part1a_inversion.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/Fsub/part1a_inversion/".
  16 include "Fsub/defn.ma".
  17
  18 (*** Lemma A.1 (Reflexivity) ***)
  19 theorem JS_Refl : ∀T,G.WFType G T → WFEnv G → G ⊢ T ⊴  T.
  20 intros 3.elim H
  21   [apply SA_Refl_TVar [apply H2|assumption]
  22   |apply SA_Top [assumption|apply WFT_Top]
  23   |apply (SA_Arrow ? ? ? ? ? (H2 H5) (H4 H5))
  24   |apply (SA_All ? ? ? ? ? (H2 H5));intros;apply (H4 ? H6)
  25      [intro;apply H6;apply (fv_WFT ? ? ? (WFT_Forall ? ? ? H1 H3));
  26       simplify;autobatch
  27      |autobatch]]
  28 qed.
  29
  30 (*
  31  * A slightly more general variant to lemma A.2.2, where weakening isn't
  32  * defined as concatenation of any two disjoint environments, but as
  33  * set inclusion.
  34  *)
  35
  36 lemma JS_weakening : ∀G,T,U.G ⊢ T ⊴ U → ∀H.WFEnv H → incl ? G H → H ⊢ T ⊴ U.
  37 intros 4;elim H
  38   [apply (SA_Top ? ? H4);apply (WFT_env_incl ? ? H2 ? (incl_bound_fv ? ? H5))
  39   |apply (SA_Refl_TVar ? ? H4);apply (incl_bound_fv ? ? H5 ? H2)
  40   |apply (SA_Trans_TVar ? ? ? ? ? (H3 ? H5 H6));apply H6;assumption
  41   |apply (SA_Arrow ? ? ? ? ? (H2 ? H6 H7) (H4 ? H6 H7))
  42   |apply (SA_All ? ? ? ? ? (H2 ? H6 H7));intros;apply H4
  43      [unfold;intro;apply H8;apply (incl_bound_fv ? ? H7 ? H9)
  44      |apply (WFE_cons ? ? ? ? H6 H8);autobatch
  45      |unfold;intros;inversion H9;intros
  46         [destruct H11;apply in_Base
  47         |destruct H13;apply in_Skip;apply (H7 ? H10)]]]
  48 qed.
  49
  50 theorem narrowing:∀X,G,G1,U,P,M,N.
  51   G1 ⊢ P ⊴ U → (∀G2,T.G2@G1 ⊢ U ⊴ T → G2@G1 ⊢ P ⊴ T) → G ⊢ M ⊴ N →
  52   ∀l.G=l@(mk_bound true X U::G1) → l@(mk_bound true X P::G1) ⊢ M ⊴ N.
  53 intros 10.elim H2
  54   [apply SA_Top
  55     [rewrite > H5 in H3;
  56      apply (WFE_Typ_subst ? ? ? ? ? ? ? H3 (JS_to_WFT1 ? ? ? H))
  57     |rewrite > H5 in H4;apply (WFT_env_incl ? ? H4);apply incl_fv_env]
  58   |apply SA_Refl_TVar
  59     [rewrite > H5 in H3;apply (WFE_Typ_subst ? ? ? ? ? ? ? H3);
  60      apply (JS_to_WFT1 ? ? ? H)
  61     |rewrite > H5 in H4;rewrite < fv_env_extends;apply H4]
  62   |elim (decidable_eq_nat X n)
  63     [apply (SA_Trans_TVar ? ? ? P)
  64       [rewrite < H7;elim l1;simplify
  65         [constructor 1|constructor 2;assumption]
  66       |rewrite > append_cons;apply H1;
  67        lapply (WFE_bound_bound true n t1 U ? ? H3)
  68         [apply (JS_to_WFE ? ? ? H4)
  69         |rewrite < Hletin;rewrite < append_cons;apply (H5 ? H6)
  70         |rewrite < H7;rewrite > H6;elim l1;simplify
  71           [constructor 1|constructor 2;assumption]]]
  72     |apply (SA_Trans_TVar ? ? ? t1)
  73       [rewrite > H6 in H3;apply (lookup_env_extends ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? H3);
  74        unfold;intro;apply H7;symmetry;assumption
  75       |apply (H5 ? H6)]]
  76   |apply (SA_Arrow ? ? ? ? ? (H4 ? H7) (H6 ? H7))
  77   |apply (SA_All ? ? ? ? ? (H4 ? H7));intros;
  78    apply (H6 ? ? (mk_bound true X1 t2::l1))
  79       [rewrite > H7;rewrite > fv_env_extends;apply H8
  80       |simplify;rewrite < H7;reflexivity]]
  81 qed.
  82
  83 lemma JSubtype_Arrow_inv:
  84  ∀G:list bound.∀T1,T2,T3:Typ.
  85   ∀P:list bound → Typ → Prop.
  86    (∀n,t1.
  87     (mk_bound true n t1) ∈ G → G ⊢ t1 ⊴ (Arrow T2 T3) → P G t1 → P G (TFree n)) →
  88    (∀t,t1. G ⊢ T2 ⊴ t → G ⊢ t1 ⊴ T3 → P G (Arrow t t1)) →
  89     G ⊢ T1 ⊴ (Arrow T2 T3) → P G T1.
  90  intros;
  91  generalize in match (refl_eq ? (Arrow T2 T3));
  92  change in ⊢ (% → ?) with (Arrow T2 T3 = Arrow T2 T3);
  93  generalize in match (refl_eq ? G);
  94  change in ⊢ (% → ?) with (G = G);
  95  elim H2 in ⊢ (? ? ? % → ? ? ? % → %);
  96   [1,2: destruct H6
  97   |5: destruct H8
  98   | lapply (H5 H6 H7); destruct; clear H5;
  99     apply H;
 100     assumption
 101   | destruct;
 102     clear H4 H6;
 103     apply H1;
 104     assumption
 105   ]
 106 qed.
 107
 108 lemma JS_trans_prova: ∀T,G1.WFType G1 T →
 109 ∀G,R,U.incl ? (fv_env G1) (fv_env G) → G ⊢ R ⊴ T → G ⊢ T ⊴ U → G ⊢ R ⊴ U.
 110 intros 3;elim H;clear H; try autobatch;
 111   [rewrite > (JSubtype_Top ? ? H3);autobatch
 112   |apply (JSubtype_Arrow_inv ? ? ? ? ? ? ? H6); intros;
 113     [ autobatch
 114     | inversion H7;intros; destruct; autobatch depth=4 width=4 size=9
 115     ]
 116   |generalize in match H7;generalize in match H4;generalize in match H2;
 117    generalize in match H5;clear H7 H4 H2 H5;
 118    generalize in match (refl_eq ? (Forall t t1));elim H6 in ⊢ (? ? ? %→%);destruct;
 119      [apply (SA_Trans_TVar ? ? ? ? H);apply (H4 ? H7 H8 H9 H10);reflexivity
 120      |inversion H11;intros;destruct;
 121         [apply SA_Top
 122            [autobatch
 123               |apply WFT_Forall
 124                  [autobatch
 125                  |intros;lapply (H4 ? H13);autobatch]]
 126            |apply SA_All
 127               [autobatch paramodulation
 128               |intros;apply (H10 X)
 129                  [intro;apply H15;apply H8;assumption
 130                  |intro;apply H15;apply H8;apply (WFT_to_incl ? ? ? H3);
 131                   assumption
 132                  |simplify;autobatch
 133                  |apply (narrowing X (mk_bound true X t::l1)
 134                          ? ? ? ? ? H7 ? ? [])
 135                     [intros;apply H9
 136                        [unfold;intros;lapply (H8 ? H17);rewrite > fv_append;
 137                         autobatch
 138                        |apply (JS_weakening ? ? ? H7)
 139                           [autobatch
 140                           |unfold;intros;autobatch]
 141                        |assumption]
 142                     |*:autobatch]
 143                  |autobatch]]]]]
 144 qed.
 145
 146 theorem JS_trans : ∀G,T,U,V.G ⊢ T ⊴ U → G ⊢ U ⊴ V → G ⊢ T ⊴ V.
 147 intros 5;apply (JS_trans_prova ? G);autobatch;
 148 qed.
 149
 150 theorem JS_narrow : ∀G1,G2,X,P,Q,T,U.
 151                        (G2 @ (mk_bound true X Q :: G1)) ⊢ T ⊴ U → G1 ⊢ P ⊴ Q →
 152                        (G2 @ (mk_bound true X P :: G1)) ⊢ T ⊴ U.
 153 intros;apply (narrowing ? ? ? ? ? ? ? H1 ? H) [|autobatch]
 154 intros;apply (JS_trans ? ? ? ? ? H2);apply (JS_weakening ? ? ? H1);
 155      [autobatch|unfold;intros;autobatch]
 156 qed.