matitaB/matita/nlibrary/sets/setoids1.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "properties/relations1.ma".
  16 include "sets/setoids.ma".
  17 include "hints_declaration.ma".
  18
  19 record setoid1: Type[2] ≝ {
  20   carr1:> Type[1];
  21   eq1: equivalence_relation1 carr1
  22 }.
  23
  24 unification hint 0 ≔ R : setoid1;
  25    MR ≟ (carr1 R),
  26    lock ≟ mk_lock2 Type[1] MR setoid1 R
  27 (* ---------------------------------------- *) ⊢
  28    setoid1 ≡ force2 ? MR lock.
  29
  30 notation < "[\setoid1\ensp\of term 19 x]" non associative with precedence 90 for @{'mk_setoid1 $x}.
  31 interpretation "mk_setoid1" 'mk_setoid1 x = (mk_setoid1 x ?).
  32
  33 (* da capire se mettere come coercion *)
  34 definition setoid1_of_setoid: setoid → setoid1.
  35  #s % [@(carr s)] % [@(eq0…)|@(refl…)|@(sym…)|@(trans…)]
  36 qed.
  37
  38 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_CProp2".
  39 alias symbol "hint_decl" (instance 1) = "hint_decl_Type2".
  40 unification hint 0 ≔ A,x,y;
  41    T  ≟ carr A,
  42    R  ≟ setoid1_of_setoid A,
  43    T1 ≟ carr1 R
  44 (*-----------------------------------------------*) ⊢
  45    eq_rel T (eq0 A) x y ≡ eq_rel1 T1 (eq1 R) x y.
  46
  47 unification hint 0 ≔ A;
  48    R  ≟ setoid1_of_setoid A
  49 (*-----------------------------------------------*) ⊢
  50    carr A ≡ carr1 R.
  51
  52 interpretation "setoid1 eq" 'eq t x y = (eq_rel1 ? (eq1 t) x y).
  53 interpretation "setoid eq" 'eq t x y = (eq_rel ? (eq0 t) x y).
  54
  55 notation > "hvbox(a break =_12 b)" non associative with precedence 45
  56 for @{ eq_rel2 (carr2 (setoid2_of_setoid1 ?)) (eq2 (setoid2_of_setoid1 ?)) $a $b }.
  57 notation > "hvbox(a break =_0 b)" non associative with precedence 45
  58 for @{ eq_rel ? (eq0 ?) $a $b }.
  59 notation > "hvbox(a break =_1 b)" non associative with precedence 45
  60 for @{ eq_rel1 ? (eq1 ?) $a $b }.
  61
  62 interpretation "setoid1 symmetry" 'invert r = (sym1 ???? r).
  63 interpretation "setoid symmetry" 'invert r = (sym ???? r).
  64 notation ".=_1 r" with precedence 50 for @{'trans_x1 $r}.
  65 interpretation "trans1" 'trans r = (trans1 ????? r).
  66 interpretation "trans" 'trans r = (trans ????? r).
  67 interpretation "trans1_x1" 'trans_x1 r = (trans1 ????? r).
  68
  69 record unary_morphism1 (A,B: setoid1) : Type[1] ≝ {
  70   fun11:1> A → B;
  71   prop11: ∀a,a'. eq1 ? a a' → eq1 ? (fun11 a) (fun11 a')
  72 }.
  73
  74 notation > "B ⇒_1 C" right associative with precedence 72 for @{'umorph1 $B $C}.
  75 notation "hvbox(B break ⇒\sub 1 C)" right associative with precedence 72 for @{'umorph1 $B $C}.
  76 interpretation "unary morphism 1" 'umorph1 A B = (unary_morphism1 A B).
  77
  78 notation "┼_1 c" with precedence 89 for @{'prop1_x1 $c }.
  79 interpretation "prop11" 'prop1 c = (prop11 ????? c).
  80 interpretation "prop11_x1" 'prop1_x1 c = (prop11 ????? c).
  81 interpretation "refl1" 'refl = (refl1 ???).
  82
  83 definition unary_morphism1_setoid1: setoid1 → setoid1 → setoid1.
  84  #s #s1 % [@(s ⇒_1 s1)] %
  85      [ #f #g @(∀a,a':s. a=a' → f a = g a')
  86      | #x #a #a' #Ha @(.= †Ha) @refl1
  87      | #x #y #H #a #a' #Ha @(.= †Ha) @sym1 /2/
  88      | #x #y #z #H1 #H2 #a #a' #Ha @(.= †Ha) @trans1
  89        [2: @H1 | skip | @H2] // ]
  90 qed.
  91
  92 unification hint 0 ≔ S, T ;
  93    R ≟ (unary_morphism1_setoid1 S T)
  94 (* --------------------------------- *) ⊢
  95    carr1 R ≡ unary_morphism1 S T.
  96
  97 notation "l ╪_1 r" with precedence 89 for @{'prop2_x1 $l $r }.
  98 interpretation "prop21" 'prop2 l r = (prop11 ? (unary_morphism1_setoid1 ??) ? ?? l ?? r).
  99 interpretation "prop21_x1" 'prop2_x1 l r = (prop11 ? (unary_morphism1_setoid1 ??) ? ?? l ?? r).
 100
 101 lemma unary_morph1_eq1: ∀A,B.∀f,g: A ⇒_1 B. (∀x. f x = g x) → f = g.
 102 /3/
 103 qed.
 104
 105 (* DISAMBIGUATION XXX: this takes some time to disambiguate *)
 106 lemma mk_binary_morphism1:
 107  ∀A,B,C: setoid1. ∀f: A → B → C. (∀a,a',b,b'. a=a' → b=b' → f a b = f a' b') →
 108   A ⇒_1 (unary_morphism1_setoid1 B C).
 109  #A #B #C #f #H % [ #x % [@(f x)]] #a #a' #Ha [2: @unary_morph1_eq1 #y]
 110  /2/
 111 qed.
 112
 113 definition composition1 ≝
 114  λo1,o2,o3:Type[1].λf:o2 → o3.λg: o1 → o2.λx.f (g x).
 115
 116 interpretation "function composition" 'compose f g = (composition ??? f g).
 117 interpretation "function composition1" 'compose f g = (composition1 ??? f g).
 118
 119 definition comp1_unary_morphisms:
 120   ∀o1,o2,o3:setoid1.o2 ⇒_1 o3 → o1 ⇒_1 o2 → o1 ⇒_1 o3.
 121 #o1 #o2 #o3 #f #g % [@ (f ∘ g)]
 122  #a #a' #e normalize @(.= †(†e)) @#
 123 qed.
 124
 125 unification hint 0 ≔ o1,o2,o3:setoid1,f:o2 ⇒_1 o3,g:o1 ⇒_1 o2;
 126    R ≟ (mk_unary_morphism1 ?? (composition1 ??? (fun11 ?? f) (fun11 ?? g))
 127         (prop11 ?? (comp1_unary_morphisms o1 o2 o3 f g)))
 128  (* -------------------------------------------------------------------- *) ⊢
 129        fun11 o1 o3 R ≡ composition1 ??? (fun11 ?? f) (fun11 ?? g).
 130
 131 definition comp1_binary_morphisms:
 132  ∀o1,o2,o3. (o2 ⇒_1 o3) ⇒_1 ((o1 ⇒_1 o2) ⇒_1 (o1 ⇒_1 o3)).
 133 #o1 #o2 #o3 @mk_binary_morphism1
 134  [ #f #g @(comp1_unary_morphisms … f g)
 135  | #a #a' #b #b' #ea #eb #x #x' #Hx normalize /3/ ]
 136 qed.