matitaB/matita/contribs/ng_assembly2/universe/universe.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* ********************************************************************** *)
  16 (*                          Progetto FreeScale                            *)
  17 (*                                                                        *)
  18 (*   Sviluppato da: Ing. Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it              *)
  19 (*   Sviluppo: 2008-2010                                                  *)
  20 (*                                                                        *)
  21 (* ********************************************************************** *)
  22
  23 include "common/nelist.ma".
  24 include "common/prod.ma".
  25
  26 nlet rec nmember_natList (elem:nat) (l:ne_list nat) on l ≝
  27  match l with
  28   [ ne_nil h ⇒ ⊖(eqc ? elem h)
  29   | ne_cons h t ⇒ match eqc ? elem h with
  30    [ true ⇒ false | false ⇒ nmember_natList elem t ]
  31   ].
  32
  33 (* elem presente una ed una sola volta in l *)
  34 nlet rec member_natList (elem:nat) (l:ne_list nat) on l ≝
  35  match l with
  36   [ ne_nil h ⇒ eqc ? elem h
  37   | ne_cons h t ⇒ match eqc ? elem h with
  38     [ true ⇒ nmember_natList elem t | false ⇒ member_natList elem t ]
  39   ].
  40
  41 (* costruttore di un sottouniverso:
  42    S_EL cioe' uno qualsiasi degli elementi del sottouniverso
  43 *)
  44 ninductive S_UN (l:ne_list nat) : Type ≝
  45  S_EL : Πx:nat.((member_natList x l) = true) → S_UN l.
  46
  47 ndefinition getelem : ∀l.∀e:S_UN l.nat.
  48  #l; #s; nelim s;
  49  #u; #dim;
  50  napply u.
  51 nqed.
  52
  53 ndefinition eq_SUN ≝ λl.λx,y:S_UN l.eq_nat (getelem ? x) (getelem ? y).
  54
  55 ndefinition getdim : ∀l.∀e:S_UN l.member_natList (getelem ? e) l = true.
  56  #l; #s; nelim s;
  57  #u; #dim;
  58  napply dim.
  59 nqed.
  60
  61 nlemma SUN_destruct_1
  62  : ∀l.∀e1,e2.∀dim1,dim2.S_EL l e1 dim1 = S_EL l e2 dim2 → e1 = e2.
  63  #l; #e1; #e2; #dim1; #dim2; #H;
  64  nchange with (match S_EL l e2 dim2 with [ S_EL a _ ⇒ e1 = a ]);
  65  nrewrite < H;
  66  nnormalize;
  67  napply refl_eq.
  68 nqed.
  69
  70 (* destruct universale *)
  71 ndefinition SUN_destruct : ∀l.∀x,y:S_UN l.∀P:Prop.x = y → match eq_SUN l x y with [ true ⇒ P → P | false ⇒ P ].
  72  #l; #x; nelim x;
  73  #u1; #dim1;
  74  #y; nelim y;
  75  #u2; #dim2;
  76  #P;
  77  nchange with (? → (match eq_nat u1 u2 with [ true ⇒ P → P | false ⇒ P ]));
  78  #H;
  79  nrewrite > (SUN_destruct_1 l … H);
  80  nrewrite > (eq_to_eqc ? u2 u2 (refl_eq …));
  81  nnormalize;
  82  napply (λx.x).
  83 nqed.
  84
  85 (* eq_to_eqxx universale *)
  86 nlemma eq_to_eqSUN : ∀l.∀x,y:S_UN l.x = y → eq_SUN l x y = true.
  87  #l; #x; nelim x;
  88  #u1; #dim1;
  89  #y; nelim y;
  90  #u2; #dim2;
  91  nchange with (? → (eqc ? u1 u2) = true);
  92  #H; napply (eq_to_eqc ? u1 u2);
  93  napply (SUN_destruct_1 l … H).
  94 nqed.
  95
  96 (* neqxx_to_neq universale *)
  97 nlemma neqSUN_to_neq : ∀l.∀x,y:S_UN l.eq_SUN l x y = false → x ≠ y.
  98  #l; #n1; #n2; #H;
  99  napply (not_to_not (n1 = n2) (eq_SUN l n1 n2 = true) …);
 100  ##[ ##1: napply (eq_to_eqSUN l n1 n2)
 101  ##| ##2: napply (eqfalse_to_neqtrue … H)
 102  ##]
 103 nqed.
 104
 105 (* eqxx_to_eq universale *)
 106 (* !!! evidente ma come si fa? *)
 107 naxiom eqSUN_to_eq_aux : ∀l,x,y.((getelem l x) = (getelem l y)) → x = y.
 108
 109 nlemma eqSUN_to_eq : ∀l.∀x,y:S_UN l.eq_SUN l x y = true → x = y.
 110  #l; #x; #y;
 111  nchange with (((eqc ? (getelem ? x) (getelem ? y)) = true) → x = y);
 112  #H; napply (eqSUN_to_eq_aux l x y (eqc_to_eq … H)).
 113 nqed.
 114
 115 (* neq_to_neqxx universale *)
 116 nlemma neq_to_neqSUN : ∀l.∀x,y:S_UN l.x ≠ y → eq_SUN l x y = false.
 117  #l; #n1; #n2; #H;
 118  napply (neqtrue_to_eqfalse (eq_SUN l n1 n2));
 119  napply (not_to_not (eq_SUN l n1 n2 = true) (n1 = n2) ? H);
 120  napply (eqSUN_to_eq l n1 n2).
 121 nqed.
 122
 123 (* decidibilita' universale *)
 124 nlemma decidable_SUN : ∀l.∀x,y:S_UN l.decidable (x = y).
 125  #l; #x; #y; nnormalize;
 126  napply (or2_elim (eq_SUN l x y = true) (eq_SUN l x y = false) ? (decidable_bexpr ?));
 127  ##[ ##1: #H; napply (or2_intro1 (x = y) (x ≠ y) (eqSUN_to_eq l … H))
 128  ##| ##2: #H; napply (or2_intro2 (x = y) (x ≠ y) (neqSUN_to_neq l … H))
 129  ##]
 130 nqed.
 131
 132 (* simmetria di uguaglianza universale *)
 133 nlemma symmetric_eqSUN : ∀l.symmetricT (S_UN l) bool (eq_SUN l).
 134  #l; #n1; #n2;
 135  napply (or2_elim (n1 = n2) (n1 ≠ n2) ? (decidable_SUN l n1 n2));
 136  ##[ ##1: #H; nrewrite > H; napply refl_eq
 137  ##| ##2: #H; nrewrite > (neq_to_neqSUN l n1 n2 H);
 138           napply (symmetric_eq ? (eq_SUN l n2 n1) false);
 139           napply (neq_to_neqSUN l n2 n1 (symmetric_neq ? n1 n2 H))
 140  ##]
 141 nqed.
 142
 143 (* scheletro di funzione generica ad 1 argomento *)
 144 nlet rec farg1_auxT (T:Type) (l:ne_list nat) on l ≝
 145  match l with
 146   [ ne_nil _ ⇒ T
 147   | ne_cons _ t ⇒ ProdT T (farg1_auxT T t)
 148   ].
 149
 150 nlemma farg1_auxDim : ∀h,t,x.(eqc ? x h) = false → member_natList x (h§§t) = true → member_natList x t = true.
 151  #h; #t; #x; #H; #H1;
 152  nnormalize in H1:(%);
 153  nrewrite > H in H1:(%);
 154  nnormalize;
 155  napply (λx.x).
 156 nqed.
 157
 158 nlet rec farg1 (T:Type) (l:ne_list nat) on l ≝
 159  match l with
 160   [ ne_nil h ⇒ λarg:farg1_auxT T «£h».λx:S_UN «£h».arg
 161   | ne_cons h t ⇒ λarg:farg1_auxT T (h§§t).λx:S_UN (h§§t).
 162    match eqc ? (getelem ? x) h
 163     return λy.(eqc ? (getelem ? x) h) = y → ?
 164    with
 165     [ true ⇒ λp:((eqc ? (getelem ? x) h) = true).fst … arg
 166     | false ⇒ λp:((eqc ? (getelem ? x) h) = false).
 167      farg1 T t
 168       (snd … arg)
 169       (S_EL t (getelem ? x) (farg1_auxDim h t (getelem ? x) p (getdim ? x)))
 170     ] (refl_eq ? (eqc ? (getelem ? x) h))
 171   ].
 172
 173 (* scheletro di funzione generica a 2 argomenti *)
 174 nlet rec farg2 (T:Type) (l,lfix:ne_list nat) on l ≝
 175  match l with
 176   [ ne_nil h ⇒ λarg:farg1_auxT (farg1_auxT T lfix) «£h».λx:S_UN «£h».farg1 T lfix arg
 177   | ne_cons h t ⇒ λarg:farg1_auxT (farg1_auxT T lfix) (h§§t).λx:S_UN (h§§t).
 178    match eqc ? (getelem ? x) h
 179     return λy.(eqc ? (getelem ? x) h) = y → ?
 180    with
 181     [ true ⇒ λp:((eqc ? (getelem ? x) h) = true).farg1 T lfix (fst … arg)
 182     | false ⇒ λp:((eqc ? (getelem ? x) h) = false).
 183      farg2 T t lfix
 184       (snd … arg)
 185       (S_EL t (getelem ? x) (farg1_auxDim h t (getelem ? x) p (getdim ? x)))
 186     ] (refl_eq ? (eqc ? (getelem ? x) h))
 187   ].
 188
 189 (* esempio0: universo ottale *)
 190 ndefinition oct0 ≝ O.
 191 ndefinition oct1 ≝ nat1.
 192 ndefinition oct2 ≝ nat2.
 193 ndefinition oct3 ≝ nat3.
 194 ndefinition oct4 ≝ nat4.
 195 ndefinition oct5 ≝ nat5.
 196 ndefinition oct6 ≝ nat6.
 197 ndefinition oct7 ≝ nat7.
 198
 199 ndefinition oct_UN ≝ « oct0 ; oct1 ; oct2 ; oct3 ; oct4 ; oct5 ; oct6 £ oct7 ».
 200
 201 ndefinition uoct0 ≝ S_EL oct_UN oct0 (refl_eq …).
 202 ndefinition uoct1 ≝ S_EL oct_UN oct1 (refl_eq …).
 203 ndefinition uoct2 ≝ S_EL oct_UN oct2 (refl_eq …).
 204 ndefinition uoct3 ≝ S_EL oct_UN oct3 (refl_eq …).
 205 ndefinition uoct4 ≝ S_EL oct_UN oct4 (refl_eq …).
 206 ndefinition uoct5 ≝ S_EL oct_UN oct5 (refl_eq …).
 207 ndefinition uoct6 ≝ S_EL oct_UN oct6 (refl_eq …).
 208 ndefinition uoct7 ≝ S_EL oct_UN oct7 (refl_eq …).
 209
 210 (* esempio1: NOT ottale *)
 211 ndefinition octNOT ≝
 212  farg1 (S_UN oct_UN) oct_UN
 213   (pair … uoct7 (pair … uoct6 (pair … uoct5 (pair … uoct4 (pair … uoct3 (pair … uoct2 (pair … uoct1 uoct0))))))).
 214
 215 (* esempio2: AND ottale *)
 216 ndefinition octAND0 ≝ pair … uoct0 (pair … uoct0 (pair … uoct0 (pair … uoct0 (pair … uoct0 (pair … uoct0 (pair … uoct0 uoct0)))))).
 217 ndefinition octAND1 ≝ pair … uoct0 (pair … uoct1 (pair … uoct0 (pair … uoct1 (pair … uoct0 (pair … uoct1 (pair … uoct0 uoct1)))))).
 218 ndefinition octAND2 ≝ pair … uoct0 (pair … uoct0 (pair … uoct2 (pair … uoct2 (pair … uoct0 (pair … uoct0 (pair … uoct2 uoct2)))))).
 219 ndefinition octAND3 ≝ pair … uoct0 (pair … uoct1 (pair … uoct2 (pair … uoct3 (pair … uoct0 (pair … uoct1 (pair … uoct2 uoct3)))))).
 220 ndefinition octAND4 ≝ pair … uoct0 (pair … uoct0 (pair … uoct0 (pair … uoct0 (pair … uoct4 (pair … uoct4 (pair … uoct4 uoct4)))))).
 221 ndefinition octAND5 ≝ pair … uoct0 (pair … uoct1 (pair … uoct0 (pair … uoct1 (pair … uoct4 (pair … uoct5 (pair … uoct4 uoct5)))))).
 222 ndefinition octAND6 ≝ pair … uoct0 (pair … uoct0 (pair … uoct2 (pair … uoct2 (pair … uoct4 (pair … uoct4 (pair … uoct6 uoct6)))))).
 223 ndefinition octAND7 ≝ pair … uoct0 (pair … uoct1 (pair … uoct2 (pair … uoct3 (pair … uoct4 (pair … uoct5 (pair … uoct6 uoct7)))))).
 224
 225 ndefinition octAND ≝
 226  farg2 (S_UN oct_UN) oct_UN oct_UN
 227   (pair … octAND0 (pair … octAND1 (pair … octAND2 (pair … octAND3 (pair … octAND4 (pair … octAND5 (pair … octAND6 octAND7))))))).
 228
 229 (* ora e' possibile fare
 230    octNOT uoctX
 231    octAND uoctX uoctY
 232 *)