma pmove_def : ∀S:DeqSet.∀x:S.∀i:pitem S.∀b. 
29   pmove ? x 〈i,b〉 = move ? x i.
30 // qed.
31
32 lemma eq_to_eq_hd: ∀A.∀l1,l2:list A.∀a,b. 
33   a::l1 = b::l2 → a = b.
34 #A #l1 #l2 #a #b #H destruct //
35 qed. 
36
37 lemma same_kernel: ∀S:DeqSet.∀a:S.∀i:pitem S.
38   |\fst (move ? a i)| = |i|.
39 #S #a #i elim i //
40   [#i1 #i2 #H1 #H2 >move_cat >erase_odot //
41   |#i1 #i2 #H1 #H2 >move_plus whd in ⊢ (??%%); // 
42   ]
43 qed.
44
45 theorem move_ok:
46  ∀S:DeqSet.∀a:S.∀i:pitem S.∀w: word S. 
47    \sem{move ? a i} w ↔ \sem{i} (a::w).
48 #S #a #i elim i 
49   [normalize /2/
50   |normalize /2/
51   |normalize /2/
52   |normalize #x #w cases (true_or_false (a==x)) #H >H normalize
53     [>(\P H) % [* // #bot @False_ind //| #H1 destruct /2/]
54     |% [@False_ind |#H1 cases (\Pf H) #H2 @H2 destruct //]
55     ]
56   |#i1 #i2 #HI1 #HI2 #w >move_cat
57    @iff_trans[|@sem_odot] >same_kernel >sem_cat_w
58    @iff_trans[||@(iff_or_l … (HI2 w))] @iff_or_r 
59    @iff_trans[||@iff_sym @deriv_middot //]
60    @cat_ext_l @HI1
61   |#i1 #i2 #HI1 #HI2 #w >(sem_plus S i1 i2) >move_plus >sem_plus_w 
62    @iff_trans[|@sem_oplus] 
63    @iff_trans[|@iff_or_l [|@HI2]| @iff_or_r //]
64   |#i1 #HI1 #w >move_star 
65    @iff_trans[|@sem_ostar] >same_kernel >sem_star_w 
66    @iff_trans[||@iff_sym @deriv_middot //]
67    @cat_ext_l @HI1
68   ]
69 qed.
70     
71 notation > "x ↦* E" non associative with precedence 60 for @{moves ? $x $E}.
72 let rec moves (S : DeqSet) w e on w : pre S ≝
73  match w with
74   [ nil ⇒ e
75   | cons x w' ⇒ w' ↦* (move S x (\fst e))]. 
76
77 lemma moves_empty: ∀S:DeqSet.∀e:pre S. 
78   moves ? [ ] e = e.
79 // qed.
80
81 lemma moves_cons: ∀S:DeqSet.∀a:S.∀w.∀e:pre S. 
82   moves ? (a::w)  e = moves ? w (move S a (\fst e)).
83 // qed.
84
85 lemma moves_left : ∀S,a,w,e. 
86   moves S (w@[a]) e = move S a (\fst (moves S w e)). 
87 #S #a #w elim w // #x #tl #Hind #e >moves_cons >moves_cons //
88 qed.
89
90 lemma not_epsilon_sem: ∀S:DeqSet.∀a:S.∀w: word S. ∀e:pre S. 
91   iff ((a::w) ∈ e) ((a::w) ∈ \fst e).
92 #S #a #w * #i #b cases b normalize 
93   [% /2/ * // #H destruct |% normalize /2/]
94 qed.
95
96 lemma same_kernel_moves: ∀S:DeqSet.∀w.∀e:pre S.
97   |\fst (moves ? w e)| = |\fst e|.
98 #S #w elim w //
99 qed.
100
101 theorem decidable_sem: ∀S:DeqSet.∀w: word S. ∀e:pre S. 
102    (\snd (moves ? w e) = true) ↔ \sem{e} w.
103 #S #w elim w 
104  [* #i #b >moves_empty cases b % /2/
105  |#a #w1 #Hind #e >moves_cons
106   @iff_trans [||@iff_sym @not_epsilon_sem]
107   @iff_trans [||@move_ok] @Hind
108  ]
109 qed.
110
111 (************************ pit state ***************************)
112 definition pit_pre ≝ λS.λi.〈blank S (|i|), false〉. 
113
114 let rec occur (S: DeqSet) (i: re S) on i ≝  
115   match i with
116   [ z ⇒ [ ]
117   | e ⇒ [ ]
118   | s y ⇒ [y]
119   | o e1 e2 ⇒ unique_append ? (occur S e1) (occur S e2) 
120   | c e1 e2 ⇒ unique_append ? (occur S e1) (occur S e2) 
121   | k e ⇒ occur S e].
122
123 lemma not_occur_to_pit: ∀S,a.∀i:pitem S. memb S a (occur S (|i|)) ≠ true →
124   move S a i  = pit_pre S i.
125 #S #a #i elim i //
126   [#x normalize cases (a==x) normalize // #H @False_ind /2/
127   |#i1 #i2 #Hind1 #Hind2 #H >move_cat 
128    >Hind1 [2:@(not_to_not … H) #H1 @sublist_unique_append_l1 //]
129    >Hind2 [2:@(not_to_not … H) #H1 @sublist_unique_append_l2 //] //
130   |#i1 #i2 #Hind1 #Hind2 #H >move_plus 
131    >Hind1 [2:@(not_to_not … H) #H1 @sublist_unique_append_l1 //]
132    >Hind2 [2:@(not_to_not … H) #H1 @sublist_unique_append_l2 //] //
133   |#i #Hind #H >move_star >Hind // 
134   ]
135 qed.
136
137 lemma move_pit: ∀S,a,i. move S a (\fst (pit_pre S i)) = pit_pre S i.
138 #S #a #i elim i //
139   [#i1 #i2 #Hind1 #Hind2 >move_cat >Hind1 >Hind2 // 
140   |#i1 #i2 #Hind1 #Hind2 >move_plus >Hind1 >Hind2 // 
141   |#i #Hind >move_star >Hind //
142   ]
143 qed. 
144
145 lemma moves_pit: ∀S,w,i. moves S w (pit_pre S i) = pit_pre S i.
146 #S #w #i elim w // 
147 qed. 
148  
149 lemma to_pit: ∀S,w,e. ¬ sublist S w (occur S (|\fst e|)) →
150  moves S w e = pit_pre S (\fst e).
151 #S #w elim w
152   [#e * #H @False_ind @H normalize #a #abs @False_ind /2/
153   |#a #tl #Hind #e #H cases (true_or_false (memb S a (occur S (|\fst e|))))
154     [#Htrue >moves_cons whd in ⊢ (???%); <(same_kernel … a) 
155      @Hind >same_kernel @(not_to_not … H) #H1 #b #memb cases (orb_true_l … memb)
156       [#H2 >(\P H2) // |#H2 @H1 //]
157     |#Hfalse >moves_cons >not_occur_to_pit // >Hfalse /2/ 
158     ]
159   ]
160 qed.
161
162 (* bisimulation *)
163 definition cofinal ≝ λS.λp:(pre S)×(pre S). 
164   \snd (\fst p) = \snd (\snd p).
165   
166 theorem equiv_sem: ∀S:DeqSet.∀e1,e2:pre S. 
167   \sem{e1} =1 \sem{e2} ↔ ∀w.cofinal ? 〈moves ? w e1,moves ? w e2〉.
168 #S #e1 #e2 % 
169 [#same_sem #w 
170   cut (∀b1,b2. iff (b1 = true) (b2 = true) → (b1 = b2)) 
171     [* * // * #H1 #H2 [@sym_eq @H1 //| @H2 //]]
172   #Hcut @Hcut @iff_trans [|@decidable_sem] 
173   @iff_trans [|@same_sem] @iff_sym @decidable_sem
174 |#H #w1 @iff_trans [||@decidable_sem] <H @iff_sym @decidable_sem]
175 qed.
176
177 definition occ ≝ λS.λe1,e2:pre S. 
178   unique_append ? (occur S (|\fst e1|)) (occur S (|\fst e2|)).
179
180 lemma occ_enough: ∀S.∀e1,e2:pre S.
181 (∀w.(sublist S w (occ S e1 e2))→ cofinal ? 〈moves ? w e1,moves ? w e2〉)
182  →∀w.cofinal ? 〈moves ? w e1,moves ? w e2〉.
183 #S #e1 #e2 #H #w
184 cases (decidable_sublist S w (occ S e1 e2)) [@H] -H #H
185  >to_pit [2: @(not_to_not … H) #H1 #a #memba @sublist_unique_append_l1 @H1 //]
186  >to_pit [2: @(not_to_not … H) #H1 #a #memba  @sublist_unique_append_l2 @H1 //]
187  //
188 qed.
189
190 lemma equiv_sem_occ: ∀S.∀e1,e2:pre S.
191 (∀w.(sublist S w (occ S e1 e2))→ cofinal ? 〈moves ? w e1,moves ? w e2〉)
192 → \sem{e1}=1\sem{e2}.
193 #S #e1 #e2 #H @(proj2 … (equiv_sem …)) @occ_enough #w @H 
194 qed.
195
196 definition sons ≝ λS:DeqSet.λl:list S.λp:(pre S)×(pre S). 
197  map ?? (λa.〈move S a (\fst (\fst p)),move S a (\fst (\snd p))〉) l.
198
199 lemma memb_sons: ∀S,l.∀p,q:(pre S)×(pre S). memb ? p (sons ? l q) = true →
200   ∃a.(move ? a (\fst (\fst q)) = \fst p ∧
201       move ? a (\fst (\snd q)) = \snd p).
202 #S #l elim l [#p #q normalize in ⊢ (%→?); #abs @False_ind /2/] 
203 #a #tl #Hind #p #q #H cases (orb_true_l … H) -H
204   [#H @(ex_intro … a) >(\P H) /2/ |#H @Hind @H]
205 qed.
206
207 definition is_bisim ≝ λS:DeqSet.λl:list ?.λalpha:list S.
208   ∀p:(pre S)×(pre S). memb ? p l = true → cofinal ? p ∧ (sublist ? (sons ? alpha p) l).
209
210 lemma bisim_to_sem: ∀S:DeqSet.∀l:list ?.∀e1,e2: pre S. 
211   is_bisim S l (occ S e1 e2) → memb ? 〈e1,e2〉 l = true → \sem{e1}=1\sem{e2}.
212 #S #l #e1 #e2 #Hbisim #Hmemb @equiv_sem_occ 
213 #w #Hsub @(proj1 … (Hbisim 〈moves S w e1,moves S w e2〉 ?))
214 lapply Hsub @(list_elim_left … w) [//]
215 #a #w1 #Hind #Hsub >moves_left >moves_left @(proj2 …(Hbisim …(Hind ?)))
216   [#x #Hx @Hsub @memb_append_l1 //
217   |cut (memb S a (occ S e1 e2) = true) [@Hsub @memb_append_l2 //] #occa 
218    @(memb_map … occa)
219   ]
220 qed.
221
222 (* the algorithm *)
223 let rec bisim S l n (frontier,visited: list ?) on n ≝
224   match n with 
225   [ O ⇒ 〈false,visited〉 (* assert false *)
226   | S m ⇒ 
227     match frontier with
228     [ nil ⇒ 〈true,visited〉
229     | cons hd tl ⇒
230       if beqb (\snd (\fst hd)) (\snd (\snd hd)) then
231         bisim S l m (unique_append ? (filter ? (λx.notb (memb ? x (hd::visited))) 
232         (sons S l hd)) tl) (hd::visited)
233       else 〈false,visited〉
234     ]
235   ].
236   
237 lemma unfold_bisim: ∀S,l,n.∀frontier,visited: list ?.
238   bisim S l n frontier visited =
239   match n with 
240   [ O ⇒ 〈false,visited〉 (* assert false *)
241   | S m ⇒ 
242     match frontier with
243     [ nil ⇒ 〈true,visited〉
244     | cons hd tl ⇒
245       if beqb (\snd (\fst hd)) (\snd (\snd hd)) then
246         bisim S l m (unique_append ? (filter ? (λx.notb(memb ? x (hd::visited))) 
247           (sons S l hd)) tl) (hd::visited)
248       else 〈false,visited〉
249     ]
250   ].
251 #S #l #n cases n // qed.
252   
253 lemma bisim_never: ∀S,l.∀frontier,visited: list ?.
254   bisim S l O frontier visited = 〈false,visited〉.
255 #frontier #visited >unfold_bisim // 
256 qed.
257
258 lemma bisim_end: ∀Sig,l,m.∀visited: list ?.
259   bisim Sig l (S m) [] visited = 〈true,visited〉.
260 #n #visisted >unfold_bisim // 
261 qed.
262
263 lemma bisim_step_true: ∀Sig,l,m.∀p.∀frontier,visited: list ?.
264 beqb (\snd (\fst p)) (\snd (\snd p)) = true →
265   bisim Sig l (S m) (p::frontier) visited = 
266   bisim Sig l m (unique_append ? (filter ? (λx.notb(memb ? x (p::visited))) 
267     (sons Sig l p)) frontier) (p::visited).
268 #Sig #l #m #p #frontier #visited #test >unfold_bisim normalize nodelta >test // 
269 qed.
270
271 lemma bisim_step_false: ∀Sig,l,m.∀p.∀frontier,visited: list ?.
272 beqb (\snd (\fst p)) (\snd (\snd p)) = false →
273   bisim Sig l (S m) (p::frontier) visited = 〈false,visited〉.
274 #Sig #l #m #p #frontier #visited #test >unfold_bisim normalize nodelta >test // 
275 qed.
276
277 lemma notb_eq_true_l: ∀b. notb b = true → b = false.
278 #b cases b normalize //
279 qed.
280
281 let rec pitem_enum S (i:re S) on i ≝
282   match i with
283   [ z ⇒ [pz S]
284   | e ⇒ [pe S]
285   | s y ⇒ [ps S y; pp S y]
286   | o i1 i2 ⇒ compose ??? (po S) (pitem_enum S i1) (pitem_enum S i2)
287   | c i1 i2 ⇒ compose ??? (pc S) (pitem_enum S i1) (pitem_enum S i2)
288   | k i ⇒ map ?? (pk S) (pitem_enum S i)
289   ].
290   
291 lemma pitem_enum_complete : ∀S.∀i:pitem S.
292   memb (DeqItem S) i (pitem_enum S (|i|)) = true.
293 #S #i elim i 
294   [1,2://
295   |3,4:#c normalize >(\b (refl … c)) //
296   |5,6:#i1 #i2 #Hind1 #Hind2 @(memb_compose (DeqItem S) (DeqItem S)) //
297   |#i #Hind @(memb_map (DeqItem S)) //
298   ]
299 qed.
300
301 definition pre_enum ≝ λS.λi:re S.
302   compose ??? (λi,b.〈i,b〉) (pitem_enum S i) [true;false].
303   
304 lemma pre_enum_complete : ∀S.∀e:pre S.
305   memb ? e (pre_enum S (|\fst e|)) = true.
306 #S * #i #b @(memb_compose (DeqItem S) DeqBool ? (λi,b.〈i,b〉))
307 // cases b normalize //
308 qed.
309  
310 definition space_enum ≝ λS.λi1,i2:re S.
311   compose ??? (λe1,e2.〈e1,e2〉) (pre_enum S i1) (pre_enum S i2).
312
313 lemma space_enum_complete : ∀S.∀e1,e2: pre S.
314   memb ? 〈e1,e2〉 (space_enum S (|\fst e1|) (|\fst e2|)) = true.
315 #S #e1 #e2 @(memb_compose … (λi,b.〈i,b〉))
316 // qed.
317
318 definition all_reachable ≝ λS.λe1,e2:pre S.λl: list ?.
319 uniqueb ? l = true ∧ 
320   ∀p. memb ? p l = true → 
321     ∃w.(moves S w e1 = \fst p) ∧ (moves S w e2 = \snd p). 
322
323 definition disjoint ≝ λS:DeqSet.λl1,l2.
324   ∀p:S. memb S p l1 = true →  memb S p l2 = false.
325         
326 lemma bisim_correct: ∀S.∀e1,e2:pre S.\sem{e1}=1\sem{e2} → 
327  ∀l,n.∀frontier,visited:list ((pre S)×(pre S)).
328  |space_enum S (|\fst e1|) (|\fst e2|)| < n + |visited|→
329  all_reachable S e1 e2 visited →  
330  all_reachable S e1 e2 frontier →
331  disjoint ? frontier visited →
332  \fst (bisim S l n frontier visited) = true.
333 #Sig #e1 #e2 #same #l #n elim n 
334   [#frontier #visited #abs * #unique #H @False_ind @(absurd … abs)
335    @le_to_not_lt @sublist_length // * #e11 #e21 #membp 
336    cut ((|\fst e11| = |\fst e1|) ∧ (|\fst e21| = |\fst e2|))
337    [|* #H1 #H2 <H1 <H2 @space_enum_complete]
338    cases (H … membp) #w * #we1 #we2 <we1 <we2 % >same_kernel_moves //    
339   |#m #HI * [#visited #vinv #finv >bisim_end //]
340    #p #front_tl #visited #Hn * #u_visited #r_visited * #u_frontier #r_frontier 
341    #disjoint
342    cut (∃w.(moves ? w e1 = \fst p) ∧ (moves ? w e2 = \snd p)) 
343     [@(r_frontier … (memb_hd … ))] #rp
344    cut (beqb (\snd (\fst p)) (\snd (\snd p)) = true)
345     [cases rp #w * #fstp #sndp <fstp <sndp @(\b ?) 
346      @(proj1 … (equiv_sem … )) @same] #ptest 
347    >(bisim_step_true … ptest) @HI -HI 
348      [<plus_n_Sm //
349      |% [whd in ⊢ (??%?); >(disjoint … (memb_hd …)) whd in ⊢ (??%?); //
350         |#p1 #H (cases (orb_true_l … H)) [#eqp >(\P eqp) // |@r_visited]
351         ]
352      |whd % [@unique_append_unique @(andb_true_r … u_frontier)]
353       @unique_append_elim #q #H
354        [cases (memb_sons … (memb_filter_memb … H)) -H
355         #a * #m1 #m2 cases rp #w1 * #mw1 #mw2 @(ex_intro … (w1@[a]))
356         >moves_left >moves_left >mw1 >mw2 >m1 >m2 % // 
357        |@r_frontier @memb_cons //
358        ]
359      |@unique_append_elim #q #H
360        [@injective_notb @(filter_true … H)
361        |cut ((q==p) = false) 
362          [|#Hpq whd in ⊢ (??%?); >Hpq @disjoint @memb_cons //]
363         cases (andb_true … u_frontier) #notp #_ @(\bf ?) 
364         @(not_to_not … not_eq_true_false) #eqqp <notp <eqqp >H //
365        ]
366      ]
367    ]  
368 qed.     
369
370 definition all_true ≝ λS.λl.∀p:(pre S) × (pre S). memb ? p l = true → 
371   (beqb (\snd (\fst p)) (\snd (\snd p)) = true).
372
373 definition sub_sons ≝ λS,l,l1,l2.∀x:(pre S) × (pre S). 
374 memb ? x l1 = true → sublist ? (sons ? l x) l2. 
375
376 lemma bisim_complete: 
377  ∀S,l,n.∀frontier,visited,visited_res:list ?.
378  all_true S visited →
379  sub_sons S l visited (frontier@visited) →
380  bisim S l n frontier visited = 〈true,visited_res〉 →
381  is_bisim S visited_res l ∧ sublist ? (frontier@visited) visited_res. 
382 #S #l #n elim n
383   [#fron #vis #vis_res #_ #_ >bisim_never #H destruct
384   |#m #Hind * 
385     [(* case empty frontier *)
386      -Hind #vis #vis_res #allv #H normalize in  ⊢ (%→?);
387      #H1 destruct % #p 
388       [#membp % [@(\P ?) @allv //| @H //]|#H1 @H1]
389     |#hd cases (true_or_false (beqb (\snd (\fst hd)) (\snd (\snd hd))))
390       [|(* case head of the frontier is non ok (absurd) *)
391        #H #tl #vis #vis_res #allv >(bisim_step_false … H) #_ #H1 destruct]
392      (* frontier = hd:: tl and hd is ok *)
393      #H #tl #visited #visited_res #allv >(bisim_step_true … H)
394      (* new_visited = hd::visited are all ok *)
395      cut (all_true S (hd::visited)) 
396       [#p #H1 cases (orb_true_l … H1) [#eqp >(\P eqp) @H |@allv]]
397      (* we now exploit the induction hypothesis *)
398      #allh #subH #bisim cases (Hind … allh … bisim) -bisim -Hind
399       [#H1 #H2 % // #p #membp @H2 -H2 cases (memb_append … membp) -membp #membp
400         [cases (orb_true_l … membp) -membp #membp
401           [@memb_append_l2 >(\P membp) @memb_hd
402           |@memb_append_l1 @sublist_unique_append_l2 // 
403           ]
404         |@memb_append_l2 @memb_cons //
405         ] 
406       |(* the only thing left to prove is the sub_sons invariant *)  
407      #x #membx cases (orb_true_l … membx)
408       [(* case x = hd *) 
409        #eqhdx <(\P eqhdx) #xa #membxa
410        (* xa is a son of x; we must distinguish the case xa 
411         was already visited form the case xa is new *)
412        cases (true_or_false … (memb ? xa (x::visited)))
413         [(* xa visited - trivial *) #membxa @memb_append_l2 //
414         |(* xa new *) #membxa @memb_append_l1 @sublist_unique_append_l1 @memb_filter_l
415           [>membxa //|//]
416         ]
417       |(* case x in visited *)
418        #H1 #xa #membxa cases (memb_append … (subH x … H1 … membxa))  
419         [#H2 (cases (orb_true_l … H2)) 
420           [#H3 @memb_append_l2 <(\P H3) @memb_hd
421           |#H3 @memb_append_l1 @sublist_unique_append_l2 @H3
422           ]
423         |#H2 @memb_append_l2 @memb_cons @H2
424         ]
425       ]
426     ]
427   ]
428 qed.
429
430 definition equiv ≝ λSig.λre1,re2:re Sig. 
431   let e1 ≝ •(blank ? re1) in
432   let e2 ≝ •(blank ? re2) in
433   let n ≝ S (length ? (space_enum Sig (|\fst e1|) (|\fst e2|))) in
434   let sig ≝ (occ Sig e1 e2) in
435   (bisim ? sig n [〈e1,e2〉] []).
436
437 theorem euqiv_sem : ∀Sig.∀e1,e2:re Sig.
438    \fst (equiv ? e1 e2) = true ↔ \sem{e1} =1 \sem{e2}.
439 #Sig #re1 #re2 %
440   [#H @eqP_trans [|@eqP_sym @re_embedding] @eqP_trans [||@re_embedding]
441    cut (equiv ? re1 re2 = 〈true,\snd (equiv ? re1 re2)〉)
442      [<H //] #Hcut
443    cases (bisim_complete … Hcut) 
444      [2,3: #p whd in ⊢ ((??%?)→?); #abs @False_ind /2/] 
445    #Hbisim #Hsub @(bisim_to_sem … Hbisim) 
446    @Hsub @memb_hd
447   |#H @(bisim_correct ? (•(blank ? re1)) (•(blank ? re2))) 
448     [@eqP_trans [|@re_embedding] @eqP_trans [|@H] @eqP_sym @re_embedding
449     |// 
450     |% // #p whd in ⊢ ((??%?)→?); #abs @False_ind /2/  
451     |% // #p #H >(memb_single … H) @(ex_intro … ϵ) /2/
452     |#p #_ normalize //
453     ]
454   ]
455 qed.
456
457 lemma eqbnat_true : ∀n,m. eqbnat n m = true ↔ n = m.
458 #n #m % [@eqbnat_true_to_eq | @eq_to_eqbnat_true]
459 qed.
460
461 definition DeqNat ≝ mk_DeqSet nat eqbnat eqbnat_true.
462
463 definition a ≝ s DeqNat O.
464 definition b ≝ s DeqNat (S O).
465 definition c ≝ s DeqNat (S (S O)).
466
467 definition exp1 ≝ ((a·b)^*·a).
468 definition exp2 ≝ a·(b·a)^*.
469 definition exp4 ≝ (b·a)^*.
470
471 definition exp6 ≝ a·(a ·a ·b^* + b^* ).
472 definition exp7 ≝ a · a^* · b^*.
473
474 definition exp8 ≝ a·a·a·a·a·a·a·a·(a^* ).
475 definition exp9 ≝ (a·a·a + a·a·a·a·a)^*.
476
477 example ex1 : \fst (equiv ? (exp8+exp9) exp9) = true.
478 normalize // qed.
479
480
481
482
483
484
485