matitaB/matita/nlibrary/Plogic/connectives.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "Plogic/equality.ma".
  16
  17 inductive True: Prop ≝
  18 I : True.
  19
  20 inductive False: Prop ≝ .
  21
  22 (*
  23 ndefinition Not: Prop → Prop ≝
  24 λA. A → False. *)
  25
  26 inductive Not (A:Prop): Prop ≝
  27 nmk: (A → False) → Not A.
  28
  29 interpretation "logical not" 'not x = (Not x).
  30
  31 theorem absurd : ∀ A:Prop. A → ¬A → False.
  32 #A  #H  #Hn  elim Hn /2/  qed.
  33
  34 (*
  35 ntheorem absurd : ∀ A,C:Prop. A → ¬A → C.
  36 #A  #C  #H  #Hn  nelim (Hn H).
  37 nqed. *)
  38
  39 theorem not_to_not : ∀A,B:Prop. (A → B) → ¬B →¬A.
  40 /4/  qed.
  41
  42 inductive And (A,B:Prop) : Prop ≝
  43     conj : A → B → And A B.
  44
  45 interpretation "logical and" 'and x y = (And x y).
  46
  47 theorem proj1: ∀A,B:Prop. A ∧ B → A.
  48 #A  #B  #AB  elim AB  //.
  49 qed.
  50
  51 theorem proj2: ∀ A,B:Prop. A ∧ B → B.
  52 #A  #B  #AB  elim AB  //.
  53 qed.
  54
  55 inductive Or (A,B:Prop) : Prop ≝
  56      or_introl : A → (Or A B)
  57    | or_intror : B → (Or A B).
  58
  59 interpretation "logical or" 'or x y = (Or x y).
  60
  61 definition decidable : Prop → Prop ≝
  62 λ A:Prop. A ∨ ¬ A.
  63
  64 inductive ex (A:Type[0]) (P:A → Prop) : Prop ≝
  65     ex_intro: ∀ x:A. P x →  ex A P.
  66
  67 interpretation "exists" 'exists x = (ex ? x).
  68
  69 inductive ex2 (A:Type[0]) (P,Q:A \to Prop) : Prop ≝
  70     ex_intro2: ∀ x:A. P x → Q x → ex2 A P Q.
  71
  72 definition iff :=
  73  λ A,B. (A → B) ∧ (B → A).
  74
  75 interpretation "iff" 'iff a b = (iff a b).