matitaB/matita/lib/arithmetics/nat.ma

   1 (*
   2     ||M||  This file is part of HELM, an Hypertextual, Electronic
   3     ||A||  Library of Mathematics, developed at the Computer Science
   4     ||T||  Department of the University of Bologna, Italy.
   5     ||I||
   6     ||T||
   7     ||A||  This file is distributed under the terms of the
   8     \   /  GNU General Public License Version 2
   9      \ /
  10       V_______________________________________________________________ *)
  11
  12 include "basics/relations.ma".
  13
  14 inductive nat : Type[0] ≝
  15   | O : nat
  16   | S : nat → nat.
  17
  18 interpretation "Natural numbers" 'N = nat.
  19
  20 alias num (instance 0) = "natural number".
  21
  22 definition pred ≝
  23  λn. match n with [ O ⇒ O | S p ⇒ p].
  24
  25 theorem pred_Sn : ∀n. n = pred (S n).
  26 // qed.
  27
  28 theorem injective_S : injective nat nat S.
  29 // qed.
  30
  31 (*
  32 theorem inj_S : \forall n,m:nat.(S n)=(S m) \to n=m.
  33 //. qed. *)
  34
  35 theorem not_eq_S: ∀n,m:nat. n ≠ m → S n ≠ S m.
  36 /2/ qed.
  37
  38 definition not_zero: nat → Prop ≝
  39  λn: nat. match n with [ O ⇒ False | (S p) ⇒ True ].
  40
  41 theorem not_eq_O_S : ∀n:nat. O ≠ S n.
  42 #n @nmk #eqOS (change with (not_zero O)) >eqOS // qed.
  43
  44 theorem not_eq_n_Sn: ∀n:nat. n ≠ S n.
  45 #n (elim n) /2/ qed.
  46
  47 theorem nat_case:
  48  ∀n:nat.∀P:nat → Prop.
  49   (n=O → P O) → (∀m:nat. n= S m → P (S m)) → P n.
  50 #n #P (elim n) /2/ qed.
  51
  52 theorem nat_elim2 :
  53  ∀R:nat → nat → Prop.
  54   (∀n:nat. R O n)
  55   → (∀n:nat. R (S n) O)
  56   → (∀n,m:nat. R n m → R (S n) (S m))
  57   → ∀n,m:nat. R n m.
  58 #R #ROn #RSO #RSS #n (elim n) // #n0 #Rn0m #m (cases m) /2/ qed.
  59
  60 theorem decidable_eq_nat : ∀n,m:nat.decidable (n=m).
  61 @nat_elim2 #n [ (cases n) /2/ | /3/ | #m #Hind (cases Hind) /3/]
  62 qed.
  63
  64 (*************************** plus ******************************)
  65
  66 let rec plus n m ≝
  67  match n with [ O ⇒ m | S p ⇒ S (plus p m) ].
  68
  69 interpretation "natural plus" 'plus x y = (plus x y).
  70
  71 theorem plus_O_n: ∀n:nat. n = O+n.
  72 // qed.
  73
  74 (*
  75 theorem plus_Sn_m: ∀n,m:nat. S (n + m) = S n + m.
  76 // qed.
  77 *)
  78
  79 theorem plus_n_O: ∀n:nat. n = n+O.
  80 #n (elim n) normalize // qed.
  81
  82 theorem plus_n_Sm : ∀n,m:nat. S (n+m) = n + S m.
  83 #n (elim n) normalize // qed.
  84
  85 (*
  86 theorem plus_Sn_m1: ∀n,m:nat. S m + n = n + S m.
  87 #n (elim n) normalize // qed.
  88 *)
  89
  90 (* deleterio?
  91 theorem plus_n_1 : ∀n:nat. S n = n+1.
  92 // qed.
  93 *)
  94
  95 theorem commutative_plus: commutative ? plus.
  96 #n (elim n) normalize // qed.
  97
  98 theorem associative_plus : associative nat plus.
  99 #n (elim n) normalize // qed.
 100
 101 theorem assoc_plus1: ∀a,b,c. c + (b + a) = b + c + a.
 102 // qed.
 103
 104 theorem injective_plus_r: ∀n:nat.injective nat nat (λm.n+m).
 105 #n (elim n) normalize /3/ qed.
 106
 107 (* theorem inj_plus_r: \forall p,n,m:nat. p+n = p+m \to n=m
 108 \def injective_plus_r.
 109
 110 theorem injective_plus_l: ∀m:nat.injective nat nat (λn.n+m).
 111 /2/ qed. *)
 112
 113 (* theorem inj_plus_l: \forall p,n,m:nat. n+p = m+p \to n=m
 114 \def injective_plus_l. *)
 115
 116 (*************************** times *****************************)
 117
 118 let rec times n m ≝
 119  match n with [ O ⇒ O | S p ⇒ m+(times p m) ].
 120
 121 interpretation "natural times" 'times x y = (times x y).
 122
 123 theorem times_Sn_m: ∀n,m:nat. m+n*m = S n*m.
 124 // qed.
 125
 126 theorem times_O_n: ∀n:nat. O = O*n.
 127 // qed.
 128
 129 theorem times_n_O: ∀n:nat. O = n*O.
 130 #n (elim n) // qed.
 131
 132 theorem times_n_Sm : ∀n,m:nat. n+(n*m) = n*(S m).
 133 #n (elim n) normalize // qed.
 134
 135 theorem commutative_times : commutative nat times.
 136 #n (elim n) normalize // qed.
 137
 138 (* variant sym_times : \forall n,m:nat. n*m = m*n \def
 139 symmetric_times. *)
 140
 141 theorem distributive_times_plus : distributive nat times plus.
 142 #n (elim n) normalize // qed.
 143
 144 theorem distributive_times_plus_r :
 145   ∀a,b,c:nat. (b+c)*a = b*a + c*a.
 146 // qed.
 147
 148 theorem associative_times: associative nat times.
 149 #n (elim n) normalize // qed.
 150
 151 lemma times_times: ∀x,y,z. x*(y*z) = y*(x*z).
 152 // qed.
 153
 154 theorem times_n_1 : ∀n:nat. n = n * 1.
 155 #n // qed.
 156
 157 (* ci servono questi risultati?
 158 theorem times_O_to_O: ∀n,m:nat.n*m=O → n=O ∨ m=O.
 159 napply nat_elim2 /2/
 160 #n #m #H normalize #H1 napply False_ind napply not_eq_O_S
 161 // qed.
 162
 163 theorem times_n_SO : ∀n:nat. n = n * S O.
 164 #n // qed.
 165
 166 theorem times_SSO_n : ∀n:nat. n + n = (S(S O)) * n.
 167 normalize // qed.
 168
 169 nlemma times_SSO: \forall n.(S(S O))*(S n) = S(S((S(S O))*n)).
 170 // qed.
 171
 172 theorem or_eq_eq_S: \forall n.\exists m.
 173 n = (S(S O))*m \lor n = S ((S(S O))*m).
 174 #n (elim n)
 175   ##[@ /2/
 176   ##|#a #H nelim H #b#ornelim or#aeq
 177     ##[@ b @ 2 //
 178     ##|@ (S b) @ 1 /2/
 179     ##]
 180 qed.
 181 *)
 182
 183 (******************** ordering relations ************************)
 184
 185 inductive le (n:nat) : nat → Prop ≝
 186   | le_n : le n n
 187   | le_S : ∀ m:nat. le n m → le n (S m).
 188
 189 interpretation "natural 'less or equal to'" 'leq x y = (le x y).
 190
 191 interpretation "natural 'neither less nor equal to'" 'nleq x y = (Not (le x y)).
 192
 193 definition lt: nat → nat → Prop ≝ λn,m. S n ≤ m.
 194
 195 interpretation "natural 'less than'" 'lt x y = (lt x y).
 196 interpretation "natural 'not less than'" 'nless x y = (Not (lt x y)).
 197
 198 (* lemma eq_lt: ∀n,m. (n < m) = (S n ≤ m).
 199 // qed. *)
 200
 201 definition ge: nat → nat → Prop ≝ λn,m.m ≤ n.
 202
 203 interpretation "natural 'greater or equal to'" 'geq x y = (ge x y).
 204
 205 definition gt: nat → nat → Prop ≝ λn,m.m<n.
 206
 207 interpretation "natural 'greater than'" 'gt x y = (gt x y).
 208 interpretation "natural 'not greater than'" 'ngtr x y = (Not (gt x y)).
 209
 210 theorem transitive_le : transitive nat le.
 211 #a #b #c #leab #lebc (elim lebc) /2/
 212 qed.
 213
 214 (*
 215 theorem trans_le: \forall n,m,p:nat. n \leq m \to m \leq p \to n \leq p
 216 \def transitive_le. *)
 217
 218 theorem transitive_lt: transitive nat lt.
 219 #a #b #c #ltab #ltbc (elim ltbc) /2/qed.
 220
 221 (*
 222 theorem trans_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to lt m p \to lt n p
 223 \def transitive_lt. *)
 224
 225 theorem le_S_S: ∀n,m:nat. n ≤ m → S n ≤ S m.
 226 #n #m #lenm (elim lenm) /2/ qed.
 227
 228 theorem le_O_n : ∀n:nat. O ≤ n.
 229 #n (elim n) /2/ qed.
 230
 231 theorem le_n_Sn : ∀n:nat. n ≤ S n.
 232 /2/ qed.
 233
 234 theorem le_pred_n : ∀n:nat. pred n ≤ n.
 235 #n (elim n) // qed.
 236
 237 theorem monotonic_pred: monotonic ? le pred.
 238 #n #m #lenm (elim lenm) /2/ qed.
 239
 240 theorem le_S_S_to_le: ∀n,m:nat. S n ≤ S m → n ≤ m.
 241 (* demo *)
 242 /2/ qed.
 243
 244 (* this are instances of the le versions
 245 theorem lt_S_S_to_lt: ∀n,m. S n < S m → n < m.
 246 /2/ qed.
 247
 248 theorem lt_to_lt_S_S: ∀n,m. n < m → S n < S m.
 249 /2/ qed. *)
 250
 251 theorem lt_to_not_zero : ∀n,m:nat. n < m → not_zero m.
 252 #n #m #Hlt (elim Hlt) // qed.
 253
 254 (* lt vs. le *)
 255 theorem not_le_Sn_O: ∀ n:nat. S n ≰ O.
 256 #n @nmk #Hlen0 @(lt_to_not_zero ?? Hlen0) qed.
 257
 258 theorem not_le_to_not_le_S_S: ∀ n,m:nat. n ≰ m → S n ≰ S m.
 259 /3/ qed.
 260
 261 theorem not_le_S_S_to_not_le: ∀ n,m:nat. S n ≰ S m → n ≰ m.
 262 /3/ qed.
 263
 264 theorem decidable_le: ∀n,m. decidable (n≤m).
 265 @nat_elim2 #n /2/ #m * /3/ qed.
 266
 267 theorem decidable_lt: ∀n,m. decidable (n < m).
 268 #n #m @decidable_le  qed.
 269
 270 theorem not_le_Sn_n: ∀n:nat. S n ≰ n.
 271 #n (elim n) /2/ qed.
 272
 273 (* this is le_S_S_to_le
 274 theorem lt_S_to_le: ∀n,m:nat. n < S m → n ≤ m.
 275 /2/ qed.
 276 *)
 277
 278 lemma le_gen: ∀P:nat → Prop.∀n.(∀i. i ≤ n → P i) → P n.
 279 /2/ qed.
 280
 281 theorem not_le_to_lt: ∀n,m. n ≰ m → m < n.
 282 @nat_elim2 #n
 283  [#abs @False_ind /2/
 284  |/2/
 285  |#m #Hind #HnotleSS @le_S_S /3/
 286  ]
 287 qed.
 288
 289 theorem lt_to_not_le: ∀n,m. n < m → m ≰ n.
 290 #n #m #Hltnm (elim Hltnm) /3/ qed.
 291
 292 theorem not_lt_to_le: ∀n,m:nat. n ≮ m → m ≤ n.
 293 /4/ qed.
 294
 295 theorem le_to_not_lt: ∀n,m:nat. n ≤ m → m ≮ n.
 296 #n #m #H @lt_to_not_le /2/ (* /3/ *) qed.
 297
 298 (* lt and le trans *)
 299
 300 theorem lt_to_le_to_lt: ∀n,m,p:nat. n < m → m ≤ p → n < p.
 301 #n #m #p #H #H1 (elim H1) /2/ qed.
 302
 303 theorem le_to_lt_to_lt: ∀n,m,p:nat. n ≤ m → m < p → n < p.
 304 #n #m #p #H (elim H) /3/ qed.
 305
 306 theorem lt_S_to_lt: ∀n,m. S n < m → n < m.
 307 /2/ qed.
 308
 309 theorem ltn_to_ltO: ∀n,m:nat. n < m → O < m.
 310 /2/ qed.
 311
 312 (*
 313 theorem lt_SO_n_to_lt_O_pred_n: \forall n:nat.
 314 (S O) \lt n \to O \lt (pred n).
 315 intros.
 316 apply (ltn_to_ltO (pred (S O)) (pred n) ?).
 317  apply (lt_pred (S O) n)
 318  [ apply (lt_O_S O)
 319  | assumption
 320  ]
 321 qed. *)
 322
 323 theorem lt_O_n_elim: ∀n:nat. O < n →
 324   ∀P:nat → Prop.(∀m:nat.P (S m)) → P n.
 325 #n (elim n) // #abs @False_ind /2/
 326 qed.
 327
 328 theorem S_pred: ∀n. 0 < n → S(pred n) = n.
 329 #n #posn (cases posn) //
 330 qed.
 331
 332 (*
 333 theorem lt_pred: \forall n,m.
 334   O < n \to n < m \to pred n < pred m.
 335 apply nat_elim2
 336   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 337   |intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H1)
 338   |intros.simplify.unfold.apply le_S_S_to_le.assumption
 339   ]
 340 qed.
 341
 342 theorem le_pred_to_le:
 343  ∀n,m. O < m → pred n ≤ pred m → n ≤ m.
 344 intros 2
 345 elim n
 346 [ apply le_O_n
 347 | simplify in H2
 348   rewrite > (S_pred m)
 349   [ apply le_S_S
 350     assumption
 351   | assumption
 352   ]
 353 ].
 354 qed.
 355
 356 *)
 357
 358 (* le to lt or eq *)
 359 theorem le_to_or_lt_eq: ∀n,m:nat. n ≤ m → n < m ∨ n = m.
 360 #n #m #lenm (elim lenm) /3/ qed.
 361
 362 (* not eq *)
 363 theorem lt_to_not_eq : ∀n,m:nat. n < m → n ≠ m.
 364 #n #m #H @not_to_not /2/ qed.
 365
 366 (*not lt
 367 theorem eq_to_not_lt: ∀a,b:nat. a = b → a ≮ b.
 368 intros.
 369 unfold Not.
 370 intros.
 371 rewrite > H in H1.
 372 apply (lt_to_not_eq b b)
 373 [ assumption
 374 | reflexivity
 375 ]
 376 qed.
 377
 378 theorem lt_n_m_to_not_lt_m_Sn: ∀n,m. n < m → m ≮ S n.
 379 intros
 380 unfold Not
 381 intro
 382 unfold lt in H
 383 unfold lt in H1
 384 generalize in match (le_S_S ? ? H)
 385 intro
 386 generalize in match (transitive_le ? ? ? H2 H1)
 387 intro
 388 apply (not_le_Sn_n ? H3).
 389 qed. *)
 390
 391 theorem not_eq_to_le_to_lt: ∀n,m. n≠m → n≤m → n<m.
 392 #n #m #Hneq #Hle cases (le_to_or_lt_eq ?? Hle) //
 393 #Heq /3/ qed.
 394 (*
 395 nelim (Hneq Heq) qed. *)
 396
 397 (* le elimination *)
 398 theorem le_n_O_to_eq : ∀n:nat. n ≤ O → O=n.
 399 #n (cases n) // #a  #abs @False_ind /2/ qed.
 400
 401 theorem le_n_O_elim: ∀n:nat. n ≤ O → ∀P: nat →Prop. P O → P n.
 402 #n (cases n) // #a #abs @False_ind /2/ qed.
 403
 404 theorem le_n_Sm_elim : ∀n,m:nat.n ≤ S m →
 405 ∀P:Prop. (S n ≤ S m → P) → (n=S m → P) → P.
 406 #n #m #Hle #P (elim Hle) /3/ qed.
 407
 408 (* le and eq *)
 409
 410 theorem le_to_le_to_eq: ∀n,m. n ≤ m → m ≤ n → n = m.
 411 @nat_elim2 /4/
 412 qed.
 413
 414 theorem lt_O_S : ∀n:nat. O < S n.
 415 /2/ qed.
 416
 417 (*
 418 (* other abstract properties *)
 419 theorem antisymmetric_le : antisymmetric nat le.
 420 unfold antisymmetric.intros 2.
 421 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.(n \leq m \to m \leq n \to n=m))).
 422 intros.apply le_n_O_to_eq.assumption.
 423 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H).
 424 intros.apply eq_f.apply H.
 425 apply le_S_S_to_le.assumption.
 426 apply le_S_S_to_le.assumption.
 427 qed.
 428
 429 theorem antisym_le: \forall n,m:nat. n \leq m \to m \leq n \to n=m
 430 \def antisymmetric_le.
 431
 432 theorem le_n_m_to_lt_m_Sn_to_eq_n_m: ∀n,m. n ≤ m → m < S n → n=m.
 433 intros
 434 unfold lt in H1
 435 generalize in match (le_S_S_to_le ? ? H1)
 436 intro
 437 apply antisym_le
 438 assumption.
 439 qed.
 440 *)
 441
 442 (* well founded induction principles *)
 443
 444 theorem nat_elim1 : ∀n:nat.∀P:nat → Prop.
 445 (∀m.(∀p. p < m → P p) → P m) → P n.
 446 #n #P #H
 447 cut (∀q:nat. q ≤ n → P q) /2/
 448 (elim n)
 449  [#q #HleO (* applica male *)
 450     @(le_n_O_elim ? HleO)
 451     @H #p #ltpO @False_ind /2/ (* 3 *)
 452  |#p #Hind #q #HleS
 453     @H #a #lta @Hind @le_S_S_to_le /2/
 454  ]
 455 qed.
 456
 457 (* some properties of functions *)
 458
 459 definition increasing ≝ λf:nat → nat. ∀n:nat. f n < f (S n).
 460
 461 theorem increasing_to_monotonic: ∀f:nat → nat.
 462   increasing f → monotonic nat lt f.
 463 #f #incr #n #m #ltnm (elim ltnm) /2/
 464 qed.
 465
 466 theorem le_n_fn: ∀f:nat → nat.
 467   increasing f → ∀n:nat. n ≤ f n.
 468 #f #incr #n (elim n) /2/
 469 qed.
 470
 471 theorem increasing_to_le: ∀f:nat → nat.
 472   increasing f → ∀m:nat.∃i.m ≤ f i.
 473 #f #incr #m (elim m) /2/#n * #a #lenfa
 474 @(ex_intro ?? (S a)) /2/
 475 qed.
 476
 477 theorem increasing_to_le2: ∀f:nat → nat. increasing f →
 478   ∀m:nat. f 0 ≤ m → ∃i. f i ≤ m ∧ m < f (S i).
 479 #f #incr #m #lem (elim lem)
 480   [@(ex_intro ? ? O) /2/
 481   |#n #len * #a * #len #ltnr (cases(le_to_or_lt_eq … ltnr)) #H
 482     [@(ex_intro ? ? a) % /2/
 483     |@(ex_intro ? ? (S a)) % //
 484     ]
 485   ]
 486 qed.
 487
 488 theorem increasing_to_injective: ∀f:nat → nat.
 489   increasing f → injective nat nat f.
 490 #f #incr #n #m cases(decidable_le n m)
 491   [#lenm cases(le_to_or_lt_eq … lenm) //
 492    #lenm #eqf @False_ind @(absurd … eqf) @lt_to_not_eq
 493    @increasing_to_monotonic //
 494   |#nlenm #eqf @False_ind @(absurd … eqf) @sym_not_eq
 495    @lt_to_not_eq @increasing_to_monotonic /2/
 496   ]
 497 qed.
 498
 499 (*********************** monotonicity ***************************)
 500 theorem monotonic_le_plus_r:
 501 ∀n:nat.monotonic nat le (λm.n + m).
 502 #n #a #b (elim n) normalize //
 503 #m #H #leab @le_S_S /2/ qed.
 504
 505 (*
 506 theorem le_plus_r: ∀p,n,m:nat. n ≤ m → p + n ≤ p + m
 507 ≝ monotonic_le_plus_r. *)
 508
 509 theorem monotonic_le_plus_l:
 510 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n + m).
 511 /2/ qed.
 512
 513 (*
 514 theorem le_plus_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n + p \le m + p
 515 \def monotonic_le_plus_l. *)
 516
 517 theorem le_plus: ∀n1,n2,m1,m2:nat. n1 ≤ n2  → m1 ≤ m2
 518 → n1 + m1 ≤ n2 + m2.
 519 #n1 #n2 #m1 #m2 #len #lem @(transitive_le ? (n1+m2))
 520 /2/ qed.
 521
 522 theorem le_plus_n :∀n,m:nat. m ≤ n + m.
 523 /2/ qed.
 524
 525 lemma le_plus_a: ∀a,n,m. n ≤ m → n ≤ a + m.
 526 /2/ qed.
 527
 528 lemma le_plus_b: ∀b,n,m. n + b ≤ m → n ≤ m.
 529 /2/ qed.
 530
 531 theorem le_plus_n_r :∀n,m:nat. m ≤ m + n.
 532 /2/ qed.
 533
 534 theorem eq_plus_to_le: ∀n,m,p:nat.n=m+p → m ≤ n.
 535 // qed.
 536
 537 theorem le_plus_to_le: ∀a,n,m. a + n ≤ a + m → n ≤ m.
 538 #a (elim a) normalize /3/ qed.
 539
 540 theorem le_plus_to_le_r: ∀a,n,m. n + a ≤ m +a → n ≤ m.
 541 /2/ qed.
 542
 543 (* plus & lt *)
 544
 545 theorem monotonic_lt_plus_r:
 546 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.n+m).
 547 /2/ qed.
 548
 549 (*
 550 variant lt_plus_r: \forall n,p,q:nat. p < q \to n + p < n + q \def
 551 monotonic_lt_plus_r. *)
 552
 553 theorem monotonic_lt_plus_l:
 554 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.m+n).
 555 /2/ qed.
 556
 557 (*
 558 variant lt_plus_l: \forall n,p,q:nat. p < q \to p + n < q + n \def
 559 monotonic_lt_plus_l. *)
 560
 561 theorem lt_plus: ∀n,m,p,q:nat. n < m → p < q → n + p < m + q.
 562 #n #m #p #q #ltnm #ltpq
 563 @(transitive_lt ? (n+q))/2/ qed.
 564
 565 theorem lt_plus_to_lt_l :∀n,p,q:nat. p+n < q+n → p<q.
 566 /2/ qed.
 567
 568 theorem lt_plus_to_lt_r :∀n,p,q:nat. n+p < n+q → p<q.
 569 /2/ qed.
 570
 571 (*
 572 theorem le_to_lt_to_lt_plus: ∀a,b,c,d:nat.
 573 a ≤ c → b < d → a + b < c+d.
 574 (* bello /2/ un po' lento *)
 575 #a #b #c #d #leac #lebd
 576 normalize napplyS le_plus // qed.
 577 *)
 578
 579 (* times *)
 580 theorem monotonic_le_times_r:
 581 ∀n:nat.monotonic nat le (λm. n * m).
 582 #n #x #y #lexy (elim n) normalize//(* lento /2/*)
 583 #a #lea @le_plus //
 584 qed.
 585
 586 (*
 587 theorem le_times_r: \forall p,n,m:nat. n \le m \to p*n \le p*m
 588 \def monotonic_le_times_r. *)
 589
 590 (*
 591 theorem monotonic_le_times_l:
 592 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n*m).
 593 /2/ qed.
 594 *)
 595
 596 (*
 597 theorem le_times_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n*p \le m*p
 598 \def monotonic_le_times_l. *)
 599
 600 theorem le_times: ∀n1,n2,m1,m2:nat.
 601 n1 ≤ n2  → m1 ≤ m2 → n1*m1 ≤ n2*m2.
 602 #n1 #n2 #m1 #m2 #len #lem @(transitive_le ? (n1*m2)) /2/
 603 qed.
 604
 605 (* interessante *)
 606 theorem lt_times_n: ∀n,m:nat. O < n → m ≤ n*m.
 607 #n #m #H /2/ qed.
 608
 609 theorem le_times_to_le:
 610 ∀a,n,m. O < a → a * n ≤ a * m → n ≤ m.
 611 #a @nat_elim2 normalize
 612   [//
 613   |#n #H1 #H2
 614      @(transitive_le ? (a*S n)) /2/
 615   |#n #m #H #lta #le
 616      @le_S_S @H /2/
 617   ]
 618 qed.
 619
 620 (*
 621 theorem le_S_times_2: ∀n,m.O < m → n ≤ m → S n ≤ 2*m.
 622 #n #m #posm #lenm  (* interessante *)
 623 applyS (le_plus n m) // qed. *)
 624
 625 (* times & lt *)
 626 (*
 627 theorem lt_O_times_S_S: ∀n,m:nat.O < (S n)*(S m).
 628 intros.simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 629 qed. *)
 630
 631 (*
 632 theorem lt_times_eq_O: \forall a,b:nat.
 633 O < a → a * b = O → b = O.
 634 intros.
 635 apply (nat_case1 b)
 636 [ intros.
 637   reflexivity
 638 | intros.
 639   rewrite > H2 in H1.
 640   rewrite > (S_pred a) in H1
 641   [ apply False_ind.
 642     apply (eq_to_not_lt O ((S (pred a))*(S m)))
 643     [ apply sym_eq.
 644       assumption
 645     | apply lt_O_times_S_S
 646     ]
 647   | assumption
 648   ]
 649 ]
 650 qed.
 651
 652 theorem O_lt_times_to_O_lt: \forall a,c:nat.
 653 O \lt (a * c) \to O \lt a.
 654 intros.
 655 apply (nat_case1 a)
 656 [ intros.
 657   rewrite > H1 in H.
 658   simplify in H.
 659   assumption
 660 | intros.
 661   apply lt_O_S
 662 ]
 663 qed.
 664
 665 lemma lt_times_to_lt_O: \forall i,n,m:nat. i < n*m \to O < m.
 666 intros.
 667 elim (le_to_or_lt_eq O ? (le_O_n m))
 668   [assumption
 669   |apply False_ind.
 670    rewrite < H1 in H.
 671    rewrite < times_n_O in H.
 672    apply (not_le_Sn_O ? H)
 673   ]
 674 qed. *)
 675
 676 (*
 677 theorem monotonic_lt_times_r:
 678 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.(S n)*m).
 679 /2/
 680 simplify.
 681 intros.elim n.
 682 simplify.rewrite < plus_n_O.rewrite < plus_n_O.assumption.
 683 apply lt_plus.assumption.assumption.
 684 qed. *)
 685
 686 theorem monotonic_lt_times_r:
 687   ∀c:nat. O < c → monotonic nat lt (λt.(c*t)).
 688 #c #posc #n #m #ltnm
 689 (elim ltnm) normalize
 690   [/2/
 691   |#a #_ #lt1 @(transitive_le … lt1) //
 692   ]
 693 qed.
 694
 695 theorem monotonic_lt_times_l:
 696   ∀c:nat. O < c → monotonic nat lt (λt.(t*c)).
 697 /2/
 698 qed.
 699
 700 theorem lt_to_le_to_lt_times:
 701 ∀n,m,p,q:nat. n < m → p ≤ q → O < q → n*p < m*q.
 702 #n #m #p #q #ltnm #lepq #posq
 703 @(le_to_lt_to_lt ? (n*q))
 704   [@monotonic_le_times_r //
 705   |@monotonic_lt_times_l //
 706   ]
 707 qed.
 708
 709 theorem lt_times:∀n,m,p,q:nat. n<m → p<q → n*p < m*q.
 710 #n #m #p #q #ltnm #ltpq @lt_to_le_to_lt_times/2/
 711 qed.
 712
 713 theorem lt_times_n_to_lt_l:
 714 ∀n,p,q:nat. p*n < q*n → p < q.
 715 #n #p #q #Hlt (elim (decidable_lt p q)) //
 716 #nltpq @False_ind @(absurd ? ? (lt_to_not_le ? ? Hlt))
 717 applyS monotonic_le_times_r /2/
 718 qed.
 719
 720 theorem lt_times_n_to_lt_r:
 721 ∀n,p,q:nat. n*p < n*q → p < q.
 722 /2/ qed.
 723
 724 (*
 725 theorem nat_compare_times_l : \forall n,p,q:nat.
 726 nat_compare p q = nat_compare ((S n) * p) ((S n) * q).
 727 intros.apply nat_compare_elim.intro.
 728 apply nat_compare_elim.
 729 intro.reflexivity.
 730 intro.absurd (p=q).
 731 apply (inj_times_r n).assumption.
 732 apply lt_to_not_eq. assumption.
 733 intro.absurd (q<p).
 734 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 735 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 736 intro.rewrite < H.rewrite > nat_compare_n_n.reflexivity.
 737 intro.apply nat_compare_elim.intro.
 738 absurd (p<q).
 739 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 740 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 741 intro.absurd (q=p).
 742 symmetry.
 743 apply (inj_times_r n).assumption.
 744 apply lt_to_not_eq.assumption.
 745 intro.reflexivity.
 746 qed. *)
 747
 748 (* times and plus
 749 theorem lt_times_plus_times: \forall a,b,n,m:nat.
 750 a < n \to b < m \to a*m + b < n*m.
 751 intros 3.
 752 apply (nat_case n)
 753   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 754   |intros.simplify.
 755    rewrite < sym_plus.
 756    unfold.
 757    change with (S b+a*m1 \leq m1+m*m1).
 758    apply le_plus
 759     [assumption
 760     |apply le_times
 761       [apply le_S_S_to_le.assumption
 762       |apply le_n
 763       ]
 764     ]
 765   ]
 766 qed. *)
 767
 768 (************************** minus ******************************)
 769
 770 let rec minus n m ≝
 771  match n with
 772  [ O ⇒ O
 773  | S p ⇒
 774         match m with
 775           [ O ⇒ S p
 776     | S q ⇒ minus p q ]].
 777
 778 interpretation "natural minus" 'minus x y = (minus x y).
 779
 780 theorem minus_S_S: ∀n,m:nat.S n - S m = n -m.
 781 // qed.
 782
 783 theorem minus_O_n: ∀n:nat.O=O-n.
 784 #n (cases n) // qed.
 785
 786 theorem minus_n_O: ∀n:nat.n=n-O.
 787 #n (cases n) // qed.
 788
 789 theorem minus_n_n: ∀n:nat.O=n-n.
 790 #n (elim n) // qed.
 791
 792 theorem minus_Sn_n: ∀n:nat. S O = (S n)-n.
 793 #n (elim n) normalize // qed.
 794
 795 theorem minus_Sn_m: ∀m,n:nat. m ≤ n → S n -m = S (n-m).
 796 (* qualcosa da capire qui
 797 #n #m #lenm nelim lenm napplyS refl_eq. *)
 798 @nat_elim2
 799   [//
 800   |#n #abs @False_ind /2/
 801   |#n #m #Hind #c applyS Hind /2/
 802   ]
 803 qed.
 804
 805 (*
 806 theorem not_eq_to_le_to_le_minus:
 807   ∀n,m.n ≠ m → n ≤ m → n ≤ m - 1.
 808 #n * #m (cases m// #m normalize
 809 #H #H1 napply le_S_S_to_le
 810 napplyS (not_eq_to_le_to_lt n (S m) H H1)
 811 qed. *)
 812
 813 theorem eq_minus_S_pred: ∀n,m. n - (S m) = pred(n -m).
 814 @nat_elim2 normalize // qed.
 815
 816 theorem plus_minus:
 817 ∀m,n,p:nat. m ≤ n → (n-m)+p = (n+p)-m.
 818 @nat_elim2
 819   [//
 820   |#n #p #abs @False_ind /2/
 821   |normalize/3/
 822   ]
 823 qed.
 824
 825 theorem minus_plus_m_m: ∀n,m:nat.n = (n+m)-m.
 826 /2/ qed.
 827
 828 theorem plus_minus_m_m: ∀n,m:nat.
 829   m ≤ n → n = (n-m)+m.
 830 #n #m #lemn @sym_eq /2/ qed.
 831
 832 theorem le_plus_minus_m_m: ∀n,m:nat. n ≤ (n-m)+m.
 833 #n (elim n) // #a #Hind #m (cases m) // normalize #n/2/
 834 qed.
 835
 836 theorem minus_to_plus :∀n,m,p:nat.
 837   m ≤ n → n-m = p → n = m+p.
 838 #n #m #p #lemn #eqp (applyS plus_minus_m_m) //
 839 qed.
 840
 841 theorem plus_to_minus :∀n,m,p:nat.n = m+p → n-m = p.
 842 #n #m #p #eqp @sym_eq (applyS (minus_plus_m_m p m))
 843 qed.
 844
 845 theorem minus_pred_pred : ∀n,m:nat. O < n → O < m →
 846 pred n - pred m = n - m.
 847 #n #m #posn #posm @(lt_O_n_elim n posn) @(lt_O_n_elim m posm) //.
 848 qed.
 849
 850
 851 (*
 852
 853 theorem le_SO_minus: \forall n,m:nat.S n \leq m \to S O \leq m-n.
 854 intros.elim H.elim (minus_Sn_n n).apply le_n.
 855 rewrite > minus_Sn_m.
 856 apply le_S.assumption.
 857 apply lt_to_le.assumption.
 858 qed.
 859
 860 theorem minus_le_S_minus_S: \forall n,m:nat. m-n \leq S (m-(S n)).
 861 intros.
 862 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.m-n \leq S (m-(S n)))).
 863 intro.elim n1.simplify.apply le_n_Sn.
 864 simplify.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 865 intros.simplify.apply le_n_Sn.
 866 intros.simplify.apply H.
 867 qed.
 868
 869 theorem lt_minus_S_n_to_le_minus_n : \forall n,m,p:nat. m-(S n) < p \to m-n \leq p.
 870 intros 3.intro.
 871 (* autobatch *)
 872 (* end auto($Revision: 9739 $) proof: TIME=1.33 SIZE=100 DEPTH=100 *)
 873 apply (trans_le (m-n) (S (m-(S n))) p).
 874 apply minus_le_S_minus_S.
 875 assumption.
 876 qed.
 877
 878 theorem le_minus_m: \forall n,m:nat. n-m \leq n.
 879 intros.apply (nat_elim2 (\lambda m,n. n-m \leq n)).
 880 intros.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 881 intros.simplify.apply le_n.
 882 intros.simplify.apply le_S.assumption.
 883 qed.
 884
 885 theorem lt_minus_m: \forall n,m:nat. O < n \to O < m \to n-m \lt n.
 886 intros.apply (lt_O_n_elim n H).intro.
 887 apply (lt_O_n_elim m H1).intro.
 888 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_minus_m.
 889 qed.
 890
 891 theorem minus_le_O_to_le: \forall n,m:nat. n-m \leq O \to n \leq m.
 892 intros 2.
 893 apply (nat_elim2 (\lambda n,m:nat.n-m \leq O \to n \leq m)).
 894 intros.apply le_O_n.
 895 simplify.intros. assumption.
 896 simplify.intros.apply le_S_S.apply H.assumption.
 897 qed.
 898 *)
 899
 900 (* monotonicity and galois *)
 901
 902 theorem monotonic_le_minus_l:
 903 ∀p,q,n:nat. q ≤ p → q-n ≤ p-n.
 904 @nat_elim2 #p #q
 905   [#lePO @(le_n_O_elim ? lePO) //
 906   |//
 907   |#Hind #n (cases n) // #a #leSS @Hind /2/
 908   ]
 909 qed.
 910
 911 theorem le_minus_to_plus: ∀n,m,p. n-m ≤ p → n≤ p+m.
 912 #n #m #p #lep @transitive_le
 913   [|@le_plus_minus_m_m | @monotonic_le_plus_l // ]
 914 qed.
 915
 916 theorem le_minus_to_plus_r: ∀a,b,c. c ≤ b → a ≤ b - c → a + c ≤ b.
 917 #a #b #c #Hlecb #H >(plus_minus_m_m … Hlecb) /2/
 918 qed.
 919
 920 theorem le_plus_to_minus: ∀n,m,p. n ≤ p+m → n-m ≤ p.
 921 #n #m #p #lep /2/ qed.
 922
 923 theorem le_plus_to_minus_r: ∀a,b,c. a + b ≤ c → a ≤ c -b.
 924 #a #b #c #H @(le_plus_to_le_r … b) /2/
 925 qed.
 926
 927 theorem lt_minus_to_plus: ∀a,b,c. a - b < c → a < c + b.
 928 #a #b #c #H @not_le_to_lt
 929 @(not_to_not … (lt_to_not_le …H)) /2/
 930 qed.
 931
 932 theorem lt_minus_to_plus_r: ∀a,b,c. a < b - c → a + c < b.
 933 #a #b #c #H @not_le_to_lt @(not_to_not … (le_plus_to_minus …))
 934 @lt_to_not_le //
 935 qed.
 936
 937 theorem lt_plus_to_minus: ∀n,m,p. m ≤ n → n < p+m → n-m < p.
 938 #n #m #p #lenm #H normalize <minus_Sn_m // @le_plus_to_minus //
 939 qed.
 940
 941 theorem lt_plus_to_minus_r: ∀a,b,c. a + b < c → a < c - b.
 942 #a #b #c #H @le_plus_to_minus_r //
 943 qed.
 944
 945 theorem monotonic_le_minus_r:
 946 ∀p,q,n:nat. q ≤ p → n-p ≤ n-q.
 947 #p #q #n #lepq @le_plus_to_minus
 948 @(transitive_le … (le_plus_minus_m_m ? q)) /2/
 949 qed.
 950
 951 theorem eq_minus_O: ∀n,m:nat.
 952   n ≤ m → n-m = O.
 953 #n #m #lenm @(le_n_O_elim (n-m)) /2/
 954 qed.
 955
 956 theorem distributive_times_minus: distributive ? times minus.
 957 #a #b #c
 958 (cases (decidable_lt b c)) #Hbc
 959  [> eq_minus_O /2/ >eq_minus_O //
 960   @monotonic_le_times_r /2/
 961  |@sym_eq (applyS plus_to_minus) <distributive_times_plus
 962   @eq_f (applyS plus_minus_m_m) /2/
 963 qed.
 964
 965 theorem minus_plus: ∀n,m,p. n-m-p = n -(m+p).
 966 #n #m #p
 967 cases (decidable_le (m+p) n) #Hlt
 968   [@plus_to_minus @plus_to_minus <associative_plus
 969    @minus_to_plus //
 970   |cut (n ≤ m+p) [@(transitive_le … (le_n_Sn …)) @not_le_to_lt //]
 971    #H >eq_minus_O /2/ >eq_minus_O //
 972   ]
 973 qed.
 974
 975 (*
 976 theorem plus_minus: ∀n,m,p. p ≤ m → (n+m)-p = n +(m-p).
 977 #n #m #p #lepm @plus_to_minus >(commutative_plus p)
 978 >associative_plus <plus_minus_m_m //
 979 qed.  *)
 980
 981 theorem minus_minus: ∀n,m,p:nat. p ≤ m → m ≤ n →
 982   p+(n-m) = n-(m-p).
 983 #n #m #p #lepm #lemn
 984 @sym_eq @plus_to_minus <associative_plus <plus_minus_m_m //
 985 <commutative_plus <plus_minus_m_m //
 986 qed.
 987
 988 (*********************** boolean arithmetics ********************)
 989 include "basics/bool.ma".
 990
 991 let rec eqb n m ≝
 992 match n with
 993   [ O ⇒ match m with [ O ⇒ true | S q ⇒ false]
 994   | S p ⇒ match m with [ O ⇒ false | S q ⇒ eqb p q]
 995   ].
 996
 997 theorem eqb_elim : ∀ n,m:nat.∀ P:bool → Prop.
 998 (n=m → (P true)) → (n ≠ m → (P false)) → (P (eqb n m)).
 999 @nat_elim2
1000   [#n (cases n) normalize /3/
1001   |normalize /3/
1002   |normalize /4/
1003   ]
1004 qed.
1005
1006 theorem eqb_n_n: ∀n. eqb n n = true.
1007 #n (elim n) normalize // qed.
1008
1009 theorem eqb_true_to_eq: ∀n,m:nat. eqb n m = true → n = m.
1010 #n #m @(eqb_elim n m) // #_ #abs @False_ind /2/ qed.
1011
1012 theorem eqb_false_to_not_eq: ∀n,m:nat. eqb n m = false → n ≠ m.
1013 #n #m @(eqb_elim n m) /2/ qed.
1014
1015 theorem eq_to_eqb_true: ∀n,m:nat.n = m → eqb n m = true.
1016 // qed.
1017
1018 theorem not_eq_to_eqb_false: ∀n,m:nat.
1019   n ≠  m → eqb n m = false.
1020 #n #m #noteq @eqb_elim// #Heq @False_ind /2/ qed.
1021
1022 let rec leb n m ≝
1023 match n with
1024     [ O ⇒ true
1025     | (S p) ⇒
1026         match m with
1027         [ O ⇒ false
1028               | (S q) ⇒ leb p q]].
1029
1030 theorem leb_elim: ∀n,m:nat. ∀P:bool → Prop.
1031 (n ≤ m → P true) → (n ≰ m → P false) → P (leb n m).
1032 @nat_elim2 normalize
1033   [/2/
1034   |/3/
1035   |#n #m #Hind #P #Pt #Pf @Hind
1036     [#lenm @Pt @le_S_S // |#nlenm @Pf /2/ ]
1037   ]
1038 qed.
1039
1040 theorem leb_true_to_le:∀n,m.leb n m = true → n ≤ m.
1041 #n #m @leb_elim // #_ #abs @False_ind /2/ qed.
1042
1043 theorem leb_false_to_not_le:∀n,m.
1044   leb n m = false → n ≰ m.
1045 #n #m @leb_elim // #_ #abs @False_ind /2/ qed.
1046
1047 theorem le_to_leb_true: ∀n,m. n ≤ m → leb n m = true.
1048 #n #m @leb_elim // #H #H1 @False_ind /2/ qed.
1049
1050 theorem not_le_to_leb_false: ∀n,m. n ≰ m → leb n m = false.
1051 #n #m @leb_elim // #H #H1 @False_ind /2/ qed.
1052
1053 theorem lt_to_leb_false: ∀n,m. m < n → leb n m = false.
1054 /3/ qed.
1055
1056 (* serve anche ltb?
1057 ndefinition ltb ≝λn,m. leb (S n) m.
1058
1059 theorem ltb_elim: ∀n,m:nat. ∀P:bool → Prop.
1060 (n < m → P true) → (n ≮ m → P false) → P (ltb n m).
1061 #n #m #P #Hlt #Hnlt
1062 napply leb_elim /3/ qed.
1063
1064 theorem ltb_true_to_lt:∀n,m.ltb n m = true → n < m.
1065 #n #m #Hltb napply leb_true_to_le nassumption
1066 qed.
1067
1068 theorem ltb_false_to_not_lt:∀n,m.
1069   ltb n m = false → n ≮ m.
1070 #n #m #Hltb napply leb_false_to_not_le nassumption
1071 qed.
1072
1073 theorem lt_to_ltb_true: ∀n,m. n < m → ltb n m = true.
1074 #n #m #Hltb napply le_to_leb_true nassumption
1075 qed.
1076
1077 theorem le_to_ltb_false: ∀n,m. m \le n → ltb n m = false.
1078 #n #m #Hltb napply lt_to_leb_false /2/
1079 qed. *)
1080
1081 (* min e max *)
1082 definition min: nat →nat →nat ≝
1083 λn.λm. if_then_else ? (leb n m) n m.
1084
1085 definition max: nat →nat →nat ≝
1086 λn.λm. if_then_else ? (leb n m) m n.
1087
1088 lemma commutative_min: commutative ? min.
1089 #n #m normalize @leb_elim
1090   [@leb_elim normalize /2/
1091   |#notle >(le_to_leb_true …) // @(transitive_le ? (S m)) /2/
1092   ] qed.
1093
1094 lemma le_minr: ∀i,n,m. i ≤ min n m → i ≤ m.
1095 #i #n #m normalize @leb_elim normalize /2/ qed.
1096
1097 lemma le_minl: ∀i,n,m. i ≤ min n m → i ≤ n.
1098 /2/ qed.
1099
1100 lemma to_min: ∀i,n,m. i ≤ n → i ≤ m → i ≤ min n m.
1101 #i #n #m #lein #leim normalize (cases (leb n m))
1102 normalize // qed.
1103
1104 lemma commutative_max: commutative ? max.
1105 #n #m normalize @leb_elim
1106   [@leb_elim normalize /2/
1107   |#notle >(le_to_leb_true …) // @(transitive_le ? (S m)) /2/
1108   ] qed.
1109
1110 lemma le_maxl: ∀i,n,m. max n m ≤ i → n ≤ i.
1111 #i #n #m normalize @leb_elim normalize /2/ qed.
1112
1113 lemma le_maxr: ∀i,n,m. max n m ≤ i → m ≤ i.
1114 /2/ qed.
1115
1116 lemma to_max: ∀i,n,m. n ≤ i → m ≤ i → max n m ≤ i.
1117 #i #n #m #leni #lemi normalize (cases (leb n m))
1118 normalize // qed.
1119