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advances non lfsx ...
[helm.git] / matitaB / matita / library / algebra / monoids.ma
1 (**************************************************************************)
2 (*       ___                                                              *)
3 (*      ||M||                                                             *)
4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
5 (*      ||T||                                                             *)
6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
9 (*      \   /                                                             *)
10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
12 (*                                                                        *)
13 (**************************************************************************)
14
15 include "algebra/semigroups.ma".
16
17 record PreMonoid : Type ≝
18 { pre_semi_group :> PreSemiGroup;
19   e              :  pre_semi_group 
20 }.
21
22 interpretation "Monoid unit" 'neutral = (e ?).
23
24 record IsMonoid (M:PreMonoid): Prop ≝
25  { is_pre_semi_group :> IsSemiGroup M;
26    e_is_left_unit    :  is_left_unit M ⅇ;
27    e_is_right_unit   :  is_right_unit M ⅇ
28  }.
29
30 record Monoid : Type ≝
31  { pre_monoid :> PreMonoid;
32    is_monoid  :> IsMonoid pre_monoid 
33  }.
34
35 definition SemiGroup_of_Monoid: Monoid → SemiGroup ≝
36  λM. mk_SemiGroup ? (is_monoid M).
37
38 coercion SemiGroup_of_Monoid nocomposites.
39
40 definition is_left_inverse ≝
41  λM:PreMonoid.
42   λopp: M → M.
43    ∀x:M. (opp x)·x = ⅇ.
44
45 definition is_right_inverse ≝
46  λM:PreMonoid.
47   λopp: M → M.
48    ∀x:M. x·(opp x) = ⅇ.
49
50 theorem is_left_inverse_to_is_right_inverse_to_eq:
51  ∀M:Monoid. ∀l,r.
52   is_left_inverse M l → is_right_inverse M r → 
53    ∀x:M. l x = r x.
54  intros;
55  lapply (H x) as H2;
56  lapply (eq_f ? ? (λy.y·(r x)) ? ? H2) as H3; clear H2;
57  rewrite > (op_is_associative ? M) in H3.
58  rewrite > H1 in H3;
59  rewrite > (e_is_left_unit ? M) in H3;
60  rewrite > (e_is_right_unit ? M) in H3;
61  assumption.
62 qed.