notes.tex

   1 \documentclass[12pt]{article}\r
   2 \title{Strong Separation}\r
   3 % \author{---}\r
   4 \date{\vspace{-2em}\today{}}\r
   5 \input{macros}\r
   6 \r
   7 \begin{document}\r
   8 \r
   9 \maketitle\r
  10 \r
  11 \section*{The Calculus}\r
  12 \subparagraph{Syntax}\r
  13 \[\begin{array}{lll}\r
  14   \tm, \tmtwo & \ddef & \var \mid \tm\,\tmtwo \mid \Lam\var{\tm\Comma\vec\tm} \\\r
  15   n & \ddef & \Lam\var{n\Comma\vec n} \mid \var\,\vec n \\\r
  16   \\\r
  17   C & \ddef & \Box \mid C\,\tm \mid \tm\,C \\\r
  18   P & \ddef & \vec\tm \Comma \Box \Comma \vec\tm \mid \vec\tm \Comma C[\Lam\var P] \Comma \vec\tm  \\\r
  19 \end{array}\]\r
  20 \r
  21 \subparagraph{Reduction rules}\r
  22 \[\begin{array}{lll}\r
  23   P[C[(\Lam\var{\tm\Comma\vec\tm})\,\tmtwo]] & \Red{}{\var\in \tm,\vec\tm} &\r
  24    P[C[\tm\Subst\var\tmtwo]\Comma \vec\tm\Subst\var\tmtwo]\\\r
  25    P[C[(\Lam\var{\tm\Comma\vec\tm})\,\tmtwo]] & \Red{}{\var\not\in\tm,\vec\tm} &\r
  26     P[C[\tm] \Comma \vec\tm\Comma\tmtwo]\\\r
  27 \end{array}\]\r
  28 \r
  29 \subparagraph{Properties}\r
  30 \begin{itemize}\r
  31   \item Every term is normalizing iff it is strongly normalizing.\r
  32   \item Ogni strategia e' perpetua!\r
  33   \item \ldots\r
  34 \end{itemize}\r
  35 \r
  36 \clearpage\r
  37 \section*{Separation}\r
  38 % Paths:\r
  39 \newcommand{\PathEmpty}{\epsilon}\r
  40 \newcommand{\PathAbs}[1]{\mathtt{abs}(#1)}\r
  41 \newcommand{\PathArg}[3]{\mathtt{arg}_{#2}^{#1}(#3)}\r
  42 \newcommand{\PathHd}{\mathtt{hd}}\r
  43 \r
  44 \newcommand{\GarbageOf}[1]{\operatorname{Garb}(#1)}\r
  45 \newcommand{\HeadOf}[1]{\operatorname{head}(#1)}\r
  46 \newcommand{\FstOf}[1]{\operatorname{fst}(#1)}\r
  47 \newcommand{\DegOf}[1]{\operatorname{deg}(#1)}\r
  48 \newcommand{\SubtmOf}[2]{#1\preceq #2}\r
  49 \newcommand{\OfHead}[2]{#1_{{\mid}#2}}\r
  50 \newcommand{\SubtmsOf}[1]{\operatorname{Sub}(#1)}\r
  51 \newcommand{\Div}{\mathtt{d}}\r
  52 \newcommand{\Conv}{\mathtt{c}}\r
  53 \newcommand{\Const}{\mathtt{K}}\r
  54 \newcommand{\NamedBoundVar}[1]{\texttt{bvar(}#1\texttt{)}}\r
  55 \newcommand{\AC}[1]{{\color{violet}#1}}\r
  56 \begin{itemize}\r
  57   % \item \textbf{$\boldsymbol\sigma$-separation.}\r
  58   %  \textcolor{red}{come definirlo? con le variabili? con i termini?\r
  59   %   problematico in cbv}\r
  60   %  Two terms are $\sigma$-separable iff there exists a substitution\r
  61   %   $\sigma$ such that \textcolor{red}{???}\r
  62   % \item \textbf{Semi-$\boldsymbol\sigma$-separation.}\r
  63   %  Two terms are semi-$\sigma$-separable iff there exists a substitution\r
  64   %   $\sigma$ such that -- in short -- it makes one diverge and the other one converge.\r
  65   % \item \textbf{Our subproblem:} Semi-$\sigma$-separating two (usual) $\boldsymbol\lambda$-terms\r
  66    % (in deep normal form)\r
  67    \item \textbf{Subterm:} $\SubtmOf\tm\tmtwo$ means that $\tm$ is an ($\eta/\Omega$)-subterm of $\tmtwo$.\r
  68    \item \textbf{Subterm at position $\boldsymbol\pi$:} TODO\r
  69    \item $\boldsymbol\sim_{\boldsymbol\pi}$\r
  70    \item \textbf{Distinction:} Let $\var\defeq \HeadOf D$. Let $T_{\var} \defeq \{\tm \preceq T \mid \HeadOf{\tm} = \var \}$.\r
  71   $C_{\var}$ is $D$--\emph{distinct} iff it is empty, or there exists path $\pi$ s.t.:\r
  72   \begin{itemize}\r
  73     \item \emph{effective} for $D$, cioe' $\FstOf{\pi} \leq \DegOf{D}$;\r
  74     \item $\forall \tm\in D_\var$, $\tm_\pi \neq \Omega$;\r
  75     \item $\exists \tm\in C_\var$ s.t. $\tm \not\sim_\pi D$;\r
  76     \item $\{\tm\in C_\var \mid \tm \sim_\pi D\}$ is $D$--distinct.\r
  77   \end{itemize}\r
  78 \r
  79 \clearpage\r
  80   \item $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$\r
  81   $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$\r
  82   $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$\r
  83   \texttt{ prove di nuove definizioni di ac:}\r
  84 \r
  85   \item \textbf{Set of subterms:} %$\SubtmsOf{\tm} \defeq \{ \tmtwo \mid \SubtmOf\tmtwo\tm \}$\r
  86   \[\begin{array}{ll}\r
  87     \SubtmsOf{\var} & \defeq \{\var\} \\\r
  88     \SubtmsOf{\tm\,\tmtwo} & \defeq \SubtmsOf\tm \cup \SubtmsOf\tmtwo \cup \{\tm\,\tmtwo\} \\\r
  89     \SubtmsOf{\lambda \var.\, \vec\tm} & \defeq \{\tmtwo\{\Const/\var\} \mid \tmtwo \in\SubtmsOf{\vec\tm}\} \\\r
  90   \end{array}\]\r
  91   \AC{Note: $\SubtmsOf\cdot$ replaces bound variables with $\Const$ when going under abstractions.}\r
  92   \item \textbf{Subterm at position:}\r
  93   \[\begin{array}{ll}\r
  94     \text{Paths: } \pi & ::= \PathEmpty \mid \PathHd \mid \PathArg i \var \pi \mid \PathAbs\pi\r
  95   \end{array}\]\r
  96   \AC{\r
  97    Given a path, one can retrieve from a term (if possible) the subterm at that position.\r
  98 \r
  99    Since the path may go through abstractions, bound variables that become free\r
 100    are renamed to variables of the form $\NamedBoundVar\pi$\r
 101    (where $\pi$ is the path in the original inert leading to the abstraction binding that variable).\r
 102   }\r
 103   % \newcommand{\GetSubtm}[2]{\operatorname{GetSubtm}(#1\texttt{;}#2)}\r
 104   \newcommand{\GetSubtm}[2]{{#1}_{#2}}\r
 105   \[\begin{array}{ll}\r
 106     \GetSubtm\tm\pi & \defeq \GetSubtm\tm{\underline\pi} \\\r
 107     \GetSubtm\tm{\rho[\underline\PathEmpty]} & \defeq \tm \\\r
 108     \GetSubtm{(x\,t_1\cdots t_n)}{\rho[\underline\PathHd]} & \defeq x \\\r
 109     \GetSubtm{(x\,t_1\cdots t_n)}{\rho[\underline{\PathArg i \var \pi}]} & \defeq\r
 110       \GetSubtm{(t_i)}{\rho[\PathArg i \var {\underline\pi}]} \mbox{(if } 1 \leq i\leq n \mbox{)} \\\r
 111     \GetSubtm{(\lambda x.\, t)}{\rho[\underline {\PathAbs \pi}]} & \defeq\r
 112      \GetSubtm\tm{\rho(\PathAbs{\underline\pi})}\r
 113      \{\var\mapsto\NamedBoundVar{\rho[\PathEmpty]}\} \\\r
 114     \GetSubtm{\tm}{\rho(\underline{\PathAbs \pi})} &\r
 115      \defeq \GetSubtm{(\lambda \var.\, \tm\,\var)}{\rho(\PathAbs {\underline\pi})} \text{ (with } x \text{ fresh) (eta)}\\\r
 116     % \Omega_-^- & \defeq \Omega \\\r
 117   \end{array}\]\r
 118   \item \textbf{Head restriction:} $\OfHead T \var \defeq \{\tm \in T \mid \HeadOf{\tm} (\defeq \tm_{\PathHd}) = \var \}$\r
 119   \item \textbf{Telescopic garbage chain:} $\{\langle\tm_1,\pi_1\rangle,\ldots,\langle\tm_n,\pi_n\rangle\}$ is a $-$ if $\forall i$:\r
 120    \[\tm_{i+1} \in \SubtmsOf{\text{garbage of } \GetSubtm{(\tm_i)}{\pi_i}}\]\r
 121   \item \textbf{Distinction:} \underline{$S$ is $\{\langle\Div_1,\pi_1\rangle,\ldots,\langle\Div_n,\pi_n\rangle\}$--distinct} iff (one of the following three):\r
 122   \begin{itemize}\r
 123     \item $\OfHead S {\HeadOf \Div}$ is empty and $n=1$\r
 124   \end{itemize}\r
 125    OR: let $\Div\defeq\Div_1$ in:\r
 126  \begin{itemize}\r
 127    \item there exists a path $\pi$ s.t.\r
 128    \item (Effective) $\pi$ is \emph{effective} for all $\Div_i$ s.t. $\HeadOf{\Div_i} = \HeadOf{\Div}$\r
 129    \item $\forall \tm\in \OfHead{\SubtmsOf{\Div_i}}{\HeadOf\Div}$, $\tm_\pi \neq \Omega$;\r
 130    \item (Useful) $\exists s\in \OfHead S{\HeadOf\Div}$ s.t. $s \not\sim_\pi \Div$;\r
 131    \item $S\setminus\{s\in \OfHead S{\HeadOf\Div} \mid s \not\sim_\pi \Div\}$ is $D$--distinct.\r
 132  \end{itemize}\r
 133  OR:\r
 134 \begin{itemize}\r
 135    \item $S'$ is $\{\langle\Div_2,\pi_2\rangle,\ldots,\langle\Div_n,\pi_n\rangle\}$--distinct, where:\r
 136     \[S' \defeq S \mathrel{\cup} \SubtmsOf{\{\text{garbage of } s \text{ along } \pi_1 \mid s\in \OfHead{S}{\HeadOf\Div}\}} \]\r
 137  \end{itemize}\r
 138 \r
 139  \item \textbf{Semi-$\sigma$-separability: } $(\Div,\Conv)$ are semi-$\sigma$-separable\r
 140   IFF there is $\Div_1$ (an $\Omega$--approximation of a subterm of $\Div$ with\r
 141   at most one garbage, and without stuck variables)\r
 142   and a telescopic garbage chain $D\defeq\{\langle\Div_1,\pi_1\rangle,\ldots,\langle\Div_n,\pi_n\rangle\}$ s.t.\r
 143   $\SubtmsOf\Conv$ is $D$--distinct.\r
 144 \r
 145  \clearpage\r
 146  \item $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$\r
 147  $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$\r
 148  $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$ $\bullet$\r
 149 \r
 150  \item \textbf{Unlockable variables.}\r
 151   We use the following contexts:\r
 152   $E ::= \Box \mid E\, t \mid t\, E \mid \Lam\var{\vec t\Comma E \Comma \vec t} $.\r
 153  A variable $\var$ is \emph{unlockable} in a context $E$ if:\r
 154   \begin{itemize}\r
 155     \item it is not bound in $E$, or\r
 156     \item $E[\cdot] = E'[\vartwo\, \vec\tm \, (\Lam{\cdots\var\cdots}{\vec\tmtwo \Comma E'[\cdot]\Comma\vec\tmthree})]$\r
 157      and $\vartwo$ is unlockable in $E'$.\r
 158   \end{itemize}\r
 159 \r
 160   Transformation removing an unlockable variable bound at position $\pi$:\r
 161   \[\tau_{n::\pi}[\alpha] := \lambda x_1..x_n\,x.\, \alpha\,\vec x\,(\tau_\pi[x])\]\r
 162 \r
 163   % \textcolor{red}{For every term there exists an equivalent term with no unlockable variables}\r
 164 \r
 165 \end{itemize}\r
 166 \r
 167 % \clearpage\r
 168 % \section*{NP-hardness}\r
 169 % \newcommand{\Pacman}{\Omega}\r
 170 % \newcommand{\sep}{\cdot}\r
 171 % \begin{example}[Graph 3-coloring]\label{example:3col}\r
 172 % Let $G=(V,E)$ be a graph, with $N \defeq |V|$.\r
 173 % We encode the problem of finding a 3-coloring of $G$ in the following problem of semi-$\sigma$-separation:\r
 174 %  \[\begin{array}{cl}\r
 175 %  \Uparrow & x \sep t_1^1\,t_1^2\,t_1^3 \sep t_2^1\,t_2^2\,t_2^3 \sep \cdots t_n^1\,t_n^2\,t_n^3 \\\r
 176 %  \\\r
 177 %  \Downarrow & x \sep \Pacman\,\Pacman\,\Pacman \sep t_2^1\,t_2^2\,t_2^3 \sep \cdots t_n^1\,t_n^2\,t_n^3 \\\r
 178 %  \Downarrow & x \sep t_1^1\,t_1^2\,t_1^3 \sep \Pacman\,\Pacman\,\Pacman \sep \cdots t_n^1\,t_n^2\,t_n^3 \\\r
 179 %  \vdots & \vdots \\\r
 180 %  \Downarrow & x \sep t_1^1\,t_1^2\,t_1^3 \sep t_2^1\,t_2^2\,t_2^3 \sep \cdots \Pacman\,\Pacman\,\Pacman \\\r
 181 %  \end{array}\]\r
 182 %\r
 183 % Where: $\dummy$ is (probably) a variable, $\bomb\defeq \lambda\_.\,\bot$, and the $a$'s are defined as follows:\r
 184 %\r
 185 % \begin{itemize}\r
 186 %\r
 187 %  \item $\begin{array}{ll}\r
 188 %   a_1^1 \defeq & \lambda\_. \, x \sep y\bomb\bomb \sep\bomb\ldots \\\r
 189 %   a_1^2 \defeq & \lambda\_. \, x \sep \bomb y\bomb \sep\bomb\ldots \\\r
 190 %   a_1^3 \defeq & \lambda\_. \, x \sep \bomb\bomb y \sep\bomb\ldots \\\r
 191 %  \end{array}$\r
 192 %\r
 193 %  \item $a_2^1 \defeq \begin{cases}\r
 194 %   \lambda\_.\, x \sep \bomb \dummy\dummy \sep y\bomb\bomb \cdot \bomb\ldots & \text{if } (v_1, v_2)\in E \\\r
 195 %   \lambda\_.\, x \sep \dummy\dummy\dummy \sep y\bomb\bomb \cdot \bomb\ldots & \text{if } (v_1, v_2)\not\in E \\\r
 196 %  \end{cases}$\r
 197 %\r
 198 %  \item \ldots\r
 199 %\r
 200 % \end{itemize}\r
 201 %\r
 202 % \begin{definition}[Index notation]\r
 203 %  Let $t = x \sep x_1^1 x_2^1 x_3^1 \sep x_1^2 x_2^2 x_3^2 \sep \ldots \sep x_1^m x_2^m x_3^m$. Then: \[t[\,_k^j] \defeq x_k^j.\]\r
 204 %  \end{definition}\r
 205 %\r
 206 % Let $z_0$, $z_1$, $z_2$ be variables.\r
 207 %\r
 208 % Define:\r
 209 % \[a_k^j[\,_{k'}^{j'}]\defeq\begin{cases}\r
 210 %  \bomb & \text{if } j<j' \\\r
 211 %  \begin{cases}\r
 212 %   \bomb & \text{if } k\neq k' \\\r
 213 %   y & \text{if } k = k' \\\r
 214 %  \end{cases} & \text{if } j = j' \\\r
 215 %  \begin{cases}\r
 216 %   \bomb & \text{if } k = k' \\\r
 217 %   \dummy & \text{if } k \neq k' \\\r
 218 %  \end{cases} & \text{if } (v_j,v_{j'}) \in E \\\r
 219 %  \dummy & \text{if } (v_j,v_{j'}) \not\in E\r
 220 % \end{cases}\]\r
 221 %\r
 222 % Attenzione! Le $a$ vanno protette da lambda ($\lambda\_$)!\r
 223 %\r
 224 % % Dimensione del problema: circa $(3\times m^2)^2$.\r
 225 %\r
 226 % Intuitively, if $\sigma(x)$ ``uses'' $a_j^i$, then $\sigma$ colors $v_j$ with color $i$.\r
 227 %\r
 228 % \begin{lemma}[Extraction of the coloring]\r
 229 %  Let $\sigma$ be a substitution which is a solution for the semi-separation problem. Then for example:\r
 230 %\r
 231 % \begin{itemize}\r
 232 %  \item $\operatorname{color}(v_1) = 2$ iff\r
 233 %   \[(x \sep \Pacman\,\bomb\,\Pacman \sep \bomb\,\bomb\,\bomb \,\sep \bomb\,\bomb\,\bomb \,\sep \cdots \sep \bomb\,\bomb\,\bomb)\,\sigma \to \bot\]\r
 234 %  \item $\operatorname{color}(v_2) = 3$ iff:\r
 235 %   \[(x \sep \dummy\,\dummy\,\dummy \sep \Pacman\,\Pacman\,\bomb \,\sep \bomb\,\bomb\,\bomb \,\sep \cdots \sep \bomb\,\bomb\,\bomb)\,\sigma \to \bot\]\r
 236 % \end{itemize}\r
 237 % \end{lemma}\r
 238 %\r
 239 % % Where $\Pacman \equiv \lambda\_.\,\Pacman$.\r
 240 %\r
 241 % \end{example}\r
 242 \clearpage\r
 243 \section[Tentativi X-separability]{Tentativi $\mathbf X$--separability (July, 15$^{\mathbf{th}}\div\infty$)}\r
 244 \newcommand{\perm}{p}\r
 245 \newcommand{\Perm}[2]{\operatorname{P}[#1,#2]}\r
 246 \newcommand{\xK}{\kappa}\r
 247 \newcommand{\xN}{n}\r
 248 \newcommand{\LAM}[2]{\Lambda_{#2,#1}}\r
 249 \newcommand{\LAMNK}{\LAM\xN\xK}\r
 250 % \newcommand{\kn}{$(\kappa,n)$}\r
 251 \newcommand{\knnf}{$\xK{}$-nf}\r
 252 \newcommand{\Lams}[1]{\operatorname{lams}(#1)}\r
 253 \newcommand{\Args}[1]{\operatorname{args}(#1)}\r
 254 \newcommand{\Head}[1]{\operatorname{head}(#1)}\r
 255 \newcommand{\nf}[1]{#1{\downarrow}}\r
 256 \newcommand{\Nat}{\mathbb{N}}\r
 257 \begin{definition}[$\Lams\cdot,\Args\cdot,\Head\cdot$]\r
 258   \[\Lams{\lambda\vec\var.\,\vartwo\,\vec\tm} \defeq |\vec\var| \]\r
 259   \[\Args{\lambda\vec\var.\,\vartwo\,\vec\tm} \defeq |\vec\tm| \]\r
 260   \[\Head{\lambda\vec\var.\,\vartwo\,\vec\tm} \defeq \vartwo \]\r
 261 \end{definition}\r
 262 \r
 263 \begin{definition}[$\xK$-normal forms]\r
 264   First recall that terms in normal form have the shape\r
 265   $\lambda\vec\var.\,\vartwo\,\vec\tm$, where the terms $\vec\tm$ are in normal form too.\r
 266   \r
 267   We define inductively the set of \knnf s (where $\xK$ is a natural number):\r
 268   $\lambda\vec\var.\,\vartwo\,\vec\tm$ is a \knnf{} iff \r
 269   $|\vec\var|\leq\xK$%\r
 270   %, $|\vec\tm|\leq\xN$\r
 271   , and every term in $\vec\tm$ is a \knnf{} as well.\r
 272 \end{definition}\r
 273 \r
 274 \begin{definition}[Normal form $\nf\cdot$]\r
 275   \r
 276 \end{definition}\r
 277 \r
 278 \begin{definition}[Permutator $\Perm\cdot\cdot$]~\r
 279   \[\Perm i j \defeq \lambda\vec\var\vartwo.\,\vartwo\, \vec\alpha\,\vec\var\,\vartwo\]\r
 280   where $\vec\var$, $\vec\alpha$ and $\vartwo$ are fresh variables,\r
 281   with $|\vec\var| = i$ and $|\vec\alpha| = j$.\r
 282 \end{definition}\r
 283 \r
 284 {\color{yellow}\begin{definition}[Good permutation]\r
 285   Let $\tm$ a \knnf.\r
 286   $\Perm i j$ is \emph{good} for $\tm$ if\r
 287   $i<\Args\tm$ and $j \geq \xK + i + 1$.\r
 288 \end{definition}}\r
 289 \r
 290 % \begin{lemma}\r
 291 %   Let $\tm$ in nf.\r
 292 %   Let $\vec\alpha$ fresh variables.\r
 293 %   If $|\vec\alpha|\geq \lams\tm$,\r
 294 %   then the normal form of $\tm\,\vec\alpha$ is inert.\r
 295 % \end{lemma}\r
 296 \r
 297 \begin{lemma}[Monotonicity]\label{l:k-nf-mono}\r
 298   If $\tm$ is a \knnf{}, then it is also a $\xK'$-nf\r
 299   for every $\xK' \geq \xK{}$.\r
 300 \end{lemma}\r
 301 \r
 302 \begin{lemma}\label{l:k-prime-nf}\r
 303   Let $\tm$ a \knnf, $\var$ a variable, $i$ a natural number, and $\xK'\defeq \xK + i + 1$.\r
 304   Then for every $j \geq \xK'$, $\nf{\tm\Subst\var{\Perm i j}}$ is defined and it is a $\xK'$-nf.\r
 305 \end{lemma}\r
 306 \begin{proof}\r
 307   By (course-of-value) structural induction on $\tm$.\r
 308   Let $\tm=\lambda\vec\vartwo.\,\varthree\,\vec\tmtwo$ and $\sigma\defeq\Subst\var{\Perm i j}$.\r
 309   By cases:\r
 310   \begin{itemize}\r
 311     \item Case $\varthree\neq\var$: $\nf{(\lambda\vec\vartwo.\,\varthree\,\vec\tmtwo)\sigma} = \lambda\vec\vartwo.\,\varthree\,\vec{(\nf{\tmtwo\sigma})}$.\r
 312     By \ih{} each term in $\vec{(\nf{\tmtwo\sigma})}$ is a $\xK'$-nf.\r
 313     We conclude since by hypothesis $|\vec\vartwo|\leq\xK{}<\xK'$.\r
 314     \item Case $\varthree=\var$ and $i<|\vec\tmtwo|$:\r
 315      $\tm\sigma \to^* \lambda\vec\vartwo.\, (\tmtwo_i\sigma)\vec\alpha \vec{(\tmtwo\sigma)} $.\r
 316      Now, by \ih{} $\nf{\tmtwo_i\sigma}$ is a $\xK'$-nf, and since $|\vec\alpha|\geq\xK'$,\r
 317      $\nf{(\tmtwo_i\sigma\vec\alpha)}$ is inert (\textcolor{red}{Serve lemma?}).\r
 318      Therefore $\nf\tm = \lambda\vec\vartwo.\,\nf{(\tmtwo_i\sigma\vec\alpha)} \vec{(\nf{\tmtwo\sigma})}$,\r
 319      and again by \ih{} it is also a $\xK'$-nf.\r
 320     \item Case $\varthree=\var$ and $i \geq |\vec\tmtwo|$:\r
 321     $\tm\sigma \to^* \lambda\vec\vartwo\vec\varthree\varthree'.\, \varthree'\vec\alpha \vec{(\tmtwo\sigma)}\vec\varthree $ for \r
 322     $|\vec\varthree| = i - |\vec\tmtwo|$.\r
 323     Conclude by \ih{} and because $|\vec\vartwo\vec\varthree\varthree'| \leq \xK{} + i - |\vec\tmtwo| + 1 \leq \xK{} + i + 1 = \xK'$.\r
 324   \end{itemize}\r
 325   \r
 326 \end{proof}\r
 327 \r
 328 % \begin{lemma}\r
 329 %   Let $\tm$ a \knnf, and $\Head\tm=\var$.\r
 330 %   If $i<\Args\tm$ and $j \geq \xK + i + 1$,\r
 331 %   then $\tmtwo\defeq\nf{\tm\Subst\var{\Perm i j}}$ is defined;\r
 332 %   $\Lams\tm=\Lams{\tmtwo}$; $\tmtwo$ is a $(j,\xN + j)$-nf.\r
 333 % \end{lemma}\r
 334 % \begin{proof}\color{red}\TODO{}\r
 335 %   By induction on the normal form structure of $\tm$:\r
 336 %   let $\tm=\lambda\vec\var.\,\vartwo\,\vec\tmtwo$.\r
 337 %   By \ih{}, $\nf{\tmtwo\Subst\var\perm}$ are $(j,\xN+j)$-nfs.\r
 338 %   \begin{itemize}\r
 339 %     \item if $\vartwo=\var$, then\r
 340 %     $\nf{\tm\Subst\var\perm} = \lambda\var_1\ldots\var_{???}.\,\var\,\vec\tmthree$\r
 341 %     \item if $\vartwo\neq\var$, then $\nf{\tm\Subst\var\perm} = \lambda\vec\var.\,\vartwo\,\vec\tmthree$\r
 342 %     where $\vec\tmthree\defeq \nf{\vec\tmtwo\Subst\var\perm}$.\r
 343 %     Conclude by inductive hypothesis.\r
 344 %   \end{itemize}\r
 345 % \end{proof}\r
 346 \r
 347 \r
 348 \begin{lemma}\r
 349   For every \knnf s $\tm$,\r
 350   every fresh variable $\var$,\r
 351   every $\perm\defeq\Perm{i}{j}$ permutator with $j>\xK+i+1$:\r
 352   $\nf{\tm\Subst\var\perm\vec\alpha} \EtaNeq \alpha_j$.\r
 353 \end{lemma}\r
 354 \begin{proof}\r
 355   First of all note that by \reflemma{k-prime-nf}\r
 356   $\nf{\tm\Subst\var\perm}$ is a $\xK'$-nf for $\xK' \defeq \xK+i+1$, therefore\r
 357   $\nf{\tm\Subst\var\perm\vec\alpha}$ is inert because $|\vec\alpha|>\xK'$ by hypothesis.\r
 358   \r
 359   By structural induction on $\tm$.\r
 360   Let $\tm = \lambda\vec\vartwo.\, h\,\vec a$ for $|\vec\vartwo|\leq\xK$.\r
 361   \TODO{}\r
 362 \end{proof}\r
 363 \r
 364 % TODO: $\xK$-standard proof of $\eta$.\r
 365 \r
 366 \begin{lemma}\r
 367   For every \knnf s $\tm$ and $\tmtwo$,\r
 368   every fresh variable $\var$,\r
 369   $\perm\defeq\Perm{i}{j}$ permutator with $j>\xK+i+1$,\r
 370   $\tm\EtaEq\tmtwo$ iff $\nf{\tm\Subst\var\perm}\EtaEq\nf{\tmtwo\Subst\var\perm}$.\r
 371 \end{lemma}\r
 372 \begin{proof}\r
 373   Let $\sigma \defeq \Subst\var\perm$.\r
 374   First of all, note that by \reflemma{k-prime-nf}\r
 375   $\nf{\tm\sigma}$ and $\nf{\tmtwo\sigma}$ are defined and\r
 376   are $\xK'$-nfs for $\xK'\defeq\xK + i + 1$.\r
 377   \r
 378   If $\tm\EtaEq\tmtwo$ then necessarily $\nf{\tm\sigma}\EtaEq\nf{\tmtwo\sigma}$.\r
 379   Let us now assume that $\tm\EtaNeq\tmtwo$, and prove that\r
 380   $\nf{\tm\sigma}\EtaNeq\nf{\tmtwo\sigma}$.\r
 381   Let $\tm \EtaEq \lambda\vec\vartwo.\, h_1\,\vec a$ and \r
 382   $\tmtwo \EtaEq \lambda\vec\vartwo.\, h_2\,\vec b$,\r
 383   with $|\vec\vartwo| = \xK$.\r
 384   By (course-of-value) induction on the size of $\tm$ and $\tmtwo$,\r
 385   and by cases on the definition of eta-difference:\r
 386   \begin{itemize}\r
 387     \item $h_1 \neq h_2$: we distinguish three subcases.\r
 388     \begin{itemize}\r
 389       \item $h_1,h_2\neq \var$:\r
 390        it follows that $\nf{\tm\sigma} = \nf{(\lambda\vec\vartwo.\,h_1\,\vec a)\sigma} = \lambda\vec\vartwo.\,h_1\,\vec{(\nf{a\sigma})}$\r
 391        and $\nf{\tmtwo\sigma} = \nf{(\lambda\vec\vartwo.\,h_2\,\vec b)\sigma} = \lambda\vec\vartwo.\,h_2\,\vec{(\nf{b\sigma})}$,\r
 392        and therefore $\nf{\tm\sigma} \EtaNeq \nf{\tmtwo\sigma}$ because\r
 393        their head variables are different.\r
 394       \item $h_1=\var$ and $h_2\neq \var$: \TODO\r
 395       \item $h_1\neq\var$ and $h_2=\var$: symmetric to the case above.\r
 396     \end{itemize}\r
 397     \item $h_1 = h_2$ and $|\vec a| \neq |\vec b|$:\r
 398      if $h_1,h_2\neq\var$, then again $\nf{\tm\sigma} = \lambda\vec\vartwo.\,h_1\,\vec{(\nf{a\sigma})}$\r
 399      and $\nf{\tmtwo\sigma} = \lambda\vec\vartwo.\,h_2\,\vec{(\nf{b\sigma})}$,\r
 400      and we conclude because the two terms have a different number of arguments.\r
 401      \r
 402      We now consider the other subcase $h_1=h_2=\var$, and the following subsubcases:\r
 403      \begin{itemize}\r
 404        \item Both $|\vec a|,|\vec b|\leq i$: \TODO\r
 405        \item w.l.o.g. $|\vec a|>i$ and $|\vec b|\leq i$: use boh \TODO\r
 406        \item Both $|\vec a|,|\vec b|> i$: \TODO use the lemma above\r
 407        plus another one. Reason on the numebr of arguments\r
 408        $\Args{\nf{a_i\sigma\vec\alpha}}$ vs  \r
 409        $\Args{\nf{b_i\sigma\vec\alpha}}$.\r
 410        If equal conclude, otherwise conclude by lemma above.\r
 411      \end{itemize}\r
 412     \item \r
 413     $h_1 = h_2$ and $|\vec a| = |\vec b|$\r
 414     but $a_n \EtaNeq b_n$ for some $n$.\r
 415     If $h_1=h_2\neq\var$, then again\r
 416     $\lambda\vec\vartwo.\,h_1\,\vec{(\nf{a\sigma})} =%\r
 417     \lambda\vec\vartwo.\,h_2\,\vec{(\nf{b\sigma})}$,\r
 418     and we conclude by \ih{} since $a_n \EtaNeq b_n$ implies that \r
 419     $\nf{a_n\sigma} \EtaNeq \nf{b_n\sigma}$.\r
 420     {\color{red}[Can we use the \ih{} here?]}\r
 421     \r
 422     We now consider the other subcase $h_1=h_2=\var$, and the following subsubcases:\r
 423     \begin{itemize}\r
 424       \item $|\vec a| = |\vec b| \leq i$: \TODO easy \r
 425       \item $|\vec a| = |\vec b| > i$ and $a_i\EtaEq b_i$: \TODO ok\r
 426       \item $|\vec a| = |\vec b| > i$ and $a_i\EtaNeq b_i$: \TODO\r
 427        by \ih{} already $\nf{a_i\sigma\vec\alpha}\EtaNeq\nf{b_i\sigma\vec\alpha}$\r
 428        and conclude by appending the $\vec a$ and $\vec b$.\r
 429     \end{itemize}\r
 430   \end{itemize}\r
 431 \end{proof}\r
 432 \r
 433 \end{document}\r